井元伟¹, 李赞华^1,2, 刘婷³
1. 东北大学 信息科学与工程学院, 辽宁 沈阳 110819;
2. 沈阳理工大学 理学院, 辽宁 沈阳 110159;
3. 辽宁大学 轻型产业学院, 辽宁 沈阳 110036
收稿日期：2018-07-05
基金项目：国家自然科学基金资助项目(61773108)；辽宁省教育厅科学研究一般项目(L2015198)；辽宁省博士科研启动基金资助项目(201601091)。
作者简介：井元伟(1956-), 男, 辽宁西丰人, 东北大学教授，博士生导师。

摘要：研究一类带有用户数据报协议(user datagram protocol, UDP)流干扰的TCP网络系统拥塞控制问题.首先, 建立了一个严格反馈非线性TCP网络系统模型, 然后, 利用反推(backstepping)技术和极小极大(minimax)理论, 提出一个新的网络拥塞控制算法, 并且给出了一个充分条件.在最大UDP流干扰存在的情况下, 构建了一个状态反馈控制器, 使得TCP网络系统渐近稳定.最后, 对4种不同的情况进行了仿真, 特别是在最大干扰存在时对4种控制方法进行了仿真对比, 通过得到的仿真结果可以看出本文所提方法的可行性和优越性.
关键词：网络拥塞控制反推技术极小极大算法用户数据报协议流干扰
Minimax Congestion Control for a Class of TCP Network Systems
JING Yuan-wei¹, LI Zan-hua^1,2, LIU Ting³
1. School of Information Science & Engineering, Northeastern University, Shenyang 110819, China;
2. School of Science, Shenyang Ligong University, Shenyang 110159, China;
3. Light Industry College, Liaoning University, Shenyang 110036, China
Corresponding author: LI Zan-hua, E-mail: lizanhuamd@163.com
Abstract: The congestion control for TCP network systems with UDP(user datagram protocol)flows is studied. Firstly, a nonlinear TCP network model with a strict-feedback structure is established. Afterwards, a novel congestion control algorithm is proposed by using backstepping approach and minimax scheme, and a sufficient condition is provided. Furthermore, a state-feedback congestion controller is constructed by considering the maximum UDP flows to make the TCP networks stable. Finally, four different cases are simulated. Especially in the presence of maximum interference, the four different control methods are compared. The simulation results show the feasibility and superiority of the proposed method.
Key words: network congestion controlbacksteppingminimax algorithmUDP flowdisturbance
随着网络使用规模的扩大, 网络拥塞日益严重, 因此如何解决网络拥塞成为一个十分重要的研究领域.主动队列管理(active queue management, AQM)算法不仅具有降低丢包率、提高链路利用率、减少排队时延、抑制速率振荡等优点, 也是解决网络拥塞问题的重要手段之一^[1-3].目前, 已有大量针对网络拥塞现象的研究成果, 如RED, PD, PID控制^[4-6].针对非线性TCP网络模型, 已有的主动队列管理算法大多采用在平衡点处进行线性化的方法进行处理.然而, 该方法主要存在两个局限性:一是在工作点附近的线性化是近似的, 存在局部稳定性问题, 无法获得全局行为; 二是线性化后的模型与实际系统具有较大差异.因此, 针对非线性网络模型, 文献[7-8]提出了一些非线性主动队列管理算法.backstepping技术是一种十分有效的非线性控制方法, 并且文献[9-11]已将该方法应用到网络拥塞控制中.
在TCP网络中存在大量的不确定性和外部扰动因素.近年来, 关于网络拥塞抗扰控制已取得一些成果^[12-13], 但是这些控制方法均是将扰动给出一个常值上界或者假设其满足一定增长条件, 据此设计的控制器具有一定程度的保守性.而极小极大(minimax)控制方法可以有效解决此类问题^[14-16], 该方法是在干扰和不确定性最坏的情况下, 研究如何保证控制系统的稳定性, 并使得系统的状态偏差、控制能量的消耗、干扰, 以及不确定性等综合指标最小.文献[17]采用了minimax方法和滑模控制方法研究了此类TCP网络拥塞控制问题.
本文针对带有用户数据报协议(user datagram protocol, UDP)流干扰的非线性TCP网络动态模型, 研究在最大干扰存在的情况下该非线性网络系统的稳定问题, 提出了基于backstepping方法和minimax理论的非线性主动队列管理算法.
1 非线性TCP网络模型考虑带有UDP流干扰的非线性TCP网络系统动态模型^[1]:

(1)

式中:W(t)为TCP网络窗口大小; q(t)为路由器的瞬时队列长度; N(t)为TCP连接的负载因子, 且满足0 < N^－≤N(t)≤N⁺; C为链路带宽; T_p为传输时延; 0≤p(t)≤1代表分组丢弃/标记概率; R(t)为往返时延, 通常情况下, R(t)满足
q_max为路由器的最大队列长度.
对窗口函数W(t)作如下映射:
r(t)为TCP网络源端的发送速率, 因此得到基于速率和队列长度的TCP网络系统动态模型:

(2)

令
其中q_d是期望队列长度, 则式(2)可表示为

(3)

式中:
d(t, x)为系统的扰动, 简记为d，即UDP数据流.
2 Minimax控制器设计定理1??针对系统(3), 如果存在参数k₁>0, l₂>0, γ>0, 并且虚拟控制器x₂^*和实际控制输入u(t)分别选为式(8)和式(17), 那么闭环系统(3)是渐近稳定的.
证明??为了得到定理1的结果, 应用back-stepping方法, 首先定义如下的坐标变换:

(4)

步骤1??根据式(3)和式(4)可以得到

(5)

选取Lyapunov函数V₁:

(6)

则有

(7)

因此, 虚拟控制器可选为

(8)

其中k₁>0是一个设计参数.将式(8)代入式(7)得

(9)

步骤2 ??根据式(4), 可得

(10)

选择一个正定的Lyapunov函数V₂:

(11)

则有

(12)

下面利用minimax理论处理干扰项.首先, 考虑如下的性能指标函数J和调节输出z:

(13)

式中:q和q₂是非负的权重系数, 表示x₁和x₂之间的加权比重, q₁+q₂=1;γ>0为干扰抑制常数.
为了计算出最坏干扰, 构造如下的检验函数:

(14)

将式(12)代入式(14)得到

(15)

利用极值原理, 对φ关于d求一阶导数, 并令导数等于0, 得到
再求二阶导数得到
由此可知φ关于d有极大值:
对上式两边同时取积分得
令, 有
此时等价于max(J/2).这说明如果d^*使函数φ取得最大值, d^*同样使J取得最大值, 进而说明d^*确实是对系统影响程度最大的干扰.将最大干扰d^*代入检验函数φ, 则式(15)化为

(16)

式中,
根据式(16), 控制器u(t)设计为

(17)

式中l₂>0是一个设计参数.
将式(17)代入式(16), 得

(18)

如果干扰d=0, 则e₂=0, 此时Lyapunov函数V=V₁, 因此, 系统渐近稳定; 当d≠0时, 由式(14)和式(18)可得

(19)

此时Lyapunov函数V=V₂, 一定存在大于零的γ，使得, 因此可得, 故网络非线性系统(2)在控制器式(17)下是渐近稳定的.
3 数值仿真根据定理1, 考虑如下4种情况进行仿真:①中等延迟网络系统; ②大延迟的网络系统; ③带有未响应流的动态传输; ④不同的往返时延.为了说明本文方法的优越性, 前两种情况均与backstepping方法作了仿真比较.仿真所选系统参数如下:

(20)

式中：F表示flow, 流；P表示packet, 包.以下同.
设计参数为
在使用backstepping方法时所选设计参数为l₁=0.2, l₂=1.5, λ=0.5, 其余参数与式(20)相同.
针对上述4种情况, 仿真结果与分析如下.
3.1 T_p=0.2s的网络系统仿真考虑传播时延T_p=0.2s的情况, 根据定理1和上述设计方法, 可以得到网络拥塞控制器, 相应地, 也设计了backstepping控制器.利用Matlab, 图 1分别给出了两个控制器的仿真结果.显然, 本文的设计方法可以使系统的两个状态收敛得更快, 同时超调量更小.
图 1(Fig. 1)

图 1 Tp=0.2s时系统变量的跟踪误差Fig.1 Tracking error of system variables when Tp=0.2s

3.2 T_p=0.3s的网络系统仿真传播时延设置为T_p=0.3s, 其他参数的选取与情况①相同.仿真结果见图 2.可以看出, 当延时增加后, backstepping控制器所受的影响变大, 如超调量变大以及波动增加.然而, 本文所用方法则没有什么变化, 说明本文的控制方法鲁棒性较好.
图 2(Fig. 2)

图 2 Tp=0.3s时系统变量的跟踪误差Fig.2 Tracking error of system variables when Tp=0.3s

3.3 带有未响应流干扰的动态传输仿真.与情况①和②不同, 情况③考虑了传输过程中存在未响应数据流的情况, 这使得研究更接近实际网络系统.为了更好地说明本文设计的控制器的优势, 选取了其他三种方法进行仿真对比.PID方法控制参数为K_p=4.4, K_d=1, K_i=1.9；RED方法的控制参数为p_max=0.02, k=1.5, d=0.2s, ω=0.03；backstepping滑模方法的控制参数为w=1.8, c=6, k=60, β=2, 其他参数分别与文献[5, 9, 17]相同.仿真结果见图 3.本文采用的控制设计使系统响应更快, 而且几乎没有超调.
图 3(Fig. 3)

图 3 网络系统存在未响应流干扰时系统变量的跟踪误差Fig.3 Tracking error of system variables in the network system with UDP flow disturbance

3.4 不同往返时延的仿真在传播时延相同的情况下(T_p=0.2s), 4个不同的往返时延分别为:225, 250, 275和300ms.仿真结果见图 4.可以清晰地看到, 即使往返时延不同, 波动也都在理想范围内, 而且在短时间内队列误差都收敛到了零.
图 4(Fig. 4)

图 4 在不同往返时延下系统状态变量队列的跟踪误差Fig.4 Tracking error of system state variable queues with different round-trip delays (a)—225ms; (b)—250ms; (c)—275ms; (d)—300ms.

4 结语针对一类非线性TCP网络系统, 运用back-stepping技术, 结合minimax理论及主动队列管理算法, 研究了该网络的拥塞控制问题, 所提出的控制算法避免了放缩或忽略干扰而产生的误差对系统的影响, 并且在最大干扰存在的情况下, 得到了一个鲁棒的控制器.从4个仿真结果中不难发现, 本文的设计方法具有较强的鲁棒性, 同时也可以使系统响应更快, 超调更小.
参考文献

[1]	Kelly F. Mathematical modelling of the Internet[M]. Berlin: Springer-Verlag, 2001: 105-116.
[2]	Zheng F, Nelson J. An H∞ approach to the controller design of AQM routers supporting TCP flows[J].Automatica, 2009, 45(3): 757–763.DOI:10.1016/j.automatica.2008.10.014
[3]	王宏伟, 于驰, 井元伟. 基于T-S模糊观测器的网络拥塞控制算法[J].东北大学学报(自然科学版), 2010, 31(4): 461–464. ( Wang Hong-wei, Yu Chi, Jing Yuan-wei. Network congestion control algorithm based on T-S fuzzy observer[J].Journal of Northeastern University(Natural Science), 2010, 31(4): 461–464.DOI:10.3969/j.issn.1005-3026.2010.04.002)
[4]	Kahe G, Jahangir A H, Ebrahimi B. AQM controller design for TCP networks based on a new control strategy[J].Telecommunication Systems, 2014, 57(4): 295–311.DOI:10.1007/s11235-013-9859-y
[5]	Chen J, Hu C, Ji Z. Self-tuning random early detection algorithm to improve performance of network transmission[J].Mathematical Problems in Engineering, 2010, 8: 430–441.
[6]	Ali H I, Khalid K S. Swarm intelligence based robust active queue management design for congestion control in TCP network[J]. Transactions on Electrical and Electronic Engineering, 2016, 11(3): 308–324.DOI:10.1002/tee.22220
[7]	叶成荫, 井元伟. TCP网络的非线性自适应滑模控制[J].东北大学学报(自然科学版), 2012, 33(11): 1521–1524. ( Ye Cheng-yin, Jing Yuan-wei. Nonlinear adaptive sliding mode control for TCP networks[J].Journal of Northeastern University (Natural Science), 2012, 33(11): 1521–1524.DOI:10.12068/j.issn.1005-3026.2012.11.001)
[8]	Abolfazli E, Shah-Mansouri V. Dynamic adjustment of queue levels in TCP VEGAS-based networks[J]. Electronics Letters, 2016, 52(5): 361–363.DOI:10.1049/el.2015.2818
[9]	Abolfazli E, Shah-Mansouri V.Robust congestion control for TCP/AQM using integral backstepping control[C]// Proceedings of IEEE 26th Annual International Symposium on Personal, Indoor and Mobile Radio Communications(PIMRC): Mobile and Wireless Networks.Hong Kong: IEEE, 2015: 1840-1844.
[10]	Liu Y, Liu X P, Jing Y W, et al. Adaptive backstepping H∞ tracking control with prescribed performance for Internet congestion[J].ISA Transactions, 2018, 72: 92–99.DOI:10.1016/j.isatra.2017.10.004
[11]	杨歆豪, 王执铨. 基于反步设计法的非线性主动队列管理算法[J].南京理工大学学报, 2010, 34(3): 283–288. ( Yang Xin-hao, Wang Zhi-quan. Nonlinear AQM algorithm based on backstepping technique[J].Journal of Nanjing University of Science and Technology, 2010, 34(3): 283–288.DOI:10.3969/j.issn.1005-9830.2010.03.001)
[12]	Shabanian M, Hosseini S H, Araabi B N. An analysis of the disturbance on TCP network congestion[J].Advances in Intelligent and Soft Computing, 2009, 58: 115–121.
[13]	Wang P, Zhu D, Lu X. Active queue management algorithm based on data-driven predictive control[J].Telecommunication Systems, 2017, 64(1): 1–9.DOI:10.1007/s11235-016-0260-5
[14]	Kogan M M. Solution to the inverse problem of minimax control and worst case disturbance for linear continuous-time systems[J].IEEE Transactions on Automatic Control, 1998, 43(5): 670–674.DOI:10.1109/9.668832
[15]	姜囡.若干类不确定系统的极小极大控制的研究[D].沈阳: 东北大学, 2007. ( Jiang Nan.On the minimax control of some kinds of uncertain systems[D]. Shenyang: Northeastern University, 2007.http://d.wanfangdata.com.cn/Thesis/Y1221354)
[16]	Yuan X D, Jing Y W. Research for AQM based on minimax method[J].Neural Computing and Applications, 2014, 25(7/8): 1755–1760.
[17]	Wang K, Jing Y W, Zhang S Y.Minimax controller design based on backstepping sliding mode for TCP network systems[C]// 29th Chinese Control and Decision Conference.Chongqing, 2017: 764-768.