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| 图 1 压力传感器动态校准不确定度的灰色评定原理Fig. 1 Principle of grey method (GM) for dynamic uncertainty evaluation of calibrated pressure transducer |
| 图选项 |
1.2 灰色评定建模压力传感器的动态校准是一个动态重复测量的过程,被校准压力传感器的输出可以看作是3部分响应的合成:对正弦激励的响应、系统误差的响应和随机测量误差的响应[1, 8, 14, 17, 24].通常,传感器测量输出数据中的系统误差易于剔除,因此在本文中,压力传感器动态校准不确定度灰色评定的主要任务就是获取传感器性能在随机误差影响下的变化规律.依据中国动态压力传感器检定规程(JJG 624—2005)的规定,进行动态校准时需依据被校准压力传感器工作频率范围设定校准的频率点.在此,假设设定N个校准频率点{P1,P2,…,Pk,…,Pn},且P1<P2<…<Pk<…n;以图 2为例,假设所有校准频率点重复测量4次,得到4个特征输出数列,由于诸多测量因素的影响导致随机误差的存在,使得各数列之间存在一定差异性,与理想输出相比，各数列都存在小幅波动性,如图 2所示.
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| 图 2 压力传感器动态校准的输出Fig. 2 Output of dynamic repeated calibration for pressure transducer |
| 图选项 |
为了定量化描述图 2中所包含的校准不确定度,设激励输入为x(P),P为校准频率点;被校准压力传感器在x(P)信号激励下产生输出,剔除系统误差后,得到表征传感器动态特性的输出数据x(P),这时的x(P)即为对输入激励x(P)的稳态响应和随机测量误差的合成,相关含义可以用式(1)表示.
式中:y^(P)为激励x(P)的稳态响应;ε(P)为校准过程中的随机误差.设对某压力传感器进行m次校准实验,以其校准频率点Pk为例,如果发现在该处的随机误差服从正态分布(如图 3所示),那么在该校准过程中,需计算出在该频率点的灰色偏度,进而评估在此处的校准不确定度.
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| 图 3 压力传感器动态校准不确定度Fig. 3 Dynamic calibration uncertainty for pressure transducer |
| 图选项 |
设压力传感器的校准过程重复了m次,得到输出相应数据y1(P),y2(P),…,yh(P),…,ym(P).以校准频率点的形式可表示为
式中：n为在被校准压力传感器工作频率范围内指定的校准频率点数目.假设被校准压力传感器的工作频率范围为[1,1 000]Hz,依据中国计量规程JJG 624—2005,该传感器的指定校准频率点应为:8,32,80,160,250,400,600,800,1 000 Hz.首先,对同一校准频率点的激励响应数据进行均值化处理:
如果在指定校准频率点Pk的测量输出数据不存在任何随机误差,那么被校准压力传感器的测量输出即为测量真值.这些测量数据就可以组成如下测量值序列:
对序列y(0)Pk进行一次累加生成处理(1-AGO):
进行上述处理后得到数列y(1)Pk={APk,2APk,…，nAPk}.由于不存在任何随机误差,因此在指定频率点Pk的测量序列经过累加处理后所得结果为一条直线,直线方程可表示为
实际上,被校准压力传感器在任何指定校准频率点的测量输出数据不可能没有随机误差,该误差使得测量值偏离真值.设在指定校准频率点Pk的输出真值为APk,将m次重复测量输出值以升序排列可组成式(7)的数列:
式中：δPkh为在指定校准频率点Pk第h次重复测量的随机误差.对式(7)中的测量输出序列进行一次累加生成(1-AGO),得到累加序列{g(1)Pk(h)}:
以序列{g(1)Pk(h)}的成员为基础绘制二维图(如图 4中实线),这时会发现该图 4中实线为一个近似指数型曲线,在这里称其为校准累加曲线.式(9)为序列{g(1)Pk(h)}与序列{y(1)Pk(h)}对于成员差值,表示测量累加曲线与式(6)所表示直线间的距离,图 4详细描述了它们之间的关系.
依据最大距离ΔPkmax和重复测量次数m,可以构建在指定校准频率点的灰色偏度评价模型为
令
则式(10)可以缩写为
式中：c为灰常量,它是通过GM(0,2)模拟计算得到.
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| 图 4 校准频率点Pk在m次测量下的灰偏差Fig. 4 Grey discrimination of measurement error for frequency Pk with m times of measurements |
| 图选项 |
用式(10),可以算出在所有指定校准频率点{P1,P2,…,Pk,…,Pn}的灰色偏度序列{σP1,σP2,…,σPk,…,σPn}.基于灰色关联分析[14, 15, 17, 18, 22, 23],定义灰关系常数序列γ:
式中:
定义灰色偏度序列{σP1,σP2,…,σPk,…,σPn}中各元素的权重系数为
式中:
以W为权值,使用加权最小二乘法对灰色偏度序列{σP1,σP2,…,σPk,…,σPn}拟合,其终止条件为
通过上述拟合,最终得到被校准传感器动态校准不确定模型.1.3 灰常量c的计算灰常量的计算流程如图 5所示.首先将测量输出数组中任意随机提取N个数据样本;然后取前m个,计算S(1),D(1)通过式(9)、式(10)和式(11)得到;依此可以计算出前m+1个数据的S(2)、D(2),依此直到N,得到S(1)、S(2)、S(N-m+1),D(1)、D(2)、D(N-m+1);将S序列和D序列进行一次累加生成处理,得到对应序列X1(1)和X2(1),以这两个序列构建GM(0,2)模型:
式中:初始条件a=0.
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| 图 5 灰常量c的计算流程Fig. 5 Calculation flowchart of grey constant c |
| 图选项 |
2 实例分析被校准压力传感器型号为恩德福克8510C,其工作频率范围为[1,1 100]Hz,所能承受的最大压力为2.5 MPa;该压力传感器的校准压力源选用SY-10型正弦压力发生器,其关键技术指标如表 1所示.依据中国计量规程JJG 624—2005,设置8510C型压力传感器的校准频率点为:8,32,80,160,250,400,600,800和1 000 Hz,每个校准点重复测量6次,实验环境如图 6所示.除依据规程JJG 624—2005设置的校准点外,另行设置测试频率点:16,100,300,700和900 Hz,用以检验本文所提方法得到的动态校准不确定度在全工作频段的评估效果.表 1 正弦压力发生器的技术指标Table 1 Key indices of sine pressure generator
| 指标类型 | 取值范围 |
| 校准压力范围/MPa | 0~10 |
| 工作频率范围/Hz | 0.1~2 000 |
| 波形失真度/% | 3~5 |
表选项
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| 图 6 测量实验环境Fig. 6 Environment of measurement test |
| 图选项 |
为了更加完备地验证本文所提校准不确定度评估方法的可靠性,在频率点设定的基础上,制定两套实验方案:①用本文所提灰方法评估在压力幅值变化情况下的不确定度;②在压力幅值不变情况下,用本文所提灰方法进行不确定度评估.2.1 幅值变化情况下的校准不确定度评定首先进行方案①实验(即压力幅值变化情况下的被校准压力传感器特征数据的不确定度评定).幅值设定的变化规律为:随着频率数据的增大,幅值也相应变大,目的是为了让评估方法突显出在频率逐渐增大情况下,校准对幅值的影响;各频率点对应的变化压力幅值如表 2所示.被校准压力传感器在各频率点的幅值响应数据经过无量纲化处理后,得到如图 7所示的实验数据.进行无量纲化处理时,选取在频率点8 Hz处、在压力幅值0.50 MPa激励下,6次重复校准下压力传感器最小响应数据为基值,用变化压力幅值激励下的各个频率点的输出均除以该基值.
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| 图 7 被校准传感器8510C在幅值变化下的幅值响应输出数据Fig. 7 Amplitude measurements of calibrated 8510C transducer under changing input |
| 图选项 |
从图 7中数据可以看出,随着频率增大相应幅值响应也从1.000 0逐渐增大;并且随着输出频率增大同一频率点重复测量响应数据的发散性有所增强,这种发散性正是本文所提方法要定量化评定的内容.使用图 7中8,32,80,160,250,400,600,800和1 000 Hz的输出数据序列按照图 5流程,分别构建GM(0,2)模型,求出相应c值如表 2所示.依据表 2数据结合各频率点所得测量数列,构建各自灰色评定模型,求出了各指定频率点测量灰色偏度如表 3所示.表 2 各指定校准频率点对应的压力幅值及灰常数Table 2 Pressure and grey constant c for appointed frequency points
| 参数 | Pk/Hz | ||||||||
| 8 | 32 | 80 | 160 | 250 | 400 | 600 | 800 | 1 000 | |
| 压力幅值/MPa | 0.50 | 0.60 | 0.65 | 0.75 | 0.88 | 1.00 | 1.10 | 1.20 | 1.30 |
| c | 2.411 | 2.423 | 2.431 | 2.400 | 2.436 | 2.417 | 2.428 | 2.425 | 2.419 |
表选项
表 3 各指定校准点的灰色偏度Table 3 Grey deviation of different appointed frequency
| Pk/Hz | 8 | 32 | 80 | 160 | 250 | 400 | 600 | 800 | 1 000 |
| 灰色偏度 | 0.005 0 | 0.004 7 | 0.003 9 | 0.003 7 | 0.003 0 | 0.003 8 | 0.003 9 | 0.006 9 | 0.007 4 |
表选项
通过灰关联分析,得出各指定校准频率点的权重分析系数,如表 4所示.从8 Hz开始,权重系数随着频率增大而变大,说明测量数据较可靠;但是当到400 Hz时权重系数开始逐渐减小,这也说明频率增大时校准影响因素的作用变强,数据的可信度变弱.表 4 各指定校准频率点的权重系数Table 4 Weight coefficient of different appointed frequency
| Pk/Hz | 8 | 32 | 80 | 160 | 250 | 400 | 600 | 800 | 1 000 |
| 权重系数 | 0.089 9 | 0.100 7 | 0.107 9 | 0.111 5 | 0.125 9 | 0.136 7 | 0.122 3 | 0.111 5 | 0.093 5 |
表选项
由表 3和表 4数据,构建加权最小二乘拟合,得出表征被校准压力传感器动态不确定度的曲线模型.2.2 幅值不变情况下的校准不确定度评定在进行方案②验证实验时,将各个校准频率施加压力幅值设为固定值,均为0.80 MPa.传感器的幅值输出响应数据如图 8所示.
 |
| 图 8 被校准传感器8510C在幅值不变情况下的幅值响应输出数据Fig. 8 Amplitude measurements of calibrated 8510C transducer under unchanging input |
| 图选项 |
具体处理方式与2.1节相似.通过对图 8中各指定频率点数据构建GM(0,2)模型可以求得灰常量c值;依据c值构建灰色模型,得到各指定频率点的灰色偏度;之后通过关联分析得到了各指定频率点的权重分析系数;依据灰色偏度及权重系数信息进行加权最小拟合,最终得到了在压力幅值不变条件下被校准压力传感器动态不确定的曲线模型(如图 9所示的点线).
 |
| 图 9 不同幅值条件下所得被校准8510C压力传感器的动态校准不确定度Fig. 9 Dynamic uncertainty of the calibrated 8510C transducer under different amplitudes |
| 图选项 |
2.3 结果比较由表 3和表 4数据,构建加权最小二乘拟合,得到了在压力幅值变化条件下被校准压力传感器动态不确定的曲线模型(如图 9所示).对比在不同幅值条件下所得的两个曲线模型可以发现,幅值变化条件下所得曲线的波动性相对较强,这主要是压力幅值增大正弦压力源波形稳定性变弱造成的.另外,在变压力幅值的作用下,振动、温度变化等外界影响增大,使得校准效果恶化.对比图 9中两条曲线之间的形状还可以看出,随着频率的增大,两个曲线模型的变化趋势是非常相近的,说明两种情况下所得的不确定度曲线模型具有一致性,证明在幅值变化与不变的条件下均可进行校准的不确定度评估;最后,两条曲线模型随频率增大不确定度逐渐变得的特征趋势说明,随着校准的频率增大,被校准压力传感器的测量能力逐渐变差,动态测量结果的失真变大.为了验证在幅值变化情况下所得模型的准确性,基于图 7及表 5中的数据,运用黄俊钦所提出动态不确定度评估方法(本文简称黄方法)[5],分别计算在指定频率点:8,32,80,160,250,400,600,800,1 000 Hz及在测试频率点:16,100,300,700和900 Hz处的测量不确定度.表 5 幅值变化情况下用于测试动态校准模型正确性的测试数据Table 5 Pressure and amplitude measurements of testing frequency points for verifying the dynamic uncertainty under changing input
| Pk/Hz | 幅值/MPa | 被校准压力传感器的输出数据 | |||||
| 次数1 | 次数2 | 次数3 | 次数4 | 次数5 | 次数6 | ||
| 16 | 0.55 | 1.094 4 | 1.094 8 | 1.111 9 | 1.110 2 | 1.083 3 | 1.096 5 |
| 100 | 0.70 | 1.405 9 | 1.394 8 | 1.420 5 | 1.411 2 | 1.400 2 | 1.403 3 |
| 300 | 0.92 | 1.832 1 | 1.858 4 | 1.857 9 | 1.838 9 | 1.865 2 | 1.834 7 |
| 700 | 1.15 | 2.296 8 | 2.311 9 | 2.283 9 | 2.300 1 | 2.302 8 | 2.299 3 |
| 900 | 1.25 | 2.496 3 | 2.504 9 | 2.503 0 | 2.500 6 | 2.498 3 | 2.506 0 |
表选项
测量频率点包含测试频率点和依据规程JJG 624—2005设置的校准点.图 10为使用黄方法得到测量频率点不确定度数据以及两种方法在测量频率点得到不确定的差值的绝对值.
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| 图 10 幅值变化条件下两种方法所得测量不确定度的对比Fig. 10 Uncertainty comparison obtained by different methods under changing input |
| 图选项 |
在图 10中的指定校准频率点处,按照本文的灰方法所得校准不确定度与黄方法所得结果的差值的绝对值小于0.001,对应相对误差不大于6%.在测试校准点,两种方法所得结果的差值虽然大于指定校准频率点,但是差值是处于可接受的范围内,对应相对误差小于10%.两类频率点处所得不确定结果的对比说明了灰方法评定结果的准确性和有效性,也说明在幅值变化的条件下,可以实现动态不确定度的评估.为了验证在幅值不变情况下所得动态不确定度模型的准确性,基于图 8及表 6中的测量数据,同时运用黄方法计算在指定频率点及测试频率点的不确定度.灰方法与黄方法所得结果的对比如图 11所示.图 11中包含使用黄方法得到的各测量频率点不确定度,以及点线模型(幅值不变化情况下所得的动态不确定度模型)与黄方法在各测量频率点得到不确定的差值的绝对值.从图 11可以看出,两种方法在测试频率点的差值相对较大,但是都小于0.001,它们明显小于图 10中同类型的差值.另外,在指定校准频率点,绝大部分差值都明显小于0.001,与黄方法所得不确定度相比,大部分指定校准频率点的相对误差小于5%,部分频率点的相对误差优于0.018%.在幅值不变的条件下,两类频率点处所得不确定结果的对比说明,本文所提压力传感器的动态校准不确定度评定方法能有效地实现其评估.
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| 图 11 幅值不变条件下两种方法所得测量不确定度的对比Fig. 11 Uncertainty comparison obtained by different method under unchanging input |
| 图选项 |
表 6 幅值不变情况下用于测试动态校准模型正确性的测试数据Table 6 Pressure and amplitude measurements of testing frequency points for verifying dynamic uncertainty under unchanging input
| Pk/Hz | 幅值/MPa | 被校准压力传感器的输出数据 | |||||
| 次数1 | 次数2 | 次数3 | 次数4 | 次数5 | 次数6 | ||
| 16 | 0.80 | 1.579 6 | 1.578 8 | 1.582 0 | 1.593 4 | 1.576 0 | 1.569 8 |
| 100 | 0.80 | 1.580 0 | 1.589 3 | 1.582 8 | 1.568 8 | 1.568 9 | 1.582 0 |
| 300 | 0.80 | 1.589 0 | 1.570 6 | 1.580 3 | 1.570 0 | 1.583 7 | 1.596 0 |
| 700 | 0.80 | 1.568 7 | 1.591 2 | 1.576 9 | 1.591 9 | 1.578 9 | 1.598 2 |
| 900 | 0.80 | 1.562 1 | 1.590 9 | 1.570 8 | 1.598 5 | 1.560 5 | 1.561 3 |
表选项
在幅值变化与不变情况下分析表明,在进行压力传感器校准不确定度实验时,相对于变化幅值的激励而言,幅值不变或变化较小时,可以更准确地获得动态校准不确定度变化规律.另外,从两种实验方案下不同处理方法所得结论也可以看出,通用的黄方法相对于本文所提的灰方法而言,前者只能实现测量频率点的不确定度评定,不能实现非测量频率点不确定度预测.3 结 论鉴于压力传感器动态校准的原理和特点,本文在灰色系统理论的基础上,结合加权最小二乘法,提出了压力传感器动态校准不确定度的灰色评价模型,模型的动态评定效果在实际的校准中得到了有效验证.1) 依据国家校准规程,本文所提出动态校准不确定度灰色评定方法,在不增加校准点数目的情况下,可实现校准不确定度的动态评定;是在现有规程条件下,对其确定度评定的有价值完善.2) 所提灰方法能利用少量的指定校准点数据对被校准压力传感器的所有频率点的校准不确定度进行估计,表征被校准传感器的精度随频率变化规律,为压力传感器动态校准的误差溯源和误差修正奠定基础.3) 本文所提灰方法克服了现有方法只能实现被测量校准点(包含指定校准点和测试点)不确定度评估的局限性;与其他传统方法相比,本方法在指定校准点所得不确定度与它们所得结果非常相近,在测试校准点也有很好的一致性.4) 相对于变化的幅值激励而言,幅值不变或变化较小时,实验条件对校准结果的影响较弱,与黄方法相比,所得不确定度差值小于0.000 1,部分校准频率点的相对误差优于0.018%.基于所得到的被校准压力传感器的动态不确定度可知,在幅值激励不变或变化较小时,能更好地激发被校准传感器的动态特征,这有利于获取被校准动态校准不确定度的变化规律.
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