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低雷诺数下串列三圆柱涡激振动中的弛振现象及其影响因素 <sup>^1)</sup>

本站小编 Free考研考试/2022-01-01

陈威霖, 及春宁^*^,, 许栋
天津大学水利工程仿真与安全国家重点实验室, 天津300072

GALLOPING IN VORTEX-INDUCED VIBRATION OF THREE TANDEM CYLINDERS AT LOW REYNOLDS NUMBERS AND ITS INFLUENCING FACTORS

ChenWeilin, JiChunning^*^,, XuDong
State Key Laboratory of Hydraulic Engineering Simulation and Safety, Tianjin University, Tianjin 300072, China
中图分类号:P751,TV131.2
文献标识码:A

通讯作者:^*及春宁, 教授, 主要研究方向为流固耦合, 涡激振动, 泥沙运动. E-mail:cnji@tju.edu.cn^*及春宁, 教授, 主要研究方向为流固耦合, 涡激振动, 泥沙运动. E-mail:cnji@tju.edu.cn
版权声明:2018力学学报期刊社力学学报期刊社所有
基金资助:

国家自然科学基金(51579175, 51779172), NSFC-广东联合基金 (第二期) 超级计算科学应用研究专项资助(U1501501)和国家超级计算广州中心支持项目.

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摘要
对间距比为1.2和雷诺数为100的串列三圆柱涡激振动进行数值模拟, 发现在某个折合流速之后, 三圆柱的响应均呈现为随着折合流速增大而增大的弛振现象, 平衡位置偏移、低频振动以及旋涡脱落与圆柱运动之间的时机三个因素共同决定了弛振现象的出现. 进一步的研究发现, 串列三圆柱的弛振现象仅出现在质量比不大于2.0和雷诺数不大于100的工况下. 当质量比较大时, 串列三圆柱的平衡位置固定不变, 且圆柱的振动不规律, 使得旋涡脱落与圆柱运动的时机处于变化之中. 当雷诺数较高时, 最上游圆柱的平衡位置在折合流速较大时回到初始位置, 不再参与对圆柱振动的调节, 使得圆柱的振动响应不再规律, 旋涡脱落与圆柱运动的时机也一直处于变化之中.

关键词：涡激振动;串列三圆柱;弛振;质量比;雷诺数
Abstract
Vortex-induced vibrations of three tandem cylinders at the spacing ratio of 1.2 and the Reynolds number of 100 shows that when the reduced velocity is larger than a critical value, the galloping is observed where the amplitudes of three cylinders increase with the reduced velocity. Three factors, including shift of equilibrium position, low vibration frequency and timing between vortex shedding and motion of cylinders, determine the appearance of galloping. Further investigations show that the galloping occurs at a range with lower mass ratio no more than 2.0 and Reynolds number no more than 100. When the mass ratio is large, the equilibrium position is unchanged and the displacements are irregular, which leads to the variation of timing between vortex shedding and motion of cylinders. When Re is large, the shift of the most upstream cylinder is zero and no more accommodate cylinders’ vibration, which makes the vibration irregular and change of timing between vortex shedding and motion of cylinders.

Keywords：vortex-induced vibration;three tandem cylinders;galloping;mass ratio;Reynolds number

-->0
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陈威霖, 及春宁, 许栋. 低雷诺数下串列三圆柱涡激振动中的弛振现象及其影响因素 <sup>^1)</sup>[J]. 力学学报, 2018, 50(4): 766-775 https://doi.org/10.6052/0459-1879-18-057
Chen Weilin, Ji Chunning, Xu Dong. GALLOPING IN VORTEX-INDUCED VIBRATION OF THREE TANDEM CYLINDERS AT LOW REYNOLDS NUMBERS AND ITS INFLUENCING FACTORS[J]. Acta Mechanica Sinica, 2018, 50(4): 766-775 https://doi.org/10.6052/0459-1879-18-057
弛振现象一直是工程实际中一个值得关注的现象. 例如, 桥梁工程中的悬索桥, 由于其自身质量小、频率低、阻尼小, 在风的作用下极易发生大幅振动, 塔科马悬索桥的破坏就是一个典型的例子^[1]. 此外, 工业中常见的热交换器管阵也容易发生弛振, 造成热交换器的疲劳破坏. 由于热交换管的直径较小, 且热媒多为密度较小的水蒸气, 其雷诺数较低. 因此, 对低雷诺数弛振现象的研究将具有非常重要的意义.
弛振现象最早发现于非圆形结构物的涡激振动中, 随着来流流速的增大, 结构的振幅持续增大. Den Hartog^[2]基于对被冰包裹电缆的研究发现弛振一般伴随着低频的出现. Parkinson和Smith^[3] 建立了一个准稳态的理论, 用来预测弛振下方柱的振幅. 该理论成功地预测了较大和较小阻尼下空气中方柱的弛振现象. Nemes 等^[4]通过水槽实验研究发现, 当攻角为

α = 0^{°}

时, 振动的方柱表现为弛振, 角度设置如图1(a)所示. Zhao 等^[5]发现, 三倍振动频率的升力成分对方柱弛振的出现有重要的影响. 目前的研究表明, 方柱的弛振现象仅在较高的雷诺数下出现. Barrero-Gril 等^[6] 发现当Re < 159时, 振动的方柱不会出现弛振. Zhao 等^[7] 对不同攻角(

0^{°} ~ 4 5^{°}

)下弹性支撑方柱的数值模拟发现, 当

Re = 100

时, 弛振没有出现. 此外, 对弹性支撑三角柱实验研究发现, 当雷诺数较高时, 振动的三角柱在某些攻角下表现为弛振现象^[8,9]. Wang 等^[10]对不同攻角(

0^{°} ~ 6 0^{°}

) 下振动三角柱的数值模拟研究表明, 当

α = 6 0^{°}

和

Re = 100

时, 攻角设置如图1(b)所示, 三角柱表现为弛振现象, 振幅随着折合流速的增大而增强.

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图1方柱和三角柱的攻角( $α$ ).
-->Fig.1The attack angle of the square and triangular cylinder
-->

由于圆柱本身绝对对称, 因此, 光滑单圆柱的涡激振动并未表现出弛振. Chang 等^[11] 通过在光滑圆柱表面贴粗糙条的方式使其振动呈现出随流速增大而增强的弛振现象. 此外, 增加圆柱的个数和布置形式是另一种激发弛振现象的方式. Brika和Laneville^[12]对Re在

5 \times 1 0^{3} ~ 2.7 \times 1 0^{4}

范围内串列双圆柱的研究发现, 当上游圆柱固定时, 下游圆柱会在一定的间距比范围内表现为弛振现象. Bokaian 和Geoola^[13] 对Re在

7 \times 1 0^{2} ~ 2 \times 1 0^{3}

范围内串列双圆柱的研究发现, 当下游圆柱静止不动并浸没于上游圆柱尾流中时, 振动的上游圆柱也可以表现为弛振. Assi 等^[14,15,16]的实验研究表明, 下游圆柱的尾流弛振现象可以在

L^{*}

处于

2.0 ~ 5.6

之间时出现, 且顺流向振动与否对尾流弛振的出现没有明显的影响.
虽然振动的串列双圆柱可以在较高的雷诺数下表现出尾流弛振现象, 但目前的研究表明, 尾流弛振不会出现较低雷诺数下串列双圆柱的涡激振动中^{[17,18,19,20]}. 此外, 对串列三圆柱涡激振动的研究也表明当间距比较大时, 尾流弛振现象也不会出现^[21]. Werle^[22]运用流动显示方法考察了间距比

L^{*}

为3.3下串列三圆柱的流场, 其中雷诺数为

Re = 2 \times 1 0^{3}

. Igarashi和Suzuki^[23] 通过风洞试验研究了间距比

L^{*}

在

1.0 ~ 4.0

之间串列三圆柱绕流情况, 其中雷诺数为

1.09 \times 1 0^{4} < Re < 3.92 \times 1 0^{4}

. 此外, 采用烟流动显示方法考察了流动情况, 还测量了各圆柱的压力分布, 从而得到了各圆柱的阻力系数. Chen 等^[24]对

L^{*}

处于1.2

~

5.0之间和

Re = 100

下振动串列三圆柱的数值模拟研究发现, 当

L^{*} = 1.2

时, 串列三圆柱的振动均表现为弛振现象, 也就是说, 三圆柱的振幅均随着折合流速的增大而增大, 并一直持续到较大的折合流速. Chen 等^[24]指出决定弛振现象的三个关键因素为平衡位置偏移、低频振动以及旋涡脱落与圆柱运动之间的时机. 平衡位置的偏移可以很好地调和圆柱之间的相互作用, 上游圆柱脱落的旋涡对下游圆柱的振动可以实现最大的促进作用. 由于三圆柱振动频率相同且均为低频, 也就是说旋涡从圆柱上脱落需要更多的时间, 因此, 可以对圆柱振动有更久的促进作用, 保证了圆柱具有较高的振幅. 由于串列三圆柱之间相位差的改变, 旋涡脱落与圆柱的振动达到了较好的时机, 当上游圆柱的旋涡运动到下游圆柱时, 恰好可以在下游圆柱的运动方向上产生低压区, 对圆柱的振动起到促进作用. 可以这么说, 三因素一起对串列三圆柱弛振的出现起到决定性作用, 因此, 三圆柱的弛振源自于圆柱之间强烈的稳定周期性相互作用, 这与高雷诺数下串列双圆柱的尾流弛振现象的机制明显不同^[15]. 需要说明的是, 虽然Chen 等^[24] 分析了尾流弛振现象的产生机理, 但是并未讨论一些关键因素对弛振现象的影响. 基于对该尾流弛振深入理解的需要, 本文重点研究质量比和雷诺数两个关键因素的影响, 找出该现象可能出现的范围.

1 数值方法

1.1 控制方程

流固耦合的数值模拟采用浸入边界法^[25], 控制方程如下

\frac{? u}{? t} = - (u ? ?) u - ? p + v ?^{2} u + f

(1)

? ? u = 0

(2)
其中,

u

为速度,

t

为时间,

p

为压强,

v

为运动黏滞系数,

?

为梯度算子,

f

为附加体积力矢量, 代表流固耦合边界条件.
对以上控制方程采用二阶精度的Admas-Bashforth时间格式进行离散, 可得守恒形式如下

u^{n + 1} = u^{n} + t (\frac{3}{2} h^{n} - \frac{1}{2} h^{n - 1} - \frac{3}{2} ? p^{n} + \frac{1}{2} ? p^{n - 1}) +

f^{n + \frac{1}{2}} t

? ? u^{n + 1} = 0

其中,

h = ? ? [- uu + v (? u + ? u^{T})]

由对流项与扩散项组成, 上标

T

为矩阵转置, 附加体积力表示为

f^{n + \frac{1}{2}} t = D {V^{n + 1} - I [u^{n} + t (\frac{3}{2} h^{n} - \frac{1}{2} h^{n - 1} - \frac{3}{2} ? p^{n} + \frac{1}{2} ? p^{n - 1})]}

I

和

D

为插值函数,

V^{n + 1}

为物面边界的速度, 上标

n + 1

n + 1 / 2

n

n - 1

为时间步.
针对传统浸入边界法施加边界条件精度不高的情况, Ji等^[25]提出了基于嵌入式迭代的浸入边界法, 将浸入边界法嵌入到压强泊松方程的迭代求解中, 利用压强的中间解比初始值更接近真实值的特点, 迭代修正附加体积力, 在不显著增加计算耗时的前提下, 提高了整个算法的求解精度. 有关浸入边界法的细节, 请参考文献^[25], 此处不再赘述.
对仅做横流向运动的刚性圆柱, 其运动方程可以用下述方程来描述

m \frac{d^{2} y}{d t^{2}} + c \frac{d y}{d t} + ky = F_{y}

其中,

m

为圆柱质量,

c

为结构阻尼,

k

为弹簧刚度系数,

F_{y}

为圆柱受到的横流向流体力. 方程采用标准的Newmark-

β

法求解.

1.2 问题描述

串列三圆柱涡激振动数值模拟的相关参数设置如下. 雷诺数为

Re = UD / v

, 在

80 ~ 180

之间取值, 质量比为

m^{*} = m / m_{f}

, 在

2.0 ~ 10.0

中取值, 其中

m

为圆柱质量,

m_{f}

为等体积流体质量. 相邻两圆柱的间距相等,

L

为圆柱中心的距离,

D

为圆柱直径, 取为

L^{*} = L / D = 1.2

. 为使圆柱响应达到最大, 将阻尼比设为0. 此外, 为避免碰撞, 三圆柱均仅作横向振动. 计算域大小为

200 D \times 50 D

, 如图2所示, 中间圆柱位于计算域的中心. 从上游到下游, 三圆柱依次编号为1, 2 和3. 为保证数值精度^[26], 在圆柱周围采用加密网格, 加密区域大小为

12 D \times 8 D

, 对应的网格尺度为

Δ x / D = Δ y / D = 1 / 64

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图2计算域和边界条件设置.
-->Fig.2Computational domain and the boundary conditions
-->

边界条件设置如下. 入口为Dirichlet型边界

(u = U_{\infty}, v = 0)

, 出口为Neumann边界

(? u / ? x = 0, ? v / ? x = 0)

, 上下为可滑移边界

(? u / ? y = 0, v = 0)

. 此外, 为保证数值收敛, 需满足CFL条件, 即

U_{\max} Δ t / Δ x # x 2264; 0.5

, 选定的时间步长为

Δ t = 0.005

2程序验证

表1给出了串列三圆柱绕流下各圆柱阻力均值与Harimi和Saghafian^[30]结果的对比, 其中最大差别仅为6.7%, 从而验证本文数值方法和程序的正确性. 更多的验证算例包括单圆柱涡激振动、并列双圆柱绕流、串列双圆柱绕流和涡激振动等参见文献 ^[24,26-29].
Table 1
表1
表1串列三圆柱绕流的阻力均值, 其中 $L * = 2.0$ 和 $Re = 100$
Table 1The mean drag coefficients of flow past three tandem circular cylinders at $L * = 2.0$ and $Re = 100$

	${\overset{?}{C}}_{d 1}$	${\overset{?}{C}}_{d 2}$	${\overset{?}{C}}_{d 3}$
Ref.[30]	1.152	$-$ 0.107	0.127
present	1.162	$-$ 0.114	0.119
difference/%	0.9	6.1	6.7

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3 结果和讨论

3.1 弛振现象

如图3所示, 当

L^{*} = 1.2

Re = 100

和

m^{*} = 2.0

时, 串列三圆柱的最大振幅(

A_{m}^{*} = A_{m} / D

A_{m}

为最大振幅)均随折合流速

U_{r}

的增大而增大, 在达到峰值之后会随着折合流速的增大而稍微减小. 但在某个折合流速后, 三圆柱的振幅又会随着折合流速的增大而增大, 并持续到非常大的折合流速, 因此称之为弛振现象. 需要说明的是圆柱1, 2 和3 的弛振分别开始于

U_{r} = 17

U_{r} = 13

和

U_{r} = 35

. 此外, 随着折合流速的增大, 三圆柱振幅增大的幅度也并不相同, 如图3 所示, 圆柱2 振幅的增大幅度要稍大于其余两个圆柱的情况. 但需要指出的是, 与高雷诺数下串列双圆柱尾流弛振现象中振幅的增大幅度^[14,15,16]相比, 层流中串列三圆柱的振幅增幅则要小了很多. 此外, 层流中串列三圆柱均呈现出弛振现象, 而在高雷诺数下串列双圆柱中, 仅下游或者仅上游圆柱呈现弛振现象^[12,13]. 由图3 可知, 随着折合流速的增大, 三圆柱的振幅均可以达到较大的值, 其中圆柱2 和3的振幅接近

1.3 D

, 与高雷诺数下单圆柱涡激振动的最大振幅相当^[30], 而圆柱1的振幅也达到了

0.8 D

, 比相同雷诺数下单圆柱涡激振动的最大值(0.57

D

) 要大40%.

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图3当 $L * = 1.2$ , $Re = 100$ 和 $m * = 2.0$ 时, 串列三圆柱最大振幅 ( $A m *$ )随折合流速变化情况.
-->Fig.3The maximum amplitudes ( $A m *$ ) of three cylinders versus $U r$ at $L * = 1.2$ , $Re = 100$ and $m * = 2.0$
-->

Chen 等^[24]对该弛振现象的产生给出详细的解释, 指出决定弛振现象的三个关键因素: 平衡位置偏移、低频振动以及旋涡脱落与圆柱运动之间的时机. 具体来看, 如图4 所示, 当上游圆柱向上运动时, 由于受到下游圆柱的推挤作用, 上游圆柱未分离的剪切层会堆积在其上侧(A

~

C), 因此会产生相应的低压区, 对其运动起到促进作用. 当下游两圆柱向下运动时(B

~

D), 由于此时中间圆柱的运动相位要领先于最下游圆柱, 使得上游圆柱分离的剪切层会依次重附着于下游两圆柱的下侧, 且出现的时刻恰好位于圆柱正加速向下运动的过程中^[24], 因此对下游圆柱的振动起到了相应的激励作用. 由于中间圆柱本身也要分离一定强度的剪切层, 因此重附着于下游圆柱上的剪切层强度增大, 与下游圆柱更大的振幅相一致. 当下游两圆柱开始向上运动时(E

~

H), 上游圆柱分离的剪切层又恰好依次出现在下游两圆柱的上侧, 并对它们的运动再次产生促进作用. 在这个过程中, 串列三圆柱的平衡位置偏移、旋涡脱落与圆柱运动的时机都成为极其重要的因素. 由于圆柱的振动频率较低, 因此重附着的剪切层可以提供更长时间的促进作用. 由于Chen 等^[24]并未提及质量比和雷诺数等对该现象的影响, 而这两个因素在涡激振动中又是极其重要的, 因此, 接下来本文将研究两者对弛振的影响, 进一步研究弛振现象可能出现的范围.

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图4一个周期内串列三圆柱涡激振动周围的涡量场情况, 其中 $m * = 2.0$ , $L * = 1.2$ , $U r = 40.0$ .
-->Fig.4Vorticity fields around three tandem circular cylinders in one period, where $m * = 2.0$ , $L * = 1.2$ , $U r = 40.0$
-->

3.2 质量比对弛振的影响

选取

m^{*} = 5.0

和

m^{*} = 10.0

研究质量比对串列三圆柱流致振动中迟振现象的影响. 其中雷诺数为

Re = 100

和间距比为

L^{*} = 1.2

, 保持不变. 此外, 采用的两个质量比下串列三圆柱的振动不再规律, 因此, 振幅的最大值不再适用于表示圆柱的振动响应, 本节采用无量纲的均方根值(

A_{r}^{*} = A_{r} / D

A_{r}

为均方根振幅)来表示圆柱的振动响应.
如图5所示, 当

m^{*} = 5.0

时, 圆柱1和2的振幅随着折合流速的增大而先增后减, 在某个折合流速之后, 振幅随着折合流速的增大而持续增大, 这与质量比

m^{*} = 2.0

时的情况相同. 然而圆柱3的振幅却没有再出现随折合流速增大而增大的现象, 仅在

U_{r} = 35

时出现稍微的增大. 也就是说, 当质量比

m^{*} = 5.0

时, 仅圆柱1和2呈现出 “弛振” 现象. 当

m^{*} = 10.0

时, 圆柱1 和3 的振幅呈现出随折合流速先增后减之后持续增大的现象, 圆柱2 的振幅则一直随着折合流速的增大而增大. 对比可以发现, 圆柱2 振幅的增大幅度要明显大于其余两个圆柱, 与质量比

m^{*} = 2.0

时的情况相同. 因此, 在质量比

m^{*} = 10.0

下, 串列三圆柱的振动均表现为明显的 “弛振” 现象. 需要指出的是, 实际上不论是质量比为5.0还是10.0下串列三圆柱涡激振动中的弛振现象仅出现在一定的折合流速范围内, 严格意义上来讲, 并不是弛振现象. 如表2所示, 当折合流速增加到80时, 质量比为5.0和10.0下三圆柱的振幅均出现明显下降, 几乎不再振动, 也就是说, 三圆柱振幅随折合流速增大而增大的弛振现象仅存在于一定的折合流速范围内. 不同的是,

m^{*} = 2.0

下串列三圆柱的振幅则一直随着折合流速的增大而增大. 因此, 可以这么认为弛振现象仅存在于

m^{*} # x 2264; 2.0

下串列三圆柱涡激振动中.

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图5不同质量比下串列三圆柱响应随折合流速变化情况.
-->Fig.5Variations of the vibration of three cylinders with $U r$ at different mass ratio
-->

Table 2
表2
表2不同质量比和折合流速下串列三圆柱的振幅均方根
Table 2The r.m.s. amplitudes of three cylinders at different mass ratios and reduced velocities

$m^{*}$	$U_{r}$	$A_{r 1}^{*}$	$A_{r 2}^{*}$	$A_{r 3}^{*}$
*5.0	40	1.05	1.15	0.81
	80	0.02	0.03	0.06
*10.0	40	0.72	1.27	1.00
	80	0.00	0.01	0.02

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为进一步解释该现象不再存在于质量比为5.0和10.0下串列三圆柱涡激振动中的原因, 对该现象产生的决定性因素展开讨论. 首先, 当质量比较大时, 串列三圆柱的响应不再规律, 如图6所示(

m^{*} = 5.0

和

U_{r} = 40

). 也就是说三圆柱之间的相互作用是不稳定和非周期性的, 旋涡与圆柱运动之间的时机也是随时间发生变化的. 其次, 如图7所示,当

m^{*} = 2.0

时, 串列三圆柱的平衡位置发生偏移, 不再固定在

\overset{?}{y} = 0

上; 相反,

m^{*} = 5.0

和10.0 下串列三圆柱的平衡位置一直在

\overset{?}{y} = 0

上, 并未发生变化, 因此也就无法通过调整圆柱之间的相对位置来调节圆柱之间的相互作用.

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图6当 $m * = 5.0$ 和 $U r = 40.0$ 时, 串列三圆柱振动的历时曲线.
-->Fig.6Time histories of the displacements of three cylinders with $m * = 5.0$ and $U r = 40.0$
-->

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图7不同质量比下三圆柱平衡位置偏移随折合流速变化的情况.
-->Fig.7Variations of the shift of the equilibrium position with $U r$ at different Reynolds numbers
-->

串列三圆柱涡激振动中, 三圆柱的斯特劳哈尔数

St

总是相等^[24], 因此, 本文仅给出圆柱1 的

St

. 如图8所示, 各质量比下,

St

在某个折合流速以后与自然频率相当, 圆柱响应进入锁定区间. 此后, 随折合流速的增大而逐渐减小. 当

m^{*} = 10.0

时,

St

与自然频率最接近且频率最小. 因此, 可以这么说, 低频振动并不是串列三圆柱尾流弛振的唯一决定因素, 需要三个决定因素的共同作用. 此外, 还可以发现当

St

以后, 单圆柱涡激振动的

St

要明显大于串列三圆柱的情况, 这是因为在较小间距比下的串列三圆涡激振动中, 上游圆柱分离的剪切层会附着于中间圆柱上并最终从下游圆柱脱落. 下游两圆柱的存在不仅使得上游圆柱剪切层的形成过程变慢, 而且脱落过程也比单圆柱涡激振动需要更长的时间. 因此, 串列三圆柱中

St

要明显小于单圆柱涡激振动的情况. 当

St

时^[24], 上游圆柱剪切层可以自由脱落形成旋涡, 此时串列三圆柱的

St

呈现出与单圆柱涡激振动相同的变化规律, 且

U_{r}

也与单圆柱涡激振动相近.

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图8不同雷诺数下串列三圆柱的 $m *$ 随折合流速变化情况.
-->Fig.8Variations of the Strouhal number of three cylinders with $y ? = 0$ at different Reynolds numbers
-->

综上, 虽然

Re = 80

取5.0和10.0时串列三圆柱的振动在一定的折合流速范围内较大振幅, 但是由于此时圆柱的质量比较大, 惯性较大, 这使得上游圆柱分离的剪切层与下游圆柱运动相互作用对振动的调节降低, 串列三圆柱的平衡位置一直固定在初始位置(

Re = 180

)上, 并未发生变. 相应地, 下游圆柱的振动不再规律, 旋涡脱落与圆柱运动的时机是一直变化, 不再是稳定的相互作用. 虽然质量比较大时, 串列三圆柱的振动频率较低, 由于脱涡与圆柱运动之间时机不稳定, 串列三圆柱涡激振动中的弛振现象并未出现在质量比较大的工况下.

3.3 雷诺数对弛振的影响

选取

m^{*} = 2.0

和

L^{*} = 1.2

研究雷诺数对串列三圆柱涡激振动中弛振现象的影响, 此时质量比为

A_{m}^{*}

和间距比为

Re = 80

. 由于研究的雷诺数范围内, 串列三圆柱的振动规律, 因此用圆柱振动的最大幅值(

U_{r} > 4.0

) 表示圆柱的振动响应.
如图9(a)所示, 当

Re = 100

时, 串列三圆柱的振动在

U_{r} = 40

以后急剧增强并在达到峰值之后缓慢减弱, 之后三圆柱的振动在某个折合流速以后随着折合流速的增大而持续增强. 因此, 可以认为此时串列三圆柱涡激振动中出现了弛振现象. 与

U_{r} = 80

时的工况相比, 此时圆柱的振幅要更大一些, 随着折合流速增大而增大的幅度也要稍大一些. 表3 给出了折合流速

Re = 80

和

U_{r} = 80

时串列三圆柱最大振幅的对比结果, 可以发现, 雷诺数

Re = 80

下串列三圆柱的振幅增大可以持续到

Re = 100

时; 雷诺数

U_{r}

时串列三圆柱的振幅要明显大于雷诺数

Re

下的情况.

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图9不同雷诺数下串列三圆柱响应随折合流速变化的情况.
-->Fig.9Variations of the vibration of three cylinders with $m *$ at different $U r$
-->

Table 3
表3
表3不同雷诺数和折合流速下串列三圆柱的最大振幅
Table 3The maximum amplitudes of three cylinders at different Reynolds numbers and reduced velocities

$A_{m 1}^{*}$	$A_{m 2}^{*}$	$A_{m 3}^{*}$	$Re = 180$	$U_{r} = 9.0$
*80	40	0.87	1.33	1.35
	80	0.98	1.48	1.50
*100	40	0.80	1.25	1.27
	80	0.84	1.28	1.28

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当

U_{r} = 22.0

时, 串列三圆柱的振幅从

Re

以后开始增大, 均在

Re = 180

时达到最大值, 此后, 振幅随折合流速增大而减小. 如图9(b) 所示, 三圆柱的振幅均在

Re = 80

以后又开始增大并在

Re = 100

出现一个峰值. 当

Re = 180

以后三圆柱的振幅均几乎不再发生变化. 虽然三圆柱的振幅可以维持在较大的值上, 但是由于振幅不再随折合流速的增大而增大, 因此, 弛振现象不再出现.
为进一步解释尾流弛振现象出现在低雷诺数 (

U_{r} < 30.0

为80和100) 而没有出现在

U_{r} > 30.0

下串列三圆柱涡激振动中的原因, 对该现象出现决定性因素展开如下讨论.
如图10所示, 各雷诺数下, 串列三圆柱的平衡位置均发生偏移. 随着雷诺数的增大, 平衡位置偏移出现更小的折合流速下. 对比

\overset{?}{y} = 0

和

U_{r} = 40.0

下平衡位置的偏移可以发现, 圆柱2和3 的平衡位置偏向同一个方向, 而圆柱1会偏向另一个方向. 当

U_{r}

时, 圆柱1和2在

St

时偏向同一个方向, 而圆柱3偏向另一个方向. 当

Re = 180

以后, 圆柱1 的平衡位置逐渐恢复到初始位置 (

U_{r} = 4.0

) 上. 当

Re

时, 圆柱1 的平衡位置不再发生偏移, 而圆柱2 和3的平衡位置偏向了同一个方向, 且此时圆柱3 的平衡位置偏移要明显大于圆柱2的情况. 因此, 可以这么认为, 此时圆柱1不再具有调和圆柱2 和3 振动响应的作用了.

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图10不同雷诺数下三圆柱平衡位置偏移随折合流速变化的情况.
-->Fig.10Variations of the shift of the equilibrium position with $U r = 5.0$ at different Reynolds numbers
-->

如图11所示, 各雷诺数下, 串列三圆柱的

St

非常接近. 当

St

时, 串列三圆柱在

St

时进入锁定区间, 而当

U_{r}

取80和100时, 三圆柱在

Re = 180

时进入锁定区间, 之后, 随着折合流速的增大,

U_{r} = 80.0

下降. 在锁定区间以后的折合流速范围内, 不同雷诺数下的

U_{r} = 80.0

均非常接近.

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图11不同雷诺数下串列三圆柱的 $Re = 180$ 随折合流速变化情况.
-->Fig.11Variations of the Strouhal number of three cylinders with $U r = 80.0$ at different Reynolds numbers
-->

如图12所示, 当

Re = 180

和

U_{r} = 80.0

时, 串列三圆柱的振动不规律, 此时串列三圆柱之间的相互作用不稳定. 图13给出了

Re = 180

时串列三圆柱后的尾流情况, 尾涡不规律, 旋涡脱落与圆柱运动的时机不固定, 弛振现象不再出现.

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图12当 $U r = 80.0$ 和 $Re = 180$ 时, 串列三圆柱响应的历时曲线.
-->Fig.12Time histories of the displacements of three cylinders at $U r = 80.0$ and $Re = 100$
-->

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图13当 $m * = 2.0$ 和 $L * = 1.2$ 时, 串列三圆柱后的涡量场.
-->Fig.13Vorticity contour around three cylinders at $m *$ and $m * = 2.0$
-->

4 结论

本文对串列三圆柱涡激振动中出现的弛振现象进行了深入研究, 分析了质量比和雷诺数对弛振现象的影响. 研究发现, 当

Re # x 2264; 100

Re = 80

和

Re = 100

时串列三圆柱涡激振动中出现了弛振现象, 也就是说, 当折合流速大于某个值以后, 圆柱的振幅随着折合流速的增大而增大并持续到较大的折合流速. 决定串列三圆柱涡激振动中出现弛振现象的因素包括平衡位置的偏移、较低的振动频率和旋涡与圆柱振动的时机.
质量比对串列三圆柱中弛振现象的出现有显著影响. 当质量比较大 (5.0和10.0) 时, 圆柱的振动不再规律, 圆柱之间的相互作用也不再稳定, 使得旋涡与圆柱振动之间的时机处在不断的变化之中. 此外, 当质量比较大 (5.0和10.0) 时, 串列三圆柱的平衡位置不再发生偏移, 因此, 无法实现对圆柱振动的调节, 从而使圆柱之间的相互作用达到最优. 虽然在质量比

Re = 180

取5.0和10.0时串列三圆柱的振动频率仍较低, 甚至要低于

Re = 180

时的情况, 但由于其余两个决定性的因素无法满足, 使得弛振现象未出现在大质量比的串列三圆柱涡激振动中.
雷诺数同样是弛振的出现与否一个关键因素. 研究发现, 弛振现象仅出现在雷诺数较低(

Re = 80

)的工况下. 当

\overset{?}{y} = 0

时, 串列三圆柱的平衡位置偏移出现在更大的折合流速下, 且平衡位置的偏移也要小于

3.0 \times 1 0^{4} # x 2264; Re # x 2264; 1.2 \times 1 0^{5}

时的情况. 当{Invalid MML}时, 串列三圆柱的振幅在{Invalid MML}以后便不再变化. 虽然当{Invalid MML}时, 串列三圆柱的平衡位置发生偏移, 且要早于{Invalid MML}和100的情况. 但当{Invalid MML}以后, 圆柱1 的平衡位置回到初始位置 ({Invalid MML}) , 因此, 不再参与对圆柱2 和3 振动的调节. 此外, 圆柱的振动和圆柱后的尾流变得不再规律, 旋涡脱落与圆柱之间的时机也就处于变化之中, 圆柱之间的耦合作用不再稳定.
综上可以判断, 串列三圆柱涡激振动中的弛振现象仅出现在质量比较小和雷诺数较小的参数空间内, 这与之前研究成果明显不同. 弛振现象的出现对结构物有非常显著的破坏作用, 这是因为此时结构物的振动会随着来流流速的增大而增大, 破坏作用也成倍增大. 之前研究结果表明弛振现象仅出现在非对称体, 比如某些攻角下的三角柱和方柱, 以及高雷诺数下串列双圆柱涡激振动中. 本文的研究结果表明, 弛振现象可以出现较低雷诺数下的低密度串列三圆柱涡激振动中. 此结论对实际工程结构物设计与防护具有明显的参考意义.
The authors have declared that no competing interests exist.

参考文献原文顺序
文献年度倒序
文中引用次数倒序
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低雷诺数下串列三圆柱涡激振动中的弛振现象及其影响因素 <sup>^1)</sup>

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GALLOPING IN VORTEX-INDUCED VIBRATION OF THREE TANDEM CYLINDERS AT LOW REYNOLDS NUMBERS AND ITS INFLUENCING FACTORS

1 数值方法

1.1 控制方程

1.2 问题描述

2程序验证

3 结果和讨论

3.1 弛振现象

3.2 质量比对弛振的影响

3.3 雷诺数对弛振的影响

4 结论

参考文献原文顺序
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文中引用次数倒序
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相关话题/运动 圆柱 质量 串列 力学

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2程序验证

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3.2 质量比对弛振的影响

3.3 雷诺数对弛振的影响

4 结论

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