, 李佳NUMERICAL INVERSITAGION OF MODE EXCHANGE IN HYPERSONIC BOUNDARY LAYERS
GaoJun, LiJia中图分类号:O357.4
文献标识码:A
收稿日期:2018-08-7
接受日期:2018-08-7
网络出版日期:2018-11-18
版权声明:2018力学学报期刊社力学学报期刊社 所有
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引 言
在航空航天领域,从民用客机的发展到高超声速飞行器的研制,转捩控制及预测越来越受到重视[1-4].准确的预测转捩位置对飞行器的设计具有很重要的指导意义.在过去的几十年中,人们对转捩机理做了大量的研究,并将转捩过程分为三个阶段.第一个阶段为感受性阶段;第二个阶段为边界层内的不稳定波的增长阶段;第三个阶段为转捩阶段[5-12].解决转捩问题,最初是以研究流动稳定性问题的形式出现的.人们猜测转捩是由层流中扰动失稳引起的[13-14].因此研究层流中扰动的稳定性,成为解决转捩问题的一种手段.林家翘[15]在可压缩边界层中提出广义拐点,线性稳定性理论的研究已经基本成熟.Mack[16]在超声速边界层中提出了多重模态不稳定性完善了线性稳定性理论.他发现超声速边界层中存在多个不稳定模态,这些模态被称为第二模态及其他更高阶模态,与不可压缩边界层中T-S波对应的模态称为第一模态.在马赫数较大时,第二模态是最不稳定的模态,第一模态和第二模态是导致转捩的两个主要模态.流动稳定性理论解决了扰动的演化问题,但转捩预测还需要知道扰动的初始幅值.感受性过程作为转捩过程的第一个阶段,决定了引起转捩的不稳定波的初始条件,包括频率、幅值和相位.因此,要从科学意义上研究清楚转捩过程,预测准转捩位置,边界层的感受性是关键的一个环节.
在不可压缩及亚声速边界层中只有第一模态波,其色散关系与自由流中扰动的相差较大.Golds- tein[17-19],Ruban[20]用渐进分析的方法解释了波长较长的声波如何产生波长较短的T-S波的过程,即"尺度转换"."尺度转换"的概念认为由于基本流的局部突变可以改变外来扰动的波长尺度,将外来扰动的波长尺度转换为边界层中不稳定波的波长尺度,实现外部扰动激发边界层中不稳定波.在超声速边界层中,由于存在多个不稳定模态,不同的模态之间可能相互转化,有些模态的相速度接近于来流速度或来流中声波的传播速度[21-23]. 因此超声速边界层的感受性研究起来就比较困难.Fedorov和Khokhlov[24-26]意识到自由流中声波的特征尺度和边界层中特征模态波的特征尺度相近,声波和这些特征模态波之间不需要经过尺度转换就会有强烈的相互作用.他们提出了"同步"的概念来解释高超声速边界层中的感受性过程.由此他们解释了边界层中第一模态的由来.在前缘,慢声波与慢模态同步,从而激发出慢模态,慢模态向下游演化为增长的第一模态.Guschin和Fedorov[27]在做无黏稳定性分析时发现,第二模态波产生在两支离散模态同步的地方.Ma和Zhong[28-30]的数值结果发现快声波在平板前缘首先激发快模态,然后再激发第二模态波.Fedorov和Khokhlov [24-26]指出非平行性对模态转化起了很重要的作用,平均流沿流向的缓慢变化使不同模态的耦合在一起.Fedorov和Khokhlov [24-26]提出多模态的方法来描述边界层中模态的转化.他们给出了在同步点附近的模型方程.
本文采用线性稳定性理论和数值模拟的方法研究了快模态和慢模态在边界层中的模态转化情况.
1 控制方程
1.1 稳定性方程
考虑可压缩平板边界层,坐标$x^\ast ,y^\ast ,z^\ast$分别表示流动的流向、法向和展向. 以距离平板前缘$x_0^\ast$处边界层的排移厚度$\delta ^\ast $作为特征长度;以无穷远处的$\rho_\infty ^\ast ,U_\infty ^\ast ,T_\infty ^\ast ,\rho _\infty ^\ast U_\infty ^{\ast 2} ,\mu _\infty ^\ast$,分别对密度、速度、温度、压力和黏性系数进行无量纲化.无量纲的频率$F$可以表示为\begin{equation}\label{eq1} F = \frac{\omega ^\ast \mu _\infty ^\ast }{\rho_\infty ^\ast u_\infty ^{\ast 2} }\tag{1}\end{equation}
其中,$\omega ^\ast $为频率.
瞬时流动可表示为基本流和小扰动的和的形式,即
\begin{equation}\label{eq2} \phi = \phi _0 + { \phi }'\tag{2}\end{equation}
其中,$ \phi \mbox{ = }\left( {\rho ,u,v,w,T} \right)^{\rm T}$为瞬时量,$ \phi _0 $为定常量,${ \phi }'$为扰动量.
考虑到黏性系数和热传导系数为温度的函数,在小扰动假设下,黏性系数$\mu$和热传导系数$\kappa$为温度的函数$T$,它们的扰动量可用泰勒级数展开的一阶项表示,即
$${\mu }' = \mu _{ T} {T}', {\kappa }' = \kappa_{ T} {T}' {3}$$
其中下标"T"表示微分算子d/dT将瞬时流动满足的方程减去基本流满足的方程,并略去扰动的二阶及其以上高阶项,可以得到线性扰动方程.用算子L表示线性扰动方程为
$${\rm L}{ \phi }' = 0 (4)$$
设扰动为行进波的形式
\begin{equation}\label{eq5} {\phi }' = \hat { \phi }\left( y \right){\rm e}^{{\rm i}\left( {\alpha x + \beta z - \omega t} \right)}\tag{5}\end{equation}
其中$\alpha $,$\beta $,$\omega $分别为流向波数、展向波数及频率.将扰动量代入线性扰动方程,得到线性稳定性方程[31],即
\begin{equation}\label{eq6} \left( {\frac{{\rm d}}{{\rm d}y} A\frac{{\rm d}}{{\rm d}y} + \frac{{\rm d}}{{\rm d}y} B + C}\right) \phi = 0\tag{6}\end{equation}
其中,$ A, B, C$为$5\times 5$的系数矩阵. 边界条件满足
1.2 伴随方程
为了研究某个不稳定波的演化规律,需要对直接数值模拟的结果进行模态分解,将不稳定波从总体扰动中分解出来.稳定性方程是非自伴随的,其特征函数族与伴随方程的特征函数族构成了一个双正交函数系[32-34].利用双正交关系,可以将扰动向边界层内的某个模态波投影,即进行"模态分解".模态分解的系数可借助伴随方程的特征函数进行内积求得.定义内积为
\begin{equation}\label{eq8} \left\langle { \varphi , \phi } \right\rangle =\int { \varphi ^{\rm T} \phi {\rm d}y}\tag{8}\end{equation}
通过分步积分法,并根据适当的边界条件[31],可以推导出线性稳定性方程的伴随方程为
\begin{equation}\label{eq9} \left( {\frac{{\rm d}}{{\rm d}y} A^{\rm T}\frac{{\rm d}}{{\rm d}y} - B^{\rm T} \frac{{\rm d}}{{\rm d}y}+ C^{\rm T} } \right) \varphi = 0\tag{9}\end{equation}
其中$ \varphi $为伴随方程的特征函数,上标"T"表示矩阵的转置.
相应的边界条件满足
设边界层中的小扰动为${f}'$,小扰动满足线性扰动方程的解,可表示为
\begin{equation}\label{eq11} f' = f_0 (x,y) = \left(\sum {a_n \phi _n } {\rm e}^{\lambda _n x}\right)\tag{11}\end{equation}
将小扰动向某个特征模态投影可以得到分解系数为
\begin{equation}\label{eq12} a_n = \frac{ \left< \varphi _n ,{\rm L}_1 f_0 + {\rm L}_2 (\lambda _n f_0 + f_1 ) \right> }{ \left< \varphi _n ,{\rm L}_1 \phi _n + 2\lambda _n {\rm L}_2 \phi _n \right> {\rm e}^{\lambda _n x}}\tag{12}\end{equation}
其中,$f_1 = \partial _x f_0 = \sum {a_n \lambda _n \phi _n {\rm e}^{\lambda _n x}}$,算子L$_{1}$,L$_{2}$为线性算子具体形式可参见文献${[31]}$.
2 同步点和临界频率
Fedorov和khokhlov$^{[24\mbox{-}26]}$将边界层前缘的离散模态分为快模态和慢模态.根据边界层前缘感受性理论,来流中的快、慢声波可以分别激发快、慢模态.图1给出了马赫数Ma = 7.0,高度为$H$ = 30km 处,频率$F$ =8.0$\times $10$^{ -6}$时,快、慢模态的增长率和相速度的实部沿流向的变化.可以看出,在靠近前缘处,慢模态为增长的第一模态;快模态一直是衰减的,在向下游发展过程中,它的相速度会逐渐减小.在流向位置$x$ =975处,它与慢模态的相速度的实部相同,这个位置就被称为"同步点".同步点之后慢模态连接的是一个增长很快的第二模态,而快模态变为一个的很稳定的模态,将其称为第二模态的"共轭模态".从图1(b)中还可以看出,第一模态和第二模态在慢模态这一支上.从稳定性分析角度讲,没有发生模态转化.
显示原图|下载原图ZIP|生成PPT图1{Ma} = 7.0,$F$ = 8.0$\times$10$^{ -6}$,快、慢模态的增长率和相速度
-->Fig.1The growth rate and phase speed of fast and slow mode Ma = 7.0,$F$ = 8.0$\times $10$^{ - 6}$
-->
图2给出了频率为$F$=6.0$\times $10$^{ -6}$时,快、慢模态的增长率和相速度曲线.可以看出,在此频率下,慢模态仍然为第一模态,在下游变为第二模态的"共轭模态",而快模态在下游变为第二模态.上游不稳定的模态到下游变为稳定的模态,而上游稳定的模态到下游变为不稳定的模态,从稳定性分析的角度说,发生了模态转化.从图2(b)中还可以看出,在此频率下,快、慢模态的相速度没有交叉点,它们只是相近,而增长率有相交点.
显示原图|下载原图ZIP|生成PPT图2Ma = 7.0,$F$ =6.0$\times $10$^{ -6}$,快、慢模态的相速度和增长率
-->Fig.2The growth rate and phase speed of fast and slow mode. Ma = 7.0,$F$ = 6.0$\times $10$^{ - 6}$
-->
图3(a)给出了不同频率下,慢模态的增长率沿流向的变化.可以看出,所有的频率在上游都为增长的第一模态波.对于较大的频率,如$F$=8.0$\times $10$^{ - 6}$,7.5$\times $10$^{ - 6}$,7.25$\times $10$^{ -6}$,慢模态在下游变为第二模态,即第一模态和第二模态同属一支,没有模态转化发生.对于较小的频率,如$F$=7.0$\times $10$^{ - 6}$,6.5$\times $10$^{ -6}$,6.0$\times $10$^{ -6}$,慢模态在下游变为第二模态的"共轭模态",模态转化发生. 图3(b)给出了不同频率慢模态的相速度沿流向的变化.从整个流向范围看,慢模态的相速度都是小于1的.在前缘相速度趋近于1$-$1／Ma,随后相速度先增加再减小.不发生模态转化的频率,相速度变化较小,而发生模态转化的频率,相速度会迅速减小.
显示原图|下载原图ZIP|生成PPT图3不同频率下慢模态的增长率和相速度
-->Fig.3The growth rate and phase speed of slow mode in different frequencies
-->
图4(a)给出了不同频率下,快模态的增长率沿流向的变化,可以看出所有的频率在上游都是稳定的.对于较大频率,如$F$ = 8.0$\times $10$^{ - 6}$, 7.5$\times $10$^{- 6}$,7.25$\times $10$^{ -6}$,快模态与第二模态的共轭模态同属一支,即上游衰减模态在下游连接着衰减模态,没有模态转化发生.对于较小频率,如$F$ = 7.0$\times $10$^{ - 6}$,6.5$\times $10$^{ - 6}$,6$\times $10$^{ -6}$,快模态与第二模态同属一支,上游衰减的模态到下游变为增长的第二模态,即发生模态转化.图4 (b)给出了不同频率下,快模态的相速度沿流向的变化.在上游快模态的相速度都大于1,在前缘附近相速度趋近于1+1／Ma.在向下游发展中,相速度减小,跨过相速度等于1的位置,变为相速度小于1.对没有发生模态转化的频率,相速度迅速减小;对发生模态转化的频率,相速度变化较小.
显示原图|下载原图ZIP|生成PPT图4不同频率下快模态的增长率和相速度
-->Fig.4The growth rate and phase speed of fast mode in different frequencies
-->
从上面的稳定性分析结果可知,慢模态始终为第一模态,由于频率的不同,在下游慢模态可能与第二模态在一支上,也可能与第二模态的"共轭模态"同支.慢模态从与第二模态同支变为与第二模态的共轭模态同支时的频率称为"临界频率".在上游,快模态始终是稳定的;在下游,由于频率的不同,快模态也可能与第二模态同支或与第二模态的共轭模态同支.在临界频率时,快模态从与第二模态的共轭模态同支变为与第二模态同支.也就是说,如果慢模态变为不稳定模态,快模态一定变为稳定的模态;如果慢模态变为稳定模态,快模态一定变为不稳定的模态.
为了能给出临界频率,本文进行了细致的计算.图5(a),5(b)分别给出了频率$F$ = 7.01$\times 10^{ - 6}$和$F$ =7.005$\times $$10^{ -6}$时快、慢模态的增长率曲线.当频率$F$ = 7.01$\times$$10^{ -6}$时,第一模态和第二模态同支,快模态总是稳定的;当频率$F$ =7.005$\times$$10^{ -6}$时,第一模态和第二模态的共轭模态同支,快模态和第二模态在一支上.频率$F$= 7.005 $\times$$10^{ - 6}$为临界频率,用$F^{\ast}$表示,模态转化的位置在$x$ =1266.0处,对应的当地雷诺数Re$^{\ast }$ = 2.61$\times$10$^{5}$.
显示原图|下载原图ZIP|生成PPT图5不同频率快、慢模态的增长率沿流向的变化
-->Fig.5The growth rate of fast mode
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改变来流马赫数进行计算,得到了临界频率$F^{\ast}$与马赫数的关系曲线,如图6(a)所示.当马赫数比较小时,临界频率$F^{\ast}$比较大,随马赫数增加频率$F^{\ast }$在减小.在给定马赫数的情况下,当频率$F>F^{\ast}$时,第一模态与第二模态连在一起,没有模态转化发生;当频率$F<F^{\ast}$时,第一模态不与第二模态在一支上,发生模态转化.图6(b)给出了快、慢模态模态转化的位置与马赫数的关系曲线.当马赫数比较小时,模态转化的位置比较靠前,随马赫数增加模态转化的位置远离前缘.
显示原图|下载原图ZIP|生成PPT图6
-->Fig.6
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3 扰动演化分析
上一节中稳定性分析的结果指出,当Ma =7.0时,临界频率$F^{\ast }$ = 7.005$\times $10$^{ - 6}$.当频率高于$F^{\ast}$时,第一模态和第二模态连在一起;当频率低于$F^{\ast }$时它们分开.在演化问题中,快、慢模态是否会按照稳定性预测的结果进行发展.要回答这个问题,需要用直接数值模拟的方法研究快、慢模态的演化.具体的直接数值模拟方法见参考文献[35].在进行数值模拟之前,我们首先计算了Ma =7.0的中性曲线来确定计算域. 图7(a)给出了中性曲线.可以看出,中性曲线的第一模态和第二模态在雷诺数较小时是连在一起的,在雷诺数较大时又分开,且从第一模态的上支界到第二模态下支界之间的衰减距离不是很长,这也给用直接数值模拟研究模态转化带来了方便.图7(b)给出了以特征长度$\delta ^\ast $ = 7.58$\times $10$^{ - 2}$m进行无量纲的中性曲线.根据临界频率$F^*$,选择了两个不同频率的快、慢模态进行数值模拟.两个频率的具体参数见表1.
显示原图|下载原图ZIP|生成PPT图7中性曲线
-->Fig.7Neutral curve
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Table 1
表1
表1两个频率的参数
Table 1Parameters of the two frequencies
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3.1 慢模态的演化
当频率$F$ = 8.0$\times $10$^{ -6}$时,慢模态在上游是增长的第一模态. 图8(a),图8(b)分别给出了快、慢模态的相速度和增长率曲线,此频率下没有发生模态转化.在下游位置$x$ =975.7处快模态和慢模态同步,同步点靠近第二模态的下支界.
显示原图|下载原图ZIP|生成PPT图8$F$ = 8.0$\times $10$^{ - 6}$,快、慢模态的相速度和增长率
-->Fig.8The phase speed and growth rate of fast and slow mode,$F$ = 8.0$\times $10$^{ - 6}$
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在计算域入口加入慢模态进行数值模拟. 图9给出了用不同方法得到的扰动幅值演化.可以看出,线性稳定性理论(LST)的预测结果与直接数值模拟(DNS)有所差别,LST过低的预测了扰动幅值的增长.稳定性分析表明此频率下慢模态没有模态转化,上游的慢模态在下游连接着第二模态,这与直接数值模拟的结果一致.
显示原图|下载原图ZIP|生成PPT图9$F$ = 8.0$\times $10$^{ - 6}$,直接数值模拟的结果与线性稳定性理论的比较
-->Fig.9Comparison of the results of DNS and LST
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图10给出了将数值结果向慢模态和快模态投影分解得到的幅值曲线.从图中可以看出,数值结果中主要包含的是慢模态的波,在整个流向计算域内快模态的幅值都很小.在同步点附近,当扰动向快、慢模态分解时,由于非平行性的影响,两个分解系数间会有耦合.因此,只考虑将扰动向某个单一模态投影的模态分解在同步点附近是不适用的.
显示原图|下载原图ZIP|生成PPT图10$F$ = 8.0$\times $10$^{ - 6}$,模态分解得到的幅值
-->Fig.10The decomposed amplitude (a) DNS results decomposed to Mode S (b) DNS results decomposed to Mode F
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当频率$F$=6.0$\times $10$^{ -6}$时,在计算域入口处加入慢模态(第一模态波).图11给出了快、慢模态的相速度和增长率曲线.在下游快、慢模态的相速度没有相交,但是在第二模态下支界附近它们的相速度相近,仍可看做同步.稳定性分析的结果指出在此频率下发生了模态转化,即上游的不稳定波到下游变为稳定的模态.
显示原图|下载原图ZIP|生成PPT图11$F$ = 6.0$\times $10$^{ - 6}$,快、慢模态的相速度和增长率
-->Fig.11The phase speed and growth rate of fast and slow mode,$F$ = 6.0$\times $10$^{ - 6}$
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图12给出了用不同方法得到的扰动幅值和增长率沿流向的变化.可以看出,LST的的预测结果与DNS的结果差别很大,DNS结果表明扰动在下游增长起来,而LST预测的幅值在下游衰减的.从稳定性角度讲,此频率下发生了模态转化,第一模态在下游连接的是第二模态的共轭模态,因此预测到的幅值是衰减的.
显示原图|下载原图ZIP|生成PPT图12$F$=6.0$\times $10$^{ - 6}$,直接数值模拟的结果与线性稳定性理论的比较
-->Fig.12Comparison of the results of DNS and LST, $ F$ = 6.0$\times $10$^{ - 6}$}
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图13给出了将数值结果向慢模态和快模态分解得到的幅值曲线.从分解得到的幅值结果看,数值结果在上游为第一模态,在慢模态这支上;在下游为第二模态在快模态这支上.从演化的角度看,慢模态在向下游发展中,会向下一个位置上的特征模态投影.投影到稳定模态上的这部分扰动向下游发展衰减掉了,而投影到增长模态(第二模态)上的这部分扰动增长起来.
显示原图|下载原图ZIP|生成PPT图13$F$ = 6.0$\times $10$^{ - 6}$,模态分解得到的幅值
-->Fig.13The decomposed amplitude $F$ = 6.0$\times $10$^{ - 6}$
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3.2 快模态的演化
当频率$F$ = 8.0$\times $10$^{ -6}$时,快模态在上游是衰减的模态,稳定性分析指出此参数下没有模态转化发生,即上游的快模态在下游连接的是第二模态的共轭模态(衰减的).在计算域入口$x$ = 750处加入快模态进行数值模拟.图14给出了用不同方法得到的幅值沿流向的变化.DNS结果表明扰动在上游先经历衰减段,发展到下游增长起来;而LST预测的快模态幅值在下游是仍衰减的.图15给出了将数值结果向快模态和慢模态分解得到的幅值曲线.从图中可以看出,在上游主要是衰减的快模态,在下游为增长的第二模态.这说明在数值结果中发生了"模态转化".这是由于快模态在向下游发展中,投影到增长模态(第二模态)上的这部分扰动增长起来,即快模态的演化到下游转变为增长的第二模态.
显示原图|下载原图ZIP|生成PPT图14$F$ = 8.0$\times $10$^{ -6}$,直接数值模拟的结果与线性稳定性理论的比较
-->Fig.14Comparison of the results of DNS and LST, $F$=8.0$\times $10$^{ - 6}$
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显示原图|下载原图ZIP|生成PPT图15$F$ = 8.0$\times $10$^{ - 6}$,模态分解得到的幅值
-->Fig.15The decomposed amplitude, $F$ = 8.0$\times $10$^{ - 6}$
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当频率$F$ = 6.0$\times $10$^{ -6}$时,在计算域入口加入快模态,稳定性分析指出此参数下模态转化发生,即上游衰减的快模态到下游变为增长的第二模态.图16给出了用不同方法得到的扰动幅值沿流向的变化.从稳定性分析角度看,由于快模态发生模态转化,在下游连接第二模态,LST基本上可以描述幅值的变化.图17分别给出了将数值结果向快模态和慢模态分解得到的幅值曲线.从图中可以看出,整个范围内的主要扰动为快模态,慢模态幅值很小.
显示原图|下载原图ZIP|生成PPT图16$F$ = 6.0$\times $10$^{ - 6}$,直接数值模拟的结果与线性稳定性理论的比较
-->Fig.16Comparison of the results of DNS and LST,$ F$=6.0$\times $10$^{ - 6}$
-->
显示原图|下载原图ZIP|生成PPT图17$F$ = 6.0$\times $10$^{ - 6}$,模态分解得到的幅值
-->Fig.17The decomposed amplitude, $F$ = 6.0$\times $10$^{ - 6}$
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4 结 论
本文用线性稳定性理论和直接数值模拟两种方法研究了快模态和慢模态在边界层中的演化.从稳定性理论结果来看,当频率高于某一临界值时,第一模态与第二模态同支,快模态总是稳定的;而当频率低于该临界值时,第一模态与第二模态的共轭模态同支,快模态和第二模态在同一支上.该频率称为临界频率.从直接数值模拟的结果来看,不管频率是否高于临界频率,第二模态都会被激发.在模态转化过程中,非平行性效应起主导作用,该过程不能由平行流假设下的线性理论预测.从扰动演化角度讲,一个模态在非平行流中传播时,其形状会偏移局部特征函数,由此产生的畸变在另一个模态的特征函数上的投影一般不是零,投影到增长模态上的这部分扰动增长起来,因而在数值结果中被观测到.The authors have declared that no competing interests exist.
参考文献 原文顺序
文献年度倒序
文中引用次数倒序
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