马树军, 玄航, 孙嘉蔚, 杨磊
东北大学 机械工程与自动化学院, 辽宁 沈阳 110819
收稿日期：2017-05-05
基金项目：国家自然科学基金资助项目(51505076)；辽宁省自然科学基金资助项目(2015020105)；中央高校基本科研业务费专项资金资助项目(N140304010，N150308001)；辽宁省高等学校创新团队(LT2014006)。
作者简介：马树军(1982-)，男，河北保定人，东北大学副教授。

摘要：借用欧拉-伯努利梁理论推导并计算出微悬臂梁在真空中的共振频率, 根据非黏性理论经典模型分别计算出微悬臂梁在不同密度的流体中的共振频率.然后在有限元软件ANSYS(16.0)仿真环境下, 采用solid45-fluid30和shell63-fluid30两种单元组合建立微悬臂梁在流体域中的三维模型并进行模态分析.最后将仿真结果与相关研究者已发表的实验与理论数据进行对比, 在此基础上通过实验来验证新型有限元模型的正确性.通过有限元和实验的方法进一步验证了非黏性流体的密度是影响微悬臂梁共振频率变化的主要因素.
关键词：非黏性流体ANSYS模态分析共振频率动态特性
Modeling and Simulation of Micro-cantilever Vibrating in Inviscid Fluid Domains
MA Shu-jun, XUAN Hang, SUN Jia-wei, YANG Lei
School of Mechanical Engineering & Automation, Northeastern University, Shenyang 110819, China
Corresponding author: MA Shu-jun, E-mail: mashujun@me.neu.edu.cn
Abstract: Based on the Euler-Bernoulli beam theory, the resonant frequency of micro-cantilever in vacuum was derived and calculated, then the resonant frequency of micro-cantilever in fluids with different density was calculated according to the classical non-viscous theoretical model. In the finite element software ANSYS (16.0) simulation environment, the solid45-fluid30 and shell63-fluid30 units were used to establish a three-dimensional model of micro-cantilever in the fluid domain and modal analysis was also performed. Finally, the simulation results were compared with the experimental and theoretical data reported by other researchers. Besides, experiments were done to verify the correctness of the finite element model. The theory that density of inviscid fluid is the main factor affecting the resonant frequency of micro-cantilever, is further verified by the finite element method and experimental method.
Key words: inviscid fluidANSYSmodal analysisresonance frequencydynamic properties
MEMS/NEMS(micro/nano- electro- mechanical system)传感器技术由于其微型化、智能化、成本低等优点, 被认为是继微电子之后又一个对国民经济和军事有重大影响的技术领域.在生物医学和机械工程等领域MEMS技术已经成为不可或缺的技术之一^[1].微悬臂梁又是MEMS传感器件的关键元件, 被广泛应用于液体、气体等流体环境^[2], 如微生物传感器(micro-biosensors)、微型开关(micro-switches)和微型共振器(micro-resonators)等^[3].由于MEMS传感器主要工作在流体环境, 所以流体阻尼(fluid damping)会影响关键元件——微悬臂梁的振动特性, 因而研究微悬臂梁在流体中的振动非常重要.相关研究可以通过微悬臂梁传感器在流体环境中共振特性的变化, 从而精确地计算出传感器所在流体的性能指标^[4-5].流体阻尼分为附加质量(added mass)和黏性阻尼(viscous damping)^[6].Sader指出当流体的雷诺系数Re?1时, 其黏度可认为非常小, 流体可近似为非黏性流体^[7-8].本文将对微悬臂梁在非黏性流体中的共振特性进行研究, 即研究附加质量对微悬臂梁共振特性的影响.在小黏性的流体环境下本文可以用非黏性模型代替黏性模型来提高计算效率.目前国内外研究者在微悬臂梁浸没于流体中振动方面着重于理论和实验.例如Xie等^[9]提出了非黏性流体的附加质量与微悬臂梁共振频率偏移的关系.Shabani等^[3]总结了微悬臂梁在非黏性不可压缩流体中的共振频率的变化情况.Rezazadeh等^[10]的研究表明在非黏性不可压缩流体中, 由于流体密度的增加导致了附加质量(added mass)的增加.目前的研究成果在有限元仿真模型方面缺乏足够的依据.本研究将建立一种新的流固耦合模型并进行实验, 对该模型的正确性进行验证.新的模型在保证精度基础上大大提高了计算效率, 对微悬臂梁传感器今后的制造和发展具有重要的参考价值和实际意义.
1 理论模型首先使用欧拉-伯努利梁理论来分析并推导悬臂梁的振动模型(见图 1)^[11].假设悬臂梁为等截面细长直杆, y=y(x, t)为曲线挠度, L, b, h分别为梁的长、宽和厚度, 线密度为ρ_l, 截面惯性矩为I(对于矩形梁I=bh³/12), 材料的弹性模量为E.
图 1(Fig. 1)

图 1 悬臂梁模型Fig.1 Cantilever beam model

对微元进行受力分析和化简，得到悬臂梁的运动方程为

(1)

(2)

(3)

通解为

(4)

(5)

(6)

悬臂梁的边界条件为

(7)

将式(7)代入式(5)化简得悬臂梁振动特征方程为

(8)

模态振型为式(9), 系数ζ见表 1.

(9)

表 1(Table 1)

表 1 βiL和ζiTable 1 βiL and ζi 阶数i 1 2 3 4 … i βiL 1.875 4.694 7.855 10.996 … (2i-1)π/2 ζi 0.734 1.109 0.999 1.000 … 1

表 1 βiL和ζi Table 1 βiL and ζi

求得振动角频率为

(10)

不同阶数的β_iL见表 1.共振频率为

(11)

由式(11)和式(9)可计算出悬臂梁在真空中每阶的共振频率和振型.引用Chu^[12]的微悬臂梁在非黏性流体中的模型理论, 可以计算出微悬臂梁在不同流体中的共振频率.该模型应满足五点基本假设:
1) 微悬臂梁在长度方向上是定截面的;
2) 微悬臂梁的长度L远大于宽度b;
3) 微悬臂梁的材料是各向同性的线性弹性体, 并且内部的摩擦影响可以被忽略;
4) 微悬臂梁振幅远小于在各个方向上的长度;
5) 非黏性流体是不可压缩的.

(12)

其中:ω_fluid和ω_vac分别是微悬臂梁在流体和真空中的角频率; ρ是流体密度; ρ_l是悬臂梁的线密度.
2 仿真建模本研究使用有限元仿真软件ANSYS(16.0)建立1个三维的微悬臂梁在流体中的非黏性模型, 如图 2所示.实体域与流体域的尺寸和材料参数都可以任意设定.为了验证文献[8]的结果, 本文选择的杨氏模量、泊松比和密度分别为170 GPa, 0.3, 2 320 kg/m³, 微悬臂梁的尺寸为197 μm×29 μm×2 μm, 使用shell63单元和fluid30三维流体单元分别做实体域与流体域.
图 2(Fig. 2)

图 2 流体域与实体域模型Fig.2 Model of the fluid and structure domains

在仿真微悬臂梁流固耦合时可以做二维模型plane42-fluid79^[13]和三维模型solid45-fluid30^[14], 而本文的shell63-fluid30模型的计算结果与solid45-fluid30模型结果非常接近.但是, 采用shell63单元可以减少计算时间.特别地, 当网格划分非常精细的时候, 用shell63单元代替solid45单元可以极大减少运算时间, 提高工作效率.使用电脑(处理器:Intel(R)core (TM) i7-6700 CPU @3.4 GHz, 8 GB内存)计算C2微悬臂梁流固耦合模型, solid45-fluid30模型用时96 s, shell63-fluid30模型用时59 s.
3 结果分析与讨论3.1 模型正确性的验证本文对非黏性模型进行了大量的仿真验证, 例如Sader^[7]通过改变流体性能参数(见表 2), 从而仿真出了微悬臂梁在丙酮、正丁醇、水和四氯化碳中的共振频率, 结果见表 3.
表 2(Table 2)

表 2 在20 ℃下各流体的参数Table 2 Parameters of each fluid at 20 ℃ 流体 ρ/(kg·m-3) c/(m·s-1) 空气 1.18 340 丙酮 785 1 192 正丁醇 805 1 212 水 997 1 460 四氯化碳 1 590 926

表 2 在20 ℃下各流体的参数 Table 2 Parameters of each fluid at 20 ℃

表 3(Table 3)

表 3 各种流体中C2微悬臂梁共振频率Table 3 Resonant frequencies of the C2 micro-cantilever in each fluid 流体域 fSader[13]/kHz fsolid45-fluid30/kHz 误差/% fshell63-fluid30/kHz 误差/% 丙酮 31.90 31.13 2.38 31.07 2.60 正丁醇 31.60 30.82 2.46 30.90 2.21 水 29.00 28.16 2.89 28.11 3.07 四氯化碳 23.70 22.91 3.18 23.01 2.91

表 3 各种流体中C2微悬臂梁共振频率 Table 3 Resonant frequencies of the C2 micro-cantilever in each fluid

从表 3可知, 新型有限元模型结果误差在3%左右, 可以认为仿真可靠性比较高.本文再根据Chu^[12]的非黏性理论对shell63-fluid30模型的正确性进行了验证, 见图 3.
图 3(Fig. 3)

图 3 ωfluid/ωvac与ρ/ρl的关系曲线Fig.3 Relations between ωfluid/ωvac and ρ/ρl

假设y=ω_fluid/ω_vac, x=ρ/ρ_l, 式(12)变为

(13)

该函数曲线为单调递减曲线(见图 3黑色曲线).图中的点分别代表微悬臂梁在不同流体中第一阶共振频率的仿真结果, 每一种流体对应的结果都标在曲线上.
3.2 共振频率的变化从图 4中可以看出，由于四氯化碳的密度最大, 该流体对微悬臂梁共振频率的影响最大, 可以认为流体密度对微悬臂梁共振频率的变化有很大影响.
图 4(Fig. 4)

图 4 各种流体中微悬臂梁的共振频率Fig.4 Resonant frequencies of the micro-cantilever in each fluid

3.3 共振模态的变化图 5为Sader的C2微悬臂梁在不同流体中的前4阶模态，本文用ANSYS软件进行模态分析并用Origin软件对微悬臂梁的前四阶模态进行归一化处理.
图 5(Fig. 5)

图 5 微悬臂梁在不同流体中共振模态Fig.5 Vibration modes of the micro-cantilever in different fluid (a)—一阶模态；(b)—二阶模态；(c)—三阶模态；(d)—四阶模态.

图 5a~图 5d分别是微悬臂梁在真空、丙酮、正丁醇、水和四氯化碳中前4阶共振模态.可以看到流体随着密度的增加, 对微悬臂梁共振模态的影响随之增加, 并且随着阶数的增加, 流体阻尼对微悬臂梁的模态影响越来越大.因此流体的密度对微悬臂梁的共振模态有很大影响.
4 实验本文的实验装置包括真空系统、激光位移测量系统和显微观测系统.直径为210 mm圆柱形真空腔内真空度可达0.1 Pa.激光测量装置是基恩士公司的LK-G5000型位移传感器, 分辨率能够达到0.005 μm, 采样频率最大能达到392 kHz.显微观测装置为E-M5Ⅱ型全幅相机和50倍物镜组成.实验原理和实验装置见图 6~图 8.本套设备可以实时测量在不同真空度下的微悬臂梁样品的振动位移, 然后通过FFT变换, 转变成频谱图.图 9为微悬臂梁样品在不同压强下的一组频谱图.
图 6(Fig. 6)

图 6 实验原理图Fig.6 Schematic diagram of the experiment

图 7(Fig. 7)

图 7 实验装置Fig.7 Experiment facility

图 8(Fig. 8)

图 8 真空腔Fig.8 Vacuum chamber

图 9(Fig. 9)

图 9 微悬臂梁样品在不同压强下的频谱Fig.9 Micro-cantilever vibration spectrum under different pressures

本文通过实验验证有限元模型的正确性, 从表 4中可以看出实验结果与有限元结果相差在5%以内, 可以认为实验较为成功, 也验证了本文新型有限元模型的正确性.
表 4(Table 4)

表 4 微悬臂梁样品共振频率的实验与FEM结果对比Table 4 Comparison of experiment and FEM results of resonance frequency for the micro-cantilever 真空度/MPa fFEM/Hz f实验/Hz 误差/% 0.1 2 998.8 2 878.6 4.01 0.05 3 003.8 2 894.0 3.66 0.01 3 006.1 2 901.2 3.49 0.001 3 008.5 2 908.8 3.31 0 3 028.8 2 971.6 1.89

表 4 微悬臂梁样品共振频率的实验与FEM结果对比 Table 4 Comparison of experiment and FEM results of resonance frequency for the micro-cantilever

5 结语本文新型有限元模型shell63-fluid30相比于传统的模型在保证精度的前提下将计算时间减少了39%, 通过对比其他研究者的理论数据证明了新型有限元模型的可行性和高效性.并用实验的方法进一步证实了非黏性流体的密度是影响微悬臂梁共振频率变化的主要因素这一结论.
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