Muszynska[9]指出，碰摩发生时转静子之间同时存在摩擦、冲击、扭转和刚度耦合4种效应。当发生全周碰摩时，摩擦效应占主导地位；而发生局部碰摩时，冲击效应占主导地位。全周碰摩状态下，转子与静子始终保持接触状态，且一般静子对转子的约束作用是恒定的。Choi[10]通过建立碰摩试验装置分析了全周碰摩的产生机理。局部碰摩状态下，转子的部分弧段与静子发生碰摩，对转子产生复杂的力学效果，包括冲击、摩擦及静子对转子产生附加刚度，使转子系统高度非线性[11]。Sinha[12]通过显示积分算法研究了叶尖与机匣发生局部碰摩所产生的周期冲击载荷对悬臂Timoshenko梁的响应特性。Dai等[13]通过数值方法研究了飞轮转子与制动装置发生碰摩所产生的非线性振动响应，通过简谐激励模拟碰摩时静子对转子产生的低频扰动，利用库伦摩擦模型和分段线性弹簧来模拟转静子之间的接触状态，研究表明随着激振力的增加，局部碰摩会发展为反向涡动，降低制动装置的效果。Wang等[14]以悬臂转子为研究对象，分析了局部碰摩转子运动过程，建立了对应的周期时变系数方程并通过试验研究了局部碰摩转子的响应特性。Abuzaid等[15]通过实验和数值分析的方法研究了局部碰摩下不同碰摩程度对转子动力特性的影响，轻微碰摩使转子出现1倍、2倍、3倍转速频率，严重碰摩使转子出现1/3、2/3转速频率，同时碰摩使得转子的固有频率增加。Goldman和Muszynska[16]分析了局部碰摩转子的动力特性，获得转子谐波频率、次谐波频率及混沌的运动特征。局部碰摩过程中，转子与静子发生接触碰撞-反弹分离，静子结构会对转子产生周期性的附加约束作用，其附加约束刚度由转静子的接触状态决定，对时间求导是不连续的，将其称为非光滑约束作用。Hong等[17]建立了由碰摩时间、冲击频率、约束刚度幅值3个参数所决定的非光滑约束模型，分析得到转子模态频率、稳定性特征。相比非光滑约束转子，静子对转子产生的周期时变约束作用，且静子与转子保持持续接触状态，其附加约束刚度随时间变化曲线是一条光滑可导的函数，将该约束作用称为光滑时变约束。光滑时变约束兼具全周碰摩转静子持续接触特征和局部碰摩的周期时变特性，是一种特殊的碰摩形式。
本文根据试验中转子的附加刚度曲线建立一种光滑时变约束模型，并分析该约束下转子的模态特性、稳定性及响应特性，为碰摩转子故障识别和稳定性分析提供一种分析途径。
1 光滑时变约束转子 根据转子在光滑时变约束下的附加刚度曲线建立光滑时变约束模型，推导动力学方程并建立相应的模态分析方法。
1.1 光滑时变约束模型 图 1为Hong等[17]所设计的悬臂转子碰摩模型。在悬臂端处，转子轴套与限位环发生碰摩，限位环模拟机匣结构，其机匣刚度主要由图 2所示金属橡胶的刚度决定，进而得到不同机匣刚度下，转子附加约束刚度随时间的变化曲线，如图 3所示。根据图 3附加约束刚度随时间的变化曲线，可以将静子对转子的约束作用分为非光滑约束和光滑时变约束。
 |
| 图 1 碰摩转子系统试验器[17] Fig. 1 Rub-impact test device of rotor system[17] |
| 图选项 |
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| 图 2 静子碰摩试验装置 Fig. 2 Rub-impact test device of stator |
| 图选项 |
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| 图 3 不同机匣刚度下约束刚度随时间变化 Fig. 3 Constraint stiffness changing with time with different case stiffness |
| 图选项 |
对于非光滑约束(如图 3曲线l3、l4所示)，静子对转子的约束作用是不连续的，且具有周期变化特征。Hong等[17]将非光滑约束的力学效果提炼为时变刚度knon-smooth随时间t的变化，主要包含3个关键物理参数：碰摩时间α、冲击频率β、约束刚度幅值
 | (1) |
根据式(1)绘制约束刚度随时间的变化曲线，如图 4所示。值得注意的是，该模型不失一般性地将冲击频率与转速频率的比值作为变量去考虑，分析其变化规律对转子系统模态特性的影响。此外，针对非光滑约束的研究中，文献[11]考虑单点碰摩状态下转子系统的响应特性，此时转子系统的碰摩频率与转速频率一致。
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| 图 4 非光滑时变刚度曲线 Fig. 4 Non-smooth stiffness curves |
| 图选项 |
对于光滑时变约束(如图 3曲线l1、l2所示)，静子对转子的约束作用具有连续、波动、时变特征，类似简谐函数。将该光滑时变周期约束的力学效果提炼为3个关键物理参数，即平均刚度km、波动刚度kh、波动频率ωk=2π/Tk(Tk为波动周期)，进而建立光滑时变约束模型，如式(2)所示:
 | (2) |
根据式(2)绘制约束刚度随时间的变化过程，如图 5所示。
 |
| 图 5 光滑时变刚度曲线 Fig. 5 Smooth time-varying stiffness curve |
| 图选项 |
1.2 动力学方程 Hong等[17]建立的运动学方程仅分析静子对转子产生的径向约束作用，然而转静子因持续接触摩擦产生的周向约束同样会影响转子的动力特性，因此，建立综合考虑径向、周向光滑时变约束作用的Jeffcott转子运动方程。Jeffcott转子模型如图 6所示，转子由质量忽略不计的轴段和跨中圆盘组成，轴中间位置刚度为k，圆盘质量为m，阻尼为c，转子转速为ω，偏心距为e。
 |
| 图 6 局部碰摩转子模型 Fig. 6 Rotor model with local rub-impact |
| 图选项 |
当转子受到光滑时变约束作用时，会受到来自于静子2个方向的作用力，即径向力Fn和周向摩擦力Fτ。
径向力Fn的表达式为
 | (3) |
周向摩擦力Fτ表达式为
 | (4) |
式中：q=x+iy；μ为转静子的摩擦系数。
考虑不平衡激励的转子碰摩的动力学方程：
 | (5) |
进而得到惯性系数归一化动力学方程：
 | (6) |
式中：ξ为转子阻尼比；ωn为转子固有频率；κ=km/k为光滑时变周期约束平均刚度与转子轴段刚度比值，简称“平均刚度比”；η=kh/k为光滑时变周期约束波动刚度与转子轴段刚度比值，简称“波动刚度比”。值得注意的是，应满足κ>η，即静子不会对转子产生负刚度。
进一步将式(6)写为如下矩阵形式：
 | (7) |
式中：
1.3 模态分析方法 去掉式(7)中等式右边的不平衡激励项，得到光滑时变约束转子模态方程式(8)，该方程为周期时变系数方程，可以通过Hill无穷行列式理论进行求解，以预测结构在外部激励下的实际振动响应。
 | (8) |
根据三角函数与复数指数的关系：
 |
将方程(8)改写为
 | (9) |
式中: Kt=Kc/2。
上述线性周期时变系统方程的解形式如下：
 | (10) |
式中：λ为周期时变系统的特征值；?为“类模态”向量，类模态向量具有周期时变性，且时变周期与方程中时变系数的周期相同，Tk=2π/ωk。
可以将“类模态”向量?进行傅里叶展开，形式如下：
 | (11) |
式中：Ij为类模态向量?的第j次傅里叶展开分量。
将式(10)和式(11)代入到方程(9)中，得
 | (12) |
方程左右两边相同指数项的系数相加为0，则得到代数方程构成的方程组：
 | (13) |
式中：Aj=(-j2ωk2+2λjiωk+λ2)M+(jiωk+λ)C+K=λ2M+λ(2jiωkM+C)+(-j2ωk2M+jiωkC+K)。
根据Hill无穷行列式的收敛定理，对类模态向量的幅值具有显著贡献的傅里叶展开阶次的数量是有限的，因此对式(13)选取适当的截断阶次jmax，可以近似得到原时变周期系统的模态解。另外，根据式(13)，类模态各个阶次的模态向量中，仅相邻阶次模态向量之间存在耦合关系。此时，若要保证类模态第j阶阶次模态向量的求解精度，截断阶次的最小取值为jmax=j+1。
式(13)可以进一步写成Hill特征值求解问题：
 | (14) |
式中：
 |
上述特征值问题转化到状态空间求解，形式如下：
 | (15) |
式中：
值得说明的是，根据式(15)获得的特征频率数量远高于相同维数的时不变线性系统，可以证明，基于Hill行列式法获得的特征频率按照频率簇的形式分布：
 | (16) |
式中：ωn0为系统第n阶类模态向量?n的基础频率，称为第n阶基础模态频率；ωnj为第n阶类模态向量?n的第j阶傅里叶展开阶次模态向量对应的频率，称为第j阶阶次分量频率。阶次模态频率与主模态频率之差为系统时变频率的整数倍，是由系统时变参数产生。另外，主模态频率与传统线性系统的模态频率相对应，在分析中需要重点关注。
对于任一阶模态，其稳定性条件如下：
 | (17) |
如果类模态的所有阶次模态分量所对应的特征频率实部均小于0，则该阶类模态稳定；否则，不稳定。
2 动力特性分析 根据第1节所建立的Jeffcott转子方程及模态分析方法，分析光滑时变约束转子的模态特性与响应特性。
2.1 模态特性 暂不考虑阻尼影响，设定Jeffcott转子参数ξ=0、ωn=1 rad/s、κ=2、η=1.5、ζ=1.7(ζ=ωk/ωn表示光滑时变约束波动频率与转速频率之比，简称“频率比”)、jmax=2。计算得到光滑时变约束转子在不同摩擦系数μ下的模态特性，如图 7所示。计算结果表明：
 |
| 图 7 摩擦系数对模态特性的影响 Fig. 7 Influence of friction coefficient on modal characteristics |
| 图选项 |
1) 转子模态频率具有多频特性，其模态频率不仅包含基础模态频率成分ω0，还包含+1、-1阶模态频率成分ω+1、ω-1。在部分转速区域内出现0频区和频率耦合区，其中基础模态频率与-1阶模态频率发生频率耦合。摩擦系数μ能够弱化频率耦合效果，如图 7(a)所示，μ=0，基础模态频率与-1阶模态频率耦合明显；如图 7(b)和(c)所示，随着μ的逐渐增加，频率耦合效果逐渐减弱。
2) 图 7(d)所示转子模态阻尼具有2个明显的失稳区A、B，区域A为次模态失稳区，为图 7(a)的0频特征值实部大于0所致；区域B为主模态失稳区，为图 7(a)的基础模态频率与-1阶模态频率特征值实部大于0所致。当摩擦系数μ大于0，如图 7(e)和(f)所示，转子从局部失稳转变成全局失稳，即在全转速域中都存在特征值实部大于0，且随μ增加失稳程度越明显。
不考虑阻尼和摩擦系数的影响，设定Jeffcott转子参数ξ=0、μ=0、ωn=1、κ=2、ζ=1.7(频率比)、jmax=2。计算得到光滑时变约束转子在不同波动刚度比η下的模态特性，如图 8所示，计算结果表明，波动刚度比η对转子系统的频率耦合特性和稳定性有显著影响。当η=0，静子对转子产生恒定的约束作用，约束不再具有周期时变特性，该状态下转子系统不具有频率耦合特性，且不存在失稳区。当η逐渐增大，转子系统的0频区和频率耦合区逐渐扩张，失稳区逐渐扩张。波动刚度比η对非失稳区域转子系统模态频率的影响不显著，增大刚度比不会增大转子系统基础模态频率。
 |
| 图 8 波动刚度比对模态特性的影响 Fig. 8 Influence of wave stiffness ratio on modal characteristics |
| 图选项 |
不考虑阻尼和摩擦系数的影响，设定Jeffcott转子参数μ=0、ξ=0、ωn=1 rad/s、η=1.5、jmax=2。计算得到光滑时变约束转子在相同平均刚度比(κ=2)、不同频率比ζ下的模态特性，如图 9所示。同时得到在相同频率比ζ=1.7、不同平均刚度比κ的模态特性，如图 10所示。
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| 图 9 频率比对模态特性的影响 Fig. 9 Influence of frequency ratio on modal characteristics |
| 图选项 |
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| 图 10 平均刚度比对模态特性的影响 Fig. 10 Influence of average stiffness ratio on modal characteristics |
| 图选项 |
计算结果表明，频率比ζ和平均刚度比κ均会影响转子系统0频区和频率耦合区的分布，但作用效果不同，随着频率比ζ的增加，0频区和频率耦合区逐渐向低转速偏移；随着平均刚度比κ的增加，0频区和频率耦合区逐渐向高转速偏移。可以通过表达式
进一步分析阻尼对光滑时变转子模态特性的影响，设定Jeffcott转子参数η=1.5、μ=0.2、ωn=1、κ=2、ξ=0.2、ζ=1.7(频率比)、jmax=2，得到模态频率、特征值实部随转速的变化曲线，分别如图 11(a)、图 11(b)所示。计算结果表明，阻尼对模态频率影响不显著，对转子的稳定性影响显著。特征值实部曲线在图 7(f)基础上整体下移0.2，转子的稳定性从全局失稳变成局部区域B失稳。
 |
| 图 11 阻尼对模态特性的影响 Fig. 11 Influence of damping on modal characteristics |
| 图选项 |
进一步将阻尼参数ξ增加至0.3，得到特征值实部随转速的变化曲线，如图 11(c)所示，计算结果表明，转子在0~3 rad/s转速范围内特征值实部均小于0，未发生失稳。
综上，可以得到光滑时变约束模型中各参数对转子模态特性的影响规律，其中，摩擦系数、波动刚度比、阻尼对转子的稳定性有显著影响，其中摩擦系数会引起转子全局失稳，波动刚度比会引起转子的频率耦合、局部失稳，适当增加转子阻尼会消除转子的失稳区。平均刚度比和频率比对转子失稳转速区的分布有显著影响。此外，平均刚度比是基础模态频率的敏感参数，其大小表征了静子结构对转子的约束强度。
2.2 响应特性 Hong等[17]仅分析了非光滑约束转子系统的模态特性，未通过响应分析进行验证。本节进一步通过计算不平衡激励下转子系统的响应来对光滑时变约束转子的多频、失稳特性进行验证。
在图 11(b)参数基础上设定转速为2 rad/s，偏心距e=0.5 mm。利用Newmark-β方法计算式(7)，得到在x方向转子位移随时间变化过程和频率成分，如图 12(a)和(b)所示。计算结果表明，失稳区内转子的振幅随时间不断增加，频率成分主要为基础模态频率ω0、+1阶模态频率ω+1、-1阶模态频率ω－1，验证了光滑时变周期转子系统的多频特性。同时可以看出，转子的幅值随时间不断增加，发生失稳。为进一步分析转子失稳机理，通过小波变换计算得到频率成分随时间的变化过程，如图 12(c)所示。计算结果表明，随着时间的增加，基础模态频率成分ω0不断发散，成为影响转子发生失稳的主要因素。上述模态分析表明，基础模态频率成分ω0特征值实部大于0，是转子系统发散的本质原因。
 |
| 图 12 失稳区转子响应特性 Fig. 12 Response characteristics of rotor in unstable region |
| 图选项 |
将转速改为1.5 rad/s，得到非失稳区域转子盘心的运动轨迹和在x方向的频率成分，如图 13所示。计算结果表明，在静子的光滑时变约束下，转子的运动轨迹具有花瓣特征，频率成分为转速频率ω和波动频率ωk所构成的频率组合。其中ωk－ω、ω频率成分占主要影响。
 |
| 图 13 非失稳区转子响应特性 Fig. 13 Response characteristics of rotor in stable region |
| 图选项 |
在图 13参数的基础上，计算得到不同频率比ζ下转子系统运动轨迹、光滑时变刚度曲线和频域成分，如图 14所示。计算结果表明，当频率比ζ从1.3增加至1.9，波动频率ωk=ζωn从1.95 rad/s增加至2.85 rad/s，频率成分ωk－ω从0.45 rad/s增加至1.35 rad/s，ωk－ω逐渐接近转子系统的基础频率，导致该频率所对应的幅值不断增加，转子轨迹从圆环形转变成花瓣形；当频率比ζ从1.9增加至2.7，波动频率ωk=ζωn从2.85 rad/s增加至4.05 rad/s，频率成分ωk－ω从1.35 rad/s增加至2.25 rad/s，ωk－ω逐渐远离转子系统基础频率，该频率所对应的幅值不断下降，转子轨迹从花瓣形转变成圆环形。此外，不同频率比对应的转子系统频率分布规律一致，可以为光滑周期时变约束转子系统的碰摩故障诊断提供参考。
 |
| 图 14 不同频率比下转子系统响应 Fig. 14 Rotor system response with different frequency ratios |
| 图选项 |
2.3 模型应用 本节进一步从光滑时变约束模型角度分析经典Jeffcott碰摩模型的响应特性，该经典Jeffcott碰摩模型被文献[8, 18]广泛采用，如图 15所示。转子由质量忽略不计的轴段和跨中圆盘组成，轴中间位置刚度为k，圆盘质量为m，质量偏心距为e，转子转速为ω；静子为弹性支承的无质量刚性环，支承刚度为kc，刚性环与转子表面接触时的摩擦系数为μ；转静子初始间隙为r0，其推导过程参见附录A。
 |
| 图 15 Jeffcott转子碰摩的物理模型 Fig. 15 Physical rub-impact model of Jeffcott rotor |
| 图选项 |
给定计算参数如下：ξ=0.05，γ=0.04，R0=1.05，μ=0.15，Rdisk=20r0(Rdisk为转子幅值)，转子转速范围ω取0~1。利用Newmark-β数值积分方法扫频得到不同转速转子的稳态幅值及分叉图，如图 16所示。
 |
| 图 16 经典Jeffcott转子碰摩模型响应特性 Fig. 16 Response characteristics of classic Jeffcott rubbing rotor model |
| 图选项 |
计算结果表明，当转速小于0.16时，转子振幅小于间隙，转静件未发生碰摩；当转速高过该值时，转静件发生碰摩，但在不同转速下具有不同的碰摩形式，转速0.16~0.40范围，转子处于转静子持续接触状态；转速0.40~0.58范围，转子处于局部碰摩状态；转速超过0.58时，转子发生反向涡动。
以持续碰摩接触状态(ω=0.38)为例，分析运动轨迹、约束刚度曲线和频域成分，如图 17所示。约束刚度曲线须根据转子的运动轨迹并结合式(18)得到：
 | (18) |
 |
| 图 17 光滑时变约束转子系统模态频率 Fig. 17 Modal frequency of smooth time-varying constrained rotor system |
| 图选项 |
式中：k1为光滑时变约束刚度；k2为机匣刚度；r1为转静子间隙；q为转子幅值。计算结果表明，持续碰摩过程中，转子与静子持续接触，静子对转子产生周期时变的约束作用，其频率分布与图 14光滑时变约束转子模型频率分布一致。
选取反向涡动状态ω=0.8，计算得到运动轨迹、约束刚度曲线和频域成分，如图 18所示。计算结果表明，反向涡动过程中，转子与静子持续接触，静子对转子产生微小的周期时变约束作用。频域分析表明转子系统主要由2个频率成分决定，分别为转速频率成分ω和ω′。ω′可以通过光滑时变约束转子模态频率方法分析，首先根据图 18(b)刚度曲线得到光滑时变约束转子关键参数：平均刚度km、波动刚度kh、波动频率ωk=2π/Tk，然后根据光滑时变转子的定义，建立经典Jeffcott碰摩转子参数与光滑时变转子参数对应关系，进而得到：ξ=0.05、ωn=0.2 rad/s、κ=25、η=0.2、ζ=1.5、jmax=2。计算光滑时变约束转子的模态频率，如图 19所示。计算结果表明，ω′为无量纲转速0.8所对应的基础频率。
 |
| 图 18 经典Jeffcott转子系统ω=0.38转速响应特性 Fig. 18 Response characteristics of classic Jeffcott rubbing rotor model with rotational speed ω=0.38 |
| 图选项 |
 |
| 图 19 经典Jeffcott转子系统ω=0.8转速响应特性 Fig. 19 Speed response characteristics of classic Jeffcott rubbing rotor model with ω=0.8 |
| 图选项 |
3 结论 分析了转子在光滑时变约束下的动力特性，得到以下结论：
1) 模态分析中，光滑周期时变系统具有多频、频率耦合、失稳的特性，其中波动刚度比是引起转子频率耦合、局部失稳的首要影响因素；转静子摩擦系数使频率耦合弱化，使转子系统从局部失稳转变成全局失稳。阻尼能够显著影响转子系统的稳定性，转子系统增加适当阻尼可以消除失稳区。平均刚度比和频率比对转子失稳转速区的分布有显著影响。平均刚度比表征了静子结构对转子的约束强度。
2) 响应分析中，光滑周期时变系统能够有效验证转子系统多频、失稳等特征，增加波动频率会使转子的幅值增加。非失稳区的频率成分主要为转速频率和波动频率构成的频率组合，其分布形式可以为碰摩转子系统的故障诊断提供参考。
3) 光滑时变约束模型能够解释传统碰摩模型在持续接触状态和反向涡动状态所体现的频率成分及分布规律，说明光滑时变约束转子系统在分析转子碰摩方法具有一定的应用价值。
附录A 根据牛顿第二定律建立Jeffcott转子碰摩的动力学方程如下：
 | (A1) |
式中：ω为转速；frubx和fruby分别为碰摩力在水平和竖直方向的分量。此处分析中，碰摩力采用图 6(b)的线性碰摩力模型，即
 | (A2) |
将碰摩力分解到水平和竖直方向为
 | (A3) |
式中：x和y分别为转子水平和竖直方向位移；vrel为转子和静子接触点处相对速度，且vrel=ωwr+ωrdisk，ωw为转子涡动角速度，rdisk为圆盘半径；H(·)为Heaviside函数；sign(·)为符号函数。
为了便于分析，对上述方程进行无量纲化，如式(A4)和式(A5)所示：
 | (A4) |
 | (A5) |
式中：
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