激光外差光谱仪的仪器线型函数研究

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2.激光外差光谱仪的仪器线型函数

2.1.激光外差探测原理

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2.1.激光外差探测原理

激光外差是一种基于相干探测原理的光谱测量技术, 其利用单色激光与宽带光信号混频, 将与激光频率接近的红外信号转移至RF范围进行处理, 可得到高分辨率的光谱信息^[13,14]. 激光外差信号处理的流程如图1所示.

图 1 (a)激光外差信号处理流程; (b)信号解调原理图
Figure1. (a) Diagram of laser heterodyne signal processing; (b) scheme of signal demodulation

根据文献[15—17], 时域上外差电流的大小${i_{{\rm{IF}}}}$

正比于本振光和信号光的乘积:

${i_{{\rm{IF}}}} \propto {A_{{\rm{LO}}}}\cos ({\upsilon _{{\rm{LO}}}}t) \cdot {A_{\rm{S}}}\cos ({\upsilon _{\rm{S}}}t), $

式中A_LO和A_S分别为本振光和信号电场分量的振幅; ${\upsilon _{{\rm{LO}}}}$

和${\upsilon _{\rm{S}}}$

分别为本振光和信号的频率. 因此, 频域上外差电流大小则正比于二者的卷积:

${I_{{\rm{IF}}}}(\upsilon ) \propto {F_{{\rm{LO}}}}(\upsilon ) * {F_{\rm{S}}}(\upsilon ), $

其中${F_{{\rm{LO}}}}\left( \upsilon \right)$

和${F_{\rm{S}}}\left( \upsilon \right)$

分别为本振光和信号的频域. 外差信号输出探测器后, 经过滤波、检波和解调等处理, 便可获得高分辨率的光谱信号. 外差处理过程中, 由于受到滤波带宽、积分时间等影响, 获得的光谱信号会有一定程度的平滑, 这些参数是激光外差光谱仪ILS函数的重要组成部分.
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2.2.仪器线型函数

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2.2.仪器线型函数

ILS函数是衡量光谱仪性能的重要参数, 测量光谱信号时由于受到ILS函数的影响, 光谱数据存在一定程度的失真. 分析ILS函数时, 一般将输入信号设置为冲击函数(或狄拉克函数), 即${{{f}}_{\rm{S}}}\left( {{t}} \right)={\rm{\delta}} {{(t)}}$

, 冲击函数的频域为常数, 即${{{F}}_{\rm{S}}}\left( \upsilon \right){{ = 1}}$

. 目前, 激光外差光谱仪使用的本振光多为窄线宽的分布反馈式(distributed feedback, DFB)激光器或量子级联激光器, 理想情况下输出单色光, 因此其频域可表示为狄拉克函数${{{F}}_{{\rm{LO}}}}\left( \upsilon \right){\rm{ = }}{{{A}}_{{\rm{LO}}}} {\rm{\delta}}({\upsilon _{{\rm{LO}}}}{\rm{)}}$

. 根据前述分析, 外差信号在频域上可表示为

$F'\left( \upsilon \right) = {F_{\rm{S}}}\left( {{\upsilon _{\rm{S}}}} \right) * {F_{{\rm{LO}}}}\left( {{\upsilon _{{\rm{LO}}}}} \right).$

由于本振光频域内为冲击函数, 根据卷积定理, 探测器响应带宽内的外差信号为

$F'\left( \upsilon \right) = {A_{{\rm{LO}}}}.$

探测器输出的外差信号经过RF滤波器滤波, RF滤波函数可视为窗函数:

$H\left( \upsilon \right) = \left\{\!\!\!{\begin{array}{*{20}{l}} c, &{\upsilon _{\rm{L}}} \leqslant \left| \upsilon \right| \leqslant {\upsilon _{\rm{H}}}, \\ 0, &{\rm{others, }} \end{array}} \right.$

式中${\upsilon _{\rm{H}}}$

和${\upsilon _{\rm{L}}}$

分别为滤波器通频带的上、下边带截止频率; c为滤波带宽内的增益, 滤波器通频带内信号衰减很小, 为了便于分析, 令c = 1. 外差信号经过RF滤波后为

$F''\left( \upsilon \right) = {A_{{\rm{LO}}}}H\left( \upsilon \right).$

以上是分析一般测量系统ILS函数的过程, 由于激光外差光谱仪获得的光谱信号是锁相放大器解调平均的结果, 输入单次狄拉克函数无法求出准确的ILS函数. 因此, 假设在锁相放大器积分时间内有持续的冲击函数输入光谱仪中, 积分时间内输入信号即为

${f_{\rm{S}}}\left( t \right) = \mathop {{\rm{lim}}}\limits_{N \to \infty } \sum\limits_{i = 1}^N {{\rm{\delta }}\left( {t - \left( {{t_0} - \dfrac{\tau }{2} + \dfrac{i}{N}\tau } \right)} \right)} , $

式中$ \tau $

为锁相放大器的积分时间, t₀表示扫描周期内的某一时刻, N为积分时间内冲击函数的总个数, i表示积分时间内的第i个时刻. 在积分时间内, 函数信号发生器输出的电压信号对本振光波长进行调制, 经过锁相放大器解调平均后的信号为

$ \begin{split} F''' &= \dfrac{1}{N}\sum\limits_{i = 1}^N {{A_{{\rm{LO}}}}H\left\{ {\upsilon - \left[ {{\upsilon _{{\rm{LO}}}}\left( {t - \left( {{t_0} - \dfrac{\tau }{2} + \dfrac{i}{N}\tau } \right)} \right) - {\upsilon _{\rm{S}}}} \right]} \right\}} \\ & = \dfrac{1}{N}\sum\limits_{i = 1}^N {{A_{{\rm{LO}}}}H\left( \upsilon \right) * \operatorname{\rm{\delta} }\left\{ {\upsilon - \left[ {{\upsilon _{{\rm{LO}}}}\left( {t - \left( {{t_0} - \dfrac{\tau }{2} + \dfrac{i}{N}\tau } \right)} \right) - {\upsilon _{\rm{S}}}} \right]} \right\}} \\ & = {A_{{\rm{LO}}}}H\left( \upsilon \right) * \dfrac{1}{N}\sum\limits_{i = 1}^N {{\rm{\delta }}\left\{ {\upsilon - \left[ {{\upsilon _{{\rm{LO}}}}\left( {t - \left( {{t_0} - \dfrac{\tau }{2} + \dfrac{i}{N}\tau } \right)} \right) - {\upsilon _{\rm{S}}}} \right]} \right\}} \end{split}. $

在积分时间内, 本振波长的变化范围是${\upsilon _{{\rm{LO}}}}{\rm{(}}{{t}_{\rm{0}}}{\rm{ - }}\tau {\rm{/2) }}$

—${\upsilon _{{\rm{LO}}}}{\rm{(}}{{t}_{\rm{0}}}{\rm{ + }}\tau {\rm{/2)}}. $

因此, (8)式中卷积符号后的一项等价于

$\begin{split} & \dfrac{1}{N}\sum\limits_{i = 1}^N {{\rm{\delta }}\left[ {\upsilon - \left( {{\upsilon _{{\rm{LO}}}}\left( {{t_0} - \dfrac{\tau }{2} + \dfrac{i}{N}\tau } \right) - {\upsilon _{\rm{S}}}} \right)} \right]} \\ = & \left\{\!\!\!\!{\begin{array}{*{20}{l}} \dfrac{1}{N}{\rm{\delta }},\!\! &{\upsilon _{{\rm{LO}}}}\left( {{t_0} - {\tau / 2}} \right) \leqslant \upsilon \leqslant {\upsilon _{{\rm{LO}}}}\left( {{t_0} + {\tau / 2}} \right)\!,\\ 0, &{{\rm{others}}.} \end{array}} \right.\end{split}$

由(9)式可知

$\dfrac{1}{N}\sum\limits_{i = 1}^N {\delta \left[ {\upsilon - \left( {{\upsilon _{{\rm{LO}}}}\left( {{t_0} - \dfrac{\tau }{2} + \dfrac{i}{N}\tau } \right) - {\upsilon _{\rm{S}}}} \right)} \right]} $

只有在${\upsilon _{{\rm{LO}}}}\left( {{t_0} - \tau /2} \right)$

—${\upsilon _{{\rm{LO}}}}\left( {{t_0} + \tau /2} \right)$

波长范围内存在有效信号, 其他范围幅值为0, 且

$ \begin{split} & \int_{{\upsilon _{{\rm{LO}}}}\left( {{t_0} - {\tau /2}} \right)}^{{\upsilon _{{\rm{LO}}}}\left( {{t_0}{{ + }}{\tau /2}} \right)} \dfrac{1}{N}\\ \times & {\sum\limits_{i = 1}^N {{\rm{\delta }}\left[ {\upsilon - \left( {{\upsilon _{{\rm{LO}}}}\left( {{t_0} - \dfrac{\tau }{2} + \dfrac{i}{N}\tau } \right) - {\upsilon _{\rm{S}}}} \right)} \right]} } {\rm{d}}\upsilon = 1.\end{split} $

因此在积分时间内, 当$N \to \infty $

时, 本振光波长的变化大小为

$\Delta \upsilon {{ = }}{\upsilon _{{\rm{LO}}}}\left( {{t_0} + {\tau /2}} \right) - {\upsilon _{{\rm{LO}}}}\left( {{t_0} - {\tau /2}} \right).$

此时可以令

$\varGamma \left( \upsilon \right) = \left\{\!\!\!\!{\begin{array}{*{20}{l}} 1,& {\upsilon _{{\rm{LO}}}}\left( {{t_0} - {\tau /2}} \right) < \upsilon < {\upsilon _{{\rm{LO}}}}\left( {{t_0} + {\tau /2}} \right), \\ 0,&{{\rm{others}}.} \end{array}} \right.$

外差信号经过锁相放大器的解调, 便将原来频域内的信号转换到了时域进行处理. 解调后的外差信号经过锁相放大器内部的低通滤波器滤波后输出^[18,19], 低通滤波器的时域响应为h_LP, 因此激光外差光谱仪的ILS函数可表示为

${{ILS}} = \dfrac{{{A_{{\rm{LO}}}}}}{{\Delta \upsilon }}H\left( \upsilon \right) * \varGamma \left( \upsilon \right) * {h_{{\rm{LP}}}}, $

式中A_LO和$\Delta \upsilon $