基于A-V模型的改进模型及单轴棘轮效应预测

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陈小辉¹, 周杨¹, 刘明月¹, 蔺永诚²
1. 东北大学秦皇岛分校控制工程学院, 河北秦皇岛 066004;
2. 中南大学机电工程学院, 湖南长沙 410083
收稿日期：2020-04-30
基金项目：河北省自然科学基金青年基金资助项目(E2018501022)；中央高校基本科研业务费专项资金资助项目(N162303001，N182304009)。
作者简介：陈小辉(1982-), 女, 河北秦皇岛人, 东北大学副教授;
蔺永诚(1976-), 男, 湖南浏阳人, 中南大学教授, 博士生导师。

摘要：针对A-V模型预测材料棘轮效应初始阶段不理想的缺点，对其参数γ₂进行了修正，同时引入Ramberg-Osgood(R-O)模型和各向同性硬化来计算应力-应变曲线，并确定了A-V模型的材料参数，建立了一种用来描述材料循环塑性行为的改进A-V模型.通过采用改进的A-V模型对Z2CND18.12N奥氏体不锈钢和SS316L钢的单轴棘轮效应进行了预测，并研究了平均应力、应力幅值、应力比和加载历史对单轴棘轮效应的影响.结果表明，改进的A-V模型对材料的棘轮应变预测值与试验值较为一致.
关键词：金属材料单轴棘轮效应A-V本构模型Ramberg-Osgood模型各向同性硬化
Improved Model Based on A-V Model and Prediction of Uniaxial Ratcheting Effects
CHEN Xiao-hui¹, ZHOU Yang¹, LIU Ming-yue¹, LIN Yong-cheng²
1. School of Control Engineering, Northeastern University at Qinhuangdao, Qinhuangdao 066004, China;
2. School of Mechanical and Electrical Engineering, Central South University, Changsha 410083, China
Corresponding author: CHEN Xiao-hui, E-mail: chenxh@neuq.edu.cn.

Abstract: In view of the shortcomings of the A-V model which cannot well predict the initial stage of ratcheting effect of materials, the parameter γ₂ in the A-V model was modified and Ramberg-Osgood (R-O) model and isotropic hardening were introduced to calculate the stress-strain curve. The material parameters of the A-V model were determined, and an improved A-V model was established to describe the cyclic plastic behavior of materials. The uniaxial ratcheting effects of Z2CND18.12N austenitic stainless steel and SS316L steel were predicted by using the improved A-V model, and the influences of average stress, stress amplitude, stress ratio and loading history on the uniaxial ratcheting effect were studied. The results showed that the ratcheting strain predicted by the improved A-V model is consistent with the experimental value.
Key words: metallic materialuniaxial ratcheting effectA-V constitutive modelRamberg-Osgood modelisotropic hardening
核反应堆、压力容器及管道、航空发动机、海上平台等结构/构件在复杂载荷服役及反复受载的状态中发生棘轮效应，即会导致材料持续产生循环塑性应变的累积.在实际工程中棘轮效应会降低结构/构件的疲劳寿命或引起结构/构件的大变形，影响正常工作.因此，国内外的一些设计规范中已要求对结构/构件的棘轮效应进行分析，如中国的JB4732—1995(2005年确认)，美国的ASME Code Section Ⅲ，德国规范KTA和法国规范RCC-MR.
目前许多****针对平均应力、应力幅值、加载率、加载历史以及应力比等多种加载方式对棘轮效应的影响进行了研究，利用循环本构模型对棘轮效应进行预测已经取得了非常大的进步，比如，Armstrong和Frederick(A-F)模型^[1]是最经典的非线性随动硬化模型之一，它是通过引入一项动态恢复项从而改善了传统线性随动强化模型.利用A-F模型预测的材料棘轮效应高于试验值.文献[2-9]以A-F模型为基础对其进行了改进，改进模型可以不断增加参数量，但对棘轮效应的预测存在一定瑕疵.Bower^[10]通过加上了一个与背应力相关的附加项及其演化方程改善了A-F模型中的动态恢复项，该模型预测的材料棘轮效应仍然高于试验值.Ahmadzadeh等^[11]在Bower模型的基础上引入参数δ解决了棘轮效应易于安定的问题，并研究了Al6061/SiC_p复合材料在单级和阶梯加载条件下的棘轮变形，成功地预测了不同加载历史下的棘轮应变曲线^[12].Karvan等^[13]提出各向同性变量会显著影响A-V模型中变量b的大小，通过在A-V模型中加入不同的各向同性硬化规则，可以改善A-V模型在不同材料不同加载方式下棘轮效应的预测结果.陈小辉等^[14]分析了Z2CND18.12N不锈钢内压管道在位移控制下的棘轮应变.
本文通过改进参数γ₂和引入Ramberg-Osgood(R-O)模型及各向同性硬化，使改进A-V模型能更精确地预测材料的棘轮效应.
1 本构模型Armstrong和Frederick^[1]将非线性随动硬化A-F模型表示为

(1)

式中：α表示背应力张量；dα为背应力增量张量；dε_p为塑性应变增量张量；C和γ₁为材料参数，是由单轴应力-应变滞环曲线的形状和大小确定；dp为累积塑性应变增量，

(2)

Cdε_p包含了应变硬化效应；γ₁αdp为动态恢复项，用于描述背应力的非线性特性.
A-F模型预测的材料棘轮效应低于试验值，Bower^[10]通过加上了一个与背应力相关的附加项及其演化方程，对A-F模型中的动态恢复项进行了修正，即

(3)

(4)

Bower模型包含3个独立的材料参数C，γ₁和γ₂.参数C和γ₁控制着应力-应变滞环曲线的形状和大小，而式(4)中参数γ₂控制棘轮应变率，b为附加的运动变量，初值为零.
Ahmadzadeh和Varvani-Farahani^[11]为了提高Bower本构模型的棘轮效应预测能力，引入了系数δ，对Bower模型进行了修正，即A-V模型：

(5)

(6)

A-V模型由4个材料常数C，γ₁，γ₂和δ组成.材料常数C和第一反馈速率γ₁控制着应力-应变滞后环的大小；参数γ₂控制棘轮速率.由式(6)可以看出，在循环加载过程中，附加运动变量b随背应力α的运动具有“指数滞后”.参数γ₂可以控制(α-b)的平均速率值.A-V模型对第一阶段预测棘轮应变值明显低于试验值，并且棘轮应变率随着循环次数的增加而快速趋于稳定，利用A-V模型模拟预测大循环棘轮效应时也不够准确.
2 A-V模型参数确定A-V模型在循环加载条件下，参数的选取可以根据不同工况下材料的棘轮效应来确定^[11].用Z2CND18.12N^[15]材料在平均应力为100 MPa，应力幅值为250 MPa作用下的单轴棘轮效应试验数据来确定模型参数.
参数C和γ₁的选取与材料和载荷大小直接相关，其控制滞环曲线的形状和大小^[11].为了获得与试验数据一致的滞环曲线形状和尺寸，通过改进模型的闭式解来确定不同的参数C和γ₁.
图 1给出了Z2CND18.12N奥氏体不锈钢在平均应力σ_m=100 MPa和应力幅值σ_a=250 MPa下参数C=160 GPa和γ₁=800 MPa对应的滞环曲线形状和大小.可看出，随着循环次数的增大，滞环曲线连续向前运动.图 2为Z2CND18.12N奥氏体不锈钢在单轴应力循环下(σ_a=175 MPa, σ_m=150 MPa)的典型棘轮响应，以及不同参数γ₂和δ对A-V模型的预测结果.参数γ₂和δ改进了A-F模型过高预测的棘轮效应和Bower模型预测结果过早发生塑性安定.从图 2a中可以看出，当γ₂=0时，A-V模型退化为A-F模型，产生恒定的棘轮速率.γ₂值越大，棘轮应变累积越容易趋于安定.γ₂=350时，模拟与试验结果吻合较好.图 2b揭示了δ值越大，棘轮应变累积越容易趋于安定.
图 1(Fig. 1)

图 1 参数C=160 GPa和γ₁=800 MPa对棘轮应变影响Fig.1 Effect of the parameters C=160 GPa and γ₁=800 MPa on ratcheting strain (a)—某一循环次数滞环曲线; (b)—70次循环滞环曲线.

图 2(Fig. 2)

图 2 应力循环中参数γ₂和δ的变化对棘轮应变的影响Fig.2 Effect of variations of γ₂ and δ parameters on the ratcheting strain in stress cycles (a)—参数γ₂对棘轮应变的影响; (b)—参数δ对棘轮应变的影响.

3 改进模型R-O模型是固体力学中描述弹塑性应力-应变曲线的一个经典理论模型^[16].在实际工程中，金属材料的循环应力-应变曲线可以采用R-O模型描述^[17]，通过引入R-O模型来改善A-V模型预测棘轮应变时的缺陷，公式为

(7)

式中：ε为应变；σ为应力；E为材料初始弹性模量；K为应变硬化相关系数；n为应变硬化指数.
Z2CND18.12N不锈钢在室温下表现出明显的循环硬化特性^[18]，公式为

(8)

(9)

(10)

式中：σ_y⁰为初始屈服极限，可根据单轴拉伸曲线确定；R为各向同性硬化的增量；B和Q都是材料常数，Q代表循环稳定状态下R的饱和值，B为影响R达到饱和值的速率.
由文献[11]知，参数γ₂控制棘轮应变速率，并校准各种材料和应力水平的棘轮响应.从A-V模型预测的材料单轴棘轮效应的结果可以发现，A-V模型对第一阶段预测棘轮应变值明显低于试验值，棘轮应变率随着循环次数的增加而逐渐稳定，模拟预测棘轮效应时不够准确.为了更准确地描述材料的棘轮应变演化规律，本文进一步分析了γ₂的影响，从图 3a中可以看出，γ₂越大，棘轮应变稳定的速度越快.值得注意的是，不同γ₂处的棘轮应变曲线与试验曲线有交集，且该交集随γ₂的减小而逐渐延迟，这意味着在不同循环次数下使用不同γ₂可以获得更好的结果.因此，根据文献[19]对参数γ₂的改进方式，本文提出了参数γ₂随累积塑性应变p的演化规律见图 3b.

(11)

图 3(Fig. 3)

图 3 改进模型的参数γ₂对棘轮应变的影响及其演化规律Fig.3 Effect of the parameter γ₂ of the improved model on ratcheting strain and its evolutionary law (a)—σ_m=150 MPa, σ_a=175 MPa条件下参数γ₂对棘轮应变的影响; (b)—参数γ₂和累积塑性应变的关系.

其中：γ_2q代表γ₂的饱和值；γ_2b与γ₂达到饱和的速度有关；γ₂⁰是γ₂的初值.对式(11)积分得

(12)

对参数γ₂和累积塑性应变p的关系进行拟合，即可得到γ_2q，γ₂⁰和γ_2b，如图 3b所示.
本文采用Z2CND18.12N^[15]和SS316L^[20]奥氏体不锈钢的单轴棘轮试验数据来验证A-V模型和改进模型的预测效果，其材料参数见表 1.
表 1(Table 1)

表 1 机械性能和材料相关棘轮参数Table 1 Mechanical properties and material dependent ratcheting parameters

材料	E/GPa	σ_y/MPa	C/GPa	γ₁	γ_2b	γ_2q	γ₂⁰
Z2CND18.12N	195	290	160	800	10.6	120	1 600
SS316L	190	175	20	150	40	20	500

表 1 机械性能和材料相关棘轮参数 Table 1 Mechanical properties and material dependent ratcheting parameters

图 4给出了平均应力σ_m为100 MPa、应力速率为100 MPa/s和应力幅值σ_a为250 MPa下Z2CND18.12N奥氏体不锈钢单轴棘轮应变.图中对A-V模型、改进模型与试验数据进行了比较，结果表明改进模型明显提高了预测精度.
图 4(Fig. 4)

图 4 Z2CND18.12N奥氏体不锈钢单轴棘轮效应Fig.4 Uniaxial ratcheting effect of Z2CND18.12N austenitic stainless steel (a)—循环次数对棘轮应变的影响；(b)—应力-应变曲线.

4 棘轮效应预测4.1 平均应力对单轴棘轮效应的影响图 5和图 6分别给出了相同应力幅值而不同平均应力下预测的Z2CND18.12N不锈钢和SS316L钢棘轮应变与其试验数据的对比.结果表明，随着平均应力值的增加，棘轮应变值增加；改进模型改善了A-V模型预测单轴棘轮效应的效果.
图 5(Fig. 5)

图 5 当σ_a=175 MPa时Z2CND18.12N不锈钢循环次数对单轴棘轮应变的影响Fig.5 Effect of number of cycles on uniaxial ratcheting strain of Z2CND18.12N stainless steel when σ_a=175 MPa (a)—σ_m=150 MPa; (b)—σ_m=175 MPa; (c)—σ_m=200 MPa.

图 6(Fig. 6)

图 6 当σ_a=247 MPa时SS316L钢循环次数对单轴棘轮应变的影响Fig.6 Effect of number of cycles on uniaxial ratcheting strain of SS316L steel when σ_a=247 MPa (a)—σ_m=52 MPa; (b)—σ_m=64 MPa.

4.2 应力幅值对单轴棘轮效应的影响图 7和图 8给出了相同平均应力不同应力幅值下预测的Z2CND18.12N不锈钢和SS316L钢棘轮应变与其试验数据的对比.结果揭示了，随着应力幅值的增加，棘轮应变值增加；改进模型改善了A-V模型预测单轴棘轮效应的效果.
图 7(Fig. 7)

图 7 当σ_m=175 MPa时Z2CND18.12N不锈钢循环次数对单轴棘轮应变的影响Fig.7 Effect of number of cycles on uniaxial ratcheting strain of Z2CND18.12N stainless steel when σ_m=175 MPa (a)—σ_a=150 MPa; (b)—σ_a=175 MPa; (c)—σ_a=200 MPa.

图 8(Fig. 8)

图 8 当σ_m=52 MPa时SS316L钢循环次数对单轴棘轮应变的影响Fig.8 Effect of number of cycles on uniaxial ratcheting strain of SS316L steel when σ_m=52 MPa (a)—σ_a=247 MPa; (b)—σ_a=273 MPa.

4.3 应力比对单轴棘轮效应的影响应力比可以综合反映加载应力幅值、平均应力和峰值应力对棘轮应变的影响^[15].加载过程中最小应力σ_min和峰值应力σ_max的比值定义为应力比，即r=σ_min/σ_max.
4.3.1 σ_max=350 MPa恒定1) r=0时，σ_min=0 MPa；
2) r=-0.143时，σ_min=-50 MPa；
3) r=-0.429时，σ_min=-150 MPa.
图 9给出了σ_max=350 MPa时Z2CND18.12N不锈钢单轴棘轮应变曲线.从图中可以看出，改进模型改善了A-V模型预测效果.
图 9(Fig. 9)

图 9 当σ_max=350 MPa时Z2CND18.12N不锈钢单轴棘轮应变Fig.9 Uniaxial ratcheting strain of Z2CND18.12N stainless steel when σ_max=350 MPa (a)—r=-0.143; (b)—r=0; (c)—r=-0.429.

随着循环次数的逐渐增加，棘轮应变率逐渐衰减，且棘轮应变随着应力比的改变而产生明显的变化.可见，峰值应力不变，应力比大小对棘轮应变的影响显著.
4.3.2 σ_min=-25 MPa恒定1) r=-0.077时，σ_max=325 MPa；
2) r=-0.067时，σ_max=375 MPa；
3) r=-0.059时，σ_max=425 MPa.
图 10给出了当σ_min=-25 MPa时Z2CND18.12N不锈钢单轴棘轮应变曲线.从图中可以看出，随着循环次数的逐渐增加，棘轮应变率逐渐衰减，最终会达到饱和的棘轮安定状态.棘轮应变受应力比的影响显著.
图 10(Fig. 10)

图 10 当σ_min=-25 MPa时Z2CND18.12N不锈钢单轴棘轮应变Fig.10 Uniaxial ratcheting strain of Z2CND18.12N stainless steel when σ_min=-25 MPa (a)—r=-0.077; (b)—r=-0.067; (c)—r=-0.059.

4.4 加载历史对单轴棘轮效应的影响由图 11a可知，改进模型预测结果优于A-V模型预测结果.棘轮应变随着平均应力的增大而逐渐增大，而且增大了棘轮应变累积速率；由图 11a还知，平均应力减小到150 MPa时，棘轮应变停止增加.这可以归因于之前的高平均应力加载，从而提高了材料的屈服极限.当材料恢复到低平均应力循环时，将不再屈服.这是一个完整的弹性应力循环.在这种加载条件下，可以认为已达到稳定状态.
图 11(Fig. 11)

图 11 多步加载下Z2CND18.12N不锈钢单轴棘轮应变Fig.11 Uniaxial ratcheting strain of Z2CND18.12N stainless steel under multi-step loading (a)—σ_a=150 MPa；(b)—σ_m=150 MPa.

由图 11b可知，棘轮应变随着应力幅值的增大而逐渐增大，同时增大了棘轮应变累积速率.
图 12给出了两步低-高加载条件下的SS316L^[20]预测棘轮应变和试验数据的对比.应力幅为247 MPa，第一步平均应力为52 MPa，第二步为78 MPa每一步循环100次.从图中看出，改进模型预测棘轮应变和试验数据在图中非常一致；在多步加载条件下，后续加载步会受到前一加载步的影响，加载顺序会对棘轮大小和应力循环趋势造成一定的影响.结果表明，改进模型改善了A-V模型预测结果.
图 12(Fig. 12)

图 12 σ_a=247 MPa时多步加载下SS316L钢单轴棘轮应变Fig.12 Uniaxial ratcheting strain of SS316L steel under multi-step loading when σ_a=247 MPa

5 结论1) 本文对A-V模型的参数γ₂进行了改进，同时还将Ramberg-Osgood模型和各向同性硬化引入A-V模型，用以改善A-V模型对材料棘轮效应的预测.
2) 本文采用改进模型预测了Z2CND18.12N奥氏体不锈钢和SS316L钢的单轴棘轮效应，分析了平均应力、应力幅值、应力比和加载历史对单轴棘轮效应的影响.结果表明，改进的A-V模型对材料的棘轮应变预测结果比A-V模型效果好，且与试验数据较为一致.
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