王祚恩, 唐国平
中国科学院大学数学科学学院, 北京 100049
2018年1月29日 收稿; 2018年4月27日 收修改稿
基金项目: 国家自然科学基金（11771422）资助
通信作者: 王祚恩, E-mail:wangzuoen15@mails.ucas.edu.cn

摘要: 令G为一个有限交换群，它的整群环ZG为QG中的一个Z-序。令Γ为QG中包含ZG的极大Z-序，对几类有限交换群G，计算K₁（ZG）在K₁（Γ）中的指数。
关键词: 整群环Z-序核群D(ZG)K₁群K₁(ZG)Whitehead群Wh(G)
K₁ groups of integral group rings for some types of finite abelian groups
WANG Zuoen, TANG Guoping
School of Mathematical Sciences, University of Chinese Academy of Sciences Beijing 100049, China


Abstract: Let G be a finite abelian group. Its integral group ring ZG is a Z-order in QG. Let Γ be the maximal Z-order in QG containing ZG. We calculate the index of K₁(ZG) in K₁(Γ) for some types of finite abelian groups.
Keywords: integral group ringZ-orderkernel group D(ZG)K₁ group K₁(ZG)Whitehead group Wh(G)
本文报道我们在利用核群D(ZG)研究K₁(ZG)时得到的一些结果。
1 预备知识定义1.1??设R是一个有单位元1的环，有限生成投射R-模M的同构类记为[M]，则在集合Proj(R)={[M]|M是有限生成投射R-模}上定义加法运算[M]+[N]=[M⊕N]，使得Proj(R)成为一个有零元0的交换半群，K₀(R)定义为Proj(R)的群完备化。
设f:R→S是一个环同态，则S可以看成S-R双模，故对左R-模M，有S?_RM是左S-模，当M是有限生成投射R-模时，S?_RM是有限生成投射S-模。
由此可建立群同态K₀(f):K₀(R)→K₀(S), [M]→[S?_RM]。
定义1.2??设R是一个诺特整环，商域为K，A是一个有限维K-代数。A的一个R-序(R-order)Λ是A的一个子环，同时是A的有限生成R-子模，并满足$K \cdot \Lambda = \left\{ {\sum {{\alpha _i}} {m_i}:{\alpha _i} \in K, {m_i} \in } \right.$Λ, 其中∑表示有限和}=A。
设G为有限群，易见ZG为QG中的一个Z-序(Z-order)。
现考虑QG中的任意一个Z-序Λ，设p为任意的素数，则整数环Z有素理想(p)，令Λ_(p)表示Λ在素理想(p)处的局部化，则有：K₀(Λ)→K₀(Λ_(p)), [M]→[Λ_(p)?_ΛM]。
局部自由类群CL(Λ)定义为K₀(Λ)→$\prod\limits_{\rm{p}} {{K_0}} \left({{\Lambda _{(p)}}} \right)$的核，其中p走遍Z中所有素数。
定义1.3??设Λ是半单代数QG的一个Z-序，Γ是QG中包含Λ的一个极大Z-序，则有同态η：CL(Λ)→CL(Γ)，将[M]映射为[Γ?_ΛM]，其中M是一个有限生成投射Λ-模，核群D(Λ)定义为映射η的核。
注：QG中包含Λ的极大Z-序一般不唯一，但核群D(Λ)与极大Z-序Γ的选取无关(见文献[1])。
定义1.4??设R是一个有单位元1的环，记$GL(R) = \cup _{n = 1}^\infty G{L_n}(R), E(R) = \cup _{n = 1}^\infty {E_n}(R)$。
由Whitehead引理可知，E(R)=[GL(R), GL(R)]=[E(R), E(R)]，因此E(R)$\triangleleft $GL(R)且E(R)为完全群。记K₁(R)=GL(R)/E(R)，称交换群K₁(R)为环R的K₁群。
对于任意群G, $\{ \pm g:g \in G\} \subseteq {({\bf{Z}}G)^ \times } \subseteq $GL(ZG), 将{±g:g∈G}对应于K₁(ZG)的元素生成的子群记为±G, 则称Wh(G)=K₁(ZG)/±G为G的Whitehead群。关于Whitehead群的更多信息见文献[2]。
设R是一个有单位元1的交换环, 用R^×表示环R的单位群, 则行列式映射诱导出K₁(R)到R^×的满同态, 并且有分裂同态R^×→K₁(R), 因此有K₁(R)=R^×⊕SK₁(R)。其中SK₁(R)=SL(R)/E(R), SL(R)是GL(R)中行列式为1的矩阵构成的群。
注1：若F是代数数域，R是F的代数整数环，则由文献[3]可知SK₁(R)=0。
注2：对于整群环ZG，文献[2]给出了SK₁(ZG)=0的充分必要条件。
引理1.1??当G是有限交换群时，ZG是半单代数QG的一个Z-序，且QG只有一个极大Z-序Γ，Γ$\supseteq $ZG。如果${\bf{Q}}G \cong \prod\limits_{i = 1}^r {\bf{Q}} \left({{\xi _l}_{_i}} \right)$，则$\Gamma = \prod\limits_{i = 1}^r {\bf{Z}} \left[{{\xi _{{l_i}}}} \right]$。
证明??见文献[4]。
引理1.2??在引理1.1的假设下, (ZG)^×的挠部分即为{±g:g∈G}, 且(ZG)^×自由部分的秩等于Γ^×自由部分的秩。特别地, [Γ^×:(ZG)^×]＜+∞。
证明??见文献[5]。
定义1.5??在引理1.1的假设下，令ZG_p=ZG?_ZZ_p，Γ_p=Γ?_ZZ_p，其中Z_p为p-adic整数环。Z中的素理想(p)称为ZG-奇异，如果Γ_p≠ZG_p。记S(ZG)为ZG-奇异素理想的集合。
引理1.3??在引理1.1的假设下，记号如前，则有正合列：$1 \to {\Gamma ^ \times }/{({\bf{Z}}G)^ \times } \to \prod\limits_{S({\bf{Z}}G)} {{{\left({{\Gamma _p}} \right)}^ \times }} /{\left({{\bf{Z}}{G_p}} \right)^ \times } \to CL({\bf{Z}}G) \to CL(\Gamma) \to 1$
且有：
(i) $|D({\bf{Z}}G)| \cdot \left[{{\Gamma ^ \times }:{{({\bf{Z}}G)}^ \times }} \right] = \prod\limits_{S({\bf{Z}}G)} {\left[{{{\left({{\Gamma _p}} \right)}^ \times }:{{\left({Z{G_p}} \right)}^ \times }} \right]} $
(ii) $\left[{{{\left({{\Gamma _p}} \right)}^ \times }:{{\left({{\bf{Z}}{G_p}} \right)}^ \times }} \right] = {l_p}{m_p}, {l_p} = \frac{{\left| {{{\left({{\Gamma _p}/{J_p}} \right)}^ \times }} \right|}}{{\left| {{{\left({{\bf{Z}}{G_p}/{J_p} \cap {\bf{Z}}{G_p}} \right)}^ \times }} \right|}}, {m_p} = \frac{{\left[{{\Gamma _p}:{\bf{Z}}{G_p}} \right] \cdot \left[{{\bf{Z}}{G_p}:{J_p} \cap {\bf{Z}}{G_p}} \right]}}{{\left[{{\Gamma _p}:{J_p}} \right]}}, $
其中J_p为Γ_p的Jacobson根。
证明??见文献[6]。
引理1.4??在引理1.1的假设下，记号如前，则Γ_p为QG?_QQ_p中的极大Z_p-序。且如果QG?_QQ_p$\cong \prod\limits_{i = 1}^r {{A_i}} $(单分支)，令R_i为Z_p在A_i中的整闭包。则有${\Gamma _p} = \prod\limits_{i = 1}^r {{\Gamma _i}} $，其中Γ_i为A_i中的极大R_i-序。
证明??见文献[4]。
由文献[2]可知, 对于一些有限交换群G, SK₁(ZG)=0, 此时K₁(ZG)=(ZG)^×。又由引理1.2, 此时G的Whitehead群Wh(G)即为有限生成交换群K₁(ZG)的自由部分, 且其秩与有限生成交换群K₁(Γ)=Γ^×自由部分的秩相等。由于此时K₁(Γ)与K₁(ZG)的挠部分均显然, 根据有限生成交换群的结构定理，计算出[K₁(Γ):K₁(ZG)]就可以估计K₁(Γ)自由部分的生成元与K₁(ZG)自由部分的生成元之间的倍数关系, 本文的第2节和第3节主要对此进行计算。
2 $G = C_p^l \times C_q^m$时的情形定理2.1??设$G = C_p^l \times C_q^m$(p与q为不同的素数，$C_p^l$表示l个p阶循环群的乘积)，则|D(ZG)|·$\left[{{\Gamma ^ \times }:{{({\bf{Z}}G)}^ \times }} \right] = {l_p} \cdot {m_p} \cdot {l_q} \cdot {m_q}$，

$\begin{array}{l}{l_p} = {(p - 1)^{{p^{l - 1}} + {p^{l - 2}} + \cdots + p + 1}} \times \\\;\;\;\;\;\;{\left( {{p^f} - 1} \right)^{g\left( {{p^{l - 1}} + {p^{l - 2}} + \cdots + p + 1} \right)\left( {{q^{m - 1}} + {q^{m - 2}} + \cdots + q + 1} \right)}}, \\{l_q} = {(q - 1)^{{q^{m - 1}} + {q^{m - 2}} + \cdots + q + 1}} \times \\\;\;\;\;\;\;{\left( {{q^{{f^\prime }}} - 1} \right)^{{g^\prime }\left( {{p^{l - 1}} + {p^{l - 2}} + \cdots + p + 1} \right)\left( {{q^{m - 1}} + {q^{m - 2}} + \cdots + q + 1} \right)}}, \\{m_p} = {p^{{q^m} \cdot \frac{1}{2}\left( {p{l_{ - p}}l - 1 + p{l_{ - p}}l - {2_{ + \cdots + p}}{l_{ - p}}} \right)}}, \\{m_q} = {q^{{p^l} \cdot \frac{1}{2}\left( {{q^m} - {q^{m - 1}} + {q^m} - {q^{m - 2}} + \cdots + {q^m} - q} \right)}}.\end{array}$

其中f是使p^f≡1(mod q)成立的最小正整数，$g = \frac{{q - 1}}{f}$。f′是使q^f′≡1(mod p)成立的最小正整数，${g^\prime } = \frac{{p - 1}}{{{f^\prime }}}$。
证明
1) 由$G = C_p^l \times C_q^m$，可得${\bf{Q}}G = {\bf{Q}}{C_p}{ \otimes _{\bf{Q}}} \cdots { \otimes _{\bf{Q}}}{\bf{Q}}{C_p}{ \otimes _{\bf{Q}}}{\bf{Q}}{C_q}{ \otimes _{\bf{Q}}} \cdots { \otimes _{\bf{Q}}}{\bf{Q}}{C_q}$。
又${\bf{Q}}{C_p} = {\bf{Q}} \times {\bf{Q}}(\omega), \omega = {{\rm{e}}^{\frac{{2{\rm{ \mathit{ π} i}}}}{p}}}, {\bf{Q}}{C_q} = {\bf{Q}} \times {\bf{Q}}(\eta), \eta = {{\rm{e}}^{\frac{{2{\rm{ \mathit{ π} i}}}}{q}}}$, $\eta = {{\rm{e}}^{\frac{{{\rm{2 \mathit{ π} i}}}}{\mathit{q}}}}, {\bf{Q}}(\omega){ \otimes _{\bf{Q}}}{\bf{Q}}(\omega) = {\bf{Q}}(\omega)[x]/\left({{x^{p - 1}} + \cdots + x + 1} \right) = {\bf{Q}}{(\omega)^{p - 1}}$, ${\bf{Q}}(\eta){ \otimes _{\bf{Q}}}{\bf{Q}}(\eta) = {\bf{Q}}{(\eta)^{q - 1}}$, ${\bf{Q}}(\omega){ \otimes _{\bf{Q}}}{\bf{Q}}(\eta) = {\bf{Q}}(\omega)[x]/\left({{x^{q - 1}} + \cdots {\rm{ + }}\mathit{x}{\rm{ + 1}}} \right) = {\bf{Q}}(\omega){\bf{Q}}(\eta) = {\bf{Q}}(\lambda)$, $\lambda = {{\rm{e}}^{\frac{{2{\rm{ \mathit{ π} i}}}}{{pq}}}}$。
归纳可得

$\begin{array}{l}{\bf{Q}}G = {\bf{Q}} \times {\bf{Q}}{(\omega )^{{p^{l - 1}} + {p^{l - 2}} + \cdots + p + 1}} \times \\\;\;\;\;\;\;\;\;\;{\bf{Q}}{(\mathit{\eta })^{{q^{m - 1}} + {q^{m - 2}} + \cdots + q + 1}} \times \\\;\;\;\;\;\;\;\;\;{\bf{Q}}{(\lambda )^{\left( {{p^{l - 1}} + {p^{l - 2}} + \cdots + p + 1} \right)\left( {{q^{m - 1}} + {q^{m - 2}} + \cdots + q + 1} \right)}}.\end{array}$

2) 由引理1.1，

$\begin{array}{l}\Gamma = {\bf{Z}} \times {\bf{Z}}{[\omega ]^{{p^{l - 1}} + {p^{l - 2}} + \cdots + p + 1}} \times \\\;\;\;\;\;{\bf{Z}}{[\mathit{\eta }]^{{q^{m - 1}} + {q^{m - 2}} + \cdots + q + 1}} \times \\\;\;\;\;\;{\bf{Z}}{[\lambda ]^{\left( {{p^{l - 1}} + {p^{l - 2}} + \cdots + p + 1} \right)\left( {{q^{m - 1}} + {q^{m - 2}} + \cdots + q + 1} \right)}}.\end{array}$

由pZ[ω]=(1-ω)^p-1，N(1-ω)=p。
可得Q(ω)?_QQ_p=Q(ω)_(1-ω)，即Q(ω)对Z[ω]中素理想(1-ω)的局部域。
记O_(1-ω)为其赋值环，M_(1-ω)为O_(1-ω)唯一的极大理想。易见O_(1-ω)为Z_p在Q(ω)_(1-ω)中的整闭包。
再记O′为Q(ω)的赋值环，M′为O′唯一的极大理想。
由局部域的性质可得O_(1-ω)/M_(1-ω)=O′/M′=Z[ω]/(1-ω)=F_p，即p阶有限域。
由$p{\bf{Z}}[\eta] = {P_1} \cdots {P_g}, g = \frac{{q - 1}}{f}$，其中f是使p^f≡1(mod q)成立的最小正整数。
可得Q(η)?_QQ_p=Q(η)_P1×…×Q(η)_Pg，记号同上，有O_Pj/M_Pj=Z[η]/P_j=F_p^f。
由pZ[λ]=(P′₁…P′_g)^p-1，可得Q(λ)?_QQ_p=Q(λ)_P′1×…×Q(λ)_P′g，类似地，我们有O_P′j/M_P′j=F_p^f。
因此${\bf{Q}}G{ \otimes _{\bf{Q}}}{{\bf{Q}}_p} = {{\bf{Q}}_p} \times {\left({{\bf{Q}}{{(\omega)}_{(1 - \omega)}}} \right)^{{p^{l - 1}} + \ldots + p + 1}} \times {\left({{\bf{Q}}{{(\eta)}_{{P_1}}} \times \cdots \times {\bf{Q}}{{(\eta)}_{{P_g}}}} \right)^{{q^{m - 1}} + {q^{m - 2}} + \cdots + q + 1}} \times \left({{\bf{Q}}{{(\lambda)}_{P_1^\prime }} \times } \right. \cdots \times {\bf{Q}}{(\lambda)_{P_g^\prime }}{)^{\left({{p^{l - 1}} + \cdots + p + 1} \right)\left({{q^{m - 1}} + \cdots + q + 1} \right)}}$。
由引理1.4可知，${\Gamma _p}/{J_p} = {F_p} \times F_p^{{p^{l - 1}} + {p^{l - 2}} + \cdots + p + 1} \times F_{pf}^{g\left({{q^{m - 1}} + {q^{m - 2}} + \cdots + q + 1} \right)} \times \mathit{F}_{{p^f}}^{g\left({{p^{l - 1}} + {p^{l - 2}} + \cdots + p + 1} \right)\left({{q^{m - 1}} + {q^{m - 2}} + \cdots + q + 1} \right)}$。
同理可得, ${\Gamma _q}/{J_q} = {F_q} \times F_q^{{q^{m - 1}} + {q^{m - 2}} + \cdots + q + 1} \times \mathit{F}_{{q^{f'}}}^{{g^\prime }}\left({{p^{l - 1}} + {p^{l - 2 + \cdots + p + 1)}} \times } \right.\mathit{F}_{{q^{f'}}}^{{g^\prime }}\left({{p^{l - 1}} + {p^{l - 2}} + \cdots + p + 1} \right)\left({{q^{m - 1}} + {q^{m - 2}} + \cdots + q + 1} \right)$，
其中f′是使q^f′≡1(mod p)成立的最小正整数，${g^\prime } = \frac{{p - 1}}{{{f^\prime }}}$。
3) ${\bf{Z}}{G_p}/{J_p} \cap {\bf{Z}}{G_p} = {F_p}\left[{{C_q} \times \cdots \times {C_q}} \right] = {F_p}\left[{{C_q}} \right]{ \otimes _{{F_p}}} \cdots { \otimes _{{F_p}}}{F_p}\left[{{C_q}} \right]$。
${F_p}\left[{{C_q}} \right] = {F_p}[x]/(x - 1) \times {F_p}[x]/\left({{x^{q - 1}} + } \right.{x^{q - 2}} + \cdots + x + 1)$，又在F_p[x]中有${x^{q- 1}} + {x^{q- 2}} + \cdots + x + 1 = \prod\limits_{j = 1}^g {{\varphi _j}} (x)$，
其中的φ_j(x)都是F_p[x]中的f次不可约多项式(见文献[7])。因此得到F_p[C_q]=F_p×$F_{{p^f}}^g$。
由于有限域的有限扩张为Galois扩张，设F_p^f=F_p(θ)，φ为θ在F_p上的极小多项式，则φ在F_p^f上分裂。
所以${F_{{p^f}}}{ \otimes _{{F_p}}}{F_{{p^f}}} = {F_{{p^f}}}[x]/(\varphi) = F_{pf}^f$。
归纳可得${\bf{Z}}{G_p}/{J_p}\quad \cap \quad {\bf{Z}}{G_p} = {F_p}\; \times F_{{p^f}}^{\left({{q^{m - 1}} + {q^{m - 2}} + \cdots + q + 1} \right)g}$，同理可得${\bf{Z}}{G_q}/{J_q} \cap {\bf{Z}}{G_q} = {F_q} \times \mathit{F}_{{q^f}^\prime }^{\left({{p^{l - 1}} + {p^{l - 2}} + \cdots + p + 1} \right){g^\prime }}$。
4) 记d(Γ)为Γ的判别式，因此$d(\Gamma) = {p^{(p - 2)\left({{p^{l - 1}} + {p^{l - 2}} + \cdots + p + 1} \right)}} \cdot {q^{(q - 2)\left({{q^{m - 1}} + {q^{m - 2}} + \cdots + q + 1} \right)}} \cdot {\left({{p^{(p - 2)(q - 1)}} \cdot {q^{(q - 2)(p - 1)}}} \right)^{\left({{p^{l - 1}} + \cdots + p + 1} \right)\left({{q^{m - 1}} + \cdots + q + 1} \right)}} = {p^{{q^m}\left({{p^l} - 1 - {p^{l - 1}} - {p^{l - 2}} - \cdots - p - 1} \right)}} \cdot {q^{{p^l}\left({{q^m} - 1 - {q^{m - 1}} - {q^{m - 1}} - {q^{m - 2}} - \cdots - q - 1} \right)}}$，记d(ZG)为ZG的判别式，d(ZG)=(p^lq^m)^plqm。
由文献[4]可知[Γ:ZG]²=d(ZG)/d(Γ)，所以[Γ:ZG]=${p^{{q^m} \cdot \frac{1}{2}}}^{\left({{p^l} + {p^{l - 1}} + {p^l} + {p^{l - 2}} + \cdots + {p^l} + p + 2} \right)} \cdot {\mathit{q}^{{p^l} \cdot \frac{1}{2}}}\left({{q^m} + {q^{m - 1}} + {q^m} + {q^{m - 2}} + \cdots + {q^m} + q + 2} \right)$，因此可得[Γ_p:ZG_p]=${p^{{q^m} \cdot \frac{1}{2}\left({{p^l} + {p^{l - 1}} + {p^l} + {p^{l - 2}} + \cdots + {p^l} + p + 2} \right)}}$，[Γ_q:ZG_q]=${q^{{p^l} \cdot \frac{1}{2}}}^{\left( {{q^m} + {q^{m - 1}} + {q^m} + {q^{m - 2}} + \cdots + {q^m} + q + 2} \right)}$。
5) 由引理1.3，

$\begin{array}{l}{l_p} = {(p - 1)^{{p^{l - 1}} + {p^{l - 2}} + \cdots + p + 1}} \times \\\;\;\;\;\;{\left( {{p^f} - 1} \right)^{g\left( {{p^{l - 1}} + {p^{l - 2}} + \cdots + p + 1} \right)\left( {{q^{m - 1}} + {q^{m - 2}} + \cdots + q + 1} \right)}}, \\{l_q} = {(q - 1)^{{q^{m - 1}} + {q^{m - 2}} + \cdots + q + 1}} \times \\\;\;\;{\left( {{q^{{f^\prime }}} - 1} \right)^{{g^\prime }\left( {{p^{l - 1}} + {p^{l - 2}} + \cdots + p + 1} \right)\left( {{q^{m - 1}} + {q^{m - 2}} + \cdots + q + 1} \right)}}, \\{m_p} = \frac{{{p^{{q^m} \cdot \frac{1}{2}\left( {{p^l} + {p^{l - 1}} + {p^l} + {p^{l - 2}} + \cdots + {p^l} + p + 2} \right)}} \times p \times {p^{\left( {{q^m} - 1} \right)}}}}{{p \times {p^{\left( {{p^{l - 1}} + \cdots + p + 1} \right)}} \times {p^{\left( {{q^{m - 1}}} \right)}} \times {p^{\left( {{q^m} - 1} \right)\left( {{p^{l - 1}} + \cdots + p + 1} \right)}}}}\\\;\;\;\;\; = {p^{{q^m} \cdot \frac{1}{2}\left( {{p^l} - {p^{l - 1}} + {p^l} - {p^{l - 2}} + \cdots + {p^l} - p} \right)}}, \\{m_q} = {q^{{p^l} \cdot \frac{1}{2}\left( {{q^m} - {q^{m - 1}} + {q^m} - {q^{m - 2}} + \cdots + {q^m} - q} \right)}}, 由此得证。\end{array}$

定理2.2
(i) 当G=C_p时, [K₁(Γ):K₁(ZG)]=p-1.
证明??由定理2.1可得

$|D({\bf{Z}}G)| \cdot \left[ {{\Gamma ^ \times }:{{({\bf{Z}}G)}^ \times }} \right] = p - 1.$

又|D(ZG)|=1(见文献[8]),
因此[Γ^×:(ZG)^×]=p-1。
由文献[2]可知此时SK₁(ZG)=0, 所以[Γ^×:K₁(ZG)]=p-1。
又Γ为有限个代数整数环的乘积, K₁与取单位群均与有限乘积交换, 由文献[3]可知K₁(Γ)=Γ^×。
因此得到[K₁(Γ):K₁(ZG)]=p-1。
(ii) 当G=C₂×C_p时, 其中p为奇素数。
则有(p-1)²[K₁(Γ):K₁(ZG)], [K₁(Γ):K₁(ZG)](2^f″-1)^g″·(p-1)²/N(2, p),
其中f″是使2^f″≡1(mod p)成立的最小正整数, ${g^{\prime \prime }} = \frac{{p - 1}}{{{f^{\prime \prime }}}}$,

$N(2, p) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{{\left( {{2^{\frac{{{f^{\prime \prime }}}}{2}}} + 1} \right)}^{{g^{\prime \prime }}}}/p, \;\;\;{f^{\prime \prime }}为偶数时}\\{{{\left( {{2^{{f^{\prime \prime }}}} - 1} \right)}^{\frac{{{g^{\prime \prime }}}}{2}}}/p, \;\;\;{f^{\prime \prime }}为奇数时\;\;}\end{array}.} \right.$

特别地
当G=C₂×C₅时, [K₁(Γ):K₁(ZG)]=240。
当G=C₂×C₇时, [K₁(Γ):K₁(ZG)]=1764。
证明??由定理2.1可得

$|D({\bf{Z}}G)| \cdot \left[ {{\Gamma ^ \times }:{{({\bf{Z}}G)}^ \times }} \right] = {\left( {{2^{{f^{\prime \prime }}}} - 1} \right)^{{g^{\prime \prime }}}} \cdot {(p - 1)^2}.$

由文献[9]可知D(ZG)为(Z[ω]/2Z[ω])^×的商群, ${\bf{Z}}[\omega]/2{\bf{Z}}[\omega] = {F_{{2^{{f^{\prime \prime }}}}}} \times \cdots \times {F_{{2^{{f^{\prime \prime }}}}}}$, 因此|D(ZG)|(2^f″-1)^g″, 可得(p-1)²[Γ^×:(ZG)^×], 类似于(i), 此即(p-1)²[K₁(Γ):K₁(ZG)]。
又由文献[10]可知N(2, p)|D(ZG)|, 因此[K₁(Γ):K₁(ZG)](2^f″-1)^g″·(p-1)²/N(2, p)。
特别地, 当G=C₂×C₅时, 由文献[11]可知|D(ZG)|=1, 所以[K₁(Γ):K₁(ZG)]=16×15=240。
当G=C₂×C₇时，同样有|D(ZG)|=1, 所以[K₁(Γ):K₁(ZG)]=36×49=1764。
(iii) 当G=C_p×C_q时, 其中p与q为不同的奇素数。
则有

$\frac{{\begin{array}{*{20}{c}}{\left[ {{K_1}(\Gamma ):{K_1}({\bf{Z}}G)} \right]|}\\{4(p - 1) \cdot {{\left( {{p^f} - 1} \right)}^g} \cdot (q - 1) \cdot {{\left( {{q^{{f^\prime }}} - 1} \right)}^{{g^\prime }}}}\end{array}}}{{N(p, q) \cdot N(q, p)}}, $

其中f, g, f′, g′的定义与定理2.1一致,

$N(p, q) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{{\left( {{p^{\frac{f}{2}}} + 1} \right)}^g}/q, \;\;\;f为偶数时}\\{{{\left( {{p^f} - 1} \right)}^{\frac{g}{2}}}/q, \;\;\;f为奇数时}\end{array}} \right., $

N(q, p)的定义类似。
证明??由定理2.1可得|D(ZG)|·[Γ^×:(ZG)^×]=(p-1)·(p^f-1)^g·(q-1)·(q^f′-1)^g′。
由文献[10]可知N(p, q)·N(q, p)|4·|D(ZG)|。
类似于(i), [Γ^×:(ZG)^×]即[K₁(Γ):K₁(ZG)]。所以有$\left[{{K_1}(\Gamma):{K_1}({\bf{Z}}G)} \right]|\frac{{4(p - 1) \cdot {{\left({{p^f} - 1} \right)}^g} \cdot (q - 1) \cdot {{\left({{q^{{f^\prime }}} - 1} \right)}^{{g^\prime }}}}}{{N(p, q) \cdot N(q, p)}}$。
3 G=C_pⁿ⁺¹时的情形定理3.1??G=C_pⁿ⁺¹(n≥0，p为正则奇素数, C_pⁿ⁺¹表示pⁿ⁺¹阶循环群)时, [K₁(Γ):K₁(ZG)]=(p-1)ⁿ⁺¹·p^{1+p+p2+…+pn-(n+1)-h},
其中$h = \frac{{{n^2}(p - 3)}}{2} + \quad (n - 1)\left[{\frac{{(n - 1)\left({{p^2} - 3p + 2} \right)}}{2} + 1} \right] + \sum\limits_{i = 2}^{n - 1} (n - i)\left[{\frac{{(n - i){p^{i - 2}}{{(p - 1)}^3}}}{2} + \frac{{{p^{i - 2}}(p - 1)}}{2} + 1} \right]$。
证明??易见QG=Q×Q(ω₁)×Q(ω₂)×…×Q(ω_n+1), 其中${\omega _j} = {\rm{e}}\frac{{2{\rm{ \mathit{ π} i}}}}{{{p^j}}}$。
可得Γ=Z×Z[ω₁]×Z[ω₂]×…×Z[ω_n+1]。
类似定理2.1, QG?_QQ_p=Q_p×Q(ω₁)_(1-ω1)×…×Q(ω_n+1)_(1-ωn+1),
因此Γ_p/J_p=F_p×…×F_p=F_pⁿ⁺², 易见ZG_p/J_p∩ZG_p=F_p。
又$d(\Gamma) = \prod\limits_{j = 1}^{n + 1} {{p^{{p^{j - 1}}(j \cdot p - j - 1)}}} = {p^{(n + 1){p^{n + 1}} - 2\left({1 + p + {p^2} + \cdots + {p^n}} \right)}}$, $d({\bf{Z}}G) = {\left({{p^{n + 1}}} \right)^{{p^{n + 1}}}}$, ${[\Gamma :{\bf{Z}}G]^2} = d({\bf{Z}}G)/d(\Gamma)$, 所以有$[\Gamma :{\bf{Z}}G] = \left[{{\Gamma _p}:{\bf{Z}}{G_p}} \right] = {p^{1 + p + {p^2} + \cdots + {p^n}}}$。
类似定理2.1, l_p=(p-1)ⁿ⁺¹, m_p=p^{1+p+…+pn-(n+1)}, |D(ZG)|·[Γ^×:(ZG)^×]=|D(ZG)|·[K₁(Γ):K₁(ZG)]=(p-1)ⁿ⁺¹·p^{1+p+p2+…+pn-(n+1)}。又由文献[12]可知

$\begin{array}{l}D({\bf{Z}}G) \cong {\left( {{\bf{Z}}/{p^n}{\bf{Z}}} \right)^{\frac{{n(p - 3)}}{2}}} \oplus {\left( {{\bf{Z}}/{p^{n - 1}}{\rm{Z}}} \right)^{\frac{{(n - 1)\left( {{p^2} - 3p + 2} \right)}}{2} + 1}} \oplus \\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\sum\limits_{i = 2}^{n - 1} {{{\left( {{\bf{Z}}/{p^{n - i}}{\bf{Z}}} \right)}^{\frac{{(n - i){p^{i - 2}}{{(p - 1)}^3}}}{2} + \frac{{{p^{i - 2}}(p - 1)}}{2} + 1}}} , \end{array}$

因此|D(ZG)|=p^h,

$\begin{array}{l}h = \frac{{{n^2}(p - 3)}}{2} + (n - 1)\left[ {\frac{{(n - 1)\left( {{p^2} - 3p + 2} \right)}}{2} + 1} \right] + \\\sum\limits_{i = 2}^{n - 1} {(n - i)} \left[ {\frac{{(n - i){p^{i - 2}}{{(p - 1)}^3}}}{2} + \frac{{{p^{i - 2}}(p - 1)}}{2} + 1} \right]。\end{array}$

所以[K₁(Γ):K₁(ZG)]=(p-1)ⁿ⁺¹·p^{1+p+p2+…+pn-(n+1)-h}。
参考文献

[1]	Fr?hlich A. Locally free modules over arithmetic orders[J]. Journal für Mathematik. Band, 1975, 274(275): 15.
[2]	Oliver R. Whitehead groups of finite groups[M]. Cambridge: Cambridge University Press, 1988.
[3]	Rosenberg J. Algebraic K-theory and its applications[M]. New York: Springer Science & Business Media, 1995.
[4]	Reiner I. Maximal orders[M]. London: Academic press, 1975.
[5]	Higman G. The units of group-rings[J]. Proceedings of the London Mathematical Society, 1940, 2(1): 231-248.
[6]	Fr?hlich A. On the classgroup of integral grouprings of finite abelian groups[J]. Mathematika, 1969, 16(2): 143-152. DOI:10.1112/S002557930000810X
[7]	Weiss E. Algebraic number theory[M]. New York: McGraw-Hill, 1963.
[8]	Rim D S. Modules over finite groups[J]. Annals of Mathematics, 1959(69): 700-712.
[9]	Reiner I, Ullom S. Class groups of integral group rings[J]. Transactions of the American Mathematical Society, 1972, 170: 1-30. DOI:10.1090/S0002-9947-1972-0304470-6
[10]	Reiner I, Ullom S. A Mayer-Vietoris sequence for class groups[J]. Journal of Algebra, 1974, 31(2): 305-342.
[11]	Cassou-Nogues P. Classes d'idéaux de l'algèbre d'un groupe abélien[J]. Mémoires de la Société Mathématique de France, 1974, 37: 23-32.
[12]	Galovich S. The class group of a cyclic p-group[J]. Journal of Algebra, 1974, 30(1-3): 368-387. DOI:10.1016/0021-8693(74)90210-5