完整岩石拉压应力状态下的张裂破坏准则1)

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吕爱钟^,²⁾, 刘宜杰, 尹崇林华北电力大学水电与岩土工程研究所, 北京 102206

EXTENSION FAILURE CRITERION FOR INTACT ROCK UNDER TENSION AND COMPRESSION STRESS¹⁾

Lü Aizhong^,²⁾, Liu Yijie, Yin ChonglinInstitute of Hydroelectric and Geotechnical Engineering, North China Electric Power University, Beijing 102206, China

通讯作者: 2)吕爱钟, 教授, 主要研究方向: 地下隧洞力学分析的解析方法. E-mail:lvaizhong@ncepu.edu.cn

收稿日期:2021-01-16接受日期:2021-04-17网络出版日期:2021-06-18

基金资助:

1)国家自然科学基金资助项目.51974124

Received:2021-01-16Accepted:2021-04-17Online:2021-06-18
作者简介 About authors

摘要
一点的应力状态可由3个主应力$\sigma_{1}$, $\sigma_{2}$, $\sigma_{3}$来表示, 当规定主应力以压为正时, 沿最大主应力$\sigma_{1}$方向将产生收缩变形, 若中间主应力$\sigma_{2}$和最小主应力$\sigma_{3}$都远小于$\sigma_{1}$, 则沿$\sigma_{2}$和$\sigma_{3}$方向会产生横向扩张变形, 当横向扩张变形达到一定极限时, 将会在平行于$\sigma _{1}$的方向产生张裂破坏. 如何建立这种张裂破坏的强度准则目前尚缺乏研究, 最大拉应变理论(第二强度理论)有时被用来解释张裂破坏, 但最大拉应变理论难以应用于三向受力状态. 本文分别用$\varepsilon_{1}$, $\varepsilon_{2}$表示最大张应变和次大张应变, 则最大拉应变理论认为当$\varepsilon_{1}$达到单向拉伸屈服应变时, 材料将产生破坏. 而本文将根据$\varepsilon_{1}+\varepsilon_{2}$之和达到极限值$\varepsilon_u$来建立张裂破坏准则. 可以证明$\varepsilon_{1} +\varepsilon_{2}$所表示的是$\sigma_{1}$主平面的面积增长率. 当$\sigma_{3}<\sigma_{2} \ll \sigma_{1}$时, 大部分岩石都具有脆性破坏的特点, 所以可将破坏前的岩石视为满足广义胡克定律的线弹性材料, 这样用$\varepsilon_{1}$, $\varepsilon_{2}$表示的强度准则可通过$\sigma_{1}$, $\sigma_{2}$, $\sigma_{3}$来表示. 在这个过程中还可考虑岩石在拉伸和压缩时具有不同弹性参数和强度的特点, 并可通过单向拉伸和单向压缩的破坏状态来确定$\varepsilon_u$. 不管$\sigma_{1}$, $\sigma_{2}$, $\sigma_{3}$是压应力, 还是拉应力, 或者$\sigma_{1}$, $\sigma_{2}$, $\sigma_{3}$中有拉有压的情形, 基于$\varepsilon_{1} +\varepsilon_{2} =\varepsilon_u$都可建立相应的强度准则. 所建立的准则可以反映中间应力$\sigma_{2}$对强度的影响规律, 通过建立的强度准则还可以证明: 静水拉力能引起屈服, 而静水压力不能产生屈服; 压缩破坏能使塑性体积增大, 其结果比Mohr-Coulomb准则更能反映实际情形. 并通过拉压应力状态下的试验数据验证了所建立的强度准则, 所得理论计算结果和已有的试验数据吻合得很好. 通过提出的强度准则和圆盘劈裂的试验结果, 可获得更为可靠的岩石单轴抗拉强度.
关键词： 完整岩石;拉压应力;面积增长率;张裂破坏;强度准则

Abstract
The stress state at a point in the material can be represented by three principal stresses $\sigma_{1}$, $\sigma_{2}$, $\sigma_{3}$. When it is specified that the principal stress is positive in pressure, the shrinkage deformation occurs along the direction of the maximum principal stress $\sigma_{1}$. If both the intermediate principal stress $\sigma_{2}$ and the minimum principal stress $\sigma _{3}$ are far less than $\sigma_{1}$, the lateral extending deformation will occur along the direction of $\sigma_{2}$ and $\sigma_{3}$. When the lateral extending deformation reaches a certain limit, the extending tension failure will occur in the direction parallel to $\sigma_{1}$. There is still a lack of research on how to establish the strength criterion of this kind of extending tension failure, the maximum tensile strain theory (the second strength theory) is sometimes used to explain the extending tension failure, but it is difficult to apply it to the triaxial stress state. In this paper, $\varepsilon_{1}$, $\varepsilon_{2}$ are used to represent the maximum tensile strain and the intermediate tensile strain respectively. Based on the maximum strain theory, the failure will occur if $\varepsilon_{1}$ reaches the uniaxial tensile yield strain. The extension failure criterion will be established herein when the sum of $\varepsilon _{1} +\varepsilon_{2}$ reaches the critical value $\varepsilon_u$ and it can be proved that $\varepsilon_{1} +\varepsilon_{2}$ actually denotes the extension rate of the $\sigma_{1}$-plane. When $\sigma_{3} <\sigma_{2} \ll \sigma_{1}$, most rocks have the characteristics of brittle failure, so the rock material in prefailure stage can be assumed as linear elastic that satisfies the generalized Hooke's law. Thus, the strength criterion expressed by $\varepsilon_{1}$ and $\varepsilon_{2}$ can be expressed by $\sigma_{1}$, $\sigma_{2}$, $\sigma_{3}$. In this process, the rock's characteristics of different elastic parameters and strength under tension and compression can also be considered, and the failure state of uniaxial tension and uniaxial compression can be used to determine $\varepsilon_u$. Regardless of whether $\sigma_{1}$, $\sigma_{2}$, $\sigma_{3}$ are compressive stress or tensile stress, or there is tension and compression in $\sigma_{1}$, $\sigma_{2}$, $\sigma_{3}$, corresponding strength criteria can be established based on $\varepsilon_{1} +\varepsilon_{2} =\varepsilon_u$. The established criterion can reflect the effect of intermediate principal stress $\sigma_{2}$ on the strength. It can also be proved that: like yielding which will happen under the hydrostatic tension but not under the hydrostatic compression; compression failure can increase the plastic volume, and the results can better reflect the actual situation than Mohr-Coulomb criterion. The established strength criterion is verified by experimental data under tension-compression stress state and the theoretical calculation results are in good agreement with the existing test data. Through the proposed strength criterion and the test results of disc splitting, a more reliable uniaxial tensile strength of rock can be obtained.
Keywords：intact rock;tension and compression stress;extension rate;tensile failure;strength criterion

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本文引用格式
吕爱钟, 刘宜杰, 尹崇林. 完整岩石拉压应力状态下的张裂破坏准则¹⁾. 力学学报, 2021, 53(6): 1647-1657 DOI:10.6052/0459-1879-21-026
Lü Aizhong, Liu Yijie, Yin Chonglin. EXTENSION FAILURE CRITERION FOR INTACT ROCK UNDER TENSION AND COMPRESSION STRESS¹⁾. Chinese Journal of Theoretical and Applied Mechanics, 2021, 53(6): 1647-1657 DOI:10.6052/0459-1879-21-026

引言

岩石是一种天然材料, 它的力学特性与金属材料有很大不同, 如何建立能反映岩石固有特性的强度准则(也称破坏准则, 有时也称屈服准则), 一直是岩石力学工作者所关注的重要研究课题. Coulomb于1773年提出了第一个线性破坏准则^[1], 认为材料中某个面上的剪切应力达到了黏结力和该面正应力引起的内摩擦力之和时, 材料将产生破坏. Griffith^[2]于1921年基于脆性材料裂纹的扩展提出了一种非线性破坏准则. 在1980年Hoek和Brown^[3]提出了一个经验破坏准则.

在过去的60多年中, 已提出了很多关于岩石破坏的强度准则, 但大多数准则只适用于压应力状态, 而不适用于拉应力状态^[4], 且大都将岩石压缩状态下的破坏归结于剪切破坏机理, Coulomb准则就是基于剪切破坏而建立的. 1900年Mohr^[5]基于破坏应力状态的所有应力圆包络线, 提出了非线性剪切破坏准则. 后来的很多经验破坏准则都是基于Mohr假定, Hoek-Brown准则就是其中之一. Drucker和Prager^[6]在1952年基于Mises和Coulomb准则, 提出了含有3个主应力的破坏准则, 这个准则与八面体上的剪应力有关. 1961年俞茂宏提出的屈服准则也与剪应力有关, 所提的双剪应力屈服准则已经在很多领域得到了广泛介绍和应用^[7-8].

目前大部分强度准则^{[1-5, 9-15]}只涉及到2个主应力$\sigma_{1}$, $\sigma _{3}$, 而忽略了中间主应力$\sigma_{2}$对强度的影响, 只有少数准则涉及到3个主应力的情形^{[6, 8, 16-18]}. 并且有些强度准则只是在假定$\sigma_{1}$, $\sigma_{2}$, $\sigma_{3}$之间具有某种函数形式的基础上, 利用一些试验结果, 通过拟合的方法来确定函数中的未知参数, 这些参数可能一点物理意义都没有, 建立的准则很难具有通用性, 也很难被广泛接受和使用.

本文将讨论不同应力状态下的强度准则, 以适用于含有拉应力的情形. 对于实际岩石工程, 有时会出现拉应力分量. 例如在隧洞两侧, 顶部和底部的部分区域有时会出现拉应力, 在采场上覆的顶板下部也会出现拉应力^[19]. 由于岩石是一种抗压不抗拉的材料, 所以拉应力的存在势必对岩石的破坏产生很大影响, 由于以往的强度准则大都反映的是剪切破坏机理, 所以这些强度准则在这种拉压应力状态下是不适用的. 目前对拉压应力状态下的强度准则研究得较少, 只有Bineshian等^[4]于2012年提出了一个仅含有$\sigma _{1}$, $\sigma_{3}$的非线性压拉强度准则. 该强度准则中含有3个参数, 其中一个为岩石的单轴抗压强度, 另外两个参数由回归分析获得, 难以通过试验的方法直接获得.

本文将基于最大面积增长率的概念建立完整岩石复杂应力状态下的强度准则. 通过后文可知: 所建立的强度准则具有明确的物理意义, 准则中所涉及的参数为泊松比和单轴抗压强度. 用主应力表示的强度准则非常简洁, 这类强度准则不但可以反映中间应力$\sigma_{2}$对强度的影响, 而且也可以反映静水拉力引起破坏, 而静水压力不能产生破坏的特点.

1 理论基础

最大拉应变理论认为: 当材料的最大拉应变$\varepsilon_{1}$等于单向拉伸屈服应变$\varepsilon_s$时, 材料将发生破坏. 该理论与大多数的试验结果不相符合, 这个理论曾广为流行, 但今天已很少有人应用^[20].

作者认为材料的破坏不仅仅取决于最大张应变$\varepsilon_{1}$, 而应该也与次大张应变$\varepsilon_{2}$有关. 作者在文献[21]中证明了$\varepsilon_{1} +\varepsilon_{2}$所表示的是$\sigma _{1}$主平面的面积增长率$\Delta S/S$, 如图1所示. 认为面积扩张率$\varepsilon_{1} +\varepsilon_{2}$等于极限值$\varepsilon_u$时, 材料将产生张裂 (也称劈裂). 文献[21]基于$\varepsilon_{1}+\varepsilon_{2} =\varepsilon_u$建立了三向压应力状态下的强度准则, 并利用真三轴和常规三轴压缩试验数据验证了准则的适用性.

图1

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图1$\sigma_{1}$主平面的面积从$S$增大到$S+\Delta S (\sigma_{1} \geqslant \sigma _{2} \geqslant \sigma_{3} )$

Fig.1Area of $\sigma_{1}$-plane increases from $S$ to $S+\Delta S(\sigma_{1} \geqslant \sigma_{2} \geqslant \sigma_{3} )$

现有的压缩试验实际已经发现了这种现象, 例如在常规三轴压缩条件下, 岩石的脆性破坏实际是一个微裂纹沿$\sigma_{1}$方向萌生、扩展和聚结的过程, 尤其是$\sigma_{2} (\sigma_{3})$的值相对较小时, 可以观察到侧向宏观扩张破坏^{[1, 22]}, 如图2所示.

图2

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图2泥质石英岩试件的应力-应变曲线及在试件上所观察的微裂纹^{[1, 22]}

Fig.2Stress-strain curve of argillaceous quartzite specimens and cartoons of the state of microcracking observed on specimens^{[1, 22]}

由图2可以看出: 全应力-应变曲线可分为4个区域. 在$AB$区域, 出现了一些可见的微裂纹, 这些微裂纹基本平行于$\sigma_{1}$方向(在$\pm$10$^{\circ}$范围内). 在$BC$区域的末端, 微裂纹开始沿着一个平面聚结, 在破坏点$C$, 形成一个宏观断裂"平面". 最后, 在$CD$区域, 断裂面延伸到整个试样. 文献[23]也认为岩石的破坏发展过程与微裂纹、空隙的变形有关, 在应力不断增大的情形下, 空穴的联通, 裂纹的数量增加, 裂隙的合并、交叉, 逐渐形成沿$\sigma_{1}$方向的宏观裂纹. 过去常见的锥形体破坏实际上也是侧向宏观扩张引起的破坏, 之所以见到的是锥形体破坏形态, 是由试件端部的摩擦效应引起的, 加载装置限制了试件端部向外的自由变形^[24].

以剪切破坏为机理的强度准则很难反映上述这种侧向宏观扩张破坏^[25], 而本文提出的强度准则正是基于这种情形. 处于三向拉应力状态下的岩石试件更容易产生拉应变, 所产生的$\varepsilon_{1}+\varepsilon_{2}$更大, 岩石更容易破坏, 所以利用$\varepsilon_{1}+\varepsilon_{2}$建立压拉应力状态下的强度准则是合情合理的.

本文仍规定3个主应力$\sigma_{1}$, $\sigma_{2}$和$\sigma_{3}$都以压为正, 以拉为负, 而3个主应变$\varepsilon_{1}$, $\varepsilon_{2}$, $\varepsilon_{3}$以伸长为正. 这样, 对于任意的应力状态, 显然有以下结论: $\varepsilon_{1}$一定沿$\sigma _{3}$方向, $\varepsilon_{2}$一定沿$\sigma_{2}$方向, 如图1所示. $\sigma _{1}$主平面的面积增长率比$\sigma_{2}$主平面和$\sigma_{3}$主平面的面积增长率都大, 即$\sigma_{1}$主平面的面积增长率最大.

用主应变分量表示的强度准则为

(1)$\varepsilon_{1} +\varepsilon_{2} =\varepsilon_u$

文献[21]在建立强度准则时, 事先主观假定了$\varepsilon_u$的大小, 认为$\varepsilon_u =2\varepsilon_s$ ($\varepsilon_s$为单轴拉伸时的屈服应变), 本文无需采用这个假定, 而是通过单向受拉或单向受压的极限破坏状态来确定$\varepsilon _u$的大小, 这个方法比文献[21]更为严谨. 且由后面的推导可知, 对于三向压应力状态, 本文所得到的强度准则与文献[21]是完全相同的.

本文在推导强度准则时, 假定岩石为各向同性的材料, 且在拉伸和压缩时具有不同的弹性参数和强度. 在岩石为脆性破坏的前提下, 可认为岩石在破坏前为线弹性材料, 即在破坏的极限状态, 所对应的应力和应变满足广义胡克定律.

岩石在拉伸和压缩时具有不同的弹性参数, 这已经被很多试验所证实^[26-32]. 试验结果表明: 压缩弹性模量$E_c$大于拉伸弹性模量$E_t$; 压缩泊松比$\mu_c$也大于拉伸泊松比$\mu_t$, $\mu_t$一般在0.05 $\sim$ 0.2之间, 大部分岩石的$\mu_t$位于0.05 $\sim$ 0.1区间, 岩石拉压弹性参数可近似满足以下关系^[33]

(2)$\frac{\mu_c }{E_c }=\frac{\mu_t }{E_t }$

对于$\sigma_{1} =\sigma_{2} =0$, $\sigma_{3} =-\sigma_t$时的单向受拉极限破坏状态, 由广义胡克定律可得

(3)$\varepsilon_{1} +\varepsilon_{2} =\frac{1}{E_t }\sigma _t -\frac{\mu_t }{E_t }\sigma_t =\frac{1-\mu_t }{E_t }\sigma_t =\varepsilon _u$

式中$\sigma_t$为岩石的单轴抗拉强度. 而对于$\sigma_{1} =\sigma_c$, $\sigma_{2} =\sigma_{3} =0$时的单向受压极限破坏状态, 由广义胡克定律可得

(4)$\varepsilon_{1} +\varepsilon_{2} =\frac{\mu_c }{E_c }\sigma_c +\frac{\mu_c }{E_c }\sigma _c =\frac{2\mu_c }{E_c }\sigma_c =\varepsilon_u$

式中$\sigma_c$为岩石的单轴抗压强度. 式(3)和式(4)给出了$\varepsilon_u$的计算式, 它与文献[21]是不同的, 由式(2) $\sim\!$式(4)可得到

(5)$\sigma_t =\frac{2\mu_t }{1-\mu_t }\sigma _c$

当$\mu_t$位于0.05 $\sim$ 0.1区间时, $\sigma_c=(9.5\sim4.5)\sigma_t$. 即$\sigma_c$远大于$\sigma_t$, 式(5)可能为间接确定岩石的单轴抗拉强度提供了一条途径.

2 不同应力状态下的强度准则

2.1 $\sigma_{3} \leqslant \sigma_{2} \leqslant \sigma_{1} \leqslant 0$的情形

当$\sigma_{3} \leqslant \sigma_{2} \leqslant \sigma_{1} \leqslant 0$时, 有

(6)$\varepsilon_{1} =\frac{1}{E_t }\left[ {-\sigma_{3} +\mu_t \left( {\sigma_{1} +\sigma_{2} } \right)} \right]$

(7)$\varepsilon_{2} =\frac{1}{E_t }\left[ {-\sigma_{2} +\mu_t \left( {\sigma_{1} +\sigma_{3} } \right)} \right]$

将式(6)和式(7)代入式(1), 并利用式(5)可得$\sigma_{3} \leqslant \sigma_{2} \leqslant \sigma_{1} \leqslant 0$时的强度准则

(8)$\sigma_{1} =\sigma_c+\frac{1-\mu_t }{2\mu_t }\left( {\sigma_{2} +\sigma_{3} } \right)$

对于三向等拉状态 (本文称静水拉力状态), $\sigma_{1} =\sigma_{2} =\sigma_{3} =-\sigma_t^{0}$ $(\sigma_t^{0} >0)$, 代入式(8)并利用式(5), 可得岩石产生破坏时所需要的静水拉力$\sigma_t^{0}$为

(9)$\sigma_t^{0} =\frac{1-\mu_t }{2(1-2\mu_t )}\sigma_t >0$

由此可知, 存在会使岩石达到破坏的静水拉力$\sigma_t^{0}$, 这说明本文提出的强度准则与静水拉力有关, 即静水拉力会影响破坏, 这与过去的认知是相同的.

2.2 $\sigma_{1} \geqslant 0$, $\sigma_{3} \leqslant \sigma_{2} \leqslant 0$的情形

当$\sigma_{1} \geqslant 0$, $\sigma_{3} \leqslant \sigma_{2} \leqslant 0$时, 有

(10)$\varepsilon_{1} =-\frac{\sigma_{3} }{E_t }+\frac{\mu_c \sigma_{1} }{E_c }+\frac{\mu_t \sigma_{2}}{E_t }$

(11)$\varepsilon_{2} =-\frac{\sigma_{2} }{E_t }+\frac{\mu_c \sigma_{1} }{E_c }+\frac{\mu_t \sigma_{3} }{E_t }$

将式(10)和式(11)代入式(1), 并利用式(5)可得$\sigma_{1} \geqslant 0$, $\sigma_{3} \leqslant \sigma_{2} \leqslant 0$时的强度准则

(12)$\sigma_{1} =\sigma_c +\frac{1-\mu_t }{2\mu_t }\left( {\sigma_{2} +\sigma _{3} } \right)$

式(12)与式(8)完全相同. 这说明只要$\sigma_{2}$, $\sigma_{3}$为拉应力, 无论$\sigma_{1}$为压应力还是拉应力, 所获得的强度准则都是一样的.

2.3 $\sigma_{1} \geqslant \sigma_{2} \geqslant 0$, $\sigma_{3} \leqslant 0$的情形

当$\sigma_{1} \geqslant \sigma_{2} \geqslant 0$, $\sigma_{3} \leqslant 0$时, 有

(13)$\varepsilon_{1} =-\frac{\sigma_{3} }{E_t }+\frac{\mu_c \sigma_{1} }{E_c }+\frac{\mu_c \sigma_{2} }{E_c }$

(14)$\varepsilon_{2} =-\frac{\sigma_{2} }{E_c }+\frac{\mu_c \sigma_{1} }{E_c }+\frac{\mu_t \sigma_{3} }{E_t }$

将式(13)和式(14)代入式(1), 并利用式(5)可得$\sigma_{1} \geqslant \sigma_{2} \geqslant 0$, $\sigma_{3} \leqslant 0$时的强度准则

(15)$\sigma_{1} =\sigma_c +\frac{1-\mu_c }{2\mu_c }\sigma_{2} +\frac{1-\mu_t }{2\mu_t }\sigma_{3}$

2.4 $\sigma_{1} \geqslant \sigma_{2} \geqslant \sigma_{3} \geqslant 0$时的情形

这种情形已经在文献[21]中讨论过, 现基于新的$\varepsilon_u$来推导强度准则, 此时

(16)$\varepsilon_{1} =-\frac{\sigma_{3} }{E_c }+\frac{\mu_c\sigma_{2} }{E_c }+\frac{\mu_c \sigma_{1}}{E_c }$

(17)$\varepsilon_{2} =-\frac{\sigma_{2} }{E_c }+\frac{\mu_c \sigma_{1} }{E_c }+\frac{\mu_c \sigma_{3} }{E_c }$

将式(16)和式(17)代入式(1), 并利用式(5)可得$\sigma_{1} \geqslant \sigma_{2} \geqslant \sigma_{3} \geqslant 0$时的强度准则

(18)$\sigma_{1} =\sigma_c +\frac{1-\mu_c }{2\mu_c }\left( {\sigma_{2} +\sigma _{3} } \right)$

式(18)与文献[21]所获得的结果是相同的. 式(18)与式(8), 式(12)的函数形式完全相同, 将式(18)中的$\mu_c$换为$\mu_t$即可获得式(8)或式(12).

由于在$\sigma_1=\sigma_2=\sigma_3>0$的静水压力作用下, $\varepsilon_1=\varepsilon_2$都为压应变, 所以$\sigma_1$主平面的面积增长率是负值, 即$\sigma_1$主平面的面积是减小的, 按照本文的准则, 此时岩石不会产生破坏, 这与过去的认知是相同的. 实际上通过式(18)也可证明此结论.

当$\mu_c=\mu_t=\mu$时, 不同应力状态下的强度准则式(8)、式(12)、式(15)、式(18)都变为同一个式子

(19)$\sigma_{1}=\sigma_c+\frac{1-\mu}{2 \mu}\left(\sigma_{2}+\sigma_{3}\right)$

3 强度准则的讨论

3.1 屈服曲面和屈服曲线

当$\mu_c=\mu_t=\mu$时, 适用于全部应力状态的强度准则可由同一个表达式(19)表示, 这样通过式(19)可以在主应力空间描绘一个完整的屈服曲面. 如图3所示, 屈服曲面为一正三棱锥的锥面, 棱锥的顶点坐标为$\left(-\sigma_t, -\sigma_t, -\sigma_t\right)$.

图3

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图3在主应力空间所描绘的屈服曲面

Fig.3Yield surface described in principal stress space

当$\mu_c \neq \mu_t$时, 式(8)、式(12)和式(18)表示的强度准则与式(19)在形式上完全相同, 所以式(8)、式(12)和式(18)所描绘的屈服曲面形状也是正三棱锥的锥面. 又因对应于2.1节和2.2节这两种应力状态的式(8)和式(12)完全相同, 所以这两种应力状态对应于棱锥顶点附近的锥面, 其中棱锥顶点对应于三向等拉应力状态. 对应2.4节应力状态的式(18), 所描绘的是与前面不同的正三棱锥的锥面, 且屈服曲面不能包含棱锥顶点的锥面. 而对于2.3节这种应力状态, 所给出的强度准则表达式(15)与式(19)完全不同, 所以在应力空间描绘的屈服曲面并非为正三棱锥的锥面.

本文在与$\pi$平面平行的$\pi'$平面内讨论屈服曲线, $\pi'$平面与3个坐标轴$\sigma_1$, $\sigma_2$, $\sigma_3$的截距都为 $\sigma_c$, 如图4所示. 所表示的平面方程为

(20)$\sigma_{1}+\sigma_{2}+\sigma_{3}=\sigma_c$

图4

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图4$\pi'$平面上的屈服曲线^[21]

Fig.4Yield curves on $\pi'$-plane^[21]

可以证明在$\pi'$平面, 式(19)相应的屈服曲线为3条直线^[21]. 这些直线组成了一个边长为$\sqrt{2} \sigma_c$的正三角形, 如图4所示. 三角形的边长只与$\sigma_c$有关, 而与$\mu$无关. 这个正三角形实际上是屈服曲面 (图3) 与$\pi'$平面的交线.

3.2 与常用屈服准则的比较

本文拟将本文准则与常用的Mohr-Coulomb (M-C) 准则和Drucker-Prager (D-P) 准则进行比较, M-C准则由式(21)给出给出

(21)$\sigma_{1} =\frac{1+\sin \varphi }{1-\sin \varphi }\sigma_{3} +\frac{2c\cos \varphi }{1-\sin \varphi }= \frac{1+\sin \varphi }{1-\sin \varphi }\sigma_{3} +\sigma_c$

式中, $c$, $\varphi $分别是岩石的内聚力和内摩擦角. 下面都以压应力状态为例, 来讨论这些准则.

根据塑性力学中相关联的流动法则, 由式(21)和式(18)可求出M-C和本文准则的塑性体积应变增量$d\varepsilon _v^p$, 且d$\varepsilon_v^p$可以写为简单的表达式, 而D-P准则的d$\varepsilon_v^p$较复杂, 且与主应力$\sigma_{1}$, $\sigma_{2}$, $\sigma_{3}$有关, 在此只比较前两种准则的d$\varepsilon_v^p$.

对M-C准则

(22)$d\varepsilon_v1^p =-\frac{2\sin \varphi d\lambda }{1-\sin \varphi }$

对本文准则

(23)$d\varepsilon_v2^p =-\frac{(1-2\mu_c )d\lambda }{\mu_c }$

因$d\lambda >0$, $0\leqslant \mu_c \leqslant 0.5$, $0\leqslant \sin \varphi \leqslant 1$, 所以有: d$\varepsilon_v1^p <0$, d$\varepsilon _v2^p <0$. 因规定压应力为正, 所以当塑性体积应变增量为负值时, 就表明塑性体积应变是增大的, 这与岩石压缩破坏时所出现的扩容现象是一致的.

但两种准则所反映的塑性体积应变增量是不同的, 表1给出了不同参数下的塑性体积应变增量. 当内摩擦角$\varphi $较大时, 由M-C准则计算的d$\varepsilon_v1^p$的值与试验结果相比偏大^[34-35], 所以一般采用非关联的流动法则来解决这个问题, 用剪胀角$\varPsi$代替$\varphi $, 但这样的$\varPsi$并没有明显的物理含义^[36], 或者直接通过减小$\varphi$的措施, 但这样有很大的主观性.

Table 1
表1
表1两种准则在不同参数下的塑性体积应变增量
Table 1Plastic volume strain increment of two criteria under different parameters

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由表1看出: 本文的准则计算所得的$|d\varepsilon_v2^p|$比$|d\varepsilon_v1^p|$小, 尤其是当$\varphi $较大 (50$^\circ$, 60$^\circ$)时, $|d\varepsilon_v2^p|$比$|d\varepsilon_v1^p|$小很多, 只有当$\mu_c$很小(0.1)时, $|d\varepsilon_v2^p|$才较大. 由此可知: 本文准则计算的塑性体积应变增量小于M-C准则计算的塑性体积应变增量. 实际上由试验结果获得的体积应变增量也是小于M-C准则计算的塑性体积应变增量, 由此可以推断本文准则能够比M-C准则更好地反映岩石的扩容现象.

M-C准则在$\pi'$平面上的屈服曲线如图5所示, 图中也给出了D-P准则和本文准则的结果, M-C准则和D-P准则在$\pi'$平面上的屈服曲线分别是六角形和圆形. 假定3条曲线在单轴压缩点相互重合, 则本文准则所对应的屈服曲线包围了D-P曲线和M-C曲线, D-P曲线又包围了M-C曲线, 这反映出M-C准则最保守, D-P准则次之, 而本文准则最不保守.

图5

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图5不同准则在$\pi '$平面的屈服曲线^[21]

Fig.5Yield curves of different criteria on $\pi '$-plane^[21]

为什么M-C准则最保守呢? 这主要是因为它没有考虑中间主应力$\sigma_{2}$对岩石强度的影响. 从本文建立的强度准则式(18)可知, $\sigma_{2}$对岩石强度 (指$\sigma_{1}$的值) 的影响很大, 而且中间主应力$\sigma_{2}$对强度的影响与最小主应力$\sigma_{3}$完全等同, 这与双剪强度理论是一致的^[7-8]. 实际上很多****通过大量的真三轴试验, 也揭示了$\sigma_{1}$随$\sigma_{2}$增大而提高的规律, 都认为在考虑中间主应力$\sigma_{2}$作用后, 结构具有更大的承载能力^[37].

4 强度准则的试验验证

对于前面2.1节和2.3节所讨论的应力状态, 目前尚未见到相应的试验数据; 而对于2.2节所讨论的二向受拉一向受压应力状态的试验数据也很少, 只有Brace于1964年给出了一些岩石处于二向等拉一向受压($\sigma_{1} \geqslant 0$, $\sigma_{2} =\sigma_{3} <0)$的试验数据^[38]; 而2.4节所讨论的三向受压应力状态的试验数据较多, 尤其是常规三轴状态($\sigma_{1} \geqslant \sigma_{2} =\sigma_{3} \geqslant 0)$ 的试验数据很多. 由于在文献[38]中Brace也给出了常规三轴状态下的试验数据, 所以下面首先利用Brace的试验结果验证2.2节和2.4节提出的强度准则.

以往在进行强度试验时, 大都关心的是给定$\sigma_{2}$, $\sigma_{3}$后, 当$\sigma_{1}$达到多少值时, 试件发生破坏, 很少在试验中也测定岩石的$\mu_c$和$\mu_t$, 所以下面在利用Brace试验结果验证强度准则时, 都是利用试验所得的数据($\sigma_{1i}$, $\sigma_{2i}$, $\sigma_{3i})$ $(i=1$, 2, $\cdots $, $n)$, 来计算岩石的泊松比和单轴抗压强度. 若求得的泊松比$\mu_c^{\ast } (\mu_t^{\ast })$处于岩石的正常取值范围之内, 且求得的单轴抗压强度$\sigma_c^{\ast }$与实际的单轴抗压强度$\sigma_c$相近, 那么可以间接说明所提出的强度准则是合适的.

本文在利用试验数据求解泊松比、抗压强度时, 应将2.2节和2.4节这两种应力状态分开单独讨论. 对于二向等拉一向受压状态, 应采用强度准则(12). 而对于受压的常规三轴状态应采用强度准则(18).

对于二向等拉一向受压状态, 通过最小二乘法获得式(12)的拉伸泊松比和单轴抗压强度的最优拟合值$\mu _t^{\ast }$和$\sigma_c1^{\ast }$为

(24)$\mu_t^{\ast } =\left[{\sum\limits_{i=1}^n {\alpha_{3i}^{2} } -\frac{1}{n}\left( {\sum\limits_{i=1}^n {\alpha_{i} } } \right)^{2}} \right]\Bigg/ \left[\sum\limits_{i=1}^n {\sigma_{1i} \alpha_{i} } - \\ \frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^n {\sigma_{1i} } \sum\limits_{i=1}^n {\alpha _{i} +\sum\limits_{i=1}^n {\alpha_{i}^{2} } -\frac{1}{n}\left( {\sum\limits_{i=1}^n {\alpha_{i} } } \right)^{2}} \right]$

(25)$\sigma_c1^{\ast } =\frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^n {\sigma_{1i} } -\frac{1-\mu_t^{\ast } }{n\mu_t^{\ast } }\sum\limits_{i=1}^n {\alpha_{i} }$

式中$\alpha_{i} ={{(\sigma_{2i} +\sigma_{3i} )}/2}$.

以后凡是出现上角标*的变量都表示是拟合值, 而不是实测值.

当给定$\sigma_{2}$, $\sigma_{3}$时, 由下式可以求出$\hat{{\sigma }}_{1}$

(26)$\hat{{\sigma }}_{1} =\sigma_c1^{\ast } +\frac{1-\mu _t^{\ast } }{2\mu_t^{\ast } }\left( {\sigma_{2} +\sigma _{3} } \right)$

$\hat{{\sigma }}_{1}$是理论计算结果, 也称为估计值. 可以用式(27)给出的拟合优度$R_t^{2}$表征$\hat{{\sigma }}_{1}$与实测的$\sigma_{1}$的吻合程度

(27)$R_t^{2} =1-\frac{ \sum\limits_{i=1}^n {\left( {\sigma_{1i} -\hat{{\sigma }}_{1i} } \right)^{2}} }{ \sum\limits_{i=1}^n {\left( {\sigma _{1i} -\bar{{\sigma }}_{1} } \right)^{2}} }$

式中$\hat{{\sigma }}_{1i}$由式(26)确定, $\bar{{\sigma }}_{1} =\sum\limits_{i=1}^n {\sigma_{1i} }/{n}$.

而对于受压的常规三轴状态, 通过最小二乘法可获得式(19)的压缩泊松比和单轴抗压强度的最优拟合值$\mu_c^{\ast }$, $\sigma_c2^{\ast }$, 以及此时的拟合优度$R_c^{2}$. 式(24) $\sim\!$式(27)此时仍然可以使用, 只需将式(24) $\sim\!$式(27)中的$\mu_t^{\ast }$, $\sigma_c1^{\ast }$, $R_t^{2}$分别换为$\mu_c^{\ast }$, $\sigma_c2^{\ast }$及$R_c^{2}$即可.

如果$R_t^{2}$, $R_c^{2}$的值越接近于1, 表示求出的$\hat{{\sigma }}_{1}$与实测的$\sigma_{1}$吻合得越好. 所以若$R_t^{2}$, $R_c^{2}$的值接近于1, 且求得的$\mu_t^{\ast }$, $\mu_c^{\ast }$也在岩石的正常取值范围内, 则可以认为提出的强度准则是适用的.

图6 $\sim\!$图9给出了白云岩、辉绿岩、花岗岩和石英岩这4种岩石的计算结果.

图6

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图6白云岩试验结果和理论计算结果的比较

Fig.6Comparison of test results and theoretical calculation results for dolomite

图7

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图7辉绿岩试验结果和理论计算结果的比较

Fig.7Comparison of test results and theoretical calculation results for diabase

图8

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图8花岗岩试验结果和理论计算结果的比较

Fig.8Comparison of test results and theoretical calculation results for granite

图9

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图9石英岩试验结果和理论计算结果的比较

Fig.9Comparison of test results and theoretical calculation results for quartzite

由图6 $\sim\!$图9可以看出: 4种岩石的$\mu_t^{\ast }$分别为0.06, 0.09, 0.10, 0.08, 而$\mu_c^{\ast }$分别为0.25, 0.17, 0.11, 0.09, 4种岩石的$\mu_c^{\ast }$都大于$\mu_t^{\ast }$. 4种岩石的$R_t^{2}$分别为0.954 1, 0.933 6, 0.937 9, 0.944 0, 平均为0.942 4, 而$R_c^{2}$分别为0.990 5, 0.997 6, 0.998 6, 0.997 0, 平均为0.997 1.4种岩石的$R_c^{2}$都大于$R_t^{2}$, 这可能是由于岩石三向受压状态所对应的$\sigma_{1i}$远大于拉压状态对应的$\sigma_{1i}$, 这通过式(27)可以做出合理的解释.

由两类试验获得的岩石抗压强度是不同的, 对于4种岩石的二向等拉一向受压状态, 所求的$\sigma_c1^{\ast }$与实测的$\sigma_c$的相对误差$\Delta _t$分别为: 7.5%, 3.6%, 3.3%, 3.4%, 平均为4.5%; 对于4种岩石的三向受压状态, 所求的$\sigma_c2^{\ast }$与实测的$\sigma_c$的相对误差$\Delta _c$分别为: 11.2%, 7.8%, 5.2%, 7.3%, 平均为7.9%.

由$R_t^{2}$, $R_c^{2}$, $\Delta _t$, $\Delta _c$的值可以看出, 4种岩石的理论计算结果与试验结果吻合得都比较好. 所求得的泊松比$\mu_t^{\ast }$位于0.06 $\sim$ 0.10之间, $\mu_c^{\ast }$位于0.11 $\sim$ 0.25之间, 也都落在岩石的取值范围之内^[39]. 这说明本文提出的强度准则适用于有拉有压的复杂应力状态.

文献[38]中也给出了更为简单的受力状态下的试验结果. 试验仅有一组双向等拉试验($\sigma_{2} =\sigma_{3} <0$, $\sigma_{1}=0)$, 其他都为三向压缩试验. 由双轴拉伸和单轴压缩二组试验数据, 利用式(12)可以求得$\mu_t$和$\sigma_c$, 对于三向压缩试验可以利用式(18)求得$\mu_c^{\ast }$, $\sigma_c^{\ast }$, $R_c^{2}$, $\Delta _c$, 如表2所示.

Table 2
表2
表2岩石双向等拉下的$\mu_t$及三向压缩下的$\mu_c^{\ast }$, $\sigma_c^{\ast }$, $R_c^{2}$, $\Delta _c$
Table 2$\mu_t$ of rocks under biaxial equal tension and $\mu_c^{\ast }$, $\sigma_c^{\ast }$, $R_c^{2}$, $\Delta _c$ of rocks under three-dimensional compression

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由表2可以看出: 17组岩石的$\mu_t$都位于0.05 $\sim$ 0.13之间, 平均为0.08; 而17组岩石的$\mu_c$除1组为0.41外, 其他大都位于0.07 $\sim$ 0.3之间, 平均为0.20.除了Copper cliff 矿的石英闪长岩$\mu_t =\mu_c$外, 其他岩石都有$\mu_t <\mu_c$.

所求的$R_c^{2}$平均为0.973 7, $\sigma_c$ 的平均相对误差为5.5%. 所求得的泊松比$\mu_t$和$\mu_c^{\ast }$也都落在岩石的取值范围之内^[39].

即Betourney和Borecki^[38]的试验结果同样验证了强度准则的适用性.

5 强度准则的应用

通过巴西圆盘劈裂试验 (图10)间接获得的岩石单轴抗拉强度是否能完全代替单轴拉伸试验直接获得的单轴拉强度呢? 换句话说, 两种方法获得的单轴抗拉强度是否相同? 陶纪南^[40]于1995年通过大量的试验结果阐明: 劈裂法不能真实地反映岩石的抗拉强度, 对于硬岩, 劈裂法一般偏低; 对于软岩或层状岩石, 劈裂法则偏高. 这个规律可以通过本文提出的准则做出很好的解释.

图10

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图10巴西圆盘劈裂试验简图

Fig.10Diagram of Brazilian disc splitting test

劈裂法试验与单轴拉伸试验相比, 其试件的受力状态稍为复杂一些, 前者为压拉应力状态, 后者为单向受拉状态. 以往在利用劈裂法确定岩石单轴抗拉强度时, 认为圆盘中心沿$x$方向的拉应力$\sigma _{x}$达到岩石的单轴抗拉强度$\sigma_t^{\ast }$时, 圆盘将从圆盘中心开始产生沿作用力$P$方向的劈裂破坏. 下面将用建立的强度准则(12)证明所求得的$\sigma_t^{\ast }$比真实的单轴抗拉强度$\sigma_t$小.

实际上圆盘中心的破坏是在$\sigma_{x}$和$\sigma_{y}$ $(\sigma_{y}=-3\sigma_{x} )$的共同作用下产生的, 因$\sigma_{x}$和$\sigma_{y}$都为主应力, 所以对应于破坏状态的应力状态为: $\sigma_{1} =3\sigma_t^{\ast }$, $\sigma_{2} =0$, $\sigma_{3} =-\sigma_t^{\ast }$, 代入式(12), 并利用式(5)可得

(28)$\sigma_t^{\ast } =\frac{1-\mu_t }{1+5\mu_t }\sigma_t$

因$0\leqslant \mu_t \leqslant 0.5$, 所以通过劈裂法获得的$\sigma_t^{\ast }$比实际岩石的单轴抗拉强度$\sigma_t$小. 当$\mu_t =0.05$时, ${{\sigma_t^{\ast }}/{\sigma_t }}=0.76$; $\mu_t =0.1$时, ${{\sigma_t^{\ast } }/{\sigma_t }}=0.6$. 所以直接将$\sigma_t^{\ast }$作为单轴抗拉强度时比实际的单轴抗拉强度$\sigma_t$偏低, 当$\mu_t=0.05$时, 可偏低24%, 当$\mu_t =0.1$时, 可偏低40%.

而对于软岩, 劈裂法获得的$\sigma_t^{\ast }$为什么又偏高呢? 这主要是因为劈裂法中的$\sigma_t^{\ast }$计算公式(29)是基于外载荷$P$为一集中力线的前提下获得的 (图10(a)).

(29)$\sigma_t^{\ast } =\frac{2P_{\max } }{\pi dt}$

式中$P_{\max }$是岩石试件从圆盘中心拉开时的最大破坏载荷, $d$和$t$是圆盘的直径和厚度.

实际上, 在试验过程中难以保证外载荷$P$作用于一条直线上, 对于软岩更是如此. 为了防止试件的破坏始于集中力作用处, ISRM建议通过图10(b)所求的弧板模具对圆盘加压, 这时的外载荷$P$不是作用于一条直线上, 而是作用在圆盘环向一定的范围之内, 随着载荷不断增大, 这个加载范围将不断增大, 对于软岩加载范围增大得会更为明显. 但如果仍按式(29)计算圆盘中心拉开时的应力, 那么这必将造成误差.

设弧板与圆盘之间的接触角度为2$\alpha$, 文献[41]获得了圆盘中心沿$x$方向的拉应力${\sigma }'_t$为

(30)${\sigma }'_t =\frac{2P_{\max } \cos^{3}\alpha }{\pi dt}=\cos ^{3}\alpha \sigma_t^{\ast }$

由式(29)和式(30)可以看出, ${\sigma }'_t <\sigma_t^{\ast }$岩石越软, $\alpha $越大, ${\sigma }'_t$越小, 岩石越不容易破坏, 即接触角越大, 使岩石破坏的$P_{\max }$必须越大, 将此时的$P_{\max }$代入不考虑接触角时的式(29), 计算的$\sigma_t^{\ast }$肯定偏大. 即使考虑了压应力对强度的减小作用, 获得的软岩抗拉强度$\sigma_t$仍有可能偏大. 接触角度对强度的影响也可以从文献[42]的试验结果看出, 对于图10的两种加载方式, 都用式(29)计算$\sigma _t^{\ast }$时, 两者相差2倍左右.

6 结论

本文通过主平面的最大面积增长率, 建立了脆性岩石4种应力状态下的强度准则, 所获得的强度准则具有3个形式类似的数学表达式. 用主应力$\sigma_{1}$, $\sigma_{2}$, $\sigma_{3}$表示的强度准则都是线性方程, 强度准则中只含有泊松比($\mu_c$, $\mu_t $) 和单轴抗压强度$\sigma_c$两个或3个参数.

通过三向受压状态和拉压应力状态的试验数据验证了这类准则的适用性. 由强度准则计算的单轴抗压强度理论值与实测值之间的平均相对误差为6%左右, 所获得的泊松比也都落在岩石的正常取值范围之内.

所建立的强度准则可以反映中间主应力$\sigma_{2}$对强度的影响, 对于三向受拉和三向受压状态, 中间主应力$\sigma_{2}$对强度的影响与最小主应力$\sigma_{3}$完全等同. 建立的强度准则还可以反映静水应力状态对强度的影响规律.

利用所提出的强度准则, 在理论上证明了通过圆盘劈裂法传统计算公式不能正确计算岩石的实际抗拉强度. 对于硬岩, 传统公式的计算结果比实际的单轴抗拉强度低, 当拉伸泊松比为0.05 $\sim$ 0.1时, 偏低24%$\sim $40%.

对于压应力状态, 如果中间和最小主应力 ($\sigma_{2}$, $\sigma_{3} $)很大, 那么本文的强度准则可能是不适用的, 这是因为本文的准则是基于岩石破坏前为线弹性的前提下获得的, 而当$\sigma_{1}$, $\sigma_{2}$和$\sigma_{3}$都很大时, 岩石破坏前进入了塑性状态, 此时岩石的破坏为延性破坏, 不满足线弹性的假设条件.

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