具预警状态的单模块可修复系统的指数稳定性

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刘东旭^1,2, 王兰豪¹, 贾瑶¹, 张菁雯¹
1. 东北大学流程工业综合自动化国家重点实验室, 辽宁沈阳 110819;
2. 延边大学理学院, 吉林延吉 133002
收稿日期：2017-03-10
基金项目：国家自然科学基金资助项目(11461074)。
作者简介：刘东旭(1984-)，男，吉林省吉林市人，东北大学博士研究生，延边大学讲师。

摘要：研究了具有预警状态的单模块可修复系统, 将其动态变化过程用一组微分方程描述.通过选取适当的状态空间和系统算子的定义域, 将方程化为Banach空间中的抽象柯西问题.利用泛函分析和线性算子半群理论证明了系统具有严格占优的单重的0本征值, 说明系统的解满足渐近稳定性, 并求出其稳态解.随后通过研究系统主算子的谱分布, 证明了系统主算子的本质谱界为负.最后讨论了系统主算子在紧扰动下的本质谱界变化情况, 结果表明系统的动态解是指数稳定的.
关键词：C₀半群指数稳定性本质谱界紧算子扰动
Exponential Stability of Single-Module Repairable System with Warning State
LIU Dong-xu^1,2, WANG Lan-hao¹, JIA Yao¹, ZHANG Jing-wen¹
1. State Key Laboratory of Synthetical Automation for Process Industries, Northeastern University, Shenyang 110819, China;
2. College of Science, Yanbian University, Yanji 133002, China
Corresponding author: LIU Dong-xu, E-mail: 125025633@qq.com
Abstract: A kind of single-module repairable system with warning state was investigated, which can be expressed as a set of differential equations. By selecting the appropriate state space and the definition domain of the system operator, the equations were transformed into an abstract Cauchy problem in a Banach space. With the functional analysis method and linear operator semigroup theory, the eigenvalue 0 was proved to be the strictly dominant simple eigenvalue of the system. It shows the solution of the system is asymptotically stable. Then by studying the spectrum distribution of the main operator of the system, it was proved that the essential spectrum bound of the main operator of the system is negative. Finally, the variation of essential spectrum bound of the main operator under compact perturbation were discussed. The results demonstrate that the dynamic solution of the system is exponentially stable.
Key Words: C₀ semigroupexponential stabilityessential spectrum boundcompact operatorperturbation
单模块可修复控制系统的可靠性在生产过程中起着非常重要的作用，其是否稳定关系着整个生产流程能否正常运行.
本文研究的是一类具有预警状态的单模块分布参数系统.文献[1]建立了具有预警状态的单模块可修复系统的模型, 并用Laplace变换证明了系统的解的存在性.文献[2]利用算子半群理论证明了系统存在唯一的非负解, 从而证明了系统解存在且唯一.利用文献[2]的方法, 文献[3-5]证明了各自对象解的存在唯一性.文献[6-7]分析了相关系统在一定条件下的系统算子本征值分布.文献[8]利用上述结论, 证明了系统解的渐近稳定性, 即系统的动态解收敛于稳态解, 系统的瞬时可靠性收敛于系统的稳态可靠性.但由于系统算子难以整体分析, 因此文献[8]对系统的动态解收敛速度没有进行进一步讨论.为讨论系统解是否满足指数稳定性, 文献[9]尝试将系统算子进行拆分, 单独讨论了一类可修复系统主算子的性质.文献[10]讨论了一类排队论系统, 在文献[9]结论基础上利用算子半群的拟紧性、不可约性以及系统算子的伴随算子性质证明了研究对象满足时间依赖解的强收敛性和指数稳定性.但鉴于单模块可修复控制系统与排队论系统的区别, 即单模块可修复控制系统的修复目标是将系统彻底修复, 也就是修复到完好状态而不是预警状态或其他故障状态, 因此讨论系统算子生成的强连续半群的性质十分复杂, 文献[10]的方法难以对其进行讨论.本文利用文献[9-10]中的部分处理技巧和思想, 在文献[8]的结论基础上首先把系统算子分成两部分, 利用线性算子半群理论分析其主算子谱点分布, 以及在紧扰动后本质谱界的变化情况, 得到一般情况下系统算子谱点均位于左半开平面, 且本征值0为单重本征值, 进而证明此系统是指数稳定的.
1 系统模型描述根据文献[1], 该系统可能处于的状态共有4个, 分别用状态0~3表示.用t时刻系统处于每一个状态的概率来作为系统的状态变量.系统的状态转化过程如图 1所示.其中状态0指系统处于完好状态, 正常运行; 状态1为预警状态, 即系统有轻微故障, 但可以运行.一般认为系统性能在状态1时可以达到完好状态的70%以上, 系统处于此状态时即发出警报.由于系统仍可运行, 修复过程可在不影响系统正常工作时进行, 修复率为常数; 状态2表示系统由于故障而完全损坏或性能低于完好状态的70%.系统若处于此状态, 只能停止正常工作进行维修, 随着修复时间的增加, 修复的可能性也在增大; 状态3表示系统遇到不可抗外部因素而损坏, 发生可能性比状态2小, 但修复难度一般比状态2大, 因此损坏率和修复率都与状态2不同.λ_s(s=1, 2, 3, 4, 5)表示系统各状态的常数损坏率; μ, μ₂(x), μ₃(x)表示系统的修复率, x表示维修时间.设p_i(t)(i=0, 1)表示t时刻系统处于状态i的概率; p_j(t, x)(j=2, 3)表示t时刻系统处于状态j且维修时间为x的概率.p_i(t)(i=0, 1)和p_j(t, x)(j=2, 3)即为状态变量.
图 1(Fig. 1)

图 1 系统状态转换图Fig.1 Transition diagram of system state

根据文献[8], 此系统模型可以用如下方程描述:

(1)

考虑到模型的实际背景, 作如下假设：

并选取如下的状态空间：

对空间中任意元素y=(y₀, y₁, y₂(x), y₃(x))∈X, 按如下方式定义其范数:

因此空间(X, ‖·‖)显然是一个Banach空间.
令a₀=λ₁+λ₂+λ₅; a₁=λ₃+λ₄+μ, 则选取算子A和B及其定义域:

取D(B)=X.故式(1)可化成Banach空间X中的抽象柯西问题:

(2)

2 系统的指数稳定性2.1 系统的稳态解令(γI－A－B)P=0, 即

(3)

解式(3)可以得到

(4)

将式(4)代入方程(3)得到

因此方程(3)可以化为如下形式:

(5)

其中

.
方程(5)的系数行列式记为D(γ), 则

容易验证当γ=0时, D(γ)=0.即γ=0是系统的本征值.这时可解方程(5)的一组非零解P=(p₀, p₁, p₂(x), p₃(x))为

将上述解向量P作标准化处理, 取

得

(6)

取

.
由文献[8]如下定理成立.
定理1^[8]:
1) γ=0是系统的单重本征值.
2) {γ∈C|Reγ>0或γ=ia, a∈R, a≠0}?ρ(A+B).
其中，ρ(A+B)为算子A+B的正则集.
由定理1知, 由式(6)定义的P^*为系统的稳态解.
2.2 系统的谱分布定理2????对系统主算子A, 令c=min{λ₁, μ, c_j}, j=2, 3, 则当Reγ>－c时必有γ∈ρ(A), 且

.
证明????当Reγ>－c时, 取y=(y₀, y₁, y₂(x), y₃(x)), P=(p₀, p₁, p₂(x), p₃(x)), 令

(7)

由于Reγ>－c, 故γ≠－a_i, i=0, 1.解式(7)得

因此有

可以得到

这就意味着对任意满足Reγ>－c的γ, (γI－A)^－1:X→X是有界的, 所以γ∈ρ(A), 且满足

.
根据文献[11]中的Lumer-Phillips定理, 可以得到如下推论.
推论1????系统的主算子A生成一个C₀半群, 记为S(t).且存在某个ω满足c>ω>0, 使得‖S(t)‖≤e^－ωt, t>0.
注意到B是一个有限秩算子, 因此一定是紧算子.根据算子半群的扰动理论, 可以得到如下结论.
定理3????系统算子A+B生成一个C₀半群T(t).且满足‖T(t)P(0)－〈P(0), Q〉P^*‖≤Me^{(Reγ₁+δ)t}, t>0.
其中：Q=(1, 1, 1, 1)^T为X的共轭空间X^*中算子(A+B)^*的0特征值对应的特征向量^[12]；γ₁为系统算子A+B实部最大的非零特征值；δ与M为正常数, 且满足Reγ₁+δ < 0.
证明????由定理2可知, 系统主算子A的本质谱界S_ess(A) < －c.而由文献[13]可知, 紧算子的扰动不改变半群的本质谱界, 即S_ess(A+B) < －c.这就说明任意满足Reγ∈(－c, 0)的谱点γ, γ必是A+B的有限重孤立本征值.
取γ₁为系统算子A+B实部最大的非零特征值.设P(t, ·)为系统的动态解, 则根据半群的分解定理, 有

即‖T(t)P(0)－〈P(0), Q〉P^*‖≤Me^{(Reγ₁+δ)t}成立.
3 仿真实验在实际研究中, 主要关注系统的可靠性, 即系统能够正常工作的概率.此模型中的p₀(t)即为t时刻处于完好状态的概率, 一般称其为瞬时可靠性(IR), 它是重点被关注的可靠性指标.其下确界或最小值称为稳态可靠性(SR).
系统实际运行过程中, 从完好状态(状态0)转移到预警状态(状态1)的损坏率λ₁应该大于其他损坏率.而系统如果处于预警状态, 说明系统已经部分出现故障, 因此从预警状态到常规故障状态(状态2)的损坏率应该高于从完好状态直接到常规故障状态的损坏率, 即λ₄>λ₅.而系统由于火灾和地震等意外造成故障的可能性较低, 且系统无论处于完好状态还是预警状态, 系统发生意外的可能性均等, 即λ₂=λ₃.系统处于预警状态时对系统的修复为在线修复, 即系统在运行状态下适时维修, 故常数修复率μ一般应小于系统故障后离线维修的修复率均值.而系统遭遇意外造成的故障一般比常规故障更难修复, 故μ₃(x)的均值应小于μ₂(x)的均值.
基于上述分析, 取λ₁=0.5, λ₂=0.1, λ₃=0.1, λ₄=0.3, λ₅=0.2, μ=0.4, 将μ₂(x)和μ₃(x)取均值, 令μ₂=0.8, μ₃=0.6.
图 2中的仿真结果显示系统的瞬时可靠性p₀(t)以指数形式收敛到稳态解, 且稳态解即为其稳态可靠性.瞬时可靠性p₀(t)在t∈(0, +∞)上一直保持单调递减, 即有限时间内系统的瞬时可靠性始终大于稳态可靠性.
图 2(Fig. 2)

图 2 系统的瞬时可靠性和稳态可靠性Fig.2 Instantaneous reliability and steady-state reliability of the system

4 结论为分析具预警状态的单模块可修复系统的稳定性，本文将系统算子拆成两个算子之和.利用线性算子半群理论证明其中一个算子生成C₀半群，且谱点均在左半平面.而另一个算子为紧算子，因此两个算子之和依然生成C₀半群.根据半群紧扰动理论可以证明0为系统算子的单重本征值，并且虚轴左侧一个带状区域内只有有限个孤立本征值.从而利用算子半群的分解定理，证明系统的动态解以指数形式收敛于系统的稳态解，即系统满足指数稳定性.后续工作将讨论当修复率变化时系统瞬时可靠性的动态及稳态性能.
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