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功能梯度材料动力学问题的POD模型降阶分析 N

本站小编 Free考研考试/2022-01-01

郑保敬¹^,^*^,, 梁钰², 高效伟², 朱强华², 吴泽艳¹

1三峡大学水利与环境学院, 湖北宜昌 443002

2大连理工大学航空航天学院工业装备结构分析国家重点实验室, 大连 116024);

ANALYSIS FOR DYNAMIC RESPONSE OF FUNCTIONALLY GRADED MATERIALS USING POD BASED REDUCED ORDER MODEL $N$

ZhengBaojing¹^,^*^,, LiangYu², GaoXiaowei², ZhuQianghua², WuZeyan¹

1College of Hydraulic and Environmental Engineering, China Three Gorges University, Yichang 443002, Hubei, China

2State Key Laboratory of Structural Analysis for Industrial Equipment, School of Aeronautics and Astronautics, Dalian University of Technology, Dalian 116024, China

中图分类号:O321
文献标识码:A

通讯作者:^*郑保敬, 讲师, 主要研究方向: 计算固体力学 . E-mail: zheng _-bj@126. com^*郑保敬, 讲师, 主要研究方向: 计算固体力学 . E-mail: zheng _-bj@126. com
版权声明:2018力学学报期刊社力学学报期刊社所有
基金资助:

国家自然科学基金资助项目(11602129, 11672061).

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摘要
为了快速分析非均质材料结构在复杂载荷作用下的动态响应, 提出一种模型降阶方法, 只需计算结构在简单均质材料情况下的动力学问题, 进而用其计算结果对非均质材料结构进行分析. 首先, 采用结构内部任意一点处的材料参数值作为整个结构的材料参数, 利用有限元分析软件计算该均质材料结构在动态载荷作用下的位移场建立数据库, 该数据库包含计算模型各个节点(自由度为

L

)在某时间段内

L

个时刻的位移; 其次, 对数据库中的信息按照时间离散的特定方式组集成瞬像矩阵, 并利用特征正交分解方法对其进行分解, 得到该模型的

H

个特征正交基底, 选取其中能反应模型主要特征的

H < L ? N

个(其中

~

)作为一组最优基底, 通过这组基底建立模型的低阶离散控制方程; 最后, 求解低阶离散微分方程组, 得到功能梯度材料结构在复杂载荷作用下的位移场. 文中分别给出二维和三维算例, 比较了降阶模型和全阶模型计算结果, 验证了该方法的有效性, 并且计算效率能提高1

1)

2个数量级.

关键词：特征正交分解;模型降阶;动力响应;功能梯度材料
Abstract
In order to quickly analysis the response of heterogeneous materials under dynamic loads, a reduced order method was presented in this paper which only needed to compute dynamic characteristics of homogeneous material under sudden load and got the results for analysis complex non-homogeneous material. Firstly, we used the finite element method to compute the displacement field of homogeneous materials under sudden load, and then discretized data samples was obtained to establish a database which including every moment displacement information of all degrees of freedom (order of

L

) during a period of time. Secondly, dealing with database by specific way of time discretization, a snapshot matrix was formed. The matrix was decomposed into

H

orthogonal basis by proper orthogonal decomposition method and we picked up the major

H < L ? N

basis from that. Till now we achieved the goal that reducing the model (

H

). Finally, the

[4 - 5]

basis were used to obtain order-reduced governing dynamic equation. Different dynamic loads of time dependent were applied to the model, and the dynamic response of non-homogeneous material would be achieved by solving order-reduced governing dynamic equations. The displacement fields of traditional FEM and proposed ROM were compared. 2D and 3D examples showed that the computing scales reduced one or two orders of magnitude.
Keywords：proper orthogonal decomposition;reduced order method;dynamic response;functionally graded materials

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郑保敬, 梁钰, 高效伟, 朱强华, 吴泽艳. 功能梯度材料动力学问题的POD模型降阶分析

N

[J]. 力学学报, 2018, 50(4): 787-797 https://doi.org/10.6052/0459-1879-18-069
Zheng Baojing, Liang Yu, Gao Xiaowei, Zhu Qianghua, Wu Zeyan. ANALYSIS FOR DYNAMIC RESPONSE OF FUNCTIONALLY GRADED MATERIALS USING POD BASED REDUCED ORDER MODEL

N

[J]. Acta Mechanica Sinica, 2018, 50(4): 787-797 https://doi.org/10.6052/0459-1879-18-069
结构受到多种激励产生的振动问题在各个领域都很常见, 例如, 风力涡轮机在风载荷作用下的振动问题对涡轮机的设计中非常关键[1]; 车辆在路面行驶时, 会因路面不平而产生振动, Yau等[2]对移动汽车上受到多种激励的悬臂梁进行分析, 并研究了共振现象以及地震波等不同载荷下悬臂梁的动态响应; 桥梁以及大型建筑物在地震或风作用下的振动bib3; 梁的振动

Ω

等. 如何利用数值方法快速计算和预测结构动力响应具有重要的意义.
功能梯度材料是一种被设计为组成成分在固体中连续变化的复合材料, 故具有多种材料的特性, 其性能要高于一般的传统层合式复合材料, 可以广泛应用于高分子膜和燃料电池[6]、航空航天[7,8,9]、微机电系统[10]等领域.
在实际应用中, 大部分的功能梯度材料都是在动态载荷下工作的, 研究功能梯度材料的结构及其动力响应问题在理论研究和实际应用中都具有深远的意义[11], 得到了国内外专家****的关注. Shahba等[12] 对轴向功能梯度Euler-Bernoulli梁的自由振动和稳定性展开研究; Librescu等[13] 讨论了由功能梯度陶瓷材料制成的自旋薄壁梁的热弹性建模、振动和不稳定性: Thomas等[14]分析了功能梯度纳米管强化复合材料壳结构的振动问题. 之前****研究大多集中于对全阶模型的分析,由于材料性质宏观上的不均匀性, 利用常规数值方法进行分析时, 需要划分大量的单元, 计算工作量巨大[15]. Perez 等[16]****对于非线性各向同性梁和功能梯度板的热弹性动力学问题进行了降阶分析, 并与有限元的全阶模型进行对比, 结果非常一致. 因此, 寻找能够大幅度降低问题维数的办法是解决此类问题的关键. 特征正交分解(proper orthogonal decomposition, POD)[17,18,19,20,21] 正是这样一种高效的降阶方法, 其目的在于寻找给定数据在最小二乘意义下最优的低维逼近, 作用是将多维的物理过程进行低维的近似描述, 用较少的自由度将结构特征表示出来, 进而达到简化物理模型、节省计算时间和计算负荷的目的. 因此, POD方法常被用来解决实际问题数值模拟过程中的降阶问题.
本文在过去对模型降阶法研究的基础上[22,23,24], 提出了一种不同载荷作用下快速分析功能梯度材料动态响应问题的降阶方法. 使用有限元商业软件ANSYS 17.0 计算出均质材料在静态载荷作用下的全阶模型位移场, 并在指定时刻取得瞬像矩阵, 利用特征正交分解方法对变量空间进行POD基底提取, 把整个高维变量空间投影到低维变量空间, 随后利用所得到的POD基底, 计算功能梯度材料在不同动态载荷下的响应值. 本文采用特征正交分解, 推导了一种模型降阶方法, 只需计算一次均质材料动力学问题的全阶模型, 对于功能梯度材料, 可以在低维空间中分析求解, 以期大大降低复杂问题的规模, 提高求解效率.

1 功能梯度材料弹性动力学问题

1.1 功能梯度材料弹性动力学问题

定义在域

?

和边界

σ_{ij, j} + b_{i} - ρ u_{i, tt} - μ u_{i, t} = 0 (in Ω)

上的弹性动力学问题, 其对应的偏微分方程和边界条件为bib25

ε_{ij} = \frac{1}{2} (u_{i, j} + u_{j, i}) (in Ω)

σ_{ij} = D_{ijkl} ε_{kl} (in Ω)

σ_{ij}

其中,

b_{i}

为应力张量,

ρ

是体力分量,

u_{i, tt}

是质量密度,

μ

是加速度,

u_{i, t}

是阻尼系数,

D_{ijkl}

是速度,

v

为弹性本构张量.
在功能梯度材料bib26中, 泊松比

E (x)

的变化相对较小, 可以认为是常量, 假设弹性模量

x

为空间坐标

μ

的函数, 剪切模量

μ (x) = \frac{E (x)}{2 (1 + v)}

为

D_{ijkl}

则弹性本构张量

D_{ijkl} (x) = μ (x) D_{ijkl}^{0}

可以表示为

D_{ijkl}^{0} = \frac{2 v}{1 - 2 v} δ_{ij} δ_{kl} + δ_{ik} δ_{ji} + δ_{il} δ_{jk}

其中,

u_{i} = {\overset{?}{u}}_{i} (on ?

.
边界条件为

σ_{ij} n_{j} = {\overset{?}{f}}_{i} (on ?

u_{i} (x, t_{0}) = u_{i} (t_{0})

初始条件为

u_{i, t} (x, t_{0}) = u_{i, t} (t_{0})

{\overset{?}{u}}_{i}

其中,

{\overset{?}{f}}_{i}

是已知的位移向量,

n_{j}

是已知的面力向量,

?

是边界Γ的单位外法线向量, 且

u_{i} (t_{0})

,和

u_{i, t} (t_{0})

分别表示

i

方向的初始位移和初始速度.

1.2 有限元离散格式

将弹性力学动力学方程进行有限元空间离散后, 可以得到功能梯度材料运动方程[25]
其中,

u

是未知的节点位移向量:

\overset{?}{u}

和

\overset{?}{u}

分别是系统的节点加速度向量和节点速度向量;

M

是系统的质量矩阵,

C

是系统的阻尼矩阵,

K

是系统的刚度矩阵和系统的节点右端载荷向量

F

,分别由各自的单元矩阵和向量组集而成, 即

M^{e} = \int_{Ω} ? ρ N^{T} N d Ω

C^{e} = \int_{Ω} ? μ N^{T} N d Ω

K^{e} = \int_{Ω} ? B^{T} D (x) B d Ω

F^{e} = \int_{Ω} ? N^{T} f d Ω + \int_{?} ?

其中,

D (x)

为与坐标

x

有关的单元材料参数矩阵.

2 特征正交分解法降阶原理

2.1 瞬像矩阵生成

特征正交分解方法利用全阶模型的计算结果, 建立一组能够充分描述全阶系统特征的正交基底. 瞬像(snapshots)是指物理场的数值解在不同时刻的空间分布值. 对于弹性动力学问题, 本文考虑均质材料在静态载荷下的位移场

u

, 并组集瞬像矩阵, 用来求解非均质材料动力学问题, 瞬像矩阵

S

为

S = [u (t_{1}), u (t_{2}), ?, u (t_{L})]

S \in R^{N \times L}

L

N

为所取的瞬像数或快照数,

L ? N

为有限元模型离散后的自由度, 通常

S

S

中的每一列称为一个快照,

u (t_{i}) (i = 1,2, ?, L)

的列数是快照的数量.

2.2 求解POD基底

POD的本质是寻找一组正交基底
$\Phi=\{\varphi_1,\varphi_2,\cdots\varphi_L\}$ (16)
其最佳条件是要求

G = ma x_{φ} \sum_{i}^{=} ? \frac{(u_{i}, φ)^{2}}{∥ φ ∥^{2}}

与其投影的误差范数等价于一个有约束的最大值问题
$\Phi^T\Phi =I(L)$ (18)
向量

φ

为POD规范正交基, 矩阵Φ是POD规范正交基集合, 是一个有

N

L

行

L < < N

列(

S S^{T} u = λ u

)的矩阵, 其满足如所示正交性. 式中带约束的最大值问题可以采用拉格朗日乘子法来求解, 这样, 原来的最优化问题就转化为以下特征值问题

S \in R^{N \times L}

对于矩阵

N > > L

, 由于

S S^{T}

, 矩阵

N

的维数

S^{T} S

远远大于矩阵

L

的维数

R

, 但他们的非零特征值是完全一样的. 因此, 定义相关矩阵

R = S^{T} S

R

首先求解相关矩阵

λ

的特征值

?_{i} (i = 1,2, ?, L)

和特征向量

R ?_{i} = λ_{i} ?_{i}, i = 1,2, ?, L

从而可以得到矩阵

S S^{T}

的特征值对应的

L

个特征向量

{φ_{i}}_{i = 1}^{L}

φ_{i} = \frac{1}{{\sqrt[]{λ}}_{i}} S ?_{i}, i = 1,2, ?, L

即得到了一组POD基底. 这样, 几何模型上任意节点的响应值, 都能够表示成POD基底的线性组合, 即

u (x, t) = \sum_{i}^{=} ? α_{i} (t) φ_{i} (x)

其中,

α_{i}

是POD基底的系数, 与时间相关.

2.3 选取最优POD基底

利用POD基函数对模型进行降阶缩减, 可以通过对特征向量的个数进行截断来实现. 选取足够少的POD 基, 使子空间的总能量与全阶空间的能量之比

I (H) = \frac{\sum_{i}^{=} ? λ_{i}}{\sum_{i}^{=} ? λ_{i}}

满足下式

(H < L)

即缩减的子空间的总能量应与全阶空间的能量之比接近于1, 这样缩减后的基向量可以用于将全阶系统投影到更低维的空间.
截断之后的POD基底可以表示为$\Phi\in R^{H\times H}$

α

, 那么, 待求未知量为
$u(x,t)\approx \Phi(x)\alpha(t)$ (25)
其中,

u (x_{1}, x_{2}, ?, x_{N}, t)

是相关系数.

2.4 POD降阶模型分析

由于待求未知量

\overset{?}{M} \overset{?}{α} + \overset{?}{C} \overset{?}{α} + \overset{?}{K}

可以表示为如式(25)截断POD 基底的线性组合, 将其代入运动方程式(10), 等式两边左乘$\Phi ^T$可以转换为以下等价形式

\overset{?}{M} =

$\alpha=\widehat{F}$ (26)
其中

\overset{?}{C} =

$\Phi ^T M\Phi $ (27)

\overset{?}{K} =

$\Phi ^T C\Phi $ (28)

\overset{?}{F} =

$\Phi ^T K\Phi $ (29)

\overset{?}{M}

$\Phi ^T F$ (30)

\overset{?}{C}

\overset{?}{K}

和

H \times H

具有对称性, 都是

α

维矩阵, 跟原问题相比, 待求解未知量转化为

H

, 只有

α (0) =

自由度的未知量, 大大缩减了求解问题的规模. 将降阶模型的初始条件

α

$ \Phi ^T u_0$ (31)
代入求解方程(26), 可得各个时刻的系数

L = 48 m

, 代回全阶模型, 可得到所有自由度的位移场.

3 数值算例

3.1 二维梁的弯曲

考虑如图1所示功能梯度悬臂梁, 长

h = 12 m

, 高

E = 2 \times 1 0^{11} Pa

, 弹性模量

ρ = 7.85 \times 1 0^{3} kg / m^{3}

, 质量密度

v = 0.3

, 泊松比

t = 0 s

. 忽略阻尼影响. 如图2所示, 梁的自由端在

P = 1 MPa

时刻受到静态集中载荷

t = 0.001 ~ 2 s

. 本算例有限元模型采用4节点平面单元solid182, 共划分576 个单元, 637 个节点.

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图1自由端受静态集中载荷作用的悬臂梁.
-->Fig.1Cantilever beam under a sudden concentrated load at the free-end.
-->

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图2悬臂梁右端所受集中载荷.
-->Fig.2Concentrated load at the right-end of cantilever beam.
-->

悬臂梁为均质材料时, 在图2静态载荷作用下, 梁右端中点处的竖向位移如图3所示.

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图3受集中载荷时悬臂梁右端中点竖向位移.
-->Fig.3Vertical displacement at the right center of cantilever beam under a concentrated load.
-->

取

99.99 %

时间段内的解作为全阶模型的解空间, 用这些样本点构造瞬像矩阵, 再用前文所述方法进行分析, 得到模型的POD基底. 图4所示为前二十阶POD基底所对应的特征值, 可以看出特征值呈现急剧衰减现象, 其中前三阶POD基底对应的特征值占总能量的

x

. 图5给出了前三阶模态

y

方向和

x

方向POD基底的几何形态图.

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图4前二十阶模态对应的特征值.
-->Fig.4Eigenvalue of first 20 modes
-->

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图5 $y$ , $x$ 方向POD基底的前三阶模态.
-->Fig.5First three modes of $y$ and $x$ direction POD basis
-->

取功能梯度材料物性参数沿

E (x) = E_{0} ? \exp (c_{1} x)

轴方向变化(材料一): 弹性模量

ρ (x) = ρ_{0} ? \exp (c_{2} x)

, 质量密度

E_{0} = 2 \times 1 0^{11}

. 其中,

c_{1} = - 0.048

Pa,

ρ_{0} = 7.85 \times 1 0^{3} kg / m^{3}

c_{2} = - 2.839 \times 1 0^{- 3}

g (t)

. 结构受到如图6 所示两种动态载荷

g (t)

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图6动态载荷的时间函数 $g (t)$ .
-->Fig.6Dynamic loads of time dependent function $a$
-->

在动态载荷作用下, 得到材料一悬臂梁右端中点受到正弦函数载荷

b

和线性载荷

a

时的竖向位移(见图7和图8).

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图7受动态载荷 $a$ 时悬臂梁右端中点竖向位移(材料一).
-->Fig.7Vertical displacement of cantilever beam right center under a dynamic load $b$ (material one)
-->

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图8受动态载荷 $b$ 时悬臂梁右端中点竖向位移(材料一).
-->Fig.8Vertical displacement of cantilever beam right center under a dynamic load $E (y) = E 0 ? exp (d 1 L)$ (material one)
-->

取功能梯度材料物性参数沿y轴方向变化(材料二), 弹性模量

ρ (x) = ρ_{0} ? \exp (d_{2} x)

, 质量密度

E_{0} = 2 \times 1 0^{11}

. 其中,

d_{1} = - 0.033 8

Pa,

ρ_{0} = 7.85 \times 1 0^{3} kg / m^{3}

d_{2} = - 0.011

g (t)

. 结构受到如图6 所示两种动态载荷

a

.
得到材料二悬臂梁右端中点受到载荷

b

和载荷

a

时的竖向位移, 如图9和图10所示.

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图9受动态载荷 $a$ 时材料二悬臂梁右端中点竖向位移.
-->Fig.9Vertical displacement of cantilever beam right center under a dynamic load $b$ (material two)
-->

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图10受动态载荷 $b$ 时材料二悬臂梁右端中点竖向位移.
-->Fig.10Vertical displacement of cantilever beam right center under a dynamic load $ρ = 7.85 × 103 kg / m 3$ (material two)
-->

二维悬臂梁模型在质量密度

E = 2 \times 1 0^{11}

, 弹性模量

v = 0.3

Pa, 泊松比

P = 1

,右端受集中力

x

MPa的情况下, 求得POD基底.并用这组基底快速计算材料参数沿不同方向变化、受到不同动态载荷时模型右端中点竖向位移. 降阶模型计算结果与传统有限元软件(全阶模型)相比非常吻合. 两种工况下材料参数沿

%

方向变化时计算能量误差分别为: 2.816

%

, 3.123

y

, 材料参数沿

%

方向变化时计算误差分别为: 4.755

%

, 5.224

L = 48 m

, 结果表明材料参数的变化方向会影响计算结果的精度, 但POD基底可以捕捉二维悬臂梁模型的基本振动特性, 即使材料参数和外加载荷改变, 依然可以做为快速计算“新”模型的工具.

3.2 三维梁的弯曲

采用三维功能梯度悬臂梁进行降阶分析. 悬臂梁长

h = 12 m

, 高

d = 2 m

, 宽

E = 2 \times 1 0^{11} Pa

. 计算基底时取

v = 0.3

, 泊松比

ρ = 7.85 \times 1 0^{3} kg / m^{3}

, 质量密度

P = 1

, 模型左端固定, 上表面受压

0 ~ 4

MPa. 本算例有限元模型采用20 节点六面体单元solid186, 共有单元数288个, 节点数1829 个. 首先对均质材料悬臂梁在静态载荷下的动力响应进行分析: 紧接着获得POD基底并截断: 最后利用POD基底对功能梯度材料梁在动态载荷作用下的位移场进行快速分析. 图11为三维悬臂梁模型. 在静态载荷作用下均质材料梁右端中点竖向位移如图12所示.

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图11三维悬臂梁模型.
-->Fig.11Model of three-dimensional cantilever beam
-->

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图12受静态载荷时悬臂梁右端中点竖向位移.
-->Fig.12Vertical displacement at the right center of cantilever beam under a distributed load.
-->

利用

x

s区间内的位移场获取模型的100个快照组成瞬像矩阵(时间步长0.005 s), 采用前文所述方法求得POD基底. 功能梯度材料物性参数沿

2 \times 1 0^{10} ~ 2 \times 1 0^{11}

轴方向变化: 弹性模量在

E (x) = E_{0} ? \exp (c_{1} x)

Pa范围内变化, 满足

7.85 \times 1 0^{3} ~ 8.3 \times 1 0^{3} kg / m^{3}

, 质量密度的变化范围是

ρ (x) = ρ_{0} ? \exp (c_{2} x)

, 且满足关系式

E_{0} = 2 \times 1 0^{11}

. 其中,

c_{1} = - 0.048

Pa,

ρ_{0} = 7.85 \times 1 0^{3} kg / m^{3}

c_{2} = 1.16 \times 1 0^{- 3}

γ = 0.4

. 考虑阻尼影响, 当阻尼系数

c = 0.4

时, 功能梯度悬臂梁长期振动结果如图13 所示. 正是由于考虑了阻尼的影响, 悬臂梁在振动过程中动能不断耗散, 振幅不断减小, 最后趋于稳定.

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图13阻尼系数为 $a$ 时分布载荷长期作用下右端中点位移.
-->Fig.13Midpoint vertical displacement at the right end of beam under a long time distributed load when damping coefficient equals 0.4
-->

若模型受如图6所示动态载荷

a

时, 在正弦函数载荷作用下功能梯度材料梁右端中点的竖向位移如图14 所示.

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图14受载荷 $a$ 时模型右端中点竖向位移(前四十阶模态).
-->Fig.14Midpoint vertical displacement at the right end of beam under load $b$ (top forty modes)
-->

由3.3节可知, 截断不同数量的POD基底所包含的系统能量不同. 模型受图6所示动态载荷

%

时, 取两组截断数量的POD基底分别计算节点位移. 图15是取第一阶POD基底时降阶模型和全阶模型位移对比, 由于第一阶基底占了总能量份额的97.9.1

%

, 可以看出虽然大致趋势吻合但位移值误差较大: 当取前四十阶POD基底时(图16), 由于包含了整个系统99.99

b

以上的能量, 因此降阶模型结果与全阶模型吻合得非常好, 并且降阶模型只需求解四十个方程.

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图15受载荷 $b$ 时模型右端中点竖向位移(第一阶模态)
-->Fig.15Midpoint vertical displacement at the right end of beam under load $b$ (the first mode)
-->

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图16受载荷 $b$ 时模型右端中点竖向位移(前四十阶模态).
-->Fig.16Midpoint vertical displacement at the right end of beam under load $~$ (top forty modes)
-->

用本文降阶法和有限元全阶模型(5487个自由度)计算两种动态载荷作用下0

%

4 s (时间步长0.005 s) 的位移场, 所花费时间列于表1. 值得注意的是, 降阶法所记录的时间是指求解降阶微分方程的时间, 不包括前期建立数据库(38.93 s)、组集有限元系数矩阵(6.98 s)和求解降阶POD基底(1.55 s) 花费的时间, 这些前期的准备工作可以提前计算, 并且只需准备一次, 对于后续动态载荷功能梯度材料问题可以使用已经求得的POD基底, 计算多种工况下不同种材料的动态响应问题, 故这种时间统计是有意义的. 模型在两种载荷下的计算能量误差分别为2.727

%

, 3.630

t /

.
Table 1
表1
表1两种动态载荷下位移场的计算时间
Table 1Computational time of displacement field under two dynamic loads

4*Method	Reduce order method		3*
FEM
full order model
	Untruncated	Truncated
	100 POD basis	40 POD basis
	$t /$ s	$t /$ s	$E = 2 \times 1 0^{11}$ s
sine load	2.53	2.35	122.40
linear load	2.63	2.46	124.19

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从表1可以看出, 降阶法比有限元全阶模型的计算效率更高.

3.3 飞轮模型

图17所示为飞轮模型的立体示意图, 其几何尺寸如图18所示. 飞轮轴面固定, 上下两个凹槽内分别受10 MPa和100 MPa压力, 对其进行瞬态动力学分析. 飞轮的材料参数为: 弹性模量

v = 0.3

Pa, 泊松比

ρ = 7.85 \times 1 0^{3} kg / m^{3}

, 密度

~

. 因飞轮为轴对称结构, 所以在建模计算过程中, 可只取四分之一做为计算模型, 从而减少计算量. 本文中所采用的计算模型及其网格如图19所示, 共有5215个节点, 3798个单元.

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图 17飞轮模型示意图.
-->Fig.17model of flywheel
-->

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图 18飞轮模型几何尺寸示意图(单位: m).
-->Fig.18Physical dimension of flywheel(unit: m)
-->

显示原图|下载原图ZIP|生成PPT
图 19飞轮四分之一模型及网格.
-->Fig.19Model and mesh of quarter flywheel
-->

采用有限元软件对该模型进行求解, 时间步长取0.000 5, 得到0

2 \times 1 0^{11} ~ 2 \times 1 0^{12}

0.2 s的计算结果, 每隔0.001 s取一个瞬像, 共200个组成瞬像矩阵, 作为之后求解功能梯度材料模型的基础.
改变当前飞轮模型的物性参数, 使其弹性模量沿径向在$2\times10^11~2\times10^12$Pa范围内变化, 变化曲线满足

E (R) = E_{0} ? \exp (c_{1} R)

R = \sqrt[]{x^{2} + y^{2}}

, 质量密度沿径向在

6.85 \times 1 0^{3} ~ 7.85 \times 1 0^{3} kg / m^{3}

; 范围内变化, 变化曲线满足

ρ (R) = ρ_{0} ? \exp (c_{1} R)

R = \sqrt[]{x^{2} + y^{2}}

,经计算可得常数

E_{0} = 9.283 \times 1 0^{10}

c_{1} = 0.384

ρ_{0} = 6.546 \times 1 0^{3}

c_{2} = 0.022 7

,对模型施加随时间变化的线性动态载荷

F' = F (at + 1)

a = 10

,对于上表面凹槽

F_{1} = 10

F_{2} = 100

MPa, 下表面凹槽. 由于材料和载荷的改变, 传统有限元方法在计算该问题时需要重新求解5215个节点, 共15 645个自由度. 而用本文所提出的降阶方法, 只需求解最多200个自由度, 大大降低了问题的求解规模. 计算结果如图20和图21所示

显示原图|下载原图ZIP|生成PPT
图 20节点A的 $y$ 方向位移随时间变化曲线.
-->Fig.20Time dependent displacement of $z$ -direction for node A
-->

显示原图|下载原图ZIP|生成PPT
图 21节点B的 $z$ 方向位移随时间变化曲线.
-->Fig.21Time dependent displacement of $%$ -direction for node B
-->

图20和图21为节点A和B在动态载荷下各个时刻位移的变化情况, 为了对比不同种材料对节点位移的影响, 图中也画出了均质材料在静态载荷下节点A和B的位移曲线. 从图中可以看出, 当材料的弹性模量和质量密度沿径向增大后, 节点的位移随之变小, 但由于载荷随时间逐渐增大, 又呈现出逐步攀升的状态, 这是符合实际情况的. 另外也可以看出, 降阶模型和全阶模型计算结果非常吻合, 通过进一步计算得到节点A和节点B位移平均误差分别为2.01

%

和1.77

~

. 表2分别记录了两种方法所花费的时间.
Table 2
表2
表2两种模型计算位移场的时间
Table 2Computational time of displacement field for two different model

2*Method	Reduce order method		2*
Full order
model
	POD basis	solve
time/s	43.76	1.16	153.73

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4 结论

本文通过求解均质材料在静态载荷作用下的位移场, 构造出低维且具有正交性质的POD基底, 进而将复杂非均质问题投影到低维空间中进行分析, 计算结果与全阶模型结果吻合, 且计算效率大大提高.
(1) 均质材料在静态载荷作用下的解空间, 在一定程度上能反应该模型的动力学特性, 可以作为求解其他复杂问题的基础.
(2) 构造功能梯度材料动力学分析的降阶模型, 其计算时间主要消耗在对均质材料快照的获取上, 一旦得到均质材料的POD基, 可以快速计算功能梯度材料在不同动态载荷下的响应问题, 求解降阶模型的时间将远远小于全阶模型计算时间, 几乎可以忽略, 计算效率将提高1{Invalid MML}2个数量级.
The authors have declared that no competing interests exist.

参考文献原文顺序
文献年度倒序
文中引用次数倒序
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功能梯度材料动力学问题的POD模型降阶分析 N

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ANALYSIS FOR DYNAMIC RESPONSE OF FUNCTIONALLY GRADED MATERIALS USING POD BASED REDUCED ORDER MODEL $N$

1 功能梯度材料弹性动力学问题

1.1 功能梯度材料弹性动力学问题

1.2 有限元离散格式

2 特征正交分解法降阶原理

2.1 瞬像矩阵生成

2.2 求解POD基底

2.3 选取最优POD基底

2.4 POD降阶模型分析

3 数值算例

3.1 二维梁的弯曲

3.2 三维梁的弯曲

3.3 飞轮模型

4 结论

参考文献原文顺序
文献年度倒序
文中引用次数倒序
被引期刊影响因子

相关话题/材料 计算 结构 空间 力学

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功能梯度材料动力学问题的POD模型降阶分析 N

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ANALYSIS FOR DYNAMIC RESPONSE OF FUNCTIONALLY GRADED MATERIALS USING POD BASED REDUCED ORDER MODEL N

1 功能梯度材料弹性动力学问题

1.1 功能梯度材料弹性动力学问题

1.2 有限元离散格式

2 特征正交分解法降阶原理

2.1 瞬像矩阵生成

2.2 求解POD基底

2.3 选取最优POD基底

2.4 POD降阶模型分析

3 数值算例

3.1 二维梁的弯曲

3.2 三维梁的弯曲

3.3 飞轮模型

4 结论

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相关话题/材料 计算 结构 空间 力学

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