孙赵宁, 李小彭, 李木岩, 闻邦椿
东北大学 机械工程与自动化学院, 辽宁 沈阳 110819
收稿日期：2017-05-16
基金项目：国家自然科学基金资助项目(51275079，51575091);辽宁省百千万人才工程培养经费资助项目(2014921018)。
作者简介：孙赵宁(1989-)，女，黑龙江齐齐哈尔人，东北大学博士研究生;
李小彭(1976-)，男，江西宁都人，东北大学教授，博士生导师。

摘要：以双盘转子-滚动轴承系统为模型, 利用有限元法建立了动力学方程，并以数值方法为手段得到转子系统振动响应, 分析了机动载荷、偏心对转子系统非线性振动及分岔特性的影响, 为研究更加符合实际的复杂工况耦合故障的转子动力学系统提供理论指导.研究结果表明:在水平盘旋机动飞行下, 在二倍临界转速附近系统产生丰富的非线性动力学现象; 随着机动载荷的增加, 主共振转速提高, 并且在转速区间内系统的振动形式更多趋于稳定的单周期运动.水平盘旋下, 转子系统不仅能发生1/2亚谐共振, 在某些参数下还产生了一些低频振动.
关键词：水平盘旋机动载荷转子-滚动轴承系统非线性振动分岔
Effect of Hovering State Rotor Parameters on the Nonlinear Vibration of the Rolling Bearing System
SUN Zhao-ning, LI Xiao-peng, LI Mu-yan, WEN Bang-chun
School of Mechanical Engineering & Automation, Northeastern University, Shenyang 110819, China
Corresponding author: LI Xiao-peng, E-mail: xpli@me.neu.edu.cn
Abstract: Based on the model of the double disc rotor-rolling bearing system, a dynamic equation was established by using the finite element method, the vibration response of the rotor system was obtained by the numerical method, and the maneuver load was analyzed. The influence of eccentricity and maneuver load on the nonlinear vibration and bifurcation characteristics of the rotor system was analyzed, which provided theoretical guidance for researching the rotor dynamic system that is more in line with the actual coupling faults under complex working conditions. There are abundant nonlinear dynamic phenomena in the system near the double critical speed. With the increase of the maneuver load, the main resonance speed increases, and the vibration forms of the system tend to stabilize the single-period motion within the rotational speed range. The rotor system can not only produce 1/2 subharmonic resonance, but also produce some low frequency vibrations under some parameters.
Key words: hoveringmaneuver loadrotor-rolling bearing systemnonlinear vibrationbifurcation
机动飞行特性是飞机的重要性能指标, 特别是军用战斗机.滚动轴承具有很强的非线性特性, 主要体现在赫兹接触、轴承间隙、滚珠波动及时变刚度^[1].Bad等^[2]研究了在盘和轴承质量偏心力作用下, 多个光滑的非线性能量接收器影响的转子-轴承系统的整体叶盘振动衰减.Fonseca等^[3]探讨了非线性支承轴承动力学的理论和实验, 该实验台可以确定轴的位置、采样的角速度、轴和支承之间的接触应力.Bai等^[4]从轴向预压对角入手, 对球轴承动力学模型进行改进从而建立五自由度转子轴承系统的动力学模型.Harsha等^[5-6]在建立系统模型时, 将轴承间隙及波纹度的因素同时考虑在内, 研究了系统不同参数的影响.梁明轩等^[7]建立了考虑轴承游隙、非线性赫兹接触力及变刚度VC振动等因素的偏置转子系统-滚动轴承涡摆耦合动力学模型, 同时分析了轴承间隙变化对系统的动力学影响.Liu等^[8]考虑尖锐边缘附加变形的局部缺陷刚性转子轴承系统动态建模.Tse等^[9]研究了动态转子-轴承系统非线性振动响应的状态空间描述, 其内容为收集轴承诊断和轴承故障预测的延伸.文献[10-11]研究了滚动体滑动对滚动轴承的动力学特性影响.
本文在前人研究的基础上, 以双盘转子-滚动轴承系统为模型, 考虑能够引起系统复杂非线性现象的非线性赫兹接触力, 利用有限元法建立水平盘旋下的双盘转子-滚动轴承系统动力学方程.分析了机动载荷、偏心距对转子系统非线性振动及分岔特性的影响, 为研究更加符合实际的复杂工况耦合故障的转子动力学系统做出相应理论支持.
1 系统模型1.1 机动飞行模型转子-滚动轴承系统有限元模型如图 1所示:m₁, m₂为转盘1、转子2的质量; m_b1, m_b2为左、右两端轴承外圈的集中质量; J_di(i=1, 2)为转盘1的直径转动惯量; J_pi(i=1, 2)为转子2的转动惯量; k_b1, k_b2为左、右两端轴承外圈与轴承座的连接刚度; c_b1, c_b2分别为左、右两端轴承外圈与轴承座的连接阻尼; 轴段采用Rayleigh梁模型, 并将此轴段分为6个节点, 每个节点有4个自由度μ=(x??y??θ_x??θ_y), 忽略了轴向和扭转方向自由度; x, y分别为节点在两轴方向的振动位移; θ_x, θ_y分别为节点在x, y方向的转角; 每段轴长为l_i(i=1, 2, …, 5).
图 1(Fig. 1)

图 1 转子-滚动轴承系统模型Fig.1 Rotor-bearing system model

机动飞行时有三个具有代表性的状态:俯冲拉起、水平盘旋和横滚, 本文研究水平盘旋下转子系统的动力学特性.设水平盘旋飞机的角速度和航行速度分别为ω_h，v, 产生在每个节点的机动载荷为

(1)

考虑机动飞行对轴承和转盘的影响, 即机动载荷作用在轴承以及转盘的位置.
1.2 滚动轴承模型设滚动轴承间隙为δ₀, 滚珠数目为N_b, 赫兹接触刚度为K_b, 保持架旋转速度, r_i为轴承内圈半径, r_o为轴承外圈半径, ω为转子转速.图 2为滚动轴承模型示意图, 滚动轴承力为

(2)

图 2(Fig. 2)

图 2 滚动轴承模型示意图Fig.2 Schematic drawing of the roll bearing model

式中:
1.3 系统动力学方程利用有限元法求解转轴和转盘的动力学方程:

(3)

式中:M为惯性矩阵; C为材料阻尼矩阵; G为陀螺矩阵; K为刚度矩阵; F_e为不平衡力; F_b为滚动轴承非线性赫兹接触力向量; F_h为机动载荷向量; W为重力场向量.
滚动轴承外圈振动利用牛顿第二定律求解动力学方程(i=1, 2):

(4)

其中, F_xri, F_yri(i=1, 2)为左右两端轴承外圈受到的x, y方向非线性赫兹接触力, 与轴两端所受轴承支承力大小相等方向相反.对系统进行综合整理, 得到整个系统的动力学方程, 采用Newmark-β法求解系统动力学响应.系统主要参数:弹性模量E=209 GPa, 泊松比υ=0.3, 材料密度ρ=7 850 kg/m³, m₁=15 kg, m₂=20 kg, m_b1=2 kg, 转盘1, 转子2的偏心距e=0.03 mm, m_b2=2 kg, 转轴半径r=40 mm, 滚动轴承赫兹接触刚度K_b=5e+9 N/m, J_di(i=1, 2)=0.037 5, 0.2 kg·m², k_b1=k_b2=2.5e+7 N/m, c_b1=c_b2=1 050 N·m/s, l₁=0.1 m, l₂₌0.2 m, l₃=0.15 m, l₄=0.05 m, l₅=0.1 m, r_i=20.1 mm, r_o=43.9 mm, δ₀=0.05 mm, N_b=9, ω_h=0.05 rad/s, v=100 m/s, g=9.8 m/s².
2 数值分析与讨论2.1 机动载荷对转子系统分岔特性的影响设G=ω_hv/g为水平盘旋机动载荷.当机动载荷分别取G=0, G=0.5, G=1.2和G=2时, 系统在航空发动机普遍运转转速范围内(1 000~2 000 rad/s)的分岔图如图 3所示.图 3a为无机动载荷分岔图, 在图 3b, 3c, 3d中, 不同机动载荷作用在转子系统时, 发生不同程度的非线性动力学变化, 且机动载荷影响显著.从图中可以看出, 随着G的增加, 倍周期分岔点后移, 可知主共振临界转速增加; 随着G的增加, 系统分岔图整体沿x轴正方向移动, 这是由于飞机水平盘旋时对转子系统x方向产生离心加速度, 实际转子的振动明显增大, 可能会引起转子和定子在水平方向产生碰摩现象.虽然振动幅值增大, 但是随着G的增加, 系统的稳定性有了提高, 例如当G达到2时系统主要以单周期及拟周期形式运动, 混沌区间减少.这是由于机动载荷激励大于滚动轴承非线性力的缘故, 抑制了系统非线性振动.
图 3(Fig. 3)

图 3 作用在转子系统上的不同载荷所呈现的分岔图Fig.3 Bifurcation diagrams of the rotor system for various maneuver loads (a)—G=0；(b)—G=0.5；(c)—G=1.2；(d)—G=2.

由于图 3中复杂非线性现象所体现的频率成分不直观, 无法进行ω分析, 因此给出系统三维频谱图如图 4所示.该图通过整合使具有不同转速的二维频谱呈现在同一张图上.从图 4中可以看出, 整个系统主要以低频振动为主, 在G=0时系统含有0.37ω, 0.42ω, 0.5ω, 0.56ω, 0.58ω等低频成分, 并且当转速达到二倍临界转速附近(ω≈2ω_c)时, 系统振动出现f=ω_c的频率成分, 说明此刻系统产生了1/2亚谐共振, 亚谐共振在转子-滚动轴承系统中是一种普遍的现象.随着机动载荷G的增加, 1/2亚谐共振减弱, 其他低频成分也逐渐减小.因此得出结论, 机动载荷的增加在一定程度上能够减小系统非线性振动, 使系统在转速区间内更多以单周期形式运动.
图 4(Fig. 4)

图 4 不同机动载荷下转子系统的三维频谱图Fig.4 Three dimensional spectra of the rotor system for various maneuver loads (a)—G=0；(b)—G=0.5；(c)—G=1.2；(d)—G=2.

2.2 在转子系统中机动载荷产生的非线性响应分析当ω=2 000 rad/s时, 系统在水平方向上的分岔图及相应三维频谱图如图 5所示.从图 5a可知, 系统由复杂的拟周期运动(从G=0到G=0.3)经过二倍周期分岔过程(从G=0.3到G=1.25)进入单周期运动(从G=1.25到G=3).与初始振动平衡位置相比, 新到达的周期运动平衡位置沿x轴正方向有了较大平移.从图 5b中可知, 从G=0到G=0.3系统包含ω, 0.37ω, ω/3(f=ω_c), ω/2等频率成分; 从G=0.3到G=1.25系统包含0.33ω, ω/2, ω等频率成分, G=1.25到G=3系统包含0.11ω和ω频率成分.由系统产生的1/2亚谐共振现象可得出系统含有f=ω_c的频率成分.包括图 6a的G=0, 图 6b的G=1, 图 6c的G=3.由图 6轴心轨迹可知, 随着G的增加, 轴心逐渐向x轴正向偏移, 沿y方向变化不大.由图 6的庞加莱截面图可知, 随着G的增加, 系统从拟周期运动经过倍周期运动通向单周期运动, 与分岔图(图 7)相符.由图 8可知, 随着G的增加, 系统半频分量及各分频逐渐减小.
图 5(Fig. 5)

图 5 ω=2 000 rad/s时系统的分岔图及三维频谱图Fig.5 Bifurcation diagram and three dimensional spectrum of the system at ω=2 000 rad/s (a)—系统分岔图；(b)—系统三维频谱图.

图 6(Fig. 6)

图 6 不同机动载荷下系统的轴心轨迹和庞加莱截面图(ω=2 000 rad/s)Fig.6 Axial center orbit and Poincare sections for various maneuver loads when ω=2 000 rad/s

图 7(Fig. 7)

图 7 包含不同偏心距的系统分岔图(G=2)Fig.7 Bifurcation diagrams of the system with various eccentricities when G=2 (a)—e=0.01 mm；(b)—e=0.03 mm；(c)—e=0.06 mm；(d)—e=0.1 mm.

图 8(Fig. 8)

图 8 不同偏心距下系统的三维频谱图Fig.8 Three dimensional spectra for various eccentricities (a)—e=0.03 mm；(b)—e=0.06 mm.

当水平盘旋机动载荷G取2时, 转子2在不同偏心距(e=0.01, 0.03, 0.06, 0.1 mm)的情况下, 其在x方向的分岔图如图 7所示, 其中以转速为控制参数.与图 7d相比, 图 7a~图 7c均出现复杂的非线性现象; 在图 7a, 图 7c, 图 7d中, 在ω=1 100 rad/s附近均出现了共振与跳跃现象, 并且偏心越大跳跃幅值越大, 这对转子系统的运转有很大的危害, 可通过调节偏心量加以避免.随着偏心距e的增加, 系统运动形式更多为稳定的单周期.
图 8a和图 8b分别为与图 7b和图 7c相对应的三维频谱图.可知, 随着偏心量的增加, 振动响应中的转频成分显著增大.系统不仅能产生0.44ω及0.56ω频率振动, 在某些参数下还能产生更复杂的非线性动力学行为, 如产生0.39ω, 0.5ω及0.62ω频率振动等.
3 结论1) 在水平盘旋机动飞行下, 当系统达到二倍临界转速附近时, 会产生倍周期、拟周期及混沌运动等非线性动力学现象.
2) 随着机动载荷G的增加, 主共振转速提高; 转子运动轨迹的中心在x方向发生偏移, 这是由于飞机水平盘旋时对转子系统x方向产生了离心加速度; 系统的稳定性提高, 这是由于机动载荷激励大于滚动轴承非线性力, 抑制了系统非线性振动.
3) 水平盘旋下, 转子系统在某些参数下还产生了0.37ω, 0.42ω, 0.5ω, 0.56ω, 0.58ω等低频振动.一定范围内增加偏心距能够使系统运动形式更多趋于稳定单周期, 但系统振幅会增加, 这是因为系统不平衡力远大于非线性力.
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