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混沌多精英鲸鱼优化算法*

本站小编 Free考研考试/2021-12-25
随着无人机(UAV)技术的不断发展，UAV逐渐在战争中发挥着越来越重要的作用。UAV航迹规划是UAV作战任务规划的重要组成部分，是一个典型的非确定性多项式问题。随着规划问题维度的不断增加，求解难度和计算量呈指数式增长，因此很难找到一种有效应对所有复杂环境的航迹规划方法。为解决不同条件下的航迹规划问题，****们不断对航迹规划算法进行研究和改进。典型的方法有2类[1]，一类是传统优化方法，如Dijkstra算法[2]、人工势场法[3]等；另一类则是启发式智能优化算法，如粒子群算法[4]、遗传算法[5]、差分进化算法[6]、灰狼优化算法[7]、乌贼算法[8]和蚁群算法[9]等已被应用于求解航迹规划问题。
自1975年美国教授Holland根据达尔文进化论以及自然界优胜劣汰机制提出了遗传算法以后，不断有****通过对不同生物种群行为和物理现象进行分析，提出多种群智能优化算法。其中澳大利亚****Mirjalili于2016年提出了一种新的群智能优化算法鲸鱼优化算法[10](Whale Optimization Algorithm，WOA)。WOA相比其他算法，具有参数少、原理简单和寻优能力强的优点，已被应用于许多工程领域[11-17]，但同其他智能优化算法类似，容易陷入局部最优，导致早熟。文献[18]通过引入等级制度来扩大可行解的搜索范围，以此增强了算法的探索能力；文献[19]通过和黏菌算法融合，增强了算法的局部开发能力；文献[20]引入随机差分变异策略，增强了算法的开发能力；文献[21]引入自适应调整权重，通过控制WOA的关键参数来增强算法的全局搜索能力。
针对WOA存在的不足，本文提出了一种混沌多精英鲸鱼优化算法(Chaotic Multi-Leader Whale Optimization Algorithm，CML-WOA)。首先，利用立方映射来产生均匀分布的初始种群，增强初始种群的多样性；其次，提出了一种自适应策略，将正余弦算法(Sine Cosine Algorithm, SCA)融入WOA中，每个个体根据自适应参数选择使用WOA策略还是SCA策略来更新自身位置，同时对每代的最优个体利用SCA策略进行更新，充分利用SCA的周期振荡能力，帮助最优个体改善全局搜索能力，从而跳出局部最优；当算法陷入停滞时，使用多精英搜索策略，采取2种更新方式，平衡算法的开发和探索能力，增强种群多样性，加快算法的收敛精度和收敛速度；最后，利用贪婪策略从父代种群和生成的子代个体中选择优势群体，保证算法的收敛效率。通过求解20个基准测试函数验证改进算法的有效性，将其应用于航迹规划问题求解，结果表明：CML-WOA寻优性能明显提升；能够有效地解决航迹规划问题，高效稳定地规划出高质量飞行航迹。
1 鲸鱼优化算法 WOA是澳大利亚****Mirjalili等根据座头鲸的狩猎方式提出的一种新的群智能优化算法。鲸鱼在大海中随机游走寻找猎物，使用一种泡网觅食法的狩猎方式，先深入水底收缩包围猎物，而后螺旋上升在靠近海面的地方捕食猎物。WOA数学模型主要包括3部分：游走搜索猎物、收缩包围猎物和螺旋捕食猎物。
1.1 游走搜索猎物 WOA在寻优过程中，通过参数A的控制，来控制种群的搜索策略。当A>1时，WOA进行全局搜索，随机选择一个个体作为参考个体，按式(5)生成新个体。
(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

式中：t为当前迭代次数；tmax为最大迭代次数；r为[0, 1]之间的随机数；Xrandt为随机选择的搜索个体；Xt为第t代种群个体；D为包围步长；A为生成个体离参考个体的远近程度。
1.2 收缩包围猎物 在收缩包围阶段，鲸鱼个体不再随机选择个体进行位置更新，而是选择当前最优个体进行位置更新，实施包围策略，从而使种群获得最优解。收缩包围猎物的位置更新公式为
(6)

(7)

式中：Xbestt为搜索至第t代种群时最好鲸鱼个体的位置，通过向鲸鱼种群最优个体包围，模拟收缩包围猎物的行为。
1.3 螺旋捕食猎物 鲸鱼通过一种螺旋式游走的方式形成气泡网进行捕食，具体游走模型如下：
(8)

式中：b为控制螺旋线形状的常数；l为[0, 1]的随机变量。鲸鱼的捕猎行为和螺旋收缩是同时进行的，假设两者概率均为50%，具体数学模型如下：
(9)

2 改进策略 2.1 立方混沌映射 当前大多数智能优化算法的初始种群都是在搜索空间中随机生成的，而初始化的种群质量对于优化算法的效率有很大影响，均匀分布的种群有利于扩大搜索范围，进而提高算法的收敛速度和精度。
WOA和其他智能优化算法一样，在求解复杂优化问题时，存在迭代后期种群个体多样性减少，易陷入局部最优的缺陷。为了增强种群个体多样性，考虑到混沌算子具有随机性与规律性的特点，且能在一定范围内不重复遍历所有状态，于是采用混沌算子对种群初始化，如图 1所示，立方映射比Logistic映射的均匀性好，因此采用立方映射混沌算子。
图 1 映射对比图 Fig. 1 Mapping contrast diagram
图选项




立方映射公式如下所示：
(10)

(11)

初始化鲸鱼种群由M个d维个体组成，采用立方映射初始化鲸鱼种群的具体过程为：随机产生一个上下限为1和-1的d维矩阵作为第1个个体，之后用式(10)对第1个个体的每一维进行迭代得到剩余M－1个个体，最后使用式(12)将立方映射产生的变量值映射到鲸鱼个体上。
(12)

式中：Xlb、Xub为每个个体每个维度的上下限；X为映射后个体。
2.2 正余弦优化策略 正余弦优化策略[22]是利用正弦函数与余弦函数的振荡特性进行寻优，其优点是收敛性好，易于实现。
首先随机生成N个搜索个体，依据适应度函数计算每个个体的适应度值，将适应度值最好的个体记为最优个体X*，寻优过程中个体位置更新公式为
(13)

(14)

式中：c为大于1的常数；r2为服从0~2π均匀分布的随机数；r3为服从0~2均匀分布的随机数；r4为服从0~2均匀分布的随机数。
2.3 自适应策略 为了将SCA有效地嵌入到WOA中，受文献[23]选择坐标系的自适应框架启发，提出一种自适应策略，每个搜索个体根据自适应概率参数pb选择采用哪种策略，并根据迭代过程中表现优劣对pb进行更新, 更新策略如下：
WOA策略较好：使用WOA策略更新个体位置，子代个体优于父代个体，此时pb的更新模型为
(15)

WOA策略较差：使用WOA策略更新个体位置，子代个体劣于父代个体，此时pb的更新模型为
(16)

SCA策略较好：使用SCA策略更新个体位置，子代个体优于父代个体，此时pb的更新模型为

SCA策略较差：使用SCA策略更新个体位置，子代个体劣于父代个体，此时pb的更新模型为

2.4 多精英选择策略 在算法迭代寻优过程中，采用前一半优势种群的平均适应值来判断算法是否陷入停滞，如果优势种群的平均适应值在连续2次迭代中没有发生变化，则认为算法搜索陷入停滞，此时使用多精英搜索(Multi-Leader Search，MLS)策略生成新个体，以帮助算法跳出局部最优，避免算法的早熟收敛。MLS策略围绕多个精英个体进行局部搜索，设置一个保存当前精英个体且具有自适应规模的集合L，在初始状态时，只包含一个当前最优解，当算法每次陷入停滞时，集合L便增加一个最优解，储存到一个事先给定的最大值时，集合L数量不再增加。
MLS策略对集合中的精英解执行2种搜索行为。MLS策略将围绕集合L中的精英个体进行局部搜索来产生新个体，对于没有被选入集合L的个体，采用式(19)进行更新。
(17)

式中: Xbestt为集合L中随机选择的精英个体。通过r5和r6两项添加小扰动，避免搜索陷入局部最优。
对被选入集合的个体，采用式(20)生成子代。
(18)

此外，当前最优解X*的更新和其他个体依赖相同的种群信息，进而导致X*的全局搜索能力较差，为进一步增加算法的探索能力，在每一次迭代中，对X*采用正余弦策略进行更新。
最后采用贪婪策略保证CML-WOA的全局收敛效率，根据适应度值从子代个体与父代个体中选择较优个体，组成新种群，进而充分保留优势个体，提高算法收敛效率。
2.5 改进鲸鱼优化算法 针对基本WOA存在的不足，本文提出了CML-WOA。使用立方映射混沌算子初始化种群，改进后的种群初始位置分布更加均匀，扩大了鲸鱼群在空间中的搜索范围，增加了群体位置的多样性；利用自适应框架将SCA嵌入到WOA中，种群中的每个个体能够根据自适应概率参数选择使用WOA策略或SCA策略；对每一代最优个体使用SCA策略，利用SCA的振荡周期性帮助最优个体改善探索能力，进一步增强算法的全局搜索能力；当算法陷入停滞时，利用MLS策略，采取2种更新方式，平衡算法的开发和探索能力，增强种群多样性，加快算法的收敛精度和收敛速度；最后利用贪婪策略从父代种群和生成的新个体中选择优势群体，保证算法的收敛效率。CML-WOA的流程图如图 2所示。
图 2 CML-WOA流程图 Fig. 2 Flow chart of CML-WOA
图选项




3 航迹规划问题 3.1 航迹规划原理 航迹规划指在已知飞行区域内规划一条能够在规定时间段内从起飞点(U)到达目标点(T)、且满足各类约束的最优航迹。本文采用离散的航迹点表示飞行航迹，通过将航迹点(U, R1，R2，R3，…，RN，T)进行连线得到一条满足约束的最优航迹，如图 3所示，由于是点与点之间的连线段，需要进行航迹平滑处理，本文采用B样条法处理。
图 3 航迹规划原理 Fig. 3 Principles of path planning
图选项




3.2 坐标系转换 传统二维航迹规划考虑2个方向上的变量，为简化研究问题维数，提高计算效率，本文采用新建坐标系进行降维，以UAV起点U为坐标原点，将起点U和目标点T连线作为横轴，垂直于线段UT作纵轴，建立新的坐标系。新坐标系如图 4所示。
图 4 坐标系转换 Fig. 4 Coordinate system transformation
图选项




在图 4中，将线段UT等分为N+1份，则转换后的航迹点在X′UY′坐标系中的横坐标已知，只需求解出航迹点对应纵坐标，然后将得到的横纵坐标转换到XOY坐标系中，即可得到所规划的航迹点，最后通过B样条法处理得到可行飞行航迹。
3.3 B-spline曲线 B-spline曲线是贝塞尔曲线的一般化形式，公式如下：
(19)

式中：m为节点x的个数，且x的取值范围为{x0, x1, …, xm－1x0≤x1≤…≤xm－1}；Pi为控制节点，共有m－n－1个控制节点；Li, n表示n阶的B-spline曲线基数，公式如下：
(20)

(21)

B-spline曲线的计算成本较低，能够控制样条形状，易于保证路径连续性。而Dubins曲线不具有曲率连续性，贝塞尔曲线稳定性不够，因此本文选用B-spline曲线对航迹段进行处理。航迹平滑效果如图 5所示。
图 5 B样条曲线航迹平滑效果 Fig. 5 Effect of B-spline trajectory smoothing
图选项




3.4 约束函数和适应度函数 为了更好的规划出满足约束的高质量飞行航迹，需要建立合适的适应度函数以及考虑各种约束，尽可能符合实际要求。静态三维全局航迹规划主要包括2部分，第一部分是适应度函数，需要考虑UAV的飞行油量代价、飞行高度代价以及威胁代价；另一部分则是各种约束条件，如最大转弯角、最大俯仰角。

3.4.1 飞行油量代价 在规划航迹时考虑飞行油量代价，是为了保证UAV执行任务后能够顺利返航。假定UAV在执行任务中保持恒定速率，则油量与航迹长度成正比，表示为如下代价函数：
(22)

(23)

式中：ε为油量约束和航迹长度的比值；∑Li为相邻航迹点连线段之和，本文采用欧氏距离，Li为第i段航迹距离；(xi, yi, zi)为第i个航迹点的坐标。

3.4.2 高度代价 任务中UAV飞行高度也是影响作战效果的因素之一，低空飞行有利于UAV隐蔽，因此考虑UAV在飞行过程中的高度代价，模型如下：
(24)

式中：Hi为每个航迹点的高度。

3.4.3 威胁代价和禁飞区约束 UAV在执行任务时会遇到敌方的防空系统，其中包括探测雷达、防空高炮、地空导弹等威胁，本文将上述威胁在二维平面上近似看作一个个圆形区域，探测范围或打击范围作为其半径，规定UAV不能通过圆形区域。
对于如何判断是否穿过威胁区，本文采用如下方法:
1) 分别计算两相邻航迹点与威胁源圆心距离D1、D2。
2) 情况1：D1、D2有1个或2个都小于威胁源半径r，则穿过该威胁区，如图 6(a)所示。
图 6 威胁区穿越判断 Fig. 6 Judgment of crossing the threat zone
图选项




3) D1、D2均大于威胁源半径r，则计算威胁源心和两航迹点连线距离为D3。
4) 情况2：若D3≥r，则不穿过该威胁区，如图 6(b)所示。若D3 < r，则计算威胁源圆心到相邻航迹点连线段中点距离为D4。
5) 情况3：D4≥r，则穿过威胁区，如图 6(c)所示。

3.4.4 最大转弯角约束 由于UAV性能限制，实际飞行的最大转弯角不能无限制[24]，同时在转弯过程中，UAV会稍微偏离规划的航迹，此时航迹曲率就要被考虑，为确保规划出的航迹可以被UAV有效跟随，所以要求生成的相邻航迹段间的夹角不能超过最大转弯角。在本文，规定最大转弯角为60°。

3.4.5 最大俯仰角约束 UAV在三维空间飞行时，其爬升或下降的角度同最大转弯角类似，不能超过最大俯仰角，本文设定相邻航迹段间爬升角不能超过60°。

3.4.6 最大航程约束 假设UAV执行任务后需要原路安全返回基地，那么UAV携带燃油要能够进行往返飞行。本文设定最大航程为550 km。
综上，本文使用代价函数为
(25)

(26)

式中：ω1+ω2=1；ζ为威胁惩罚系数，通过引入惩罚函数系数将约束优化问题转化为无约束优化问题，本文设ζ为105。
4 仿真与验证 4.1 算法测试 为验证本文所提改进算法的有效性与优越性，选择WOA与改进算法IWOA[18]、PSO[25]、BSO[26]、SSA[27]、VCS[28]和GSA[29]进行对比分析。为保证公平，在相同的实验平台基础上，所有算法迭代次数相同，均设置为500次，种群规模设为30，各算法参数与原文献保持一致。所有算法均使用MATLAB R2016b编程，计算机操作系统为Windows10，处理器为AMD R7 4800U 16 GB RAM。对表 1所示测试函数连续独立运行30次，记录30次实验中各测试函数的最优值、平均值、标准差和时间，测试结果如表 2~表 4所示，对其中最好的结果加粗显示。
表 1 测试函数 Table 1 Test functions
函数分类 测试函数 维度 范围 最优值
单峰
测试
函数		 30 [-100, 100] 0
30 [-10, 10] 0
30 [-100, 100] 0
30 [-100, 100] 0
30 [-30, 30] 0
30 [-100, 100] 0
30 [-1.28, 1.28] 0
多峰
测试
函数		 30 [-5.12, 5.12] 0
30 [-32, 32] 0
30 [-600, 600] 0
30 [-50, 50] 0
30 [-50, 50] 0
固定
维度
测试
函数		 2 [-65, 65] 0.998
4 [-5, 5] 0.000 3
2 [-5, 5] -1.031 6
2 [-2, 2] 3
3 [1, 3] -3.86
6 [0, 1] -3.32
4 [0, 10] -10.153 2
4 [0, 10] -10.536 3


表选项






表 2 F1~F7算法测试结果比较 Table 2 Results comparison among test functions F1-F7 of algorithms
测试函数 统计值 WOA IWOA VCS BSO PSO SSA GSA CML-WOA
F1 最优值 4.01×10-116 1.30×10-118 7.21×10-121 1.65×10-53 2.73×10-26 0 2.57×10-19 0
平均值 2.56×10-99 2.19×10-106 2.93×10-106 1.11×10-25 1.60×10-39 9.94×10-100 1.31×10-18 0
标准差 1.37×10-98 8.11×10-106 1.37×10-105 5.19×10-25 3.17×10-39 5.32×10-99 6.82×10-19 0
耗时/s 0.788 1 0.779 3 3.336 5 3.837 1 2.662 3 4.377 1 8.332 5 3.013 5
F2 最优值 1.38×10-72 1.25×10-76 3.22×10-59 8.71×10-11 2.07×10-22 2.50×10-76 1.16×10-9 5.90×10-294
平均值 5.92×10-65 1.50×10-69 1.02×10-52 7.58×10-3 2.86×10-21 6.25×10-53 2.36×10-9 2.60×10-160
标准差 1.84×10-64 8.38×10-69 5.12×10-52 1.17×10-2 3.43×10-21 3.40×10-52 7.60×10-10 0
耗时/s 1.063 2 1.061 5 3.645 4 4.700 3 2.868 0 4.773 7 8.296 9 3.305 5
F3 最优值 1.04×10-44 4.01×10-28 4.42×10-111 7.70×10-54 3.98×10-33 0 3.02×10-19 0
平均值 2.22×10-4 1.33×10-4 8.68×10-97 2.98×10-8 2.47×10-30 2.99×10-58 1.76×10-18 3.55×10-297
标准差 8.10×10-4 5.71×10-4 3.67×10-96 1.63×10-7 3.92×10-30 9.64×10-58 1.31×10-18 0
耗时/s 1.898 1 1.980 2 4.532 4 7.302 0 3.707 5 6.210 0 9.224 7 4.354 4
F4 最优值 6.60×10-2 5.77×10-8 1.09×10-57 8.95×10-16 3.07×10-20 3.24×10-242 3.81×10-10 0
平均值 2.13×101 8.78 1.10×10-51 3.54×10-2 8.17×10-19 1.75×10-43 8.45×10-10 0
标准差 1.31×101 9.07 5.31×10-51 1.44×10-1 6.12×10-19 6.69×10-43 2.59×10-10 0
耗时/s 0.784 8 0.772 6 3.434 0 3.774 7 2.624 0 4.318 3 8.101 3 3.204 7
F5 最优值 9.96×10-1 9.76×10-1 1.94×10-13 0 4.58×10-5 1.70×10-11 1.01 9.53×10-4
平均值 2.04×101 5.49×101 8.86×10-9 1.91 2.22 1.51×10-5 7.43 2.93×10-1
标准差 9.19×101 2.78×102 2.74×10-8 2.02 4.91 3.90×10-5 3.21×101 1.02
耗时/s 1.176 1 1.170 9 3.809 7 5.174 9 2.982 4 4.910 2 8.335 2 5.534 0
F6 最优值 2.26×10-3 4.5×10-3 3.89×10-25 0 0 0 4.50×1019 1.84×10-32
平均值 3.38×10-3 1.16×10-1 4.18×10-16 8.32×10-21 0 0 1.15×10-18 8.60×10-3
标准差 4.00×10-2 1.14×10-1 2.13×10-15 4.42×10-20 0 0 6.32×10-19 1.89×10-2
耗时/s 0.794 4 0.776 5 3.312 0 3.932 3 2.619 2 4.354 3 8.082 8 3.476 1
F7 最优值 5.12×10-5 1.09×10-5 1.19×10-5 1.98×10-4 9.60×10-5 3.50×10-5 3.62×10-4 4.63×10-6
平均值 2.42×10-3 2.04×10-3 3.42×10-4 1.27×10-3 7.21×10-4 6.46×10-4 5.38×10-3 2.47×10-4
标准差 2.82×10-3 3.27×10-3 2.69×10-4 1.11×10-3 5.28×10-4 3.57×10-4 3.44×10-3 1.93×10-4
耗时/s 1.130 0 1.180 0 3.691 2 4.844 1 2.927 3 4.906 7 8.551 8 3.478 1


表选项






表 3 F8~F12算法测试结果比较 Table 3 Results comparison among test functions F8-F12 of algorithms
测试函数 统计值 WOA IWOA VCS BSO PSO SSA GSA CML-WOA
F8 最优值 0 0 0 0 0 0 0 0
平均值 0 2.36×10-16 0 5.67 4.64×10-1 0 2.08 0
标准差 0 1.29×10-15 0 4.34 5.04×10-1 0 1.59 0
耗时/s 0.824 4 0.812 5 3.379 4 4.112 4 2.686 8 4.472 2 7.798 9 3.097 1
F9 最优值 8.88×10-16 8.88×10-16 8.88×10-16 4.44×10-15 8.88×10-16 8.88×10-16 1.09×10-9 8.88×10-16
平均值 3.84×10-15 3.37×10-15 8.88×10-16 6.80×10-1 3.01×10-15 8.88×10-16 2.29×10-9 8.88×10-16
标准差 2.30×10-15 2.31×10-15 0 8.56×10-1 1.77×10-15 8.88×10-16 6.82×10-10 0
耗时/s 1.139 8 1.118 9 3.660 8 5.039 3 2.990 2 4.954 5 8.690 0 3.366 7
F10 最优值 0 0 0 2.71×10-2 0 0 9.36×10-2 0
平均值 4.13×10-2 4.47×10-2 0 1.75×10-1 3.88×10-2 0 9.05×10-1 0
标准差 9.08×10-2 1.12×10-1 0 1.03×10-1 2.67×10-2 0 6.32×10-1 0
耗时/s 1.396 5 1.374 9 4.066 0 5.773 5 3.227 2 5.491 3 8.750 0 3.699 0
F11 最优值 2.41×10-3 5.57×10-3 1.61×10-24 9.42×10-32 9.42×10-32 9.42×10-32 1.07×10-20 9.42×10-32
平均值 1.61×10-1 2.27×10-1 4.91×10-18 2.44×10-1 9.42×10-32 9.42×10-32 5.29×10-20 4.25×10-5
标准差 3.86×10-1 4.19×10-1 2.14×10-17 1.02 3.34×10-47 3.53×10-34 3.56×10-20 2.97×10-4
耗时/s 3.155 6 3.140 2 5.822 1 10.999 5 4.959 2 8.483 5 10.533 0 6.326 9
F12 最优值 3.35×10-3 2.29×10-2 3.02×10-23 1.34×10-32 3.44×10-32 1.34×10-32 2.74×10-20 1.34×10-32
平均值 9.82×10-2 1.71×10-1 1.48×10-17 3.84×10-3 2.21×10-3 1.38×10-32 1.57×10-19 1.34×10-32
标准差 6.99×10-2 1.11×10-1 4.88×10-17 1.04×10-2 4.20×10-3 1.25×10-33 1.05×10-19 5.56×10-48
耗时/s 3.149 3 3.145 4 5.768 7 11.117 3 4.993 7 8.603 5 10.547 6 6.234 5


表选项






表 4 F13~F20算法测试结果比较 Table 4 Results comparison among test functions F13-F20 of algorithms
测试函数 统计值 WOA IWOA VCS BSO PSO SSA GSA CML-WOA
F13 最优值 9.98×10-1 9.98×10-1 9.98×10-1 9.98×10-1 9.98×10-1 9.98×10-1 9.98×10-1 9.98×10-1
平均值 5.89 5.09 1.42 3.35 9.98×10-1 5.22 5.2 6.01
标准差 4.93 3.95 2.13 3.45 5.82×10-17 5.49 3.79 5.12
耗时/s 15.793 1 15.603 5 19.221 3 48.949 5 17.548 9 30.023 6 22.608 2 16.261 7
F14 最优值 3.49×10-4 4.58×10-4 3.07×10-4 3.07×10-4 3.07×10-4 3.07×10-4 1.88×10-3 3.11×10-4
平均值 3.59×10-3 5.08×10-3 5.65×10-4 7.71×10-3 5.95×10-4 3.37×10-4 5.51×10-3 4.08×10-4
标准差 4.70×10-3 3.07×10-4 3.45×10-4 1.92×10-2 3.88×10-4 8.26×10-5 3.97×10-3 3.31×10-4
耗时/s 0.974 8 0.953 1 3.491 5 4.506 8 2.796 9 4.593 2 8.054 0 3.124 3
F15 最优值 -1.03 -1.03 -1.03 -1.03 -1.03 -1.03 -1.03 -1.03
平均值 -1.03 -1.03 -1.03 -1.03 -1.03 -1.03 -1.03 -1.03
标准差 3.70×10-9 7.35×10-10 6.04×10-16 5.92×10-16 6.45×10-16 5.04×10-16 4.72×10-16 3.06×10-16
耗时/s 0.651 0 0.573 5 3.118 7 3.270 6 2.408 0 4.057 0 6.912 4 3.552 3
F16 最优值 3.00 3.00 3.00 3.00 3.00 3.00 3.00 3.00
平均值 1.21×101 1.28×101 3.00 3.00 3.00 3.00 3.00 3.00
标准差 1.93×101 1.77×101 1.716×10-15 2.28×10-15 1.56×10-15 1.37×10-15 3.94×10-15 1.06×10-15
耗时/s 0.443 3 0.428 9 2.929 4 2.821 0 2.297 8 3.679 1 6.846 8 2.344 8
F17 最优值 -3.86 -3.86 -3.86 -3.71 -3.86 -3.86 -3.86 -3.86
平均值 -3.75 -3.76 -3.86 -3.18 -3.86 -3.86 -3.86 -3.86
标准差 1.02×10-1 1.54×10-1 2.69×10-15 4.20×10-1 2.68×10-15 2.32×10-15 2.31×10-15 2.17×10-15
耗时/s 1.716 9 1.714 9 4.247 6 6.941 1 3.571 1 6.145 1 8.411 6 3.473 2
F18 最优值 -3.27 -3.14 -3.32 -2.73 -3.32 -3.32 -3.32 -3.32
平均值 -3.01 -2.70 -3.29 -1.35 -3.27 -3.27 -3.31 -3.30
标准差 1.77×10-1 4.83×10-1 5.34×10-2 7.33×10-1 5.83×10-2 5.92×10-2 2.22×10-2 5.79×10-2
耗时/s 1.773 1 1.170 8 4.322 7 6.934 4 3.630 3 6.176 7 9.296 6 4.463 4
F19 最优值 -9.81 -10.12 -10.15 -1.72 -10.15 -10.15 -10.15 -10.15
平均值 -5.86 -4.71 -10.15 -6.8×10-1 -5.97 -8.18 -6.94 -10.15
标准差 2.30 2.42 6.56×10-15 3.38×10-1 3.55 2.49 3.72 6.35×10-15
耗时/s 3.210 0 3.190 9 5.737 1 11.526 2 5.126 5 8.617 4 10.264 8 5.079 3
F20 最优值 -10.11 -10.42 -10.53 -4.57 -10.53 -10.53 -10.53 -10.53
平均值 -4.17 -3.68 -10.53 -1.00 -7.79 -8.88 -9.68 -10.53
标准差 2.37 2.19 2.91×10-15 8.32×10-1 3.71 2.65 2.34 2.51×10-15
耗时/s 6.000 4 6.001 4 8.826 4 19.921 0 7.758 9 13.714 2 12.980 1 12.753 2


表选项






其中F1~F7为单峰测试函数，主要用于测试算法的开发能力，根据表 2可知，CML-WOA在求解F1~F4和F7时，寻优效果最佳，均能稳定得到全局最优解；在求解F5和F6时，虽然效果不是最好，但寻优能力仍居于2个测试函数的第3位，且明显优于WOA和IWOA算法。从整体上看，对于单峰测试函数，CML-WOA收敛效果优于其他算法，且稳定性较好。
F8~F20为多峰测试函数，该类测试函数有多个局部最优解，智能优化算法在求解时易于陷入局部最优。因此多峰测试函数主要用于测试算法的探索能力。由表 3和表 4可知，在求解F8和F10时，CML-WOA优于4种算法，在性能相近的3种算法中，耗时最短；在求解F9时，VCS优于其他对比算法，在耗时上优于VCS算法；在求解F11时，CML-WOA效果不佳，但仍明显优于WOA及其改进算法；在求解F12时，CML-WOA明显优于其他对比算法，且耗时较短。在求解F13~F14和F18时，CML-WOA均优于6种对比算法；在求解F15~F17时，除WOA和IWOA外，另外6种算法性能相近，但CML-WOA稳定性最强。在求解F20时，CML-WOA优于其他对比算法。因此，提出的CML-WOA在求解20个基准测试函数时，在14个测试函数中，收敛精度最佳，且在所有函数中，均优于WOA和IWOA，证明CML-WOA有较强的局部最优规避能力。
为进一步分析8种算法的寻优能力，根据表 2~表 4的均值对算法在各个测试函数中的结果进行比较排序，若相等则比较标准差，表 5展示了各算法的平均排序结果。CML-WOA排序第1，寻优性能在8个算法中最强，且明显优于WOA。其余算法按照性能由好到差排序为：SSA、VCS、PSO、GSA、BSO、IWOA和WOA。为更加直观显示8种算法在不同测试函数上的排序结果，采用雷达图将各算法进行绘图，如图 7所示。图中算法性能曲线所围面积越小，表明算法的排序越靠前，其性能就越好。黑色加粗曲线即为CML-WOA算法排序结果曲线，可以直观地看到，CML-WOA在F6、F11和F12上性能相对较差，在其他测试函数中均表现较好，且其所围面积最小，说明CML-WOA整体上具有最好的寻优性能。
表 5 算法性能排序结果 Table 5 Results of sort of algorithm performance
算法 平均排序 算法 平均排序
WOA 5.9 PSO 4.35
IWOA 6.4 SSA 3.1
VCS 3.2 GSA 5
BSO 6.2 CML-WOA 1.85


表选项






图 7 算法排序雷达图 Fig. 7 Radar chart of sort of algorithms
图选项




图 8为8种算法独立求解9个具有代表性的基准测试函数30次所得结果的箱式图，从图中可以得知，在求解F4、F8、F10、F11和F17时，均无异常点出现，说明CML-WOA在求解这些函数时性能较稳定；在求解其余函数时，有个别异常点出现，但均少于对比算法，且在求解所有测试函数时，收敛值的分布相比其他对比算法整体上更为集中，明显优于其他对比算法，说明改进的CML-WOA算法具有较强的鲁棒性。
图 8 8种算法在9个基准测试函数上的收敛箱式图 Fig. 8 Convergence box diagram of eight algorithms on nine benchmark test functions
图选项




通过对30次独立运行求解测试函数结果的平均值和标准差进行分析比较，并不能精确分析每次运行的结果，且在运行过程中仍有一定概率出现偶然，致使算法在均值上具有较好表现。因此在统计学层面上来判断不同算法整体结果的显著性区别，采用Wilcoxon统计检验。将8种算法独立求解20个测试函数30次得到的结果作为样本，在置信度为0.05的条件下进行检验，判断7个对比算法所得结果与CML-WOA所得结果的显著性区别。Wilcoxon统计检验结果如表 6所示，最后一行为检验结果的统计数量。
表 6 Wilcoxon统计检验结果 Table 6 Results of statistical tests of Wilcoxon
算法 WOA IWOA VCS BSO PSO SSA GSA
F1 - - - - - - -
F2 - - - - - - -
F3 - - - - - - -
F4 - - - - - - -
F5 - - + - = = -
F6 - - = + + + =
F7 - - - - - - -
F8 = = = - - - -
F9 - - = - = - -
F10 = = - - - = -
F11 - - - - + + -
F12 - - - = = - =
F13 = = = = + = =
F14 - - = = = = -
F15 - - - = - - -
F16 - - - - - - -
F17 - - = - = - -
F18 = = + = + + +
F19 - - = - - - -
F20 - - = - - - -
(-/=/+)
 16/4/0 16/4/0 10/8/2 14/5/1 11/5/4 13/4/3 16/3/1
注：表中“+”表示该算法性能明显优于CML-WOA；“=”表明该算法性能与CML-WOA无明显差别；“-”表示该算法性能明显劣于CML-WOA。


表选项






Wilcoxon统计检验结果表明：在20个基准测试函数中，CML-WOA的性能在16个测试函数上优于WOA、IWOA和GSA，在10个测试函数上优于VCS，在14个测试函数上优于BSO，在11个测试函数上优于PSO，在13个测试函数上优于SSA。综上，CML-WOA在求解20个测试函数时，至少在一半以上的函数优于另外7个对比算法，仅在个别测试函数中劣于个别函数。因此基于统计学理论分析，在收敛精度方面，CML-WOA的寻优性能明显优于7种对比算法。
为了进一步阐述CML-WOA的收敛性能，8种算法独立求解F1、F3、F4、F8、F10、F14、F16、F19和F20各30次的平均收敛曲线如图 9所示。
图 9 算法收敛曲线 Fig. 9 Algorithm convergence curves
图选项




在求解前6个算法时，CML-WOA有更快的收敛速度和更好的收敛精度，在求解F16时，CML-WOA在前期收敛速度慢于GSA，但后期收敛速度超过所有对比算法，先收敛到最优值；在求解F19和F20时，在前期收敛速度较慢，但后期收敛速度同样超过对比算法，且比对比算法收敛精度更好。因此CML-WOA相比WOA和IWOA，其寻优性能具有明显提升，具有较强局部最优规避能力和更高的收敛精度与收敛速度。
4.2 航迹规划问题实验 本次仿真实验环境为：AMD R7 4800U 16 GB RAM，Windows10 64位。航迹规划模型参数设置如下：战场空间为xmax=100 km, ymax=100 km, 航迹节点数Num为20, 最大转弯角为60°，最大航程为550 km，UAV起点为(10，10)km，目标点为(95，90)km，威胁源参数如表 7所示。
表 7 威胁源参数 Table 7 Parameters of threat source
威胁源 威胁类型 位置/km 作用半径/km 高度/km
Threat 1 探测雷达 (25，20) 9.8 2.8
Threat 2 地空导弹 (55，50) 11.7 2.9
Threat 3 防空高炮 (85，45) 8.9 3.0
Threat 4 地空导弹 (45，70) 8.0 3.0
Threat 5 探测雷达 (24.5，50) 10.0 2.8
Threat 6 防空高炮 (75，80) 12.0 3.1


表选项






分别使用WOA、IWOA、PSO、GWO以及CML-WOA对静态航迹规划模型进行求解，算法种群规模设置为100，最大迭代数量为200，进行30次仿真实验。结果如表 8所示。图 10~图 14为4种算法求解航迹节点数为20的问题结果。
表 8 20维下的规划代价值 Table 8 Planning cost in 20 dimensions
航迹节点数 结果 WOA IWOA PSO GWO CML-WOA
20 平均适应值 2.31×104 2.22×104 2.00×104 2.01×104 8.32×101
标准差 8.84×103 7.35×103 6.35×103 8.21×103 2.92
最大适应值 5.29×104 5.16×104 5.58×104 6.08×104 86.237 8
最小适应值 80.709 8 79.061 2 76.668 6 75.486 7 73.773 7
成功率 0.65 0.60 0.55 0.60 1.00
耗时/s 10.477 7 11.153 1 10.606 1 11.082 9 13.256 1


表选项






图 10 三维航迹图 Fig. 10 Three-dimensional path map
图选项




图 11 二维等高线航迹图 Fig. 11 Two-dimensional contour path map
图选项




图 12 转弯角的变化率 Fig. 12 Change rate of turning angle
图选项




图 13 爬升角的变化率 Fig. 13 Change rate of climbing angle
图选项




图 14 航迹代价收敛曲线 Fig. 14 Convergence curves of path cost
图选项




从表 8可以得知，在20维的情况下求解航迹规划模型，本文提出的CML-WOA结果中的平均适应值、最小适应值、最大适应值以及标准差均是5种算法中最小的，说明本文算法性能明显优于对比算法，虽然耗时不是最少，但通过改进策略增加了算法的收敛精度，使得该改进算法在求解航迹规划问题时，成功率达到了百分之百。如图 10和图 11所示，CML-WOA生成航迹优于对比算法生成航迹，能够尽可能选择地形高度较低的区域前进，从而实现低空突防，而其他算法求得的飞行航迹都会通过一个小山坡，不利于UAV隐蔽飞行。如图 12和图 13所示，各算法在整个规划航迹中，转弯角和俯仰角均远离阈值，说明规划的航迹有利于UAV飞行，降低UAV飞行条件。图 14是各算法求解航迹模型代价值的平均收敛曲线图，如图 14所示，CML-WOA能够迅速收敛至较优解，且收敛精度优于对比算法。在无人机航迹规划问题中，计算耗时是一个需要考虑的重要因素。表 8显示CML-WOA的时间成本较高, 但总的来说, CML-WOA的运行时间和其他算法差异并不大, 并且，多花费的时间既提高了求解精度，又保证了求解质量，同时，本文中涉及的无人机航迹规划问题为静态航迹规划问题，对于实时性的要求没有动态航迹规划要求高，本文工程运用的主要目的是获得最优或近似最优的飞行航迹。因此，虽然CML-WOA的计算耗时有所增加，但其求解精度和成功率得到了明显提高，表明了本文提出改进策略的有效性，证明了本文提出的基于CML-WOA的UAV航迹规划方法的有效性与优越性。
5 结论 1) CML-WOA寻优性能明显提升，在20个基准测试函数性能测试中，CML-WOA的性能在16个测试函数上优于WOA、IWOA和GSA，在10个测试函数上优于VCS，在14个测试函数上优于BSO，在11个测试函数上优于PSO，在13个测试函数上优于SSA。
2) CML-WOA寻优精度高，引入立方映射和自适应正余弦策略，丰富种群多样性，利用多精英搜索策略，有效跳出局部最优，增强算法全局搜索能力。
3) CML-WOA具有较强的稳定性，由测试函数标准差和箱式图可知，收敛值的分布更为集中，寻优结果稳定。
4) CML-WOA收敛速度较快，从各算法收敛曲线图可知，CML-WOA的收敛效果优于其他对比算法。
5) CML-WOA能够求解出安全可行的飞行航迹。

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