, 常佳豪1, 胡蓝2, 王林泉31. 清华大学 机械工程系, 北京 100084;
2. 上海航天设备制造总厂有限公司, 上海 200245;
3. 上海拓璞数控股份有限公司, 上海 201100
收稿日期：2020-11-09
基金项目：国家重大科技专项（2019ZX04025001）
作者简介：陈彦羽(1997-), 男, 博士研究生
通讯作者：关立文, 研究员, E-mail: guanlw@tsinghua.edu.cn
摘要：五轴联动机床的动态性能不仅取决于各单轴伺服进给系统动态特性，各轴之间的动态特性是否匹配也对其有着显著影响。该文针对具有刀具绕中心点旋转（RTCP）功能的AC型双摆头五轴联动铣床，提出了一种通过圆度测试法进行多轴间伺服匹配以提高机床整体动态精度的优化方法。该方法在选取了合理的匹配对象后，可在有效降低用于搭建各单轴机电耦合系统成本的同时保证系统较高的整体动态精度。首先基于该装有AC双摆头的五轴联动铣床的整体结构进行机构运动学分析，基于机床整体结构对其各轴伺服进给系统进行机电耦合建模并在SIMULINK中搭建各轴模型；接着基于RTCP功能设计了一条多轴参与运动的特定轨迹，对各轴在该运动轨迹下的运动关系进行分析；通过合理选择匹配对象，基于圆度测试法对X、Y、Z三轴两两轴间进行伺服匹配；而后基于SIMULINK模型，对优化前后机床在特定轨迹下运动的整体动态性能进行仿真对比。结果表明：在该优化方法下，几乎不需要提高伺服进给系统搭建成本，系统就可达到较高的整体动态性能。
关键词：五轴联动机床机电耦合伺服匹配
Optimization of servo matching for a five-axis machine tool based on the RTCP function
CHEN Yanyu1, GUAN Liwen1
, CHANG Jiahao1, HU Lan2, WANG Linquan31. Department of Mechanical Engineering, Tsinghua University, Beijing 100084, China;
2. Shanghai Aerospace Equipment Manufacturing General Factory, Shanghai 200245, China;
3. Shanghai Topu CNC Technology Co., Ltd., Shanghai 201100, China
Abstract: The performance of a five-axis machine tool not only depends on the dynamic characteristics of each single-axis servo feed system, but also how well the dynamic characteristics of each axis are matched. An optimization method is developed for A/C axes included precision five-axis machine tools with the rotation tool center point (RTCP) function using multi-axis servo matching based on roundness testing to improve the overall machine accuracy. This method uses matched single-axis servo feed systems to reduce the cost of building each single-axis electromechanical coupling system while ensuring the dynamic accuracy. A kinematics analysis of the machine tool structure is used to build an electromechanical coupling model for each axis servo feed system that is implemented in SIMULINK. Then, a specific trajectory is designed for the RTCP function to analyze the motion relationships for each axis for the trajectory. The method is evaluated by selecting matching single-axis servo feed systems for servo matching between three linear axes of X, Y, and Z based on the roundness test method. The SIMULINK model is then used to compare the dynamic performance of the machine tool before and after optimization for the specific trajectory. The results show that this optimization method improves the machine dynamics with little cost for each single-axis servo feed system.
Key words: five-axis machine toolelectromechanical couplingservo matching
随着近年来与高速转轴相结合的五轴联动机床在高精密的复杂曲线加工中应用越来越广泛，其刀头的动态精度与整体的动态性能也成为国内外科研工作者重视的研究热点之一[1-3]。
伺服进给系统性能的高低对于数控机床的动态性能与加工精度具有重要影响[4-5]。对伺服进给系统的机电耦合建模主要有两种方式：1) 在未知系统具体结构的条件下通过辨识来获得整体宏观上的系统模型[6-8]；2) 在已知系统理论结构的条件下直接建立系统模型[9-11]。
目前针对五轴联动机床伺服进给系统的研究主要集中在各单轴伺服进给系统导致跟踪误差的原因及其对最终加工精度的影响[12-14]，而对于各单轴之间伺服匹配关系对最终加工精度的影响的研究却非常匮乏[15]。伺服匹配是指当参与插补曲线加工的伺服轴数量为2个或2个以上时，对参与轴基于伺服控制参数进行联动性能优化与调整。这种基于已有的机械结构与控制设备进行的优化与调整仅需改变内部参数，因此比其他优化方法成本大幅度降低，具有十分重要的工程意义。
在伺服匹配方面，对于两轴间的伺服匹配优化已有较为成熟的伺服插补圆度测试法，但对于多轴参与运动的机械系统如五轴联动机床等尚未有成熟、系统的伺服匹配优化方法。本文提出了一种基于圆度测试法的多轴间伺服匹配优化方法，从机床整体结构、各轴负载及运动关系出发，对各轴的伺服控制参数进行调整优化。本文提出的方法可行性强，且仿真结果验证了其优化的有效性。
1 五轴联动铣床三维模型1.1 机床整体结构描述由AC型双摆头五轴联动铣床实际整体结构简化所得的三维模型如图 1所示。X轴导轨与工作台均与床身固连，X方向两边导轨各有一驱动系统同时对Y轴横梁及其上负载进行驱动，Y轴、Z轴、A轴及C轴上负载均由单一驱动系统进行驱动。
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| 图 1 (网络版彩图)机床实际结构简化三维模型 |
| 图选项 |
该装有AC双摆头的五轴联动铣床的三维原理图如图 2所示。首先，建立工件坐标系。以工作台中心点Op作为坐标系原点，以过该点竖直向上的工作平面法向量为z轴，以过该点的Y轴横梁平行向量为y轴，由右手定则确定x轴。考虑到工作台与床身固连，工件坐标系也作为该系统的惯性坐标系。
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| 图 2 五轴联动铣床三维原理图 |
| 图选项 |
然后，分别建立X、Y、Z 3个方向上的导轨-滑块坐标系。分别取X、Y、Z方向导轨中心轴线一端端点为坐标系原点Ox、Oy、Oz，3坐标系下的x、y、z轴正方向均与工件坐标系相同。
最后，建立A、C两旋转轴坐标系。取摆头顶端平面中心点为坐标原点Oc，x、y、z轴正方向与工件坐标系相同；取C轴回转轴线与A轴回转轴线交点为A轴坐标系原点Oa，x轴正方向沿刀主轴轴线方向，y轴正方向沿A轴回转轴线方向，z轴正方向由右手定则确定。
1.2 理想运动变换矩阵设a坐标系下一点坐标转换到b坐标系下的齐次变换矩阵为
| ${ }_{A}^{P} \boldsymbol{T}={ }_{X}^{P} \boldsymbol{T}_{Y}^{X} \boldsymbol{T}_{Z}^{Y} \boldsymbol{T}_{C}^{Z} \boldsymbol{T}_{A}^{C} \boldsymbol{T} .$ | (1) |
| ${ }_{Z}^{Y} \boldsymbol{T}=\left[\begin{array}{cccc}1 & 0 & 0 & \Delta x_{z y} \\0 & 1 & 0 & y+\Delta y_{z y} \\0 & 0 & 1 & \Delta z_{z y} \\0 & 0 & 0 & 1\end{array}\right],$ |
| ${ }_{Y}^{X} \boldsymbol{T}=\left[\begin{array}{cccc}1 & 0 & 0 & x+\Delta x_{y x} \\0 & 1 & 0 & \Delta y_{y x} \\0 & 0 & 1 & \Delta z_{y x} \\0 & 0 & 0 & 1\end{array}\right],{ }_{X}^{P} \boldsymbol{T}=\left[\begin{array}{cccc}1 & 0 & 0 & \Delta x_{x p} \\0 & 1 & 0 & \Delta y_{x p} \\0 & 0 & 1 & \Delta z_{x p} \\0 & 0 & 0 & 1\end{array}\right],$ |
| ${ }_{C}^{Z} \boldsymbol{T}=\left[\begin{array}{cccc}1 & 0 & 0 & \Delta x_{c z} \\0 & 1 & 0 & 0 \\0 & 0 & 1 & z+\Delta z_{c z} \\0 & 0 & 0 & 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{cccc}\cos \theta_{c} & -\sin \theta_{c} & 0 & 0 \\\sin \theta_{c} & \cos \theta_{c} & 0 & 0 \\0 & 0 & 1 & 0 \\0 & 0 & 0 & 1\end{array}\right],$ |
| ${ }_{A}^{C} \boldsymbol{T}=\left[\begin{array}{cccc}1 & 0 & 0 & 0 \\0 & 1 & 0 & 0 \\0 & 0 & 1 & \Delta z_{a c} \\0 & 0 & 0 & 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{cccc}\sin \theta_{a} & 0 & \cos \theta_{a} & 0 \\0 & 1 & 0 & 0 \\-\cos \theta_{a} & 0 & \sin \theta_{a} & 0 \\0 & 0 & 0 & 1\end{array}\right].$ |
2 伺服进给系统建模2.1 平动轴模型本文选取研究的AC型双摆头五轴联动铣床中X、Y、Z方向平动轴使用的是传统滚珠丝杠机械传动结构，具体结构经简化后的平动轴模型如图 3所示。
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| 图 3 平动轴简化模型 |
| 图选项 |
图 3中：J1为主动轴转动惯量；J2为从动轴转动惯量；Tm为电机输出扭矩；θm为电机输出转角；T2为从动轴驱动扭矩；θ2为从动轴转角；Th为从动轴传递至滚珠丝杠的输出扭矩；θh为从动轴驱动滚珠丝杠的输出转角；K2为从动轴的扭转刚度系数；D2为从动轴阻尼系数；Mt为动平台质量；Dt为负载阻尼系数；Xt为动平台输出位移；ft为动平台负载阻力；i为主动轴到从动轴的第1级减速装置减速比；ih为滚珠丝杠减速比，对于单线螺纹有ih=2π/Ph，其中Ph为滚珠丝杠螺距。
由从动轴到动平台间能量守恒可知从动轴转动1周有：
| $2 {\rm{ \mathsf{ π} }} T_{\mathrm{h}\_\mathrm{M}}=M_{\mathrm{t}} \ddot{X}_{\mathrm{t}} P_{\mathrm{h}}, 2 {\rm{ \mathsf{ π} }} T_{\mathrm{h}\_\mathrm{D}}=D_{\mathrm{t}} \dot{X}_{\mathrm{t}} P_{\mathrm{h}},$ |
| $2 {\rm{ \mathsf{ π} }} T_{\mathrm{h}\_\mathrm{f}}=f_{\mathrm{t}} P_{\mathrm{h}}, i_{\mathrm{h}}=2 {\rm{ \mathsf{ π} }} / P_{\mathrm{h}}, X_{\mathrm{t}}=\theta_{\mathrm{h}} / i_{\mathrm{h}}.$ |
| $T_{\mathrm{h}}=T_{\mathrm{h}\_\mathrm{M}}+T_{\mathrm{h}\_\mathrm{D}}+T_{\mathrm{h}\_ \mathrm{f}}=\frac{M_{\mathrm{t}} \ddot{\theta}_{\mathrm{h}}+D_{\mathrm{t}} \dot{\theta}_{\mathrm{h}}+f_{\mathrm{t}} i_{\mathrm{h}}}{i_{\mathrm{h}}^{2}}.$ | (2) |
| $T_{\mathrm{m}}=J_{1} \ddot{\theta}_{\mathrm{m}}+\frac{T_{2}}{i_{0}},$ | (3) |
| $\begin{gathered}T_{2}=K_{2}\left(\theta_{2}-\theta_{\mathrm{h}}\right)+D_{2}\left(\dot{\theta}_{2}-\dot{\theta}_{\mathrm{h}}\right)=J_{2} \ddot{\theta}_{\mathrm{h}}+T_{\mathrm{h}}= \\J_{2} \ddot{\theta}_{\mathrm{h}}+\frac{M_{\mathrm{t}} \ddot{\theta}_{\mathrm{h}}+D_{\mathrm{t}} \dot{\theta}_{\mathrm{h}}+f_{\mathrm{t}} i_{\mathrm{h}}}{i_{\mathrm{h}}^{2}}.\end{gathered}$ | (4) |
| $T_{\mathrm{m}}(s)=J_{1} s^{2} \varTheta_{\mathrm{m}}(s)+\frac{\left(K_{2}+D_{2} s\right)\left(\varTheta_{2}(s)-\varTheta_{\mathrm{h}}(s)\right)}{i_{0}},$ | (5) |
| $\begin{gathered}\left(K_{2}+D_{2} s\right)\left(\varTheta_{2}(s)-\varTheta_{\mathrm{h}}(s)\right)=J_{2} s^{2} \varTheta_{\mathrm{h}}(s)+ \\\frac{M_{\mathrm{t}} s^{2} \varTheta_{\mathrm{h}}(s)+D_{\mathrm{t}} s \varTheta_{\mathrm{h}}(s)+F_{\mathrm{t}}(s) i_{\mathrm{h}}}{i_{\mathrm{h}}^{2}}.\end{gathered}$ | (6) |
| $\begin{gathered}\varTheta_{\mathrm{h}}(s)=\frac{i_{\mathrm{h}}^{2}\left(K_{2}+D_{2} s\right) \varTheta_{2}(s)}{\left(J_{2} i_{\mathrm{h}}^{2}+M_{\mathrm{t}}\right) s^{2}+\left(D_{\mathrm{t}}+i_{\mathrm{h}}^{2} D_{2}\right) s+i_{\mathrm{h}}^{2} K_{2}}- \\\frac{i_{\mathrm{h}} F_{\mathrm{t}}(s)}{\left(J_{2} i_{\mathrm{h}}^{2}+M_{\mathrm{t}}\right) s^{2}+\left(D_{\mathrm{t}}+i_{\mathrm{h}}^{2} D_{2}\right) s+i_{\mathrm{h}}^{2} K_{2}}.\end{gathered}$ | (7) |
2.2 旋转轴模型本文选取研究的AC型双摆头五轴联动铣床中A、C方向旋转轴采用的是传统蜗轮蜗杆机械传动结构，经简化后的转动轴模型如图 4所示。
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| 图 4 旋转轴简化模型 |
| 图选项 |
图 4中：Jt为负载转动惯量，Dt为负载阻尼系数，θt为蜗轮转轴输出转角，Tt为蜗轮转轴负载扭矩。
由做功相等可得：
| $T_{\mathrm{h}} \theta_{\mathrm{h}}=\left(J_{\mathrm{t}} \ddot{\theta}_{\mathrm{t}}+D_{\mathrm{t}} \dot{\theta}_{\mathrm{t}}+T_{\mathrm{t}}\right) \theta_{\mathrm{t}},$ | (8) |
| $\begin{gathered} T_{\mathrm{h}}=\left(J_{\mathrm{t}} \ddot{\theta}_{\mathrm{t}}+D_{\mathrm{t}} \dot{\theta}_{\mathrm{t}}+T_{\mathrm{t}}\right) \frac{\theta_{\mathrm{t}}}{\theta_{\mathrm{h}}}=\frac{J_{\mathrm{t}} \ddot{\theta}_{\mathrm{t}}+D_{\mathrm{t}} \dot{\theta}_{\mathrm{t}}+T_{\mathrm{t}}}{i_{\mathrm{h}}}= \\\frac{J_{\mathrm{t}} \ddot{\theta}_{\mathrm{h}}+D_{\mathrm{t}} \dot{\theta}_{\mathrm{h}}+T_{\mathrm{t}} i_{\mathrm{h}}}{i_{\mathrm{h}}^{2}} .\end{gathered}$ | (9) |
| $T_{\mathrm{m}}=J_{1} \ddot{\theta}_{\mathrm{m}}+\frac{T_{2}}{i},$ | (10) |
| $\begin{gathered} T_{2}=K_{2}\left(\theta_{2}-\theta_{\mathrm{h}}\right)+D_{2}\left(\dot{\theta}_{2}-\dot{\theta}_{\mathrm{h}}\right)=J_{2} \ddot{\theta}_{\mathrm{h}}+T_{\mathrm{h}}= \\J_{2} \ddot{\theta}_{\mathrm{h}}+\frac{J_{\mathrm{t}} \ddot{\theta}_{\mathrm{h}}+D_{\mathrm{t}} \dot{\theta}_{\mathrm{h}}+T_{\mathrm{t}} i_{\mathrm{h}}}{i_{\mathrm{h}}^{2}}.\end{gathered}$ | (11) |
| $\begin{gathered} \varTheta_{\mathrm{h}}(s)=\frac{i_{\mathrm{h}}^{2}\left(K_{2}+D_{2} s\right) \varTheta_{2}(s)}{\left(J_{2} i_{\mathrm{h}}^{2}+J_{\mathrm{t}}\right) s^{2}+\left(D_{\mathrm{t}}+i_{\mathrm{h}}^{2} D_{2}\right) s+i_{\mathrm{h}}^{2} K_{2}}-\\\frac{i_{\mathrm{h}} T_{\mathrm{t}}(s)}{\left(J_{2} i_{\mathrm{h}}^{2}+J_{\mathrm{t}}\right) s^{2}+\left(D_{\mathrm{t}}+i_{\mathrm{h}}^{2} D_{2}\right) s+i_{\mathrm{h}}^{2} K_{2}}.\end{gathered}$ | (12) |
2.3 伺服电机控制系统模型比例-积分-微分(proportion-integration-differ-entiation, PID)控制器在工业控制领域是一种常见、简单并且十分有效的控制器。在许多应用中，可以将PID控制器简化为P、PI或PD控制器进行控制。在通常的伺服电机控制方案中，采用PI控制的电流环和速度环以及P控制的位置环，就可以保证控制系统具有较好的稳定性、较高的精度以及较快的响应。
从电流环开始，以输出角速度作为输出、输入电流作为输入，从内向外解算该控制系统的传递函数。解算各环的推导过程在文[15]中已给出，在此不再赘述，仅给出最后得到的系统整体控制框图，如图 5所示。Θi与Θo分别为输入转角与输出转角。
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| 图 5 伺服电机控制系统框图[15] |
| 图选项 |
2.4 SIMULINK伺服进给系统机电耦合仿真模型以平动轴为例讨论机电的耦合方式，考虑到两方面问题：1) 若电机系统与传动系统通过直接拼接的方式搭建伺服进给系统模型，将会出现“角加速度
基于直接拼接方式的伺服进给系统模型，将J1折合进入Je中并赋J1零值，即Je=Je+J1，J1=0，从而在不改变系统整体性质的条件下消除了代数环；对伺服进给系统位置环进行修改，反馈信号由最终的平动轴位移反馈到输入端。修正后的模型如图 6所示。图中：Xinput为X轴输入位置指令；ActT_X为X轴电机实际输出转矩；Actaccelaration_X为X轴电机实际输出角加速度；Real_X为X轴上动平台实际位移；Ft_X为X轴所受干扰力矩。
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| 图 6 伺服进给系统的修正SIMULINK模型 |
| 图选项 |
旋转轴伺服进给系统建模与平动轴建模同理。仿真过程中涉及的参数初始值如表 1所示。
表 1 五轴机床伺服进给系统初始参数
| X | Y | Z | A | C | |
| 位置环比例增益 Kpp/s-1 | 20.855 | 27.452 | 13.036 | 5.851 | 1.575 |
| 速度环比例增益 Kpv/(A·s·rad-1) | 5.517 | 4.242 | 11.843 | 3.257 | 3.203 |
| 电流环比例增益 Kpi/(V·A-1) | 13.433 | 24.767 | 7.136 | 36.521 | 36.521 |
| 速度环积分时间常数 Tiv/s | 0.01 | 0.006 | 0.006 | 0.006 | 0.014 |
| 电流环积分时间常数 Tii/s | 0.002 | 0.002 | 0.002 | 0.002 | 0.002 |
| 电机力矩常数 Kt/(N·m·A-1) | 2.68 | 1.82 | 1.92 | 2.22 | 2.21 |
| 电机反电动势常数 Ke/(V·s·rad-1) | 10.23 | 6.93 | 7.41 | 8.52 | 8.46 |
| 电枢绕组电感 La/H | 0.003 2 | 0.005 9 | 0.001 7 | 0.008 7 | 0.008 7 |
| 电枢绕组电阻 Ra/Ω | 0.157 | 0.350 | 0.084 | 0.520 | 0.530 |
| 电机及丝杠等效转动惯量 Je/(kg·m2) | 0.017 8 | 0.004 5 | 0.020 5 | 0.004 5 | 0.004 5 |
| 一级减速比 i0 | 38.5 | 38.5 | 3 | 1 | 1 |
| 二级减速比 ih | 50π | 50π | 62.5π | 45.454 | 45.454 |
| 主动轴惯量 J1/(kg·m2) | 0.017 8 | 0.004 5 | 0.020 5 | 0.004 5 | 0.004 5 |
| 从动轴转动惯量 J2/(kg·m2) | 0.110 | 0.028 | 0.041 | 0.030 | 0.030 |
| 从动轴阻尼系数 D2/ (kg·m2·s-1) | 0.2 | 0.3 | 0.5 | 0.4 | 0.4 |
| 负载阻尼系数 Dt/(kg·s-1) | 0.4 | 0.18 | 0.12 | 0.4 | 0.4 |
| 负载(动平台)质量 Mt/kg | 1 240 | 1 003 | 777 | 207 | 557 |
表选项
3 基于RTCP功能的多轴伺服匹配优化3.1 RTCP功能简述将刀具绕中心点旋转(rotation tool center point, RTCP)功能应用于数控机床运动误差检测，其主要的优势在于：1) 可大幅减小旋转轴运动导致的离散化误差与非线性误差，提高刀尖点实际运动轨迹与理想轨迹的重合度；2) 简化数控机床运动时刀尖点空间位置测量工作，刀尖点在运动过程中理想状态应为相对工件坐标系静止，因而实际运动中刀尖点的运动即为出现的运动误差[12]。RTCP功能关闭与开启时摆头与刀尖点运动状态如图 7所示。
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| 图 7 RTCP功能示意图 |
| 图选项 |
在RTCP功能开启后，当输入的工件坐标系下后置指令为(x′, y′, z′, θa, θc)时，由式(1)可得各轴进给运动指令(x, y, z, θa, θc)的关系表达式为
| $\left\{\begin{array}{l}x+\Delta x_{0}=x^{\prime}-L_{0} \cdot \sin \theta_{a} \cdot \cos \theta_{c}, \\y+\Delta y_{0}=y^{\prime}-L_{0} \cdot \sin \theta_{a} \cdot \sin \theta_{c}, \\z+\Delta z_{0}=z^{\prime}+L_{0} \cdot \cos \theta_{a}.\end{array}\right.$ | (13) |
3.2 基于转动轴的RTCP轨迹规划由式(13)可得，对A、C两轴的转动进行规划即可控制整个数控机床的位姿变化。考虑到AC型双摆头五轴联动铣床中A轴的转动范围为±90°，为避免转动轴运动中出现速度或加速度突变，采用正弦变化的方式规划转动轴的运动。同时，作为后续多轴运动伺服匹配的运动轨迹，在沿该轨迹运动时各轴必须同时参与实际运动。综上，对A、C两轴转动进行“8”字轨迹规划，其表达式为
| $\left\{\begin{array}{l}\theta_{a}=\frac{{\rm{ \mathsf{ π} }}}{6} \cdot \sin (\omega \cdot t) ,\\\theta_{c}=\frac{{\rm{ \mathsf{ π} }}}{6} \cdot \sin (2 \omega \cdot t).\end{array}\right.$ | (14) |
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| 图 8 点Oa在空间中运动形成的“8”字轨迹 |
| 图选项 |
机床的数控系统对于机床各轴的运动性能有限制，如最大进给速度等。若在轨迹规划中存在运动性能超限，数控系统调整则会导致机床的整体运动过程与理想轨迹出现偏差，此误差将会影响到对数控机床本身运动误差的测量与判断。因此，须在轨迹规划后对轨迹特性进行分析，使得机床按该轨迹运动时各轴运动状态处于数控系统允许的范围内。
对式(13)求导可得
| $\left\{\begin{array}{l}v_{x}=-L_{0} \cdot\left(\omega_{a} \cdot \cos \theta_{a} \cdot \cos \theta_{c}-\omega_{c} \cdot \sin \theta_{a} \cdot \sin \theta_{c}\right) ,\\v_{y}=-L_{0} \cdot\left(\omega_{a} \cdot \cos \theta_{a} \cdot \sin \theta_{c}+\omega_{c} \cdot \sin \theta_{a} \cdot \cos \theta_{c}\right) ,\\v_{z}=-L_{0} \cdot \omega_{a} \cdot \sin \theta_{a}.\end{array}\right.$ | (15) |
| $|v| \leqslant L_{0} \cdot \max \left\{\left|\omega_{a \max }\right|,\left|\omega_{c \max }\right|\right\}.$ | (16) |
| $\left\{\begin{aligned}a_{x}=&-L_{0} \cdot\left(\alpha_{a} \cdot \cos \theta_{a} \cdot \cos \theta_{c}-\alpha_{c} \cdot \sin \theta_{a} \cdot \sin \theta_{c}-\right.\\&\left(\omega_{a}^{2}+\omega_{c}^{2}\right) \cdot \sin \theta_{a} \cdot \cos \theta_{c}-\\&\left.2 \omega_{a} \omega_{c} \cdot \cos \theta_{a} \cdot \sin \theta_{c}\right), \\a_{y}=&-L_{0} \cdot\left(\alpha_{a} \cdot \cos \theta_{a} \cdot \sin \theta_{c}-\alpha_{c} \cdot \sin \theta_{a} \cdot \cos \theta_{c}-\right.\\&\left(\omega_{a}^{2}+\omega_{c}^{2}\right) \cdot \sin \theta_{a} \cdot \sin \theta_{c}+\\&\left.2 \omega_{a} \omega_{c} \cdot \cos \theta_{a} \cdot \cos \theta_{c}\right), \\a_{z}=&-L_{0} \cdot\left(\alpha_{a} \cdot \sin \theta_{a}+\omega_{a}^{2} \cos \theta_{a}\right).\end{aligned}\right.$ | (17) |
| $\begin{array}{c}|a| \leqslant L_{0} \cdot\left[\max \left\{\left|\alpha_{a \max }\right|,\left|\alpha_{c \max }\right|\right\}+\right. \\\left.\omega_{a \max }^{2}+\omega_{c \max }^{2}\right].\end{array}$ | (18) |
| $\begin{array}{c}\left|\omega_{c \max }\right|=2\left|\omega_{a \max }\right|=\frac{{\rm{ \mathsf{ π} }}|\omega|}{3}, \\\left|\alpha_{c \max }\right|=4\left|\alpha_{a \max }\right|=\frac{2 {\rm{ \mathsf{ π} }}|\omega|^{2}}{3}.\end{array}$ | (19) |
3.3 基于圆度测试的多轴间伺服匹配本文选取的伺服匹配优化实例为一台AC型双摆头五轴联动铣床，其整体结构与优化前伺服进给系统相关参数已分别在节1.1与节2.4中给出。
圆度测试法是比较成熟的在两不同进给轴伺服系统间进行伺服匹配的优化方法。然而，对于同时有三轴及三轴以上伺服系统参与运动的情况，圆度测试法无法直接应用。本节提出一种基于圆度测试的多轴间伺服匹配方法：在多轴中选取一轴作为匹配对象，将其他各轴分别与该轴进行圆度测试伺服匹配，匹配过程中保持该轴的伺服系统参数不变，仅改变其他各轴的伺服系统参数。
在选取匹配对象时考虑误差累积以及电机性能与伺服性能相匹配两方面问题：1) Y、Z、A、C 4轴系统结构均安装于X轴导轨上，机床实际运行过程中X轴动态性能如高速运动时的微振等将会影响到其余4轴的定位精度；2) X方向负载最大，行程也较大，X、Y、Z、A、C 5个轴若要达到相同的最大速度及运动精度，X轴所需要的成本更大。
综合考虑以上两方面问题，在保证机床运行平稳的条件下，为了以最小的成本消耗实现相对较好的机床性能，选择X轴伺服系统为匹配对象。
文[6]中给出了包含5个单轴跟随误差及几何误差的AC型五轴联动机床刀尖点位姿表达式，即机床各单轴运动过程中速度越快，各单轴跟随误差通过刀尖点位姿体现得越明显，为避免因跟随误差远小于几何误差而被忽略，测试应在尽量高速的运动状态下进行。
考虑到本文中涉及的五轴联动机床平动轴采用的是西门子1FT7某型电机，其额定转速为3 000 r/min；旋转轴采用的是西门子1FT7某型电机，其额定转速为4 500 r/min，且为与后续在特定轨迹下多轴联动时运动速度相匹配，因此选取运动周期T=30 s、半径r=250 mm的圆轨迹分别对X、Y两轴及X、Z两轴进行圆度测试。
首先通过式(20)计算三平动轴在该圆轨迹下的频率响应特性参数[16]，
| $f_{\text {circle }} / \mathrm{Hz}=\frac{v /\left(\mathrm{mm} \cdot \mathrm{min}^{-1}\right)}{60 \times 2 {\rm{ \mathsf{ π} }} \ \mathrm{r} / \mathrm{mm}}.$ | (20) |
选取实际运动过程中Oa点到圆心距离与理论圆半径的方差
| $\rho=\sigma_{\text {round }}^{2}+\lambda \cdot \varepsilon_{\max }.$ |
由文[16]可知，位置环比例增益Kpp以及速度环比例增益Kpv之间的差异是圆度测试结果的主要影响因素。采用遗传算法分别对X、Y轴间控制参数Kpp、Kpv以及X、Z轴间控制参数Kpp、Kpv进行匹配。
Y轴Kpp与Kpv优化值搜索范围以及Z轴Kpp与Kpv优化值搜索范围分别为：
| $y: K_{\mathrm{pp}} \in[20.855,27.452];$ |
| $K_{\mathrm{pv}} \in[4.242,5.517].$ |
| $z: K_{\mathrm{pp}} \in[13.036,20.855] ;$ |
| $K_{\mathrm{pv}} \in[5.517,11.843].$ |
| $f=\frac{1}{c \cdot \rho} .$ |
种群大小取50，迭代次数为100，交叉概率为0.5，变异因子为0.000 1。
在SIMULINK中进行圆度测试仿真，X、Y两轴间匹配及X、Z两轴间匹配结果分别如图 9和10所示。
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| 图 9 (网络版彩图)X、Y两轴间圆度测试前后精度对比 |
| 图选项 |
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| 图 10 (网络版彩图)X、Z两轴间圆度测试前后精度对比 |
| 图选项 |
优化后Y轴伺服系统参数Kpp=22.582，Kpv=5.142，其他参数不变；Z轴伺服系统参数Kpp=17.056，Kpv=10.043，其他参数不变；X轴与两旋转轴伺服系统参数不变。
3.4 基于特定轨迹的多轴伺服匹配优化效果验证根据节3.2中的轨迹规划及特性分析，令ω=π/15；根据机床刀具实际尺寸，令L0=331.445 mm。通过式(13)、(14)及式(16)、(18)、(19)，得到具体的空间“8”字运动轨迹，且运动过程中速度始终不超过电机额定转速。为使本文优化方法能对提高实际机床加工精度更具指导意义，选取实际运动过程中Oa点到刀尖点距离与L0的方差
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| 图 11 (网络版彩图)五轴联动伺服匹配优化前后精度对比 |
| 图选项 |
由图 11可知，经过以X轴伺服系统为匹配对象的X、Y两轴伺服匹配以及X、Z两轴伺服匹配后，机床多轴联动的动态精度明显提高。
4 结论本文针对具有RTCP功能的AC型双摆头五轴联动铣床，提出了一种精度易于测量、优化成本较低且工程实践性强的基于匹配对象的多轴间伺服匹配精度优化方法。首先通过多体拓扑机构学对铣床进行了运动学分析；而后建立了各轴的传动模型以及电机模型，并在SIMULINK中分别搭建了平动轴与旋转轴的机电耦合伺服进给系统模型；基于RTCP功能规划了一条多轴同时参与的运动轨迹并分析了该轨迹下各轴的运动特性，解决了五轴联动铣床刀尖点空间位置精度测量问题；考虑到误差累积以及电机性能与伺服性能相匹配两方面问题，选取了合理的匹配对象，基于圆度测试法以及遗传算法进行两两轴间匹配，实现了多轴间伺服匹配；最后在完成了轴间匹配后，通过对比匹配优化前后的“8”字轨迹运动精度验证了本文优化方法的有效性。
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