潘宏刚¹, 袁惠群², 赵天宇¹, 王光定¹
1. 东北大学 机械工程与自动化学院, 辽宁 沈阳 110819;
2. 东北大学 理学院, 辽宁 沈阳 110819
收稿日期：2016-04-15
基金项目：国家自然科学基金重点资助项目(51335003)；国家自然科学基金资助项目(51275081);沈阳市科技计划高新技术产业发展与科技攻关计划项目(F13-01-21-00)。
作者简介：潘宏刚(1982-)，男，辽宁沈阳人，东北大学博士研究生;
袁惠群(1954-)，男，河北石家庄人，东北大学教授，博士生导师。

摘要：为了解决汽轮机叶轮受到汽流等激振作用时产生共振现象造成汽轮发电机组动静碰摩等故障, 甚至更为严重的机组事故问题, 本文基于共振法原理, 对汽轮机模拟叶轮进行调频激振, 提出一种以布置于叶轮上的细沙来表示模拟叶轮振型的模态测试实验分析方法, 并将实验振型与解析计算和有限元计算结果进行对比分析, 验证实验可靠性.研究表明, 应用所提的实验方法可以直观准确地反映汽轮机模拟叶轮的振型, 分别为轮盘系统的振动特性分析与制造加工提供实验基础与技术支持.
关键词：叶轮振型模态分析共振法有限元分析振型测试
Modal Testing Experiment Based on Simulation Impeller of Turbine
PAN Hong-gang¹, YUAN Hui-qun², ZHAO Tian-yu¹, WANG Guang-ding¹
1. School of Mechanical Engineering & Automation, Northeastern University, Shenyang 110819, China;
2. School of Sciences, Northeastern University, Shenyang 110819, China
Corresponding author: YUAN Hui-qun, E-mail: yuan_hq@163.com
Abstract: To solve the problem of turbine stator rub and even serious accident arising from the excitation resonance, frequency modulation excitation of a simulated turbine impeller was carried out based on the resonance principle. An experimental analytic approach is presented by arranging fine sand on impeller to simulate the vibration mode of impeller. Comparing with the finite element calculation, the results show that this experimental method can intuitively and accurately reflect the vibration of simulated turbine impeller. It may provide technical support and experiment basis for the vibration characteristic analysis and manufacturing process of the roulette system.
Key Words: impeller vibration typemodal analysisresonance methodfinite element analysisvibration type test
汽轮机叶轮是汽轮机转子的重要组成部分, 对其结构设计及安全稳定性要求比较高.随着现代火电机组高参数、大容量、集中控制程度高等特点, 叶轮的安全稳定运行显得尤为重要, 要避免因汽流激振频率与叶轮固有频率相等而产生共振，造成设备损坏.如能准确地掌握汽轮机叶轮的固有频率及振型, 则有利于叶轮设计加工, 尽可能地避免事故产生.
国内外对汽轮机叶轮系统模态分析进行了大量的研究.孙义冈等^[1]采用两种有限元分析方法对汽轮机叶轮进行了模态分析, 得出汽轮机整个轮系的模态频率和振型, 并对汽轮机叶轮进行安全性评价.李德源等^[2]对600 kW风力机旋转风轮振动模态进行数值分析, 分析了影响固有频率的主要因素, 比较了叶片固有频率对叶片材料各向异性动力刚化效应的敏感程度.白静^[3]采用频谱分析法进行了单个叶片的静频率测量, 测量的结果与实际结果比较吻合, 但是测量需要对同一点多次测量取其平均值, 可能对测量结果产生一定的误差.文献[4]用锤击法对自由态的薄壳模态振型进行测试，获得绝大部分振型, 但对个别频率振型较难辨识.文献[5]用锤激法对某自由状态的薄壁圆管型结构模态进行振型测试, 发现SIMO及MISO实验方法出现漏频, 不能获得明显振型.文献[6]用激振法进行模态测试, 认为传统激振方式存在激励能量不可控及附加刚度、质量影响等问题, 造成长圆柱壳特定频段内模态较难激励.韩清凯等^[7-8]利用单点激光旋转扫描, 以共振频率激励的方法进行薄壁圆柱壳模态振型测试, 测量结果比较理想, 但是在薄壁圆柱壳本身不能直观地观察出其振型.Bidinotto等^[9]对航空发动机简单模型利用激光激振器在一点激振, 同时利用红外检测技术检测热变形, 从而得出模型的模态振型.Bando等^[10]采用锤击实验方法对圆盘进行自然频率测量, 并与能量方程的算法进行比对.Irretier等^[11]通过非接触对称圆盘进行模态分析, 得出模态频率受离心力、旋转力和空气阻力影响的结论.Dubas等^[12]用有限元建立了等参数壳体模型, 并计算了自然频率和水轮机转轮的振型.上述研究主要基于有限元技术对轮盘系统进行分析, 另外实验研究多采用锤击方式, 锤击方法需要多次锤击同一点计算平均值, 对其实验结果会产生一定的误差, 且轮盘系统的振型表现不能直观地体现出来.本文根据600 MW汽轮机末级叶轮按比例10:1加工缩小模拟叶轮, 采用激振法使模拟叶轮按不同频率振动, 提出通过轮盘上细沙的形状展现汽轮机模拟叶轮的振型, 将实验结果与解析解和有限元分析结果进行比对分析, 验证实验可靠性.
1 模态测试实验原理及装置1.1 实验原理模拟叶轮振型测试实验原理图如图 1所示.利用共振法原理, 激振信号通过信号发生器的功率输出端经功率放大器的放大处理, 利用激振器对叶轮进行激振, 信号发生器的输出功率可调, 从而控制叶轮激振频率的大小, 拾振器把模拟叶轮的振动频率输入示波器的X通道, 信号发生器输出的频率信号输入示波器的Y通道, 当模拟叶轮发生共振时, 在示波器上显示出对应的李莎茹图形.叶轮的各阶振型可以通过均匀布置于模拟叶轮上的细沙直观地表现出来.
图 1(Fig. 1)

图 1 模拟叶轮振型测试实验原理图Fig.1 Schematic diagram of the modal impeller test

激振器以不同频率激发模拟叶轮振动, 激振力由作用点向四周传播, 当激振力频率等于模拟叶轮各阶自振频率时, 两波在激振点对径处相遇, 两波相位相同, 各自再继续传播时, 使各处振幅相互叠加, 出现最大振幅处和振幅为零处, 振幅为零处即形成节径(线)或者节圆.节径(线)或者节圆在叶轮上的表现可以通过细沙的运动来展现.
1.2 实验装置模拟叶轮振型测试实验装置如图 2所示, 主要由模拟叶轮、信号发生器、功率放大器、激振器、拾振器、示波器、细沙等组成^[13-14], 其主要特征参数如表 1所示.其中模拟叶轮按照现场600 MW火电机组末级叶轮的尺寸等比例缩小加工的, 外径500 mm, 内径50 mm, 厚度10 mm, 外缘10 mm处厚度为14 mm的轴对称圆盘系统.激振器采用顶针式激振方式在模拟叶轮的外缘进行激振, 拾振器采用非接触方式安装, 安装间隙为5 mm.模拟叶轮上的细沙经过仔细筛选, 颗粒直径小于1 mm.
图 2(Fig. 2)

图 2 模拟叶轮振型测试实验装置Fig.2 Experiment device of the modal impeller test

表 1(Table 1)

表 1 实验装置主要特征参数Table 1 Main characteristic parameters of experimental apparatus 设备名称 型号 尺寸(长×宽×高)/mm 使用范围/kHz 主要特点 信号发生器 SFG-1023 251×291×91 0~3 000 三种输出波形, 5 W功率输出可调 功率放大器 GF200-4 440×370×160 0~10 具有信号削波、过流、过温保护指示 激振器 JZQ20 190×190×175 0~2 最大激振力10 kg, 激励振幅±5 mm 拾振器 电磁线圈 80×80×60 0~2 功率200 W, 采用非接触式安装 示波器 GOS-620 310×455×150 0~20 000 双通道、ALT触发, 高感度、频宽20 MHz

表 1 实验装置主要特征参数 Table 1 Main characteristic parameters of experimental apparatus

2 叶轮模态解析计算模型在极坐标系中, 面上任一点可用(r, θ)作为坐标, 若取z为垂直板中面方向坐标, 以向下方向为正, 位移u沿r方向, 位移v沿θ方向, 位移w沿z方向, 中面挠曲函数为w(r, θ, t).则在极坐标系中叶轮横向振动的基本微分方程^[15]为

(1)

式中, 极坐标拉普拉斯算子
极坐标系下叶轮振动方程的齐次式, 即

(2)

设方程(2) 的解为

(3)

将其代入方程(2), 振型W(r, θ)应满足

(4)

式中α⁴=ω²ρh/D, 则振型函数可写为

(5)

又设振型W(r, θ)=R(r)Φ(θ), 将其代入方程(5) 可得

(6)

(7)

由式(7) 可得

(8)

则式(8) 中的二阶常系数微分方程以及Bessel方程的解为

(9)

式中, J_m, Y_m, I_m, K_m分别为m阶第一、二类及第一、二类修正贝塞尔函数.将式(9) 代入所设振型W(r, θ)=R(r)Φ(θ)中, 可得基本方程(4) 的一般解为

(10)

其中, 系数A_m, B_m, C_m, D_m, A_m′, B_m′, C_m′, D_m′由边界条件确定.
设圆环薄板外边界r=a、内边界r=b.式(10) 为其振型的一般解, 现仅考虑以θ=0轴为对称的振型, 则圆环薄板的振型解为

(11)

当圆环板外边自由、内边固定时, 叶轮模型的4个边界条件为
将式(11) 代入到上述边界条件中, 由系数行列式等于0, 可得频率方程, 进而求出频率系数α_mna.由λ_mn=α_mna可计算出第(m, n)阶圆频率:
式中:m代表振型的节径数; n代表振型的节圆数.
3 基于有限元叶轮模态分析3.1 有限元模型建立模拟叶轮为轴对称结构, 首先建立叶轮截面的几何模型, 然后进行网格划分, 最后通过截面的有限元网格旋转扫掠出整个模拟叶轮的有限元模型.根据测量实体叶轮材料的密度和刚度来定义模拟叶轮的单元属性, 模拟叶轮材料为45号钢, 弹性模量E=2.1×10¹¹ Pa, 泊松比μ=0.3, 密度ρ=7 850 kg/m³.模拟叶轮整体有限元模型如图 3所示, 根据实验台的安装条件, 其边界条件定义为在模拟叶轮盘心处节点的轴向和周向位移固定, 同时径向位移自由.
图 3(Fig. 3)

图 3 模拟叶轮整体几何模型及网格划分Fig.3 Mesh and geometric model of whole simulation impeller

3.2 模态计算结果根据上述模型及方法进行有限元分析, 求解出模拟叶轮的固有频率及模态振型, 前16阶模态振型如图 4所示.
图 4(Fig. 4)

图 4 模拟叶轮前16阶模态振型Fig.4 First 16 order modal shape of simulation impeller

由图 4可以看出有些频率值相同或者成比例, 这是由于轮盘结构和边界条件都是对称的, 会出现振型和频率相同但相位不同的情况.由于模拟叶轮的轴对称性, 其振动模态往往存在固有频率非常接近但振型不同的模态对即重根模态.模态1和2, 模态4和5, 模态6和7, 模态10和11, 模态12和13, 模态14和15等皆出现了频率相同、振型不同的重根模态, 这反映了重根模态振型具有相同振动形式、而振动方向不同的特点.
4 实验结果与分析4.1 实验振型测试结果将细沙均匀洒在水平放置的模拟叶轮上, 调节信号发生器, 从小到大缓慢地增加输出频率, 使激振器以一定的激振频率激励叶轮, 直至模拟叶轮上出现清晰稳定沙形为止, 记录此时沙形振型.继续增大信号发生器输出频率, 直至得出多组振动沙形的振型.此沙形通过由大振幅区振动的细沙流入最小振幅区或静止区而形成节线或者节圆, 实验振型m=2, 3, 4, 5四种的沙形如图 5所示.
图 5(Fig. 5)

图 5 实验振型m=2, 3, 4, 5沙形图Fig.5 Sand charts of experimental modal with m=2, 3, 4 and 5, respectively (a)—m=2；(b)—m=3; (c)—m=4; (d)—m=5.

4.2 实验结果分析模拟叶轮实验沙形频率与解析计算频率和有限元计算频率比较如表 2所示.三者对应的模态阶数与频率之间的曲线关系如图 6所示.通过表 2中数据和图 6的曲线得到如下结论:
图 6(Fig. 6)

图 6 解析计算和模态计算与实验测量模态阶数与频率关系Fig.6 Modal order and the frequency curve for analytic, modal calculation and experimental measurement

表 2(Table 2)

表 2 模拟叶轮实验沙形频率与解析计算频率和有限元计算频率结果比较Table 2 Comparison of the results for simulated impeller sand frequency, analytic and finite element calculation frequency 变量 节线m=1 节线m=2 节线m=3 节线m=4 节线m=5 实验沙形频率/Hz — 194.5 462.1 837.9 1 329.6 解析计算频率/Hz 90.7 213.8 497.2 887.1 1 386.6 有限元计算频率/Hz 88.998 200.251 467.163 848.601 1 343 解析与实验误差/% — 9.02 7.05 5.55 4.1 有限元与实验误差/% — 2.96 1.10 1.28 1.01

表 2 模拟叶轮实验沙形频率与解析计算频率和有限元计算频率结果比较 Table 2 Comparison of the results for simulated impeller sand frequency, analytic and finite element calculation frequency

1) 解析计算和有限元计算得到的叶轮固有频率比实验测量频率略大.实验测量时, 模拟叶轮内孔约束程度没有解析计算和模态分析的约束理想, 导致实验模拟叶轮刚度减少, 致使测量的固有频率比模态计算略小.
2) 解析计算和有限元计算与实验结果基本吻合, 验证了该实验的准确性.
3) 实验测量只能测得m=2, 3, 4, 5节线振型, 因为实验采用单点激振法, 且模拟叶轮厚度相对模拟叶轮直径较大, 模拟叶轮强度大, 很难出现节圆现象, 所以加工叶轮时可以有针对性地计算出叶轮的最佳厚度和形状.
4) 当模拟叶轮处于节线振动时, 模拟叶轮对称位置的振幅一致, 所以通常叶轮开平衡孔都不是偶数而是奇数(5个或者7个), 避免受集中应力导致模拟叶轮裂纹及损坏.
5) 当模拟叶轮处于模态频率下时, 模拟叶轮边缘对称部位的振幅明显增大, 其上连接的叶片的振幅将明显增大, 会造成机组动静碰摩, 长时间振动下去将导致轮盘系统疲劳变形甚至损坏.
5 结语本文以汽轮机叶轮共振导致机组事故为出发点, 提出一种以布置于叶轮上的细沙来表示模拟叶轮振型的模态测试实验分析方法, 准确直观地演示了叶轮机模拟叶轮振型的表现过程, 并将实验振型与计算模态进行对比分析, 验证了结果的准确性与实验的可靠性, 为汽轮机叶轮乃至旋转机械模拟叶轮系统振动分析与加工制造提供了重要的实验基础与研究方法.
参考文献

[1]	孙义冈, 余恩荪. 汽轮机叶轮振动分析[J].发电设备, 2006(2): 89–93. ( Sun Yi-gang, Yu En-sun. Vibration of steam turbine discs[J].Power Equipment, 2006(2): 89–93.)
[2]	李德源, 叶枝全, 包能胜, 等. 风力机旋转风轮振动模态分析[J].太阳能学报, 2004, 25(1): 72–77. ( Li De-yuan, Ye Zhi-quan, Bao Neng-sheng, et al. Vibration modal analysis of the rotating rotor of horizontal axis wind turbine[J].Acta Energiae Solaris Sinica, 2004, 25(1): 72–77.)
[3]	白静. 透平叶片固有频率和振型的测试方法分析[J].新技术新工艺, 2011(8): 90–93. ( Bai Jing. Analysis of test method for natural frequency and vibration mode of turbine blade[J].New Technology & New Process, 2011(8): 90–93.)
[4]	张新玉, 张文平, 李全, 等. 圆柱形薄壳结构的试验模态分析方法研究[J].哈尔滨工程大学学报, 2006, 27(1): 20–25. ( Zhang Xin-yu, Zhang Wen-ping, Li Quan, et al. Experimental modal analysis method of cylindrical thin shells structures[J].Journal of Harbin Engineering University, 2006, 27(1): 20–25.)
[5]	Farshidianfar A, Farshidianfar M H, Crocker M J, et al. Vibration analysis of long cylindrical shells using acoustic excitation[J].Journal of Sound and Vibration, 2011, 330(14): 3381–3399.DOI:10.1016/j.jsv.2011.02.002
[6]	Lee Y S, Yang M S, Kim H S, et al. A study on the free vibration of the joined cylindrical spherical shell structures[J].Computers & Structures, 2002, 80(27): 2405–2414.
[7]	李晖, 孙伟, 张永峰, 等. 约束态薄壁圆柱壳固有频率的精确测试[J].东北大学学报(自然科学版), 2013, 34(9): 1314–1318. ( Li Hui, Sun Wei, Zhang Yong-feng, et al. Accurate test of natural frequency of constrained thin cylindrical shell[J].Journal of Northeastern University(Natural Science), 2013, 34(9): 1314–1318.)
[8]	李晖, 孙伟, 徐凯, 等. 基础激励频域带宽法辨识悬臂薄板结构的阻尼特性[J].中国机械工程, 2014, 25(16): 2173–2178. ( Li Hui, Sun Wei, Xu Kai, et al. Damping characteristics of thin cantilever plate structure identified by frequency bandwidth method of base excitation[J].China Mechanical Engineering, 2014, 25(16): 2173–2178.DOI:10.3969/j.issn.1004-132X.2014.16.008)
[9]	Bidinotto J H, Belo E M. Modal shape analysis using thermal imaging[J].Journal of Aerospace Technology and Management, 2015, 7(2): 185–192.DOI:10.5028/jatm.v7i2.450
[10]	Bando S, Hino J, Akagi R, et al. Relationship between in-plane stress and modal shape of disk[J].Journal of System Design and Dynamics, 2011, 5(7): 1498–1507.DOI:10.1299/jsdd.5.1498
[11]	Irretier H, Reuter F. Experimental modal analysis of rotating disk systems[J].American Society of Mechanical Engineers, 1995(84): 1201–1206.
[12]	Dubas M, Schuch M. Static and dynamic calculation of a francis turbine runner with some remarks on accuracy[J].Computers and Structures, 1987, 27(5): 645–655.DOI:10.1016/0045-7949(87)90081-2
[13]	潘宏刚, 徐有宁. 汽轮机模拟叶轮振型测试实验装置: 201310328786. 5[P]. 2015-12-23. ( Pan Hong-gang, Xu You-ning.Steam turbine vibration simulation of impeller type test experiment device:201310328786.5[P].2015-12-23.)
[14]	潘宏刚, 易东来, 杜彭飞, 等. 汽轮机叶轮振动实验装置研发[J].沈阳工程学院学报(自然科学版), 2013, 9(4): 314–316. ( Pan Hong-gang, Yi Dong-lai, Du Peng-fei, et al. Research and development on experimental equipment for steam turbine impeller vibration[J].Journal of Shenyang Institute of Engineering(Natural Science), 2013, 9(4): 314–316.)
[15]	曹志远. 板壳振动理论[M]. 北京: 中国铁道出版社, 1989: 69-75. ( Cao Zhi-yuan. Theory of plate and shells vibration[M]. Beijing: China Railway Press, 1989: 69-75.)