杨冬梅, 姚齐
东北大学 理学院, 辽宁 沈阳 110819
收稿日期：2017-03-28
基金项目：国家自然科学基金资助项目(61673100)。
作者简介：杨冬梅(1966-), 女, 辽宁沈阳人, 东北大学教授。

摘要：对含有不确定参数的时变时滞切换广义系统的鲁棒指数容许性问题和鲁棒指数镇定问题进行了研究.通过利用自由权矩阵和平均驻留时间的方法, 针对该类切换广义时滞系统, 给出了其鲁棒指数容许的充分条件.在此基础上设计有记忆状态反馈控制器, 利用广义系统Lyapunov稳定性理论和LMI方法, 得到了使相应的闭环系统正则、无脉冲且指数稳定的充分条件.最后, 通过仿真算例对该方法的有效性和可行性进行验证.
关键词：广义系统切换系统时滞指数稳定记忆反馈
Robust Exponential Control for a Class of Switched Singular Time-Delay Systems
YANG Dong-mei, YAO Qi
School of Sciences, Northeastern University, Shenyang 110819, China
Corresponding author: YAO Qi, E-mail: yaoqi172017@163.com
Abstract: The robust exponential admissibility problems and robust exponential stability control problems of uncertain switched singular time-varying delay systems were studied. By way of free-weighting matrices and average dwell time methods, the sufficient condition of exponential admissibility of uncertain switched singular time-delay systems was given. Then on the basis of linear matrix inequality (LMI) approach and the singular system Lyapunov stability theory, a state feedback controller with memory was designed, resulting in the regular, impulse free, and exponentially stable closed-loop systems. Finally, the feasibility and validity of the proposed method were finally demonstrated by illustrative example.
Key Words: singular systemswitched systemtime-delayexponential stabilizationmemory feedback
随着现代控制理论与方法应用于工程系统和向其他学科的不断深入, 一类更具广泛形式的系统得到了很多关注, 被称为“切换广义系统”.同时, 在实际控制问题中系统不可避免地带有不确定性和时滞现象, 因此要求所设计的控制器应具有鲁棒性和时滞项, 使得其在运行过程中能够允许这些不确定性的存在.因此对于不确定切换广义时滞系统的鲁棒指数容许及鲁棒镇定问题的研究具有重要的现实意义^[1-4].文献[5]中所考虑的不确定性不仅包括状态矩阵和输入矩阵的不确定性, 还包括了导数矩阵的不确定性, 针对奇异时滞系统的鲁棒H_∞镇定问题, 利用自由权矩阵的方法进行了研究.文献[6]对离散切换时滞系统构造分段Lyapunov泛函, 利用平均滞留时间和状态变量转化的方法, 得到一类特殊的切换信号, 从而保证了该系统的指数稳定性.文献[7]利用松弛矩阵和参数Lyapunov-Krasovskii泛函来解耦系统矩阵, 得到基于严格线性矩阵不等式表示的广义时滞系统的时滞相关的控制条件.
本文针对一类不确定切换广义时滞系统, 研究了鲁棒容许性和鲁棒指数镇定问题.基于平均滞留时间和自由权矩阵的方法, 利用广义Lyapunov稳定性理论, 首先讨论该系统的鲁棒指数容许性, 之后设计了一种有记忆的状态反馈控制器, 使闭环系统正则、无脉冲且指数稳定.
1 问题描述考虑带有参数不确定性的切换广义时滞系统

(1)

其中：x(t)∈Rⁿ为状态向量；f(t)∈C_n，为[-h, 0]上的连续可微向量值初始函数；E∈R^n×n是奇异矩阵; A_i, A_{d i}和B_i都是具有适当维数的已知实常数矩阵; d(t)是时变连续函数, 其中h和d是已知的正数, 满足
切换序列S={(i₀, t₀), …, (i_k, t_k)|i_k∈N, k=0, 1, …}.切换信号σ(t), 其中t₀=0, 表示当t∈[t_k, t_k+1), 第i_k个子系统被激活.ΔA_i(t), ΔA_{d i}(t), ΔB_i(t)为不确定项, 且具有如下一般结构:

(2)

其中, D_i, E_{a i}, E_{ad i}和E_{b i}为适当维数的常数矩阵, F_i^T(t)F_i(t)≤I, I为单位矩阵, F_i(t)为具有范数有界的时变不确定性.对于每个子系统, 设计如下形式的状态反馈控制器:

(3)

其中K_i, K_1i为待定的常数实矩阵, 将式(2)和式(3)代入到式(1)得

(4)

其中：
定义1????考虑系统E?(t)=A_i, 如果det(sE－A_i)?0, 则矩阵对(E, A_i)是正则的；如果deg(det(sE－A_i))=rankE, 则矩阵对(E, A_i)是无脉冲的；如果矩阵对(E，A_i)是正则且无脉冲的，则矩阵对(E, A_i)是可容许的.
定义2^[8]????考虑系统(1)在给定的切换信号下, 如果存在正实数c和λ使得系统(1)的解满足下面不等式：
其中，c ≥1, ‖·‖代表欧式范数, 并且‖x_t‖=sup_{－τ≤θ≤0}{x(t+θ)}, 则该系统称为指数稳定的.
引理1^[9]????给定具有适当维数的矩阵Q=Q^T, H, E, 则
对所有满足F^T(t)F(t) < I的F(t)都成立的充要条件是存在一正数ε>0, 使得
定义3^[10]????若存在T_d>0, N₀≥0, 使得N(t₀, T)≤N₀+(T -t₀)/T_d成立, 则称T_d为平均滞留时间.其中N(t₀, T)为在时间[t₀, T]上系统的切换次数; N₀为震颤边界, 通常设N₀=0.
引理2^[9]????若存在对称矩阵X, 使得
同时成立的充要条件是
2 主要结论定理1????考虑不含有控制器的自治系统(1), 给定标量α>0, 0 < d ≤1和h> 0, 如果存在非奇异矩阵P_i, Q_i=Q_i^T≥0, Z_i=Z_i^T≥0, 以及适当维数的N_1i和N_2i, , λ>0，使得以下矩阵不等式成立:

(5)

其中:

(6)

切换序列满足T_d>T_d^*=lnμ/α, 其中μ≥1, 而且满足

(7)

系统(1)是正则、无脉冲且指数稳定的, 而且指数衰减率.
证明:首先证明自治系统(1)是正则、无脉冲的.因为rankE≤n, 所以一定存在两个非奇异矩阵S, U∈R^n×n满足:
根据Ψ_i < 0可知Ψ_i11 < 0, i∈N, 所以A_i^TP_i+P_i^TA_i+αE^TP_i+N_1iE+E^TN_1i^T < 0, 将其左右两边分别乘以U^T和U得到:
显然A_i22是非奇异的, 根据引理1可知, 不含控制器的系统(1)是正则、无脉冲的. “*”表示与结果无关被省略的项.考虑第i个子系统, 定义以下正定的Lyapunov-Krasovskii泛函:

(8)

根据Leibinz-Newtow公式和适当维数矩阵N_li, l=1, 2, 可以得到

(9)

对于适合维数的矩阵, 有

(10)

用A_ix(t)+A_{d i}x(t-d(t))代替E?(t)并根据schur引理, 将式(9)和式(10)代入到式(8)的右端, 其中η₁(t)=[x^T(t) x^T(t-d(t))]^T, 得到
其中, η₂(t)=[x^T(t) x^T(t－d(t)) ?^T(t)]^T,
根据式(2), 用D_iF_iE_{a i}, D_iF_iE_{ad i}替换上式中的ΔA_i, ΔA_{d i}可得
且Ψ_i11, Ψ_i12和Ψ_i22定义见式(6), 而φ_i定义见式(5).如果Ψ_i < 0且φ_i≥0, 那么对于充分小的ε, 有, 这就保证了第i个子系统是指数稳定的.
那么, 对于切换信号σ(t)满足:

(11)

根据Lyapunov-Krasovskii泛函和式(7), 对于切换时刻t_k，有

(12)

根据式(11)和式(12), , k是在时间T_d内的切换次数, 那么

(13)

可以得到

(14)

其中, ,
λ_max()表示最大特征值, λ_min()表示最小特征值, 根据式(13)和式(14)可以得到
这就保证了自治的切换广义时滞系统(1)是指数容许的.对于自治系统(1)代数子系统容许性的证明类似于文献[3].定理得证.
定理2????考虑系统(1), 对于给定常数λ>0, ρ≠0, 以及标量α>0, 0 < d≤1和h> 0, 如果存在非奇异矩阵, , , 适当维数的M_1i和M_2i, V_i, V_1i及正数ε>0, 使其满足如下形式的线性矩阵不等式:
其中:
切换序列满足.其中μ≥1, 而且满足
系统(1)是正则、无脉冲且指数稳定的, 而且指数衰减率, 并且控制器为.
证明:由定理1及引理2, 如果存在具有适当维数的非奇异实矩阵P_i, 对称矩阵Q_i>0, Z_i>0, N_1i, N_2i, 以及正数ε>0，使其满足:
其中:
且切换序列满足T_d>T_d^*=lnμ/α.其中μ≥1, 而且满足:EP_i≤μEP_j, Q_i≤μQ_j, Z_i≤μZ_j, ?i, j∈N.系统(2)是指数稳定的, 而且指数衰减率, 为了从中解出K_i和K_1i, 令

(15)

定义, 那么就有

(16)

(17)

令E^TN_1i^T=λP_i, E^TN_2i^T=ρQ_i, 其中ρ≠0且, 此刻W_i可逆且
定义矩阵:
对矩阵Ξ_i左乘T_i^T, 右乘T_i, 得到
接着将式(15), 式(16)和式(17)代入上式, 并令, , 以及, , 由Schur补引理即可得到定理2, 并且控制器的增益为, .
3 仿真实例考虑含有两个子系统的切换广义时滞系统(1), 其中，
由给出的定理2可知, 存在状态反馈控制器u_σ(t)(t)=K_σ(t)x(t)+K_1σ(t)x(t－d(t))，使得系统(1)满足正则、无脉冲、指数稳定.时变时滞d(t)=|0.5sin(x)|, 仿真算例中取ε=1, d= 0.5, α=0.2, ρ=0.001, λ=0.2，当μ=107.559 3, T_d^*=23.390 2，最大时滞上界h=1.4, 相应的控制器增益为
4 结论本文对于一类不确定切换广义时滞系统, 基于广义Lyapunov稳定性理论和平均滞留时间的方法, 结合自由权矩阵, 给出了使该系统鲁棒容许的充分条件, 并在此基础上考虑引入有记忆状态反馈控制器的闭环系统, 得到了使该闭环系统正则、无脉冲且指数稳定的设计方法.仿真算例说明了该方法的实用性和有效性.
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