自适应噪声对消技术本质是一种将噪声作为期望信号的自适应滤波器。对噪声消除能力的好坏主要由滤波器中自适应算法的性能决定，常见的自适应算法有最小均方误差(Least Mean Square, LMS)算法、递归最小二乘(Recursive Least-Square, RLS)算法等。虽然传统的自适应算法在自适应对消领域展现出了很好的效果，但却都存在着一定的不足，对此本文针对传统自适应算法所存在的缺点提出基于一种新的最速下降算法的自适应算法。
1 传统的自适应算法 自适应滤波算法最早可以追溯到1960年，由Widrow和Hoffman最先提出了LMS算法。自适应滤波可以根据信号自动调整滤波器的独特优势被广泛应用于系统辨识、自适应均衡、噪声对消和波束形成等领域[1-3]。
自适应滤波的原理是通过引入反馈和期望信号，根据自适应算法来自动地调节滤波器的权系数。自适应滤波器的核心就是自适应算法，经典的自适应算法有LMS算法和RLS算法[4-6]。
LMS算法是自适应算法中最基础的算法，具有运算量小的优点，但缺点是收敛速度慢，而且需要考虑迭代步长的选择问题，迭代步长选择的过大则会造成无法收敛，选择过小则会减小滤波器的收敛速度[7-9]。LMS算法的迭代方程为
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式中：μ为迭代步长；x为输入信号；e(n)为期望信号与输出信号之差所得到的误差信号；w(n)为当前时刻的滤波器权系数；w(n+1)为下一时刻的滤波器权系数。
经典的LMS算法性能存在着很大的局限性，如收敛速度慢、步长固定等。对此文献[10]提出了一种变步长的LMS改进算法。该算法的步长基于对数函数进行变化，改善了传统LMS算法步长固定的缺点，使LMS算法的收敛速度加快，滤波性能得到了很大的改进。
改进后的LMS算法，迭代步长与当前时刻的误差以及上一时刻误差的乘积成对数关系，步长的更新公式为
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式中：参数a和参数b控制曲线的形状和整体数值的大小。将式(2)代入式(1)得到改进LMS算法迭代公式如下：
 | (3) |
RLS算法是利用上一时刻的滤波器权系数，根据代价函数自动调节得到当前时刻的滤波器权系数。这种算法克服了LMS收敛速度慢的缺点，但是缺点是涉及矩阵的运算，致使程序编写比较复杂而且计算量较大[11-14]。RLS算法的迭代方程为
 | (4) |
式中：k(n)为增益向量, 表达式为
 | (5) |
式中：λ为遗忘因子；
上述2种经典的自适应算法一经提出便得到了广泛的应用，针对其存在的缺点，后期也有很多改进的方法，但是基本的求解极值的原理没有太大变化。本文提出了一种新的求极值的最速下降算法，并将其应用到自适应滤波上。该算法主要原理是对多元二次函数进行降维处理，使其变成一元二次函数，再应用抛物线的性质分别循环迭代地求解每一个维度上的极值，使所求得的值渐渐逼近函数的极值。
抛物线的一般式为f(z)=b0z2+b1z+b2；抛物线是轴对称图形；对称轴为直线z=－b1/2b0；对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的极值点。
2 改进算法原理 2.1 数学推导 本文算法主要利用二次函数越接近极值函数曲面越集中，来加快求极值过程中的收敛速度。为了简单解释该算法，可以应用二元二次函数来进行解释。假设二元二次函数方程为u=v2+w2，是一个抛物面凸函数，任取一个v0作为v的初始值，对抛物面进行平行于uow平面的纵切得到一条以w为自变量、u为因变量的抛物线，求解这条抛物线的极值w0，再以w0作为w的初始值，对抛物面进行平行于uov平面的纵切将会得到第二条抛物线，可以想象第二条抛物线的极值与第一条抛物线相比更接近于抛物面的极值点，依照这种方式循环迭代地求解v和w纵切面上的极值，得到抛物线的极值将越来越逼近于抛物面凸函数的极值点。
本文算法详细的推导过程如下：将多元二次函数降维到二维平面上；多元二次函数降维到二维平面上的形状是一条抛物线；应用抛物线的性质根据其他系数求出抛物线的极值。
1) 假设多元二次函数的一般形式为f12=(a11x1+a12x2+…+a1nxn+c1)2，将多元二次函数的一个自变量x1当作未知数，其他自变量x2, x3, …, xn代入初始值当作系数，此时多元二次函数变成了一个以x1为自变量、f12为因变量的二次抛物线，根据抛物线的性质可以很容易地求出此抛物线的极值。
2) 以第1)步求得的极值作为x1的初始值，将x2作为自变量，其他自变量代入初始值作为系数，求解以x2为自变量、f12为因变量的二次抛物线，用抛物线的性质求此抛物线的极值。
3) 将第2)步求得的极值作为x2的初始值，应用同样的方法依次求解其他自变量的取值。
4) 当求完xn的取值之后，再返回来从x1开始求解，按照这种方式循环迭代的运算。最终求得的值将会接近多元二次函数极值处的各个自变量的取值。
这种二次函数求极值的方法需要约束方程的个数大于等于自变量的个数，即多元二次函数存在极值点。具体解释如下：
 | (6) |
式(6)中：
 | (7) |
式中：m为约束方程的个数；n为自变量的个数。若应用这种方法求二次函数极值，就要求n≤m，这里要求f1, f2，…，fm是线性无关的，若是存在线性相关组则要求f1, f2，…，fm的最大线性无关组的个数大于等于自变量的个数，即二次函数存在极值点。
一元二次函数一般形式可以设为f(z)=c0z2+c1z+c2，根据抛物线的性质可以求得抛物线的极值点位于z=－c1/(2c0)处，为了求解函数中的系数c1、c0，可以采用对函数求导数的方法，即c1=y′z|z=0，2c0=y″zz，因此多元二次函数的极值点位于x=－f′x|x=0/f″xx处。
式(6)所示的是n元二次函数，应用这种方法求解式(6)的极值，步骤如下：
首先，给n个自变量随机设定初始值x1(0), x2(0)，…，xn(0)；应用此种方法多次循环迭代使n个自变量的取值向着极值点收敛，迭代方程如下：
 | (8) |
2.2 基于新的最速下降算法的自适应滤波器原理 自适应滤波器一般遵从的是最小均方误差准则，使经过滤波器的输出信号和期望信号之间的均方误差最小[15-18]，自适应滤波器的示意图如图 1所示。
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| 图 1 自适应滤波器示意图 Fig. 1 Schematic diagram of adaptive filter |
| 图选项 |
图 1中x(n)是输入信号，y(n)是经滤波器进行滤波之后的输出信号, d(n)是期望信号，e(n)是输出信号和期望信号做差所得到的误差信号，通过误差信号模的大小，根据相应的自适应滤波算法自动地调整滤波器的权值，最终使误差信号的模达到最小。自适应噪声对消就是将有用信号和噪声的混合信号作为输入信号，将噪声信号作为期望信号，当误差信号最小时最接近有用信号[19-20]。
自适应滤波器所用到的是有限长FIR滤波器，因此信号处理的方式是输入信号与滤波器权值做卷积。假设N阶滤波器的权值分别为h1, h2，…，hN，则输出信号为
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 | (10) |
误差信号的模最小时，误差信号的平方也最小，因此可以计算误差信号平方的最小值。
 | (11) |
为了使用本文所提出的方法，这里求解均方误差的最小值，均方误差如下：
 | (12) |
用式(8)求解式(12)均方误差的最小值得到自适应滤波算法的迭代方程如下：
 | (13) |
式中: 要求约束方程的个数M大于等于滤波器的阶数N。
根据以上对基于新的最速下降算法的自适应滤波器原理的推导，将这种新的自适应算法的应用步骤总结如下：
1) 设置滤波器的阶数N和约束方程的个数M，注意在设置这2个常数时应该满足N≤M的条件。
2) 对滤波器的权值h1, h2，…，hN进行初始化赋值分别为h1(0), h2(0)，…，hN(0)。
3) 将输入信号和误差信号代入式(13)中，按照从上到下的顺序求解新的滤波器权值h1(1), h2(1)，…，hN(1)。
4) 输入下一时刻的输入信号x(n+1)，根据新的输入信号x(n+1)和新的滤波器权值h1(1), h2(1)，…，hN(1)对误差信号e(n)进行更新。
5) 重新调用式(13)求解出新的滤波器权值h1(2), h2(2)，…，hN(2)，重复第3)步和第4)步使自适应滤波器的权值向着使误差信号模最小的极值点收敛。
6) 当误差信号达到允许的范围时停止循环。
3 仿真分析 使用MATLAB软件对本文算法在自适应噪声对消中的应用进行仿真分析。仿真的理想信号是正弦波和声音信号，噪声是服从高斯分布的白噪声信号，滤波器的输入信号是白噪声信号，期望信号是混入噪声的理想信号。仿真环境的信噪比设置为-10 dB，滤波器阶数为5，约束方程个数为150。
3.1 时域波形图仿真 图 2为采用本文算法进行噪声对消得到的时域仿真波形图。图中显示的信号分别是理想信号加上信噪比为-10 dB的高斯白噪声之后的时域波形图，理想信号的时域波形图，混入噪声之后的理想信号经由本文算法进行自适应噪声对消处理后的时域波形图。
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| 图 2 时域波形图 Fig. 2 Time domain waveform |
| 图选项 |
从仿真的时域波形图可以看出，高斯白噪声对信号的干扰是十分严重的，经由本文算法进行自适应噪声对消之后的波形图基本上接近理想信号，滤波效果很好。可以看到，经处理之后的时域波形图一开始有一小段失真，这是由于算法一开始处于收敛阶段造成的，当算法收敛到最小之后，滤波效果达到最佳，恢复出了和理想信号最接近的时域波形。
3.2 收敛速度仿真分析 对本文算法、LMS算法、文献[19]中的改进LMS算法以及RLS算法4种算法的收敛速度进行仿真分析，得到图 3。图 3为用MATLAB软件在相同的仿真环境下进行蒙特卡罗仿真500次得到的数据。图中横轴代表滤波器的迭代次数，纵轴代表经滤波器输出的信号与理想信号之间的均方误差。
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| 图 3 4种算法收敛速度对比 Fig. 3 Comparison of convergence rates amongfour algorithms |
| 图选项 |
图 3中：LMS算法的迭代步长是经过多次测试之后选取的最优步长，即可以使算法收敛的最大步长μ为0.001，改进LMS算法的参数a和参数b也是经过多次测试之后选取的最优参数a=1 200, b=0.001。从图 3中可以看出，由本文算法进行滤波之后的均方误差最先降到最小，改进LMS算法其次，RLS算法第3，LMS算法最慢。可见本文算法的收敛速度是十分快的，明显优于其他算法。
3.3 滤波效果仿真分析 对本文算法、LMS算法、RLS算法和改进LMS算法的滤波效果进行仿真分析得到图 4。如图 4所示，在误差信号趋于平稳之后RLS的最大均方误差在0.3左右，LMS算法的最大均方误差出现在0.2左右，改进LMS算法出现在0.5左右，本文算法的最大均方误差出现在0.1左右，可以很直观地看出本文算法的滤波效果优于LMS算法，LMS算法的滤波效果优于RLS算法，改进LMS算法的效果最差，这是由于改进LMS算法在高信噪比条件下效果较好，而仿真条件信噪比为-10 dB，改进LMS算法的滤波效果较差。因此，本文算法的滤波效果要优于其他算法，但是这一结论也不绝对，因为新算法的性能与约束方程的数量有很大关系，将会在下面对本文算法性能进行定量分析。
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| 图 4 4种算法滤波效果对比 Fig. 4 Comparison of filtering results among four algorithms |
| 图选项 |
4 在实际信号噪声对消中的应用 引入一段语音信号作为输入信号来测试本文算法对实际信号的噪声对消性能。测试流程为：①使用MATLAB软件读取一段已经录制好的语音信号；②给语音信号加上功率可以随意调节的高斯白噪声；③使信号输入基于本文算法的自适应滤波器得到输出信号；④对输出信号进行时域、频域等分析来测试本文算法在实际信号噪声对消中的性能。
4.1 噪声对消后的时频输出 给语音信号加入信噪比为-20 dB的噪声，此时语音信号已经完全淹没在噪声中无法分辨，采用本文算法进行自适应滤波之后，可以很好地恢复出原语音信号，里面仅掺杂着少量噪声。
实际信号处理的时域波形图如图 5所示。图 5中：绿色点划线代表加上噪声信号的语音信号，可以看到由于信噪比极低语音信号已经完全淹没于噪声信号中无法辨认，蓝色实线代表的是不含噪声的声音信号，红色虚线代表经新算法滤波之后输出的声音信号，可以看到输出信号与原始语音信号几乎重合。
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| 图 5 实际信号处理的时域波形图 Fig. 5 Time domain waveform of actual signal processing |
| 图选项 |
图 6为图 5中3个信号的频谱。图中：绿色的波形是含噪信号的频谱，可以看出噪声频谱完全淹没了声音信号的频谱。蓝色的波形显示的是原始语音信号的频谱，红色波形显示的是经新算法滤波后输出信号的频谱，可以看出原始信号与输出信号的频谱基本重合。
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| 图 6 实际信号处理的频域波形图 Fig. 6 Frequency domain waveform of actual signal processing |
| 图选项 |
对信号经过时域和频域分析之后，可以看到本文算法具有很强的滤波能力，即使在信噪比很低的情况下也能使输出信号的时域和频域与原始信号高度相似。
4.2 算法性能的定量分析 在本文算法对实际信号进行处理的环境下，对本文算法的性能进行定量分析。主要分析约束方程的数量对算法性能的影响和输入信噪比的变化对算法性能的影响。
首先，对算法性能与约束方程的关系做定量分析。以输出信噪比作为滤波算法性能的衡量指标，如图 7所示，当输入信噪比为-20 dB，约束方程的个数M的取值范围为5~200个，输出信噪比的值。
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| 图 7 约束方程个数对滤波效果的影响 Fig. 7 Influence of the number of constraint equations on filtering result |
| 图选项 |
从图 7可以看出，经过滤波器进行滤波之后，声音信号的信噪比整体都得到了改善。随着约束方程的个数M取值的不断增大，输出信噪比整体呈现出上升趋势，对声音信号信噪比的改善程度越来越好。可以得到结论：约束方程的个数越大，算法的滤波效果越好，去噪能力越强。在实际应用中，可以通过调节约束方程个数的方式来达到希望的滤波效果，这一特点克服了一般自适应滤波算法滤波性能固定不变的缺点。
然后，对输入信噪比与算法性能的关系做定量分析。设定约束方程的个数为150个，声音信号的输入信噪比变化范围为-50~10 dB，观察输出信噪比的变化情况，得到输入信噪比与输出信噪比的变化如图 8所示。
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| 图 8 信噪比对滤波效果影响 Fig. 8 Influence of SNR on filtering result |
| 图选项 |
如图 8所示，输出信噪比整体都大于输入信噪比，说明滤波器在输入信噪比为-50~10 dB的范围内对信号有很好的滤波作用，即使输入信噪比很恶劣或者输入信噪比急剧变化的情况下，本文算法都能展现出很好的效果。从图 8的整体趋势可以看出，随着输入信噪比的增大，输出信噪比一开始也呈现出上升趋势，随着输入信噪比增大到一定值时，滤波器的滤波性能达到极限使输出信噪比不会有过大的提升。
5 结束语 通过对新的自适应滤波算法进行仿真以及实际应用，可以看到新的最速下降算法可以很好地完成自适应噪声对消的功能。与传统自适应算法相比，新的最速下降算法具有如下优点：收敛速度快；滤波效果好；滤波效果可以进行调节；在信噪比急剧变化以及信噪比十分恶劣的情况下，具有显著优势；不需要考虑迭代步长的选择问题；主要使用循环运算的方式，不涉及矩阵运算，更适合使用计算机或可编程硬件实现算法。
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