目前，许多****在稳健自适应波束形成方面进行了深入的研究，主要研究成果可分为：加载类算法[2-6]、导向矢量约束类算法[7-11]及协方差矩阵重构类算法[1, 12-15]。协方差矩阵对角加载算法是较为简单的优化算法，但是如何选取最优加载量是较难确定的问题。毛晓军[6]提出了变加载值的稳健波束形成(Variable Loading Robust Beamforming, VLRB)算法，先对输入信噪比(SNR) 进行估计，再将输入SNR的估计值作为对角加载值，但干扰抑制性能有所下降。Huang等[7]研究了稳健的Capon波束形成(Robust Capon Beamforming, RCB)算法，通过不确定集约束导向矢量误差范围，性能较为稳健，但在导向矢量误差波动较大情况下性能下降较多。Stoica等[9]提出了导向矢量双层估计的稳健波束形成方法，将导向矢量初步预估为导向矢量相关矩阵特征向量的线性组合，再通过不确定集约束方法进行优化校正，但该方法在低SNR情况下的稳健性及输出性能明显降低。Mao等[11]在估计目标导向矢量时，将目标分量从采样协方差矩阵中移除，重构干扰加噪声协方差矩阵，有效改善了RCB算法的性能，但性能随目标导向矢量估计误差波动较大。
协方差矩阵重构的目的在于：消除样本协方差矩阵中含有的期望目标信号分量，避免“自消”现象的出现。但是一般在重构过程中会引入误差，并代入后续的求解过程中，导致期望信号方位估计的不准确性。针对上述问题，本文提出了干扰加噪声协方差矩阵双层重构的稳健波束形成算法。首先，利用Capon功率谱预估目标信号导向矢量，并得到干扰加噪声协方差矩阵的初步估计；然后，按照最小化干扰加噪声功率输出准则及设定的干扰导向矢量不确定集约束，估计干扰导向矢量及干扰功率，完成对干扰加噪声协方差矩阵的优化校正；最后，构建基于子空间理论的导向矢量约束误差优化模型，采用迭代方法对模型求解得到最优权值向量。
1 阵列信号模型 考虑一维均匀线阵，阵元数为M，假设空间中有L个入射信号，其中目标信号从θ0方向入射，L－1个干扰信号从θl(l=1, 2, …, L-1)方向入射，且目标信号、干扰信号及噪声信号之间相互独立。阵列在t时刻接收信号可表示为
 | (1) |
式中：a(θl)为第l个信源的导向矢量；sl(t)为第l个信源复包络；n(t)为噪声信号。
假设阵列接收目标信号、干扰信号及噪声信号是独立的，则阵列接收信号的协方差矩阵 R 可表示为
 | (2) |
 | (3) |
 | (4) |
式中：Rs为目标信号相关矩阵；σ0为目标信号功率；Ri, n为干扰加噪声协方差矩阵；σl(l=1, 2, …, L－1)为干扰信号功率；σn为噪声信号功率。
实际应用中，R 通常是未知的，常用样本协方差矩阵
 | (5) |
式中：Y为快拍数。但是样本协方差矩阵
2 干扰加噪声协方差矩阵双层重构 2.1 干扰加噪声协方差矩阵预估 假设目标信号的大致方位区间为β，对方位区间范围内的Capon功率谱积分可得
 | (6) |
对 Q 进行特征值分解，则最大特征值对应的特征向量可构成目标导向矢量的初始估计值[16]。
 | (7) |
式中：QmaxU为矩阵 Q 特征分解最大特征值对应的特征向量。
进而，目标信号的自相关矩阵预估值
 | (8) |
因此，根据式(2)，初步估计的干扰加噪声协方差矩阵
 | (9) |
2.2 干扰加噪声协方差矩阵约束重构 借鉴文献[11]方法，将干扰导向矢量都约束在一个不确定集范围内，建立如下约束关系：
 | (10) |
式中：ξ为干扰导向矢量约束不确定集尺度；
利用拉格朗日法求解式(10)，得到干扰导向矢量a(θ)的优化解为
 | (11) |
式中：参数λ可由如下约束方程解得
 | (12) |
在估计出干扰导向矢量后，还需要估计干扰功率。阵列的目标信号加干扰协方差矩阵 Rs, i可以表示为
 | (13) |
式中：σl(l=0, 1, …, L－1)表示目标信号及干扰信号功率。
将式(13)左右两边同时乘以 a H(θj)与a(θj)[17]，进一步化为
 | (14) |
式中：a(θj)与a(θl)表示不同方向入射的信号导向矢量，在入射信号方位稀疏的情况下，可以认为二者是相互正交的，即j≠l时，a H(θj)a(θl)=0。
因此，式(14)可以表示为
 | (15) |
则干扰功率估计值
 | (16) |
按照式(7)，Rs, i可由矩阵 Q 特征分解后前K个显著特征值对应的特征向量计算预估而得，计算式为
 | (17) |
 | (18) |
将式(17)代入式(16)中，可得σj2。
因此，根据估计的干扰导向矢量及干扰功率可进一步重构干扰加噪声协方差矩阵
 | (19) |
3 目标导向矢量估计 对第2节重构的干扰加噪声协方差矩阵进行特征值分解，得
 | (20) |
式中：ηm(m=1, 2, …, M)为干扰加噪声协方差矩阵
在上述分析的基础上，通过最大化阵列目标信号输出功率并抑制干扰子空间对目标导向矢量误差，构建如下约束模型：
 | (21) |
式中：e⊥为垂直于
为避免式(21)出现唯一解 e⊥= 0的问题，对第2项约束条件进行改造，引入松弛因子α(α>0)，且α满足边界条件[18-21]。可知α的引入对式(21) 的最优解不会造成影响，约束优化问题变为
 | (22) |
式(22)为凸二次约束二次优化问题，可采用凸优化的方法进行求解，得到最优的
将重构后的
 | (23) |
4 算法求解及步骤 对式(22)提出的凸二次约束二次优化问题采用迭代的方式进行求解，通过迭代系数及迭代次数约束迭代过程。
设定收敛系数γ及最大迭代步数Tmax，迭代收敛条件为
 | (24) |
式中：p为求解过程中的迭代次数。当p≤Tmax，迭代终止判决条件为|ωp－ωp－1| / |ωp| < γ；当p>Tmax，则终止迭代。
分析式(24)，收敛系数γ及最大迭代步数Tmax大小对本文算法精度及运行时间有一定影响。γ过小或Tmax过大会导致算法运行时间过长；γ过大或Tmax过小会导致精度下降。算法求解步骤如图 1所示。
 |
| 图 1 算法求解流程 Fig. 1 Flowchart for algorithm solution |
| 图选项 |
步骤1????根据式(7)~式(9)计算
步骤2????根据式(11)及式(12)计算a(θ)，并由式(13)、式(16)计算 Rs, i及
步骤3????根据式(19)计算重构后的
步骤4????对
步骤5????求解式(22)，得到目标导向矢量误差 e⊥，更新目标导向矢量估计
步骤6????判定是否满足|ωp－ωp－1| / |ωp| < γ，满足则终止迭代，不满足则重复迭代过程。
5 仿真实验 考虑阵元数为8的一维均匀线阵，阵元间隔取半波长宽度。仿真实验中，设定3个入射信号源，目标信号入射角度为10°，干扰信号入射角度为-5°及20°，信干噪比设定为20 dB。为方便描述，将本文算法简称为DLCV算法。将DLCV算法与对角加载(Diagonal Loading, DL)算法、RCB算法、VLRB算法及文献[12]提出的联合迭代估计算法(Joint Iterative Estimation Algorithm, JIEA)进行比较分析，每次实验均进行100次蒙特卡罗仿真。
DL算法对角加载量取噪声功率的5倍；RCB算法的导向矢量约束范数取0.3M；VLRB算法的求和区间以目标来波方向扩展±5°，加载量同DL算法，松弛系数取0.1。DLCV算法求和区间同VLRB算法，无特殊说明，松弛因子α取0.1，收敛系数γ取10－5。
5.1 目标来波方向误差对算法性能影响 仿真参数设置为：目标来波方向误差服从[-3°，3°]间的均匀分布，即真实来波方向在[7°，13°]区间内均匀分布；输入信噪比SNR为3 dB，快拍数取200。统计各算法经过200次蒙特卡罗仿真后的平均输出SINR。仿真结果如图 2和图 3所示，图中OPT代表理想算法输出。
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| 图 2 目标来波方向误差下不同算法平均输出SINR随输入SNR变化 Fig. 2 SINR versus SNR for different algorithms under direction error of target signal |
| 图选项 |
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| 图 3 目标来波方向误差下不同算法平均输出SINR随快拍数变化 Fig. 3 SINR versus snapshot number for different algorithms under direction error of target signal |
| 图选项 |
观察图 2发现，目标来波方向误差情况下，DL算法最优输出点出现在10 dB左右，之后随着输入SNR越高，性能下降较为严重；RCB算法输出存在较大差距，且高信噪比下的性能提升趋于平缓；VLRB算法性能优于RCB算法，低信噪比情况下性能表现较好，但高信噪比情况下的性能仍有待提高；DLCV算法性能总体较为良好，尤其在高信噪比情况下性能输出提升较好。
观察图 3发现，低快拍数条件下DLCV算法与VLRB算法表现较好；而在快拍数为50情况下，DLCV算法与VLRB算法性能已收敛，且随着快拍数的提升，输出性能逐渐接近于理想输出。
5.2 阵列位置误差对算法性能影响 仿真参数设置为：设定单个阵元真实位置偏离理想位置的误差值在[-0.05η, 0.05η]范围内随机分布，输入SNR设定为3 dB，快拍数取200，目标来波方向误差为2°，统计算法经过200次蒙特卡罗仿真后的平均输出SINR性能，仿真结果如图 4和图 5所示。
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| 图 4 阵列位置误差下不同算法平均输出SINR随输入SNR变化 Fig. 4 SINR versus SNR for different algorithms under array position errors |
| 图选项 |
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| 图 5 阵列位置误差下不同算法平均输出SINR随快拍数变化 Fig. 5 SINR versus snapshot number for different algorithms under array position errors |
| 图选项 |
观察图 4，阵列位置误差影响下，DL算法在高信噪比情况下抗阵列位置误差性能较差，性能下降严重；VLRB算法性能略优于RCB算法；DLCV算法输出较为稳定，高信噪比情况下相较于其余4种算法具备明显优势。
观察图 5发现，DLCV算法在低快拍数条件下输出性能具备明显优势，且随着快拍数的提高，DLCV算法输出性能逐步稳健提高，在信噪比高于50 dB后输出性能接近于理想输出。
5.3 阵列互耦误差对算法性能影响 仿真条件设置为：互耦矩阵表示为Toeplitz形式，互耦系数取0.5e－jπ/2，其余仿真参数同上。仿真结果如图 6和图 7所示。
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| 图 6 阵列互耦误差下不同算法平均输出SINR随输入SNR变化 Fig. 6 SINR versus SNR for different algorithms under array mutual coupling errors |
| 图选项 |
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| 图 7 阵列互耦误差下不同算法平均输出SINR随快拍数变化 Fig. 7 SINR versus snapshot number for different algorithms under array mutual coupling errors |
| 图选项 |
观察图 6发现，阵列互耦误差影响下，DLCV算法总体性能较好，并且在信噪比大于15 dB情况下性能明显优于其他算法。
观察图 7发现，随着快拍数提高，DLCV算法输出性能逐步稳健提高，总体优于其他算法，尤其小快拍情况下也具备较好的性能，且快拍数高于80后输出性能收敛较好。
5.4 参数影响仿真分析 由算法过程可知，松弛因子α、收敛系数γ及最大迭代步数Tmax对算法的收敛速度产生影响。本节通过仿真分析这些参数的取值对算法收敛速度的影响。仿真中，快拍数取200，输入SNR为3 dB，阵列误差设置同上述仿真。
表 1统计分析了收敛系数γ及最大迭代步数Tmax取不同值时算法的运行时间。
表 1 收敛速度统计 Table 1 Convergence rate statistics
| Tmax | 运行时间/ms | ||||
| γ=10-2 | γ=10-3 | γ=10-4 | γ=10-5 | γ=10-6 | |
| 20 | 71.4 | 91.1 | 121.8 | ||
| 30 | 159.6 | ||||
| 40 | 243.3 | ||||
表选项
收敛系数即对应迭代过程中的相对误差，当收敛系数取值越小，则波束形成器输出性能越高。分析表 1，综合考虑输出性能与算法运行时间，收敛系数取10-5、最大迭代步数取30情况下，算法输出性能较优，且算法运行时间相对收敛系数取10-4时无较大增长。在收敛系数为10-5、最大迭代步数为30情况下，算法的迭代过程如图 8所示。
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| 图 8 算法迭代过程分析 Fig. 8 Analysis of algorithm iteration process |
| 图选项 |
图 9表示收敛系数γ为10-5及最大迭代步数Tmax取50情况下松弛因子α对算法收敛速度的影响。分析可知，松弛因子α取值范围在0.1附近时，算法的收敛速度最快。
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| 图 9 松弛因子对算法收敛速度影响 Fig. 9 Influence of relaxation factor on convergence speed of algorithm |
| 图选项 |
6 结论 本文提出了基于干扰加噪声协方差矩阵双层估计的稳健波束形成算法。
1) 算法的基本思想是对干扰加噪声协方差矩阵进行双层优化校正，采用迭代方法对目标导向矢量约束误差优化模型进行求解。
2) 仿真实验表明，在非理想环境(目标来波方差误差、阵列位置误差及阵列互耦)下，DLCV算法输出性能相较于其他算法有明显提高。但DLCV算法总体复杂度较高，如何进一步提高运算效率是后续需要研究的重点。
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