欧美于2010年成立的ARAIM技术子组在其里程碑报告[3-5]中推荐了ARAIM的多假设分离解(Multi-Hypothesis Separation Solution, MHSS)标准算法。推荐的MHSS标准算法使用遍历的方法产生子集，容易带来子集数量过多的问题，增大计算负载。针对此问题，Walter等[6]提出了去除星座的方法，但在双星座情况下，会使得每个子集的虚警率过大，可能使判决门限过低，降低服务的连续性；葛奕杉等[7-8]提出了按轨道面剔除卫星的方法，需要占用额外的资源来给接收机传递卫星轨道面的信息；Blanch等[9]针对双星座提出了固定子集的方法，未考虑每个星座在几何分布上的差异，认为各星座情况相同，存在导致服务可用性降低的可能。
ARAIM系统旨在实现全球范围内的LPV-200服务，从完好性上来说，多星座组合定位时，并不是星座越多越好，在里程碑报告中，已经明确指出，双星座在一定性能下，可以实现全球范围内的LPV-200服务；并且从ARAIM系统实际实现难易的角度上来考虑，双星座情景下是最容易实现的。因此，本文针对双星座下的ARAIM标准算法子集过多，导致计算负载较大的问题，在保证基本性能的前提下，提出了一种简单可行的减少子集的方法。
1 ARAIM系统架构及目标 1.1 ARAIM系统架构 ARAIM系统架构由地面监测网、核心星座和机载接收机三部分组成[10]，主要运行过程如下：
1) 地面监测网通过观测核心星座，生成能反映核心星座固有性能的参数(完好性支持信息(Integrity Support Message，ISM))，并发送给机载接收机。
2) 机载接收机运行MHSS算法，把接收到的卫星信号和ISM作为输入，判断卫星或星座是否故障，有故障排除故障；无故障计算保护级等，判断服务是否可用。
1.2 ISM参数 ISM参数主要包括[11]：
1) 卫星i故障的先验概率Psat, i。
2) 星座j故障的先验概率Pconst, j。
3) 卫星i能够过包络星历星钟误差分布的标准差σURA, i，用于对完好性进行评估。
4) 卫星i星历星钟误差分布的标准差σURE, i，用于对精度和连续性进行评估。
5) 卫星i在伪距域造成的最大标称偏差bnom, i，用于对完好性进行评估。
ISM反映的是卫星的性能情况，当一颗卫星没有故障时，由卫星造成的伪距误差可以由高斯分布N(μ, σ2)包络：
1) 用于完好性时, 有σ < σURA, i，|μ| < bnom, i。
2) 用于精度和连续性时，有σ < σURE, i，μ=0。
1.3 ARAIM实现的目标 ARAIM以实现全球LPV-200服务为目标，LPV-200服务的完好性要求如表 1[12]所示，保护级等小于下列告警值时，称ARAIM的LPV-200服务是可用的。
表 1 LPV-200服务在完好性上的要求[12] Table 1 Integrity requirements of LPV-200[12]
| LPV-200服务告警值 | 数值 |
| 水平保护级告警值/m | 40 |
| 垂直保护级告警值/m | 35 |
| 垂向有效监测阈值/m | 15 |
| 完好性风险限值 | 2×10-7(进近) |
表选项
2 MHSS算法分析 MHSS算法监测的故障情况包含：
1) 一颗卫星发生故障。
2) 一个星座发生故障。
3) 上述2种情况任意数量的组合。
特定的卫星或星座故障称为故障模式，MHSS算法对某一时刻可能存在的所有故障模式进行二元假设检验，检验阈值的构造见2.2节，检验量按照如下方式构造：
1) 对故障模式k，从可见星中剔除故障模式k对应的发生故障的卫星或星座，剩余卫星组成的集合称为子集k。
2) 对子集k进行定位得接收机位置(X(k), Y(k), Z(k))，对所有可见星进行定位得接收机位置(X(0), Y(0), Z(0))。
3) 由与子集k对应的发生故障的卫星或星座造成的误差，由伪距域转换到定位域(东北天坐标系下)为(|X(k)-X(0)|, |Y(k)-Y(0)|, |Z(k)-Z(0)|)，即检验量。
当所有检验量小于检验阈值时，再计算保护级(PL)、垂向有效监测值(EMT)，与相应的告警值做比较，判断LPV-200服务是否可用。MHSS算法流程如图 1所示。
 |
| 图 1 MHSS算法流程图 Fig. 1 MHSS algorithm flowchart |
| 图选项 |
2.1 确定所有需要监测的故障模式(子集) 故障数指某个故障模式下发生故障的卫星/星座数。一般情况下，同样故障数的故障模式，其发生的概率量级差别不大，因此可以使用最大故障数Nfault, max来确定要监测的故障模式。最大故障数的确定与卫星的先验故障概率、星座的先验故障概率和当前可见星数有关。对于卫星故障或者星座故障，统称为事件，总的卫星数记作Nsat，总的星座数记作Nconst，那么总的事件数Nevent=Nsat+Nconst，事件k发生的先验概率为
 | (1) |
基于遍历的思想，n个事件进行组合。
1) n为0时，即0个故障发生的的概率：
 | (2) |
2) n为1时，即1个故障发生的概率：
 | (3) |
3) n大于1，可同理计算n个故障发生的概率。
对于最大故障数Nfault, max，应当满足：
 | (4) |
 | (5) |
式中：Pthreshold为一个小于完好性风险2×10-7的常值，可取Pthreshold=8×10-8[5]，用来约束未监测故障模式的发生概率，即未监测故障模式带来的完好性风险上限。
在任意双星座情况下，在一定的参数下，标准算法产生的子集数量如表 2所示, 第1列各星座可见星数“/”前后分别为星座1和星座2的可见星数。
表 2 标准算法在相关参数下产生的子集数量 Table 2 Number of subsets produced by standard algorithm with related parameters
| 各星座可见星数 | 子集数 | ||
| Psat, 1=10-4, Psat, 2=10-3, Pconst, 1=10-4, Pconst, 2=10-4 | Psat, 1=10-4, Psat, 2=10-4, Pconst, 1=10-4, Pconst, 2=10-4 | Psat, 1=10-4, Psat, 2=10-5, Pconst, 1=10-4, Pconst, 2=10-4 | |
| 6/6 | 106 | 106 | 106 |
| 6/8 | 697 | 137 | 137 |
| 6/10 | 988 | 172 | 172 |
| 8/6 | 137 | 137 | 137 |
| 8/8 | 988 | 172 | 172 |
| 8/10 | 1 351 | 211 | 211 |
| 10/6 | 172 | 172 | 172 |
| 10/8 | 1 351 | 211 | 211 |
| 10/10 | 1 794 | 254 | 254 |
表选项
2.2 构造检验阈值 双星座情景下，计算全集和每个子集的几何矩阵G(k)、权系数矩阵H(k)、投影矩阵S(k)表达式分别为
 | (6) |
 | (7) |
 | (8) |
式中：上标k表示当前计算的是子集k的参数；E和A分别为卫星的仰角和方位角，下标为卫星编号；投影矩阵元素S的下标c1代表星座1，有m颗卫星，下标c2代表星座2，有d颗卫星，下标e、n、u分别表示东、北、天3个方向，t表示钟差。
用于完好性的协方差矩阵按式(9)构造：
 | (9) |
式中:σtrop, i和σuser, i分别为卫星i的对流层误差方差和用户接收机误差方差。
将子集k中被剔除的卫星的用于连续性的星历星钟误差方差转换到定位域，得到无故障状态下，由于剔除这些卫星导致的定位解差值的方差，在此方差下，求得一定虚警概率下的检验阈值Tx(k)，下标x为东北天其中1个方向。
 | (10) |
 | (11) |
式中：Sx(k)指S(k)中x方向的行向量；Q为标准正态分布尾部累积概率密度函数；Pfa, x为分配给x方向的虚警概率；Nsubsets为总的子集数量。
2.3 求解PL和EMT 每个子集中，每颗卫星的bnom, i在定位域东北天每个方向上可能造成的最大误差可由投影矩阵转换得到
 | (12) |
取每个故障模式可能带来的完好性风险上限，使其等于总的完好性风险，如式(13)所示，等号左边为被监测故障模式带来的完好性风险上限，右边为分配给被监测故障模式的完好性风险，对左边进行迭代，使带来的风险逐渐逼近分配的风险，以此求得保护级[13]。
 | (13) |
式中：Pfault, k为故障模式k发生的先验概率；PHMI为总的完好性风险；PHMI, x为分配给x方向的完好性风险；Pnot为前面未监测的故障模式的发生概率。
 | (14) |
式中：PEMT=10-5[5]。
3 改进方法 标准算法使用遍历的方式构造子集，子集之间可能存在包含关系，因此会造成重复检验的情况，例如，子集f对应的故障星为2号和5号卫星，子集g对应的故障星为2号星，子集g包含子集f，在检验子集f的同时，实际上对子集g也进行了检验。标准算法中使用遍历方式产生的多个(旧)故障模式，可以用一种(新)故障模式进行代替检验，例如，星座1中双星故障、星座2中单星故障对应的所有子集可以由星座1故障、星座2中单星故障对应的子集代替，具体规则如图 2所示。新故障模式的发生概率为旧故障模式发生概率的和。
 |
| ①为星座1故障+星座2单星故障或星座1单星故障+星座2故障；②为星座1单星故障+星座2故障；③为星座1故障+星座2单星故障；④为星座1故障+星座2卫星故障或星座1卫星故障+星座2故障；“—”表示星座故障和星座故障组合时不进行代替。 图 2 双星座下故障模式代替规则 Fig. 2 Failure mode substitution rule under dual-constellation |
| 图选项 |
由旧故障模式到新故障模式的变化，带来了前后卫星数量的变化，受此影响的卫星几何分布会对ARAIM的可用性带来影响，为减少此影响，在存在可选择的新故障模式时(①和④的情况)，以卫星分布所决定的空间位置精度因子(Position Dilution of Precision, PDOP)的变化作为判断指标，决定使用哪种新故障模式。
从全集中剔除假设存在故障的卫星时，会使得PDOP变大，前后的差值反映出该卫星对整体PDOP影响的大小，差值越大，说明该卫星越重要[10]。检验过程中，首先对单独的卫星/星座故障进行检验，可计算剔除每颗卫星或每个星座后的权系数矩阵H(i)，进而可以计算每颗卫星或星座对整体PDOP的影响，记作DPDOP, i，表达式为
 | (15) |
式中：H[r, r](0)表示剔除卫星/星座i之后，子集权系数矩阵H(i)的第r行第r列元素。
DPDOP, i越大，说明该卫星或星座对PDOP的贡献越大，在文献[14]中证明了，选取贡献最大的卫星组合可以保证取得较小的PDOP卫星分布。记：
 | (16) |
 | (17) |
式中：下标c1、c2和s1、s2分别代表星座1、星座2和属于星座1和星座2的卫星；D1、D2分别代表在使用新故障模式代替旧故障模式过程中，新故障模式剔除的卫星或星座对PDOP影响的大小，适用于表 3中①和④的情况。
表 3 优化后算法产生的子集数量 Table 3 Number of subsets produced by optimized algorithm
| 各星座可见星数 | 子集数 | ||
| Psat, 1=10-4, Psat, 2=10-3, Pconst, 1=10-4, Pconst, 2=10-4 | Psat, 1=10-4, Psat, 2=10-4, Pconst, 1=10-4, Pconst, 2=10-4 | Psat, 1=10-4, Psat, 2=10-5, Pconst, 1=10-4, Pconst, 2=10-4 | |
| 6/6 | 26 | 26 | 26 |
| 6/8 | 30 | 30 | 30 |
| 6/10 | 34 | 34 | 34 |
| 8/6 | 30 | 30 | 30 |
| 8/8 | 34 | 34 | 34 |
| 8/10 | 38 | 38 | 38 |
| 10/6 | 34 | 34 | 34 |
| 10/8 | 38 | 38 | 38 |
| 10/10 | 42 | 42 | 42 |
表选项
为保证代替后的故障模式造成的PDOP变化较小，选取D小的替代方式作为新的故障模式。
双星座情况下，优化后算法子集的数量如表 3所示。
4 仿真结果 4.1 仿真参数设定 假定仿真采用的双星座为GPS和Galileo组合，对ISM在合适的范围内任意设置不同的6组参数，如表 4所示，仿真时间为3 d，仿真步长为300 s，使用历书根据时间计算卫星位置[15]，在全球范围内按经纬度10°的间隔划分网格，取网格点的经纬度作为用户坐标。全球范围内的可用性以仿真时间段内服务可用时间比率超过99.5%的用户占总用户的比率表示。
表 4 相关参数设定 Table 4 Related parameter setting
| 组别 | Nsat | Psat | Pconst | bnom | σURA | σURE |
| 1 | 27 | 10-4 | 10-4 | 0.5 | 1 | 0.66 |
| 23 | 10-4 | 10-4 | 0.5 | 1 | 0.66 | |
| 2 | 24 | 10-5 | 10-4 | 0.5 | 1 | 0.66 |
| 24 | 10-3 | 10-4 | 0.5 | 1 | 0.66 | |
| 3 | 23 | 10-5 | 10-4 | 0.5 | 1 | 0.66 |
| 23 | 10-4 | 10-4 | 0.5 | 2 | 1.32 | |
| 4 | 27 | 10-5 | 10-4 | 0.5 | 1 | 0.66 |
| 24 | 10-4 | 10-4 | 0.5 | 1 | 0.66 | |
| 5 | 24 | 10-5 | 10-4 | 0.5 | 1 | 0.66 |
| 24 | 10-4 | 10-4 | 0.5 | 1 | 0.66 | |
| 6 | 24 | 10-4 | 10-4 | 0.5 | 1 | 0.66 |
| 24 | 10-4 | 10-4 | 0.5 | 1 | 0.66 |
表选项
4.2 优化前后的子集数量及可用性对比 分别使用标准的和优化后的子集构造方法进行仿真验证，优化前后子集数量的对比见表 5，优化后子集数量从几百或几千优化到几十个，可用性的对比见表 6，在6组仿真中，优化前后可用性的最大差异为3%。
表 5 优化前后子集数量范围及仿真用时对比 Table 5 Comparison of subset number range and simulation time before and after optimization
| 组别 | 子集数量 | 仿真用时/min | 用时比 | ||
| 优化前 | 优化后 | 优化前 | 优化后 | ||
| 1 | 92~352 | 26~52 | 82 | 24 | 3.4 |
| 2 | 92~2 325 | 26~49 | 603 | 34 | 17.7 |
| 3 | 79~301 | 24~48 | 78 | 21 | 3.7 |
| 4 | 106~352 | 28~53 | 87 | 23 | 3.8 |
| 5 | 92~301 | 26~49 | 80 | 22 | 3.6 |
| 6 | 92~301 | 26~49 | 77 | 20 | 3.9 |
表选项
表 6 优化前后的算法可用性比较
| 组别 | 算法可用性/% | |
| 优化前 | 优化后 | |
| 1 | 63.4 | 60.5 |
| 2 | 96.9 | 96.6 |
| 3 | 8.18 | 8.49 |
| 4 | 100 | 100 |
| 5 | 97.7 | 98.2 |
| 6 | 97.5 | 97.5 |
表选项
对所有用户，统计其在仿真时间内可用时间占总时间的比率f，以此作等高线图，在6组参数设定下，算法优化前后的全球ARAIM可用性如图 3~图 8所示。可见，每组参数在优化前后的全球可用性趋势保持一致，可用性高的用户在优化后仍具有高可用性，可用性低的用户在优化后仍具有低可用性，优化算法不影响可用性。
 |
| 图 3 第1组参数下的全球可用性 Fig. 3 Global availability under the first set of parameters |
| 图选项 |
 |
| 图 4 第2组参数下的全球可用性 Fig. 4 Global availability under the second set of parameters |
| 图选项 |
 |
| 图 5 第3组参数下的全球可用性 Fig. 5 Global availability under the third set of parameters |
| 图选项 |
 |
| 图 6 第4组参数下的全球可用性 Fig. 6 Global availability under the fourth set of parameters |
| 图选项 |
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| 图 7 第5组参数下的全球可用性 Fig. 7 Global availability under the fifth set of parameters |
| 图选项 |
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| 图 8 第6组参数下的全球可用性 Fig. 8 Global availability under the sixth set of parameters |
| 图选项 |
5 结论 1) 减少子集数量可以提高ARAIM算法的效率，降低对机载接收机的硬件要求。
2) 双星座情况下，使用一个子集代替多个子集，并以PDOP变化作为判决量的方法可以提高算法至少2倍的效率，对最终的可用性影响可以忽略。
3) 本文方法是一种简单可行的方法。
本文方法适用于双星座情况下，更多星座参与时，子集代替的规则仍需分析验证。
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