弹道导弹自诞生以来受到各大军事力量的关注，发展至今已经成为能加速战争进程的战略性武器。面对弹道导弹的威胁，开发部署防御系统是必要的。弹道导弹的核心技术与运载火箭相似，在发射升空后导弹将弹头送到既定轨道上，利用地球引力完成中段飞行，这段时间占整个发射过程70%。为了提高生存能力，弹道导弹在飞行中段经常会采取投放干扰箔条、释放模拟弹头等假目标，以及将末级火箭炸成碎片形成干扰碎片云等措施迷惑探测雷达。由于弹道中段没有大气阻力的影响，弹头、诱饵和碎片残骸等均在弹道附近伴随弹头高速运动，这就形成了一个扩散范围可达千米的群目标。
美国科学家Chen于2001年首次提出雷达中的微动概念^[1-2]，并对基于微动的目标特性分析与识别展开深入研究。此后基于微动的目标特性分析引起各国研究人员的重视。在弹道目标识别领域，弹头、诱饵和碎片的微动形式有振动、旋转、进动等，在分辨出各个微动散射点回波信号的基础上，分析各个弹道目标回波中由微动引起的相位变化，即可判断目标的运动特性并提取相关特征^[3]。然而，弹道群目标通常处于窄带雷达的一个距离分辨单元内，因此，窄带雷达无法在距离上分离弹道群目标。
针对上面的问题，邵长宇等^[4]对目标窄带回波信号做时频变换，将目标时频曲线看作运动航迹，利用航迹追踪算法提取出不同散射点回波信号的微多普勒曲线，实现了不同散射点的分离。张淑宁等^[5]利用粒子滤波算法恢复出回波信号中2个分量信号的相位差，同时实现了正弦调频信号参数估计。陈广锋等^[6]利用峰值提取法和拟合直线法对目标窄带回波信号进行处理，成功估计出微动目标的振动频率和加速度参数。
上述方法存在参数估计精度不高，不适用信号分量较多情况下的分离问题。为实现微动目标回波信号分离，本文以弹道中段多个振动目标为研究对象，首先建立多目标的振动模型，分析振动对回波相位的调制形式。其次基于正弦调频信号处理方法，提出利用离散正弦调频变换(DSFMT)分离弹道目标回波信号的方法, 并估计出了目标的振动频率。
1 多目标振动模型 在弹道目标的飞行中段，大量形状不规则的碎片、诱饵在弹道导弹轨道上高速飞行，其飞行速度与加速度大致相同，因此一段时间内在空间中的相对位置保持不变^[7]。同时这些目标自身会不断地翻滚和振动，对雷达回波产生独特的附加调制。
本文建立如图 1所示多个振动目标的模型，为了理论分析的方便，将振动目标理想化为一个振动散射点。

图 1 多振动目标模型 Fig. 1 Multi-vibration target model

图选项

图 1中, 以雷达原点O为坐标原点建立雷达坐标系OUVW。其中多个振动散射点P_i组成目标群，以每个振动散射点各自的振动中心O′_i为原点建立参考坐标系。
假设目标符合远场条件，以振动散射点P₁为例，以P₁的振动中心O′₁点为原点建立参考坐标系O′₁XYZ。D₁为散射点P₁的振动幅度，ω₁为振动频率。α_P1为P₁在参考坐标系中的初始方向角，β_P1为初始高度角。假设雷达原点O到参考坐标系O′₁XYZ的距离为R₁，α为参考坐标系O′₁XYZ在雷达坐标系中的方位角，β为高度角，那么雷达原点O到参考坐标系O′₁XYZ原点的距离矢量为

(1)

则振动中心微动距离变化矢量为

(2)

式中：D_t1=D₁sin(ω₁t)为P₁点到振动中心的距离，ω₁=2πf₁。则P₁点到雷达的距离R_t1可以表示为^[8-9]

(3)

化简后可得

(4)

由于R₁?D_t1，利用泰勒展开公式化简式(4)可得

(5)

设雷达发射的单频脉冲信号工作频率为f_c。单个脉冲宽度为τ，脉冲重复间隔为T。则发射信号可表示为^[10]

(6)

式中：，则t时刻，振动散射点P₁反射的信号经正交双通道解调后可以表示为

(7)

式中：A₁为散射系数; c为光速。
由式(5)可以看出，振动散射点P₁相对于振动中心点的微动距离变化满足正弦变化形式，故振动散射点回波信号为正弦调频信号。考虑到多个振动目标的回波信号在时域上叠加，则雷达实际接收的信号为

(8)

式中：R_ti为散射点P_i到雷达的距离；I为目标个数；noise为接收机噪声。
2 基于离散正弦调频变换的目标分离方法 孙志国等在2012年提出离散正弦调频变换，指出正弦调频(Sinusoid Frequency Modulation，SFM)信号在变换域上有良好的聚敛性^[11]。因此，利用SFM信号在变换域上的聚敛性，可以分离出不同SFM信号分量，并估计信号参数。
本文通过修改上述方法的基本模型，将离散正弦调频变换应用到微动目标的分离与特征提取中，从而实现通过窄带雷达回波分离弹道目标的目的。
2.1 离散正弦调频变换原理 SFM信号的相位以正弦形式变化，其瞬时频率可以表示为^[12-13]

(9)

式中：f_m为频率变化幅度；f_d为正弦变化频率。对式(9)进行积分，得到SFM信号的相位，则SFM信号的一般形式可以写成

(10)

其中：A为幅度; L=f_m/f_d。
令式(10)中的f_c=0，得到SFM信号的基带表达式，其离散形式可以表示为

(11)

式中：0≤n≤N-1；l_d、k_d分别为L、f_d的离散化参数。
下面构造以l、k为变量的离散正弦调频变换，对于SFM信号s(n)，其离散正弦调频变换为

(12)

将式(11)代入式(12)，得到

(13)

由式(13)可知，当l=l_d, k=k_d时，D(k, l)取最大值，且。因此，一般SFM信号的参数估计目标函数可以表示为

(14)

2.2 振动目标回波的变换域特性分析 由2.1节的分析推导可知，SFM信号经过离散正弦调频变换后，在变化量l、k与信号参数相匹配处产生最大值。因此，对振动目标的回波进行离散正弦调频变换后，根据最大值出现的坐标就可以估计出信号参数，从而获取弹道目标的振动频率。
首先观察单个振动散射点P₁的雷达接收信号，将式(7)进一步写为

(15)

式中：相位的常数项R₁不随时间变化，因此将它作为一般复数提出，得到

(16)

将式(16)整理后，得到其离散形式：

(17)

式中：

其中：E₁为复常数；l₁为常数；k₁为振动频率；0≤n≤N-1，n∈N⁺。
对式(17)做离散正弦调频变换并取其实部，可以得到

(18)

式中：real(·)为取实函数。
当l=l₁, k=k₁时，D_s(k, l)的实部取最大值，通过寻找变换域最大值的坐标可以估计信号参数L、f，则一般回波信号估计参数的目标函数为

(19)

根据第1节的分析可知，多个振动目标在窄带体制雷达的照射下，其回波为多个SFM信号在时域的叠加。这里假设每个振动目标可等效为一个振动散射点P_i，则多振动目标的回波信号可以表示为

(20)

式中：为复常数；A_i为散射点P_i的振动幅度；R_i为散射点P_i与雷达原点O之间的初始距离；k_i为散射点P_i的振动频率。
对式(20)做离散正弦调频变换，得到

(21)

当l=l_i, k=k_i时，SFM信号分量s_i(n)在坐标(l_i, k_i)处取得最大值，则式(21)变为如下形式：

(22)

式中：J_m(·)为第1类m阶Bessel函数，m为整数。
当l=l_i∩k=k_i为假时，式(21)变为如下形式：

(23)

显然D_s(k_i, l_i)>D_s(k, l)，因此对多个SFM信号分量的和信号做离散正弦调频变换，在变换域中每个分量信号的参数匹配坐标(k_i, l_i)处都会出现极大值。利用离散正弦调频变换的这个性质，可以实现多个SFM信号分量的分离。同时，多振动目标的振动频率估计目标方程可以表示为

(24)

3 振动目标回波信号处理 通过窄带雷达观测弹道中段多个振动目标，假设振动目标的高速平动已完全补偿^[14-15]，则解调后的基带回波信号可以表示为

(25)

式中：w(n)为接收回波中的随机噪声。
首先，对基带回波信号s_b(n)进行消噪处理，然后, 对其做离散正弦调频变换，得到变换域D_s(k, l)。在变换域上寻找最大值，并记录最大值坐标，根据目标函数式(24)对目标振动频率进行估计。
实际情况中，由于不同振动目标的电磁散射系数会有较大差别，直接检测离散正弦调频变换的峰值会导致电磁散射系数较小的振动信号分量无法分辨，并且Bessel函数的主瓣附近有多个旁瓣，直接搜索可能会造成误判。为了避免这种情况，在对信号进行离散正弦调频变换的同时引入消去的思想。根据已估计出的信号参数设置带阻滤波器，从原始信号中滤除已分离出的最强信号分量后再对信号进行离散正弦调频变换，直到分离出所有散射点回波信号。具体算法步骤如下：
步骤1??令i=1，设置门限M。对雷达接收的多分量信号降噪处理后进行离散正弦调频变换，得到信号变换域D_s(k, l)。
步骤2??搜索变换域|D_s(k, l)|上的最大值，根据式(24)的目标函数估计并记录最强信号分量的参数。
步骤3??根据，在频率附近设置带阻滤波器，滤除原始信号中的最强信号分量。
步骤4??令i=i+1，重复步骤2~步骤3，直到信号变换域最大值幅度低于门限M，输出参数估计值。
本节算法利用离散正弦调频变换实现了窄带雷达体制下多个振动目标信号的分离，通过搜索变换域峰值实现了振动参数估计，算法复杂度低。然而受限于频率(k)维的分辨率，当2个振动目标的振动频率差值小于频率维分辨率时, 无法利用此算法流程实现2个目标的分辨，导致目标分离失败。
4 仿真实验 4.1 算法有效性验证 利用第1节的结论，对包含振动信息的雷达回波进行仿真。设雷达发射频率f_c=10 GHz的单频信号，脉冲重复频率为PRF=2 000 Hz。
假设在弹道中段存在3个相互独立的振动目标，将它们视作3个振动散射点，主要参数设置如下。散射点P₁的振动幅度D₁为0.5 m，其在参考坐标系中高度角β_P1=35°，方位角α_P1=45°。雷达视线在雷达坐标系中的高度角β₁=30°，方位角α₁=20°。振动中心与雷达的距离R₁为10 000 m，振动频率f₁为5 Hz。散射点P₂的振动幅度D₂为0.6 m，其在参考坐标系中高度角β_P2=30°，方位角α_P2=44°。雷达视线在雷达坐标系中的高度角β₂=30°，方位角α₂=22°。振动中心与雷达的距离R₂为10 005 m，振动频率f₂为6.9 Hz。散射点P₃的振动幅度D₃为0.6 m，其在参考坐标系中高度角β_P3=25°，方位角α_P3=46°。雷达视线在雷达坐标系中的高度角β₃=30°，方位角α₃=24°。振动中心与雷达的距离R₃为9 995 m，振动频率f₃为3.9 Hz。
按照第3节的算法流程对仿真得到的雷达信号回波进行处理，当雷达接收信噪比SNR=5 dB时，图 2(a)为包含3个振动散射点信号的离散正弦调频变换结果，可以看出图中有明显的3个主瓣峰值。由于各个目标的初始距离和目标散射系数的差异，变换域中存在弱分量信号被淹没的可能，并且由于主瓣附近若干个旁瓣的存在，继续搜索最大值会导致分离失败。因此根据最强信号分量的频率设置窄带滤波器，对信号进行滤波，消去最强分量。重复进行以上的步骤直到分离出全部目标。

图 2 窄带回波信号正弦调频变换结果 Fig. 2 Sinusoidal frequency modulation transform result of narrowband echo signal

图选项

考虑噪声对分离结果的影响，对不同信噪比下信号回波做300次蒙特卡罗实验，以分离成功率为指标对算法可行性进行评价，结果如图 3所示。与文献[16-17]提到自相关法进行比较，本文的算法可行性较高，当信噪比高于-10 dB时分离成功率为100%，且没有自相关法存在的倍频干扰问题。

图 3 3个仿真目标的分离成功率 Fig. 3 Separation success rate of three simulation targets

图选项

4.2 参数估计误差分析 仿真参数设置不变，信噪比SNR=5 dB时，初始信号经过第一次离散正弦调频变换和最大值搜索后，估计出图 2(a)中的最强分量的参数，发现其为仿真设置的散射点P₃。对上述结果进一步分析，得到图 4，即分别固定频率(k)维和L维的变换结果。

图 4 初始信号第1次离散正弦调频变换结果 Fig. 4 First discrete sinusoidal frequency modulation transform result of initial signal

图选项

通过对图 4(a)和图 4(b)对比，可以看出离散正弦调频变换在2个变量维度上的差异，在频率(k)维的分辨率要低于L维。
根据式(24)估计出散射点P₃的振动频率，并设置带阻滤波器对初始信号进行滤波。根据算法循环估计出所有目标的振动频率，如表 1所示。
表 1 原始参数与估计结果 Table 1 Original parameters and estimation results

散射点	L			k
	理论值	估计值		理论值	估计值
P1	155.777	155.770		5.000	5.000
P2	190.081	187.105		5.900	5.900
P3	184.325	184.320		3.900	3.900

表选项






对算法的参数估计性能进行分析，仿真参数设置不变，在信噪比从-15 dB到5 dB的变化范围内做300次蒙特卡罗仿真，3个散射点的振动频率估计均方根误差如图 5所示，由图可见，当信噪比大于-10 dB时，振动频率的估计误差趋于稳定。

图 5 参数估计均方根误差 Fig. 5 Parameter estimation root-mean-square error

图选项

5 结论 1) 本文算法通过对窄带回波信号的分析，实现了3个振动信号分量的分离。在信噪比大于-10 dB时，分离成功率为100%。
2) 算法在信噪比大于-10 dB时，l维参数估计的均方根误差小于-2.5 dB。
3) 算法相较于传统的自相关周期估计法估计精度高，并且不会出现在倍频处的误判。有效提高了弹道目标的分离成功率。

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