李武杰, 陈从根, 郭立新
东北大学 机械工程与自动化学院, 辽宁 沈阳 110819
收稿日期：2018-04-02
基金项目：国家自然科学基金资助项目(51875096, 51607030, 51275082)。
作者简介：李武杰(1990-)，男，河南鹤壁人，东北大学博士研究生;
郭立新(1968-)，男，辽宁沈阳人，东北大学教授，博士生导师。

摘要：利用微分几何法和鲁棒H_∞控制理论, 提出一种基于微分几何法的主动座椅悬架和车辆主动悬架的鲁棒H_∞控制策略.在建立“车-椅”车辆三自由度模型的基础上, 考虑座椅悬架和车辆悬架弹性力和阻尼力的非线性特性, 应用微分几何法并经过非线性状态反馈变换的方法, 对主动悬架非线性系统进行精确线性化.然后以底盘垂向加速度和座椅垂向加速度为控制目标, 以车轮动态位移、车辆悬架挠度范围小于规定值为约束条件, 设计出了座椅悬架和车辆悬架鲁棒H_∞控制器, 并用Matlab/Simulink进行仿真实验验证了集成变增益LQR控制方法的有效性和可行性.
关键词：微分几何非线性主动悬架鲁棒H_∞控制线性矩阵不等式(LMI)
Robust H_∞ Control of Active Suspension Based on Differential Geometry
LI Wu-jie, CHEN Cong-gen, GUO Li-xin
School of Mechanical Engineering & Automation, Northeastern University, Shenyang 110819, China
Corresponding author: CHEN Cong-gen, E-mail: mc9529@163.com
Abstract: By means of the differential geometry method and the robust H_∞ control theory, a robust H_∞ control strategy for active seat suspension and vehicle active suspension based on differential geometry method is proposed. On the basis of establishing the three-degree-of-freedom model of the "car-chair" vehicle, considering the nonlinear characteristics of the elastic force and damping force of seat suspension and vehicle suspension, the differential geometry method and the nonlinear state feedback transformation method are applied to precisely linearize the active suspension nonlinear system. Then, the vertical accelerations of the chassis and the seat are taken as the control targets, and the robust suspension H_∞ controller of seat suspension and vehicle suspension is designed with the wheel dynamic displacement and the vehicle suspension deflection range less than the specified value as the constraint conditions. The simulation experiment with Matlab/Simulink is carried out to verify the effectiveness and feasibility of the integrated variable gain LQR control method.
Key words: differential geometrynonlinearactive suspensionrobust H_∞ controllinear matrix inequality(LMI)
优秀的车辆悬架对提高车辆行驶平顺性、舒适性、稳定性有重要作用.目前针对车辆座椅悬架提出了许多控制方法, 包括模糊控制、LQG控制等.
一般来说, 主动悬架系统一般分为两种类型, 即电磁主动悬架和液压主动悬架.其刚度和阻尼具有明显的非线性特性, 因此油气悬架是典型的非线性系统^[1-2].但在研究过程中, 主动悬架一般被认为是线性系统^[3].文献[4]提出基于线性矩阵不等式(LMI)的主动座椅悬架和车辆悬架在随机路面激励下的鲁棒H_∞控制方法, 文献[3]提出一种非线性主动悬架系统的改进的最优滑模(SM)控制方法, 文献[5]提出一种基于线性矩阵不等式(LMI)优化技术的半车主动悬架的优化和静态输出反馈控制.文献[6]提出一种面向四自由度的带有轴距预测的多目标控制方法.
目前研究者较多地利用车辆悬架和座椅悬架独立的模型来进行研究^[6-9].本文考虑座椅悬架和车辆悬架的非线性特性, 采用微分几何法将主动悬架系统精确线性化, 然后设计相应的线性鲁棒H_∞控制器对系统实施控制, 综合考虑座椅悬架和车身悬架, 最后通过仿真与原被动悬架进行比较.
1 悬架系统模型的建立悬架系统模型如图 1所示.轮胎的质量为m_d; 车身的质量为m_c; 人和座椅的质量为m_b; z_g为路面的位移输入, z_b, z_c和z_d分别是对应质量的位移; c_c, c_b和k_b, k_c, k_d分别为对应系统的阻尼系数和刚度系数.F₁和F₂分别为对应的控制力.
图 1(Fig. 1)

图 1 四分之一车辆“车-椅”模型Fig.1 One-quarter vehicle "car-chair" model

其动力学微分方程为

(1)

(2)

(3)

这里, 根据文献[4]采用式(4)作为路面输入模型, 即

(4)

式中:z_g为路面位移; G₀为路面不平度系数, m³/cycle; U₀为车辆前进速度, m/s; w_t为均值为零的高斯白噪声.
选取座椅悬架的动位移z_b-z_c, 车身的垂直速度, 车辆悬架的动位移轮z_c-z_d, 胎变形; 轮胎的变形z_d-z_g, 车轮的垂直速度为状态变量, 以及输出量如下：
[y₁ y₂ y₃ y₄ y₅ y₆]^T，路面干扰输入w=, 控制力为F=[F₁ F₂]^T.可得悬架非线性系统的状态空间方程和输出方程为

(5)

式中:
2 悬架模型精确线性化对于非线性控制系统, 通过适当的非线性状态反馈变换, 非线性系统可实现精确线性化, 从而将复杂的非线性系统问题转化为线性问题^[1].对于以下单输入、单输出仿射型非线性系统:

(6)

在点x₀处有相对阶r(正整数), 它满足:
1) 存在点x₀的1个邻域, 对其中所有x₀和所有0≤k < r-1有L_gL_f^kh(x)=0;
2) 对点x₀有L_gL_f^r-1h(x)≠0.式中L为李导数泛函算子.
当确定非线性系统的相对阶时, 可通过状态反馈变换式(7), 将原系统精确线性化.

(7)

本文的系统为一个有路面干扰输入的多输入多输出系统, 下面进行精确线性化.令h_i(x)=x_i, i=1, 2, …, 6.对于h₁(x)=x₁,
时, 有
当k=1时,
则相对阶r=2,
同理可得:令h₂=x₂, 相对阶为r=2,
令h₃=x₃, 相对阶
令h₄=x₄, 相对阶为r=1,
令h₅=x₅, 相对阶为r=2,
令h₆=x₆, 相对阶为r=1,
同理, 对于
h₁(x)=x_1, 相对阶
令h₂=x₂, 相对阶为r=1,
令h₃=x₃, 相对阶为r=2,
令h₄=x₄, 相对阶为r=1,
令h₅=x₅, 相对阶为r=3,
令h₆=x₆, 相对阶为r=2,
对上述12个状态变量逐个线性化结果综合分析, 取控制律为

(8)

以此将原系统精确线性化.然后将控制律式(8)代入式(5), 得到状态方程和输出方程为

(9)

其中:
3 精确线性化模型的控制器设计为了使车辆获得较高的乘坐舒适性和行驶安全性, 通常需要考虑车身和座椅垂向加速度, 其次还要满足以下条件:
1) 轮胎的静载荷要大于轮胎的动载荷, k_d(z_d-z_g) < (m_b+m_c+m_d)g.
2) 限制悬架的挠度, 以防撞击限位块, |z_c-z_d|≤S_max1, |z_b-z_c|≤S_max2, 其中S_max1, S_max2分别为车辆悬架和座椅悬架的最大限位输出.
综上所述, 可以设
该系统可以用式(10)状态方程描述:

(10)

式中:
本文要设计这样的控制器:系统本身内部稳定而且满足所有的设计约束条件, 最后让从扰动w到z₁的传递函数G(z)满足‖G(z)‖_∞ < λ, λ为给定的最小正数, 设系统的状态反馈增益为K, v=KX代入式(10)可得
根据定理1可以求出反馈增益.最终可得到悬架系统精确线性化模型的控制系统框图见图 2.
图 2(Fig. 2)

图 2 控制系统框图Fig.2 Diagram of control system

定理1??如果假定一个量α>0, 由线性矩阵不等式(LMI)设计, 对于求解minγ²如果一对称矩阵Q=Q^T>0存在, 并且以下条件成立^[10]:
并且能求取γ, Y, Q, 则状态反馈解由K=YQ^-1得到, 并使得系统内部稳定.
4 仿真分析在Matlab/Simulink环境下建立计算机仿真模型, 然后开展座椅悬架和车辆悬架的系统仿真分析.根据文献[10], 得到各参数如表 1所示.
表 1(Table 1)

表 1 系统的数据Table 1 System parameter values 参数 值 车身质量mc/kg 300 车轮质量md/kg 59 人体和座椅质量mb/kg 80 轮胎刚度kd/(N·m-1) 200 000 座椅悬架刚度kb/(N·m-1) 31 000 车辆悬架刚度kc/(N·m-1) 30 000 车辆悬架阻尼Cc/(N·(m·s-1)-1) 1 000 座椅悬架阻尼Cb/(N·(m·s-1)-1) 830 路面不平度系数G0/(m3·cycle-1) 5×10-6 车速U0/(m·s-1) 20 最大作用力Fmax2/N 1 500 最大作用力Fmax1/N 1 050 座椅悬架允许挠度/m 0.07 车辆悬架允许挠度/m 0.09

表 1 系统的数据 Table 1 System parameter values

图 3为底盘加速度对比图.主动悬架加速度峰值总比被动悬架的小, 表明主动悬架对于底盘垂直加速度有明显良好的控制效果.
图 3(Fig. 3)

图 3 底盘垂直加速度仿真曲线Fig.3 Simulation curves for chassis vertical acceleration

图 4为座椅加速度对比图, 主动悬架加速度峰值总比被动悬架的小, 表明主动悬架对于座椅垂直加速度有明显良好的控制效果.
图 4(Fig. 4)

图 4 座椅垂直加速度仿真曲线Fig.4 Simulation curve for seat vertical acceleration

图 5~图 7分别为车辆悬架, 座椅悬架和轮胎的动态位移仿真曲线, 从图中可知座椅悬架和车辆悬架的挠度都满足分别小于0.07 m, 0.09 m的最大挠度的要求.而主动悬架和被动悬架的轮胎位移基本一致.
图 5(Fig. 5)

图 5 车辆悬架动态位移仿真曲线Fig.5 Dynamic displacement simulation curve of vehicle suspension

图 6(Fig. 6)

图 6 座椅悬架动态位移仿真曲线Fig.6 Dynamic displacement simulation curves of seat suspension

图 7(Fig. 7)

图 7 轮胎动态位移仿真曲线Fig.7 Simulation curve for tire dynamic displacement

图 8为车辆悬架控制力F₁和座椅悬架控制力F₂仿真曲线, 从图中可看出座椅悬架和车辆悬架的控制力都满足分别小于1 500, 1 050 N的要求.
图 8(Fig. 8)

图 8 悬架控制力仿真曲线Fig.8 Simulation curve of suspension control force

表 2为仿真结果.可知在座椅加速度这项性能指标中, 与被动悬架相比, 主动悬架降低了约46.5%, 在车身加速度这项性能指标中, 主动悬架比被动悬架降低了约48.6%.但是在座椅悬架挠度上性能变差, 同时符合提高舒适性而牺牲了操纵性的规律.
表 2(Table 2)

表 2 性能指标均方根值的对比表Table 2 Comparison table of RMS value of performance indexes 性能指标 被动悬架 主动悬架 2.095 3 1.120 7 2.088 7 1.072 9 座椅悬架挠度/m 0.005 1 0.012 1 车辆悬架挠度/m 0.020 9 0.017 6 轮胎动位移/m 0.006 8 0.006 6

表 2 性能指标均方根值的对比表 Table 2 Comparison table of RMS value of performance indexes

5 结论1) 运用微分几何理论将悬架非线性系统精确线性化, 以LMI方法设计反馈矩阵, 求出反馈控制律v, 进而生成控制律u, 结果验证了本文提出的基于微分几何法的精确线性化控制策略的鲁棒H_∞控制在本研究中有较好的效果, 对于改善车辆的平顺性和舒适性有较好的作用.
2) 另一方面，对于车辆主动悬架研究而言, 同时以座椅悬架和车身悬架的垂向加速度来评价车辆的平顺性和舒适性, 更具有精确性和有效性.
3) 从单轮推广到四轮.从单轮先推广到两轮, 再由两轮推广到四轮.目前两轮已有学者做过相关研究, 四轮由于其多输入等复杂情况, 研究者较少, 可以尝试组合两轮的控制器实现控制.
参考文献

[1]	么鸣涛, 李钊, 顾亮. 基于微分几何法的半主动油气悬架LQR控制[J].北京理工大学学报, 2011, 31(5): 519–523. ( Yao Ming-tao, Li Zhao, Gu Liang. LQR control of semi-active hydro-pneumatic suspension based on differential geometry[J].Journal of Beijing Institute of Technology, 2011, 31(5): 519–523.)
[2]	么鸣涛, 管继富, 顾亮. 基于微分几何法的车辆半主动悬架控制[J].沈阳工业大学学报, 2011(4): 400–404. ( Yao Ming-tao, Guan Ji-fu, Gu Liang. Control of vehicle semi-active suspension based on differential geometry method[J].Journal of Shenyang University of Technology, 2011(4): 400–404.)
[3]	Chen S A, Wang J C, Yao M, et al. Improved optimal sliding mode control for a non-linear vehicle active suspension system[J].Journal of Sound & Vibration, 2017, 395: 1–25.
[4]	Guo L X, Zhang L P. Robust H∞ control of active vehicle suspension under non-stationary running[J].Journal of Sound & Vibration, 2012, 331(26): 5824–5837.
[5]	Wang G, Chen C, Yu S. Optimization and static output-feedback control for half-car active suspensions with constrained information[J].Journal of Sound & Vibration, 2016, 378: 1–13.
[6]	Li P, Lam J, Cheung K C. Multi-objective control for active vehicle suspension with wheelbase preview[J].Journal of Sound & Vibration, 2014, 333(21): 5269–5282.
[7]	Sun W, Pan H, Zhang Y, et al. Multi-objective control for uncertain nonlinear active suspension systems[J].Mechatronics, 2014, 24(4): 318–327.DOI:10.1016/j.mechatronics.2013.09.009
[8]	Wang R, Jing H, Wang J, et al. Robust output-feedback based vehicle lateral motion control considering network-induced delay and tire force saturation[J].Neurocomputing, 2016, 214(sup1): 409–419.
[9]	Sun W, Zhao Y, Li J, et al. Active suspension control with frequency band constraints and actuator input delay[J].IEEE Transactions on Industrial Electronics, 2011, 59(1): 530–537.
[10]	张丽萍, 郭立新. 车辆悬架和座椅悬架的鲁棒H∞集成控制策略[J].东北大学学报(自然科学版), 2015, 36(12): 1771–1775. ( Zhang Li-ping, Guo Li-xin. Robust H∞ integrated control strategy for vehicle suspension and seat suspension[J].Journal of Northeastern University(Natural Science), 2015, 36(12): 1771–1775.)