自Lemons和Quate[8]成功研制了世界上首台机械扫描超声显微镜起，Weglein和Wilson[9]提出声特征曲线——V(z)曲线测得薄膜厚度后，并将超声显微镜应用到薄层材料特征参数的定征中。随后，声波反射系数被引入到相关理论计算中，Atalar[10]首先通过角频法进行理论分析和推导，建立了反射系数和V(z)曲线间的关系。Xu和Ourak[11]用低频点聚焦换能器测量了各种基体材料和叠层结构的反射系数谱，得到待测样本的复V(z)曲线，经信号处理后，重构了样本的反射系数，结果表明，实验测量结果与理论计算结果相吻合，证明运用反射系数谱可对薄层材料特性参数进行定征。
目前，反射系数谱的求解方法主要有基于子波理论的传递矩阵和全局矩阵2种方法。Nayfeh和Chimenti[12]将传递矩阵法应用于层状各向异性复合材料介质中波的传播。Kundu和Mal[13]根据Dunkin[14]提出的Delta算子得到Delta矩阵法。Rokhlin和Wang[15]将刚度矩阵形式用于传递矩阵法，得到一种相对稳定的刚度矩阵法。Lowe[16]对传统的传递矩阵法进行改进得到较为稳定的全局矩阵法。Lefebvre等[17]基于正交多项式展开法求解弹性动力学问题，利用勒让德正交多项式展开法，通过正交多项式的正交特性，将特征方程转化为特征值问题。因此，勒让德正交多项式展开法有作为一种新方法被用于反射/透射系数求解的可能性。
本文为得到声反射/透射系数的稳定准确求解方法，基于勒让德正交多项式展开法，对液浸条件下，薄铝板液/固界面的声反射与声透射系数求解方法、截止项阶数M对理论运算结果的影响等开展理论分析和实验研究。该方法将波动特性的求解问题转化为线性特征值问题，简化了求解过程；同时，通过提高截止项阶数M，解决了传递矩阵法和全局矩阵法在大频厚积时的不稳定问题，为航空航天领域薄层材料的力学性能检测提出了一种新方法。
1 理论计算 1.1 波动控制方程 为了研究薄层材料力学性能的声学测量方法，需要建立理论推导模型，对被测试件的声反射系数R与声透射系数T进行计算。图 1为液浸环境下，正交各向同性板在液/固边界处的入射波、反射波和透射波传播示意图，其中声波入射角度为θ，薄层材料板厚为h。
 |
| 图 1 入射波、反射波和透射波传播示意图 Fig. 1 Schematic diagram of incident wave, reflected wave and transmitted wave propagation |
| 图选项 |
正交各向同性材料应力与应变关系的本构方程为
 | (1) |
无体力条件下的运动方程为
 | (2) |
小变形时的几何关系为
 | (3) |
位移分量为
 | (4) |
式中：CIJ为弹性常数；ρ为密度；ui为xi方向位移分量；k为x1方向波数；ω为角频率；σij和εij分别为应力和应变；U(x3)和W(x3)分别为质点在x1和x3方向位移分量中的振幅。
板材上下边界范围为[0, h]，考虑截止项阶数M、展开系数pmi(i=1, 2, 3；m=0, 1, …，M)及勒让德正交多项式的正交完备区间[-1, 1]，对其进行正交归一化得到勒让德多项式组为
 | (5) |
式中：Pm为归一化后的m阶勒让德正交多项式。用勒让德正交多项式将振幅U(x3)和W(x3)进行展开，并结合式(1)~式(5)，可得到波动控制方程为
 | (6a) |
 | (6b) |
式中：Q′m(x3)和Q″m(x3)分别为Qm(x3)对x3的一阶和二阶偏导。
1.2 边界条件及矩阵方程 在空间坐标平面内，设x3轴、x1轴方向波数比值为α，α=1/tan θ=cot θ，则液体负载下斜入射平面波的传播分量为(1, 0, α)，平面波传播方向与质点偏振方向相同，入射纵波、反射纵波及透射纵波的偏振分量分别为(1, 0, α)、(1, 0, -α)和(1, 0, α)。
平面波在液/固上边界处(x3=0)的位移分量1u3w，以及x1和x3方向声压1p1和1p3为
 | (7) |
式中：c为声波在x1方向的波速；Kw为液体压缩系数；A0和AR分别为入射波和反射波的振幅。
利用勒让德正交多项式展开，则固体中的位移分量ui与应力分量σ31和σ33分别为
 | (8) |
平面波在液/固下边界处(x3=h)的位移分量2u3w与x1、x3方向声压2p1和2p3分别为
 | (9) |
式中：AT为透射波的振幅。
在液/固上下边界处，固体中的位移分量和应力分量，以及液体中的声压均需满足连续性条件，且切向应力为0，则
 | (10) |
利用勒让德多项式对正交各向同性板位移解展开后，包含2(M+1)个未知系数pmi(i=1, 3)及AR和AT，故求解过程需要构建2(M+1)+2个线性无关方程组。利用式(10)中6个边界条件，再由波动方程(6a)和(6b)两侧同乘勒让德多项式组Qm(x3)的共轭复数Qm*(x3)并从0到h进行积分，构建2(M-1)个线性无关方程。令：
 | (11) |
式中：l为偏导阶数。
则经积分运算后，控制方程(6a)可拆分为
 | (12a) |
控制方程(6b)可拆分为
 | (12b) |
式中：Aijj, m, n、Bijj, m, n分别为波动方程6(a)、6(b)的拆分形式。
利用基于勒让德多项式展开式获取的矩阵方程(13)，可对正交各向同性薄层材料板的反射系数R及透射系数T进行数值计算，反射系数R=AR/A0，透射系数T=AT/A0。
 | (13) |
2 数值算例与讨论 2.1 截止项阶数临界值 利用矩阵方程求解反射系数R或透射系数T，勒让德多项式截止项阶数M的选取会对计算准确性产生影响。通常，截止项阶数越高，其计算结果越趋近于真实值，但运算量也会随之增加。实际检测时，应在满足运算结果准确性的前提下，同时考虑计算效率，故而，截止项阶数M可根据应用条件的不同，选取不同的截止项阶数。
以单层铝板为例求解反射系数，分析不同截止项阶数M对反射系数频谱的影响。材料厚度h=1 mm，密度ρ=2 700 kg/m3，弹性常数C11=C22=C33=105.81 GPa、C12=C13=C23=54.58 GPa、C44=C55=C66=25.61 GPa。水中纵波波速cw=1 490 m/s，密度ρw=1 000 kg/m3。利用Mathematica软件平台编写程序，计算入射角为20°时，不同截止项阶数M时反射系数频谱，如图 2所示。其中，图 2(a)选取的频厚积范围是0~3 MHz·mm，图 2(b)的频厚积范围是3~6 MHz·mm。
 |
| 图 2 不同截止项阶数M下的反射系数频谱 Fig. 2 Reflection coefficient spectrum underdifferent cut-off order M |
| 图选项 |
从图 2所示的计算结果可得，在相对较小频厚积范围(0~3 MHz·mm)内, 截止项阶数临界值M=5即可满足计算精度需求，而在相对较大频厚积范围(3~6 MHz·mm)内，截止项阶数临界值M=8才能满足计算精度要求。
在确定截止项阶数临界值后，利用勒让德正交多项式展开法对1 mm铝板的反射/透射系数角度谱进行求解，将结果与传递矩阵法结果进行对比，验证其准确性。当入射波频率f=1 MHz，选取截止项阶数M=5，运算结果如图 3所示。
 |
| 图 3 铝板反射/透射系数角度谱 Fig. 3 Angle spectrum of reflection/transmission coefficient of aluminum plate |
| 图选项 |
由图 3(a)和图 3(b)的对比结果可以得出，在截止项阶数M大于或等于对应情况临界值时，勒让德正交多项式法计算结果能够准确反映算例中的反射与透射特性。
2.2 反射特性与Lamb波频散特性关系 图 4为斜入射平面波在液体负载与薄层材料中的传播示意图。当声波由液体负载斜射入(θ≠0°)薄层材料板时，在液/固界面处会存在反射与透射现象，而透射波在薄层材料板的上下表面处又会多次发生反射现象，最终叠加形成沿x1方向传播的Lamb波。根据Snell定律，可以在已知液体中平面波入射角度θ及波速cw的情况下，求出Lamb波稳态时的波速c，如式(14)所示。因此在斜入射平面波的传播过程中，根据其入射频率f及角度θ，可用Lamb的频散特性对液/固界面处的反射特性求解准确性进行验证。
 |
| 图 4 入射波、反射波与Lamb波传播示意图 Fig. 4 Schematic diagram of incident wave, reflected wave and Lamb wave propagation |
| 图选项 |
 | (14) |
取截止项阶数M=8，利用勒让德正交多项式展开法对反射系数进行计算。图 5为厚度1 mm薄铝板在液浸条件下的频率-角度-反射系数三维曲面，该曲面反映了不同入射频率f与入射角度θ对反射系数的影响。当反射系数为极小值时，入射平面波在薄层材料板内部形成Lamb波并沿x1方向传播，其中包含了多种模态形式。
 |
| 图 5 1 mm薄铝板频率-角度-反射系数曲面 Fig. 5 Frequency-angle-reflection coefficient surface of 1 mm thin aluminum plate |
| 图选项 |
根据式(14)中入射角度θ和Lamb波波速c的转化关系，对频率-角度-反射系数三维曲面进行重构，最终得到如图 6(a)所示的频率-波速-反射系数曲面，将该曲面与Lamb波频散曲线进行叠加对比，如图 6(b)所示，其中实线为Disperse仿真结果，彩色背景为频率-波速-反射系数曲面俯视图。通过对比可以得出，勒让德正交多项式法求得的反射系数符合薄板中Lamb波频散特性变化规律，该结果不仅提出了一种基于反射系数的Lamb波频散曲线求解方法，同时也验证了勒让德正交多项式法对反射系数求解的准确性。
 |
| 图 6 频率-波速-反射系数曲面与频散曲线对比 Fig. 6 Comparison of frequency-wave velocity-reflection coefficient surface and dispersion curve |
| 图选项 |
3 实验测量 3.1 反射实验系统及结果分析 采用尺寸为80 mm×80 mm×1 mm的薄层铝板作为被测试件，利用如图 7所示的斜入射反射/透射系数检测系统，通过“一激一收”方式实现水浸条件下的反射/透射系数测量。该系统由函数发生器完成激励信号的参数调节，利用中心频率为1 MHz、标称晶片尺寸为25 mm的大直径未聚焦超声换能器实现信号的激励与接收功能，经由检测系统中的自制夹具与运动平台，控制声波的入射角与反射角在实验过程中保持相等。借助数字示波器完成信号的观察调节与数据采集，最终通过数据分析处理，得到不同入射角度下的反射系数频谱图。系统可实现常规材料、薄层材料及涂层材料的斜入射反射特性无损检测，并通过机械结构使实验中声波传播路径与理论模型相一致，从而保证了检测结果的准确性。
 |
| 图 7 斜入射反射/透射系数检测系统示意图 Fig. 7 Schematic diagram of obliquely incident reflection/transmission coefficient detection system |
| 图选项 |
在实验过程中，超声换能器由于制作工艺限制，实际中心频率会与标称值有差异，因此需要对其实际性能参数进行测量。以铝块为标准试件，测量超声换能器的脉冲激励响应。图 8为超声换能器的时频特性分析，其实际中心频率为0.9 MHz，有效带宽(-6 dB)应在0.6~1.4 MHz之间。因此，应选取有效带宽范围附近的实验结果与理论分析进行对比验证。
 |
| 图 8 超声换能器时频分析 Fig. 8 Ultrasonic transducer time-frequency analysis |
| 图选项 |
声波在传播过程中，会随着传播介质的不同，拥有不同程度衰减，这种衰减会对实验结果造成影响，本实验设置无试样时的直达声信号为参考信号，用于校正因衰减引起的实验结果偏差问题。无试样参考信号是在相同的激励/接收条件下，与反射实验中信号水声距一致但沿直线传播的信号，该信号包含了声波在传播过程中因介质和扩散引起的衰减。图 9(a)为无试样参考信号在传播过程中的时域信号，对其进行傅里叶变换得到如图 9(b)所示的参考频域信号。同理，对如图 9(c)所示入射角为25°的时域信号进行信号处理后，可得图 9(d)所示的反射频域信号。
 |
| 图 9 参考与反射频域信号 Fig. 9 Reference and reflected frequency domain signal |
| 图选项 |
由式(15)可得反射系数的频域信号。在斜入射过程中，当入射角达到被测材料的第一临界角时，纵波会发生全反射，更有利于声波反射特性的研究。因此，选取入射角度θ时，应大于铝的第一临界角14.66°。
 | (15) |
式中:R(f)为频域反射系数; R′(f)为反射频域信号; U(f)为参考频域信号。
令截止项阶数M=5，利用勒让德正交多项式法对不同入射角度下1 mm铝板的频域反射系数进行计算，图 10为入射角度θ分别为25°、35°及42°时的频域反射系数实验结果与理论计算结果对比。可以看出，数值计算与实验结果吻合程度良好，这不仅证明了勒让德正交多项式法对反射系数的计算结果准确稳定，同时也验证了设置无试样参考信号的数据处理方法，可以有效降低或消除声衰减对反射系数实验结果的影响。
 |
| 图 10 反射系数理论、实验频谱对比 Fig. 10 Theoretical and experimental spectrum comparison of reflection coefficient |
| 图选项 |
3.2 透射实验系统及结果分析 透射实验系统与反射实验系统在信号激励/接收与数据处理部分相仿，主要差异体现在检测平台部分。图 7中虚线框内为斜入射透射系数检测平台示意图，同样采用“一激一收”的方式，将激励和接收的超声换能器分别置于被测试件两侧，分别固定于构建检测环境的矩形水槽对应缸壁上，使其到被测试件中轴线距离相等且传播路径垂直于中轴线。
如图 11所示，通过透射系数检测平台中的旋转平台和可调厚度夹具实现入射角度θ调节功能。令放置被测试件时的接收信号为透射时域信号，未放置时的接收信号为参考时域信号，分别对其进行傅里叶变换，得到透射频域信号T′(f)和参考频域信号U(f)，根据式(16)进行数据处理，最终得到频域透射系数T(f)。
 |
| 图 11 透射系数检测平台俯视图 Fig. 11 Top view of transmission coefficient detection platform |
| 图选项 |
 | (16) |
令入射角度θ小于第一临界角，当截止项阶数M=5，图 12(a)、(b)、(c)分别为入射角度为0°、5°、10°时的频域透射系数理论实验对比图，透射系数的理论计算与实验结果吻合程度良好。
 |
| 图 12 透射系数理论、实验频谱对比 Fig. 12 Theoretical and experimental spectrum comparison of transmission coefficient |
| 图选项 |
4 结论 本文运用勒让德正交多项式求解了液/固界面处的声反射与声透射特性，通过Lamb波频散特性与实验测量对理论模型进行验证，证明了该方法在航空航天领域能够对薄层材料的力学性能进行声学测量，得到：
1) 液浸条件下，基于勒让德正交多项式法对位移幅值进行展开，考虑边界条件及波动控制方程，求解薄层材料液/固边界处的声反射/透射特性；该方法无需进行勘根运算，通过截止项阶数M可控制计算的收敛性。
2) 借助勒让德正交多项式法分析了入射角度θ及入射频率f对反射/透射系数的影响，得到反射/透射系数的角度谱与频谱；当截止项阶数M大于不同频厚积对应的临界值时，该理论模型所得结果与传递矩阵法结果基本吻合。
3) 求解频率-波速-反射系数曲面，与Lamb波频散曲线的Disperse仿真结果对比可知，求得反射特性符合薄板中Lamb波频散特性变化规律，同时证明了该理论模型能够准确表征被测材料的反射特性。
4) 设置无试样参考信号，降低衰减对反射/透射系数测量结果的影响，运用反射与透射实验系统得到不同入射角度θ对应的频域反射/透射系数，实验结果与勒让德正交多项式法计算结果吻合良好。
参考文献
| [1] | 戴达煌. 薄膜与涂层现代表面技术[M]. 长沙: 中南大学出版社, 2008: 1-39. DAI D H. Film and coating modern surface technology[M]. Changsha: Central South University Press, 2008: 1-39. (in Chinese) |
| [2] | 陈学定. 表面涂层技术[M]. 北京: 机械工业出版社, 1994: 209-235. CHEN X D. Surface coating technology[M]. Beijing: Mechanical Industry Press, 1994: 209-235. (in Chinese) |
| [3] | 塞缪尔·贝纳维德斯. 航空航天腐蚀控制[M]. 北京: 化学工业出版社, 2014: 2-14. BENAVIDES S. Corrosion control in the aerospace industry[M]. Beijing: Chemical Industry Press, 2014: 2-14. (in Chinese) |
| [4] | 肖志河, 高超, 白杨, 等. 飞行器雷达隐身测试评估技术及发展[J]. 北京航空航天大学学报, 2015, 41(10): 1873-1879. XIAO Z H, GAO C, BAI Y, et al. Aircraft radar stealth test and evaluation technology and progress[J]. Journal of Beijing University of Aeronautics and Astronautics, 2015, 41(10): 1873-1879. (in Chinese) |
| [5] | 张雯, 易敏, 沈志刚, 等. 氧化物涂层对航天器材料原子氧剥蚀的防护[J]. 北京航空航天大学学报, 2012, 39(8): 1704-1708. ZHANG W, YI M, SHEN Z G, et al. Protection against atomic oxygen erosion of oxide coatings for spacecraft materials[J]. Journal of Beijing University of Aeronautics and Astronautics, 2012, 39(8): 1704-1708. (in Chinese) |
| [6] | 郭洪波, 宫声凯, 徐惠彬. 先进航空发动机热障涂层技术研究进展[J]. 中国材料进展, 2009, 28(9): 18-26. GUO H B, GONG S K, XU H B. Progress in thermal barrier coatings for advanced aeroengines[J]. Progress in China's Materials, 2009, 28(9): 18-26. (in Chinese) |
| [7] | SERAFFON M, SIMMS N J, NICHOLLS J R, et al. Performance of thermal barrier coatings in industrial gas turbine conditions[J]. Materials at High Temperatures, 2011, 28(4): 309-314. DOI:10.3184/096034011X13188765758098 |
| [8] | LEMONS R A, QUATE C F. Acoustic microscope-scanning version[J]. Applied Physics Letters, 1974, 24(4): 163-165. DOI:10.1063/1.1655136 |
| [9] | WEGLEIN R D, WILSON R G. Characteristic material signatures by acoustic microscopy[J]. Electronics Letters, 1978, 14(12): 352-354. DOI:10.1049/el:19780238 |
| [10] | ATALAR A. An angular:Pectrum approach to contrast in reflection acoustic microscopy[J]. Journal of Applied Physics, 1978, 49(10): 5130-5139. DOI:10.1063/1.324460 |
| [11] | XU W J, OURAK M. Angular measurement of acoustic reflection coefficient for substrate materials and layered structures by V(z), technique[J]. NDT & E International, 1997, 30(2): 75-83. |
| [12] | NAYFEH A H, CHIMENTI D E. Ultrasonic wave reflection from liquid-coupled orthotropic plates with application to fibrous composites[J]. Journal of Applied Mechanics, 1988, 55(4): 863-870. DOI:10.1115/1.3173734 |
| [13] | KUNDU T, MAL A K. Elastic waves in a multilayered solid due to a dislocation source[J]. Wave Motion, 1985, 7(5): 459-471. DOI:10.1016/0165-2125(85)90020-4 |
| [14] | DUNKIN J W. Computation of modal solutions in layered elastic media at high frequencies[J]. Bulletin of the Seismological Society of America, 1965, 55(2): 335-358. |
| [15] | ROKHLIN S I, WANG L. Stable recursive algorithm for elastic wave propagation in layered anisotropic media:Stiffness matrix method[J]. Journal of the Acoustical Society of America, 2002, 112(3): 822-834. DOI:10.1121/1.1497365 |
| [16] | LOWE M J S.Plate waves for the NDT of diffusion bonded titanium[D].London: Imperial College London, 1992. |
| [17] | LEFEBVRE J E, ZHANG V, GAZALET J, et al. Legendre polynomial approach for modeling free-ultrasonic waves in multilayered plates[J]. Journal of Applied Physics, 1999, 85(7): 3419-3427. DOI:10.1063/1.369699 |
