, 武爽1, 曾劲1, 张文胜11. 东北大学 机械工程与自动化学院, 辽宁 沈阳 110819;
2. 西安交通大学 机械结构强度与振动国家重点实验室，陕西 西安 710049
收稿日期：2015-12-03
基金项目：国家自然科学基金与中国民用航空局联合资助项目 (U1433109)；中央高校基本科研业务费专项资金资助项目 (N140301001, N150305001)；机械结构强度与振动国家重点实验室开放课题 (SV2015-KF-08)。
作者简介：马辉 (1978-), 男, 河北安平人, 东北大学教授。
摘要：以裂纹悬臂梁系统为研究对象，基于ANSYS软件采用梁单元、平面单元和接触单元，建立了一个直裂纹梁有限元模型.利用接触单元模拟裂纹的呼吸效应，并通过与文献测定的固有频率对比验证了模型的有效性.基于所提的模型，分析了冲击激励与正弦激励下，摩擦对系统振动特性的影响；在忽略摩擦的情况下，分析了系统阻尼比及固有频率随裂纹深度和裂纹位置的变化规律.研究结果表明：裂纹处的界面摩擦对系统振动影响不大, 阻尼比在一定的程度上可以作为诊断裂纹程度的依据.
关键词：呼吸裂纹摩擦阻尼比裂纹位置裂纹深度
Damping Characteristic Analysis of Cantilever Beam with Straight Crack
MA Hui1,2
, WU Shuang1, ZENG Jin1, ZHANG Wen-sheng11. School of Mechanical Engineering & Automation, Northeastern University, Shenyang 110819, China;
2. State Key Laboratory for Strength and Vibration of Mechanical Structures, Xi′an Jiaotong University, Xi'an 710049, China
Corresponding author: MA Hui, professor, E-mail: huima@me.neu.edu.cn
Abstract: Taking cracked cantilever beam system as the research project, a finite element model of straight-cracked cantilever beam was established on the basis of the ANSYS by using beam, plane and contact elements. The contact elements were used to simulate breathing effects of crack, and the effectiveness of the as-proposed model was verified by comparing with the natural frequency in the literature. Under impulsive and sinusoidal excitation, the effects of friction on vibration characteristics were analyzed based on the model. The change rules of system damping ratio and natural frequency with the crack depth and crack position were analyzed with ignoring friction. The results showed that the interface friction of crack has few effects on system vibration, and damping ratio could be used as a parameter of crack detection to some extent.
Key Words: breathing crackfrictiondamping ratiocrack locationcrack depth
裂纹不仅会引起结构局部刚度的变化，还会影响整个结构的机械特性，裂纹的出现与发展是整个机械结构故障的潜在危险.因此，研究裂纹结构的相关动力特性是十分必要的.在不损坏整体结构的前提下，可以通过裂纹结构的振动特性来进行诊断[1-2].Peng等[3]从频域角度提出了非线性输出频响函数 (NOFRFs) 的概念, 并将其用于裂纹结构的无损检测.此外，结构中裂纹的变化也会对阻尼产生一定的影响，即裂纹结构的阻尼特性可以对裂纹的严重程度进行标识和诊断.Panteliou等[4]从热力学的角度，研究了受交变轴向应力的单边裂纹梁的阻尼及阻尼比与系统振动的关系.Rezaee等[5]建立了一个单裂纹的简支梁模型，研究了系统阻尼比随着裂纹深度和裂纹位置的变化规律.Bovsunovsky等[6]建立了一种呼吸裂纹梁的有限元模型，研究了超谐共振下，阻尼对系统非线性响应的影响.裂纹的张开或呼吸会引起梁系统阻尼的增加，阻尼比是用于描述系统阻尼的一个特性参数.因此，可以通过系统阻尼比的变化来判断系统裂纹参数的变化，进而实现对裂纹结构的故障诊断.
本文基于文献[7]中模型的材料和几何参数，在ANSYS软件中建立了一种混合单元的直裂纹悬臂梁模型，并与文献[7]中实验测定的固有频率进行对比，验证了模型的有效性.在此模型的基础上，研究了冲击和正弦激励下，裂纹处界面摩擦对系统的影响；并且在摩擦可以忽略不计的情况下，分析了系统阻尼比和固有频率随裂纹深度及裂纹位置的变化规律.
1 直裂纹梁模型的建立本文研究了一个直裂纹悬臂梁，悬臂梁的长度L=300 mm，裂纹位置距离梁固定端的距离为d，直裂纹的深度为a，梁的截面尺寸为b×h=20 mm×20 mm.材料为结构钢12CrNi3A[8]，弹性模量E=206.6 GPa，泊松比为0.3，密度为7 850 kg/m3，加载点如图 1b所示.考虑到全部使用平面单元建模会降低计算效率，因此，本文基于ANSYS软件，采用平面单元Plane183模拟裂纹区域，如图 1a所示，裂纹区的局部细化可以提高计算精度；采用梁单元Beam188模拟远离裂纹的区域，可以提高计算效率.在Plane183与Beam188的连接位置采用绑定接触来保证结构的整体性.需要注意的是裂纹区域宽度w及比例阻尼项的选取，本文通过对开裂纹梁混合模型和平面单元模型的一阶弯曲固有频率的对比，选择裂纹区宽度w=20 mm，二者频率吻合较好 (见表 1)；瞬态计算设置比例阻尼项α=50, β=0[8].
图 1(Fig. 1)
 | 图 1 裂纹梁模型Fig.1 Finite element model of cracked cantilever beam (a)—梁和平面混合单元；(b)—模型示意图. |
表 1(Table 1)
 表 1 平面单元、混合单元模型与实验结果中固有频率的对比Table 1 Natural frequency comparison among plane element model, mixed element model and experimental results
| 表 1 平面单元、混合单元模型与实验结果中固有频率的对比 Table 1 Natural frequency comparison among plane element model, mixed element model and experimental results | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 直裂纹梁模型的验证呼吸裂纹的张开、闭合状态会导致裂纹梁的非线性现象.在一些实际应用中，系统会被认为是双线性的.当接近裂纹尖端的应力为正时，裂纹处于张开状态，否则，裂纹被视为闭合状态.无裂纹梁的固有频率为f1，开裂纹梁的固有频率为f2，呼吸裂纹梁的双线性固有频率f0为[9]
 | (1) |
3 裂纹悬臂梁系统阻尼特性分析本文讨论裂纹位置与裂纹深度对阻尼比的影响，通过施加2 kN的冲击力，冲击时间为0.02T0[10]，T0=1/f0，得到加载点的y向位移自由衰减振动曲线，见图 2a，并通过式 (2) 和式 (3) 确定呼吸裂纹梁的阻尼比ζ：
图 2(Fig. 2)
 | 图 2 冲击激励下有无摩擦对比图Fig.2 Response comparison considering friction under impulsive excitation (a)—时域图；(b)—频域图; (c)—无摩擦时接触应力以及局部放大图. |
 | (2) |
 | (3) |
3.1 摩擦对裂纹梁振动响应的影响基于所建的裂纹梁模型，在表 2所示的两种工况下，其时域、频域和接触应力如图 2和图 3所示.其中，t为载荷作用时间.计算100个周期，每个周期划分60个载荷步.值得指出的是，图 2b中二阶固有频率两侧出现了调制均匀的边频.这是由裂纹导致的周期性脉冲冲击力，在频谱上体现为固有频率两侧出现调制均匀的边频[11].
表 2(Table 2)
表 2 两种工况对比Table 2 Comparison of two cases
| 表 2 两种工况对比 Table 2 Comparison of two cases |
图 3(Fig. 3)
 | 图 3 正弦激励下有无摩擦对比图Fig.3 Response comparison considering friction under sinusoidal excitation (a)—时域图；(b)—频域图; (c)—无摩擦下接触应力图；(d)—无摩擦下接触应力放大图. |
图 2及图 3表明，针对裂纹悬臂梁，不论是正弦激励还是冲击激励，摩擦对其影响甚小，可以忽略不计.因此，后续的研究中都不考虑摩擦.图 2c和图 3c, 3d给出了无摩擦时，裂纹尖端、中间及末端的单元接触应力曲线及局部放大图 (单元位置见图 1a).
3.2 裂纹深度对阻尼比和固有频率的影响在p=0.27的情况下，研究s对阻尼比的影响.阻尼比的计算见式 (2) 和 (3)[12].其中双线性频率的计算见式 (1)，呼吸频率是通过冲击加载获得的.图 4表明呼吸频率与公式计算所得的双线性频率误差很小，因此，双线性频率可以近似代替呼吸频率.对于冲击激励下的自由衰减振动，关于峰值点的选取目前还没有固定标准，本文对峰值点的选取进行了讨论 (见图 5).
图 4(Fig. 4)
 | 图 4 固有频率随裂纹深度变化Fig.4 Natural frequencies under different crack depths |
图 5(Fig. 5)
 | 图 5 冲击激励下不同裂纹深度下的阻尼比Fig.5 Damping ratios of different crack depths under impulsive excitation (a)—A4~A6；(b)—A4~A8; (c)—A4~A10. |
首先，由于自由衰减振动初始时，振动波形不稳定，因此本文建议尽量推后几个周期开始选取峰值点，本文从第4个周期以后开始选取峰值点.图 5a表明，当选取相邻两个周期的峰值点 (第四周期和第六周期峰值点) 计算阻尼比时，阻尼比呈现较强的分散性，这是由于两个相近峰值相差较小，因此取点和计算值的误差较大，因此，适当地多间隔几个周期选取峰值点，计算得出的阻尼比的点集中度较好，如图 5b，5c所示.本文得到阻尼比的一些数据点，为了更好地预测阻尼比与裂纹深度的变化趋势，可以采用最小二乘多项式拟合得到阻尼比数据点的拟合曲线.
进行数据拟合时需要保证两点：①误差平方和越接近0，拟合曲线与数据点的误差越小；②确定系数越接近1，拟合度越好.据此，采用最小二乘法得到的三阶多项式来进行曲线拟合，拟合公式为y=a0+a1x+a2x2+a3x3，拟合曲线见图 5.图 5表明，随着裂纹深度的增加，系统阻尼呈现上升趋势，其变化情况与文献[4]的实验结果类似.
3.3 裂纹位置对阻尼比和固有频率的影响图 6给出了s=0.5时，裂纹梁的双线性频率和呼吸频率随裂纹位置p的变化曲线.从图中可以看出，双线性频率和呼吸频率相差不大.这再一次证明了用计算得到的双线性频率代替呼吸频率的合理性.阻尼比随裂纹位置的变化规律仍采用对数衰减率的方式计算，峰值点以及拟合曲线的选取见3.2所述.本节中，拟合曲线采用四阶多项式：y=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4.图 7再一次表明适当地多选几个周期计算阻尼比，其点的分布更集中，效果更好.且随着裂纹位置的偏移，阻尼比呈现先增加后减小的趋势.这是由于：无量纲裂纹位置为0时，代表无裂纹健康梁的情况，随着裂纹的产生，其阻尼比增加，然后，随着裂纹位置越来越远离固定端，裂纹梁的状态越来越接近于无裂纹的情况，阻尼比也会随之减小.
图 6(Fig. 6)
 | 图 6 固有频率随裂纹位置变化Fig.6 Natural frequencies under different locations |
图 7(Fig. 7)
 | 图 7 冲击激励不同裂纹位置下的阻尼比Fig.7 Damping ratios of different crack locations under impulsive excitation (a)—A4~A6；(b)—A4~A8; (c)—A4~A10. |
4 结论1)?无论是冲击激励还是正弦激励下，摩擦对系统振动响应的影响很小，研究中可以忽略不计.通过冲击激励确定的系统固有频率和计算得到的双线性固有频率吻合很好.
2)?随着裂纹严重程度的增加，系统的阻尼比呈现出递增趋势.利用呼吸裂纹梁的自由衰减振动曲线进行阻尼比的计算时，适当地增加衰减的周期数可以更好地计算系统阻尼比.采用多项式曲线拟合数据，可以更好地描述系统阻尼比随裂纹深度和位置的变化规律.
参考文献
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