, 陈敏2, 陈耕3 1. 北京交通大学 机械与电子控制工程学院, 北京 100044, 中国;
2. 西交利物浦大学 工业设计系, 苏州 215123, 中国;
3. 亚琛工业大学 机械工程材料应用研究所, 亚琛 52062, 德国
收稿日期：2018-04-25
基金项目：国家自然科学基金资助项目（51475036）
作者简介：秦方(1988-), 男, 博士研究生
通信作者：张乐乐, 教授, E-mail:llzhang1@bjtu.edu.cn
摘要：正交各向异性材料的塑性极限及安定计算仍处于研究及应用的初级阶段。该文将Hill屈服准则引入到塑性分析的Melan定理之中，结合有限元离散技术和非线性大规模优化算法，将下限分析列式转换为圆锥二次优化问题，对转换后的数学问题进行数值求解。所建立的计算平台及流程可以较高效地求解多种正交各向异性材料组成的复杂三维结构的塑性极限及安定载荷域，且完成了多个算例的计算。计算结果对比验证了该方法的正确性，同时也展现了该方法的普适性和较高的计算效率。该研究扩展了塑性极限及安定理论的应用范围，为含各向异性复合材料的结构工程设计及安全校核提供了可行的计算分析方法。
关键词：塑性极限安定状态下限分析正交各向异性材料Hill屈服准则圆锥二次优化
Lower bound analysis of plastic limit and shakedown state of orthotropic materials
QIN Fang1, ZHANG Lele1
, CHEN Min2, CHEN Geng31.School of Mechanical, Electronic and Control Engineering, Beijing Jiaotong University, Beijing 100044, China;
2.Department of Industrial Design, Xi'an Jiaotong-Liverpool University, Suzhou 215123, China;
3.Institute for Materials Applications in Mechanical Engineering, RWTH Aachen University, Aachen 52062, Germany
Abstract: The purpose of this study is to predict the plastic limit and the shakedown state of orthotropic materials and structures. The Hill yield criterion is used in Melan's theory with the finite element method and large scale nonlinear programing combined to form a model to predict the plastic limit and the shakedown state of complex 3D structures made from multi-orthotropic materials. Several numerical examples are given to verify the accuracy, universality and efficiency of this method. The applicability of using shakedown theory to plastic analyses is extended in this work. This method can be used to design and assess structures made from orthotropic composites in engineering practice.
Key words: plastic limitshakedown statelower bound analysisorthotropic materialHill yield criterionconic quadratic optimization
塑性极限及安定理论具有不考虑加载路径、直接求解结构承载能力的优点。得益于相关理论和计算工具的发展，塑性极限与安定分析有了长足进步，但是针对各向异性材料的研究较少，其难点在于缺乏为非各向同性材料设计的高效率算法流程。
现有对非均质复合材料塑性极限与安定的研究往往结合均匀化理论，求解代表性微元的承载能力，以得到等效的强度参数[1]。材料性能分析一般需要对材料微观组分结构进行精细建模，而不直接对工程结构进行塑性分析。该方法中材料微观各相一般为各向同性材料，研究广泛采用Von Mises等各向同性屈服准则。只有少数研究者针对特定材料或者结构，获取材料的工程试验参数，直接采用非各向同性的材料模型及屈服准则，对塑性极限与安定的分析理论进行扩展和计算应用。
1990年，Pastor等[2]基于各向异性材料塑性力学中的Boehler-Sawczuk理论，加入各向异性系数来修正Tresca、Coulomb传统各向同性屈服准则，首次探讨了正交各向异性材料的塑性极限求解。Zhang等[3]在正交各向异性轴对称壳结构上限塑性分析中，引入了Hill-Tsai屈服准则。Yu等[4-5]研究了各向异性土壤极限承载能力，扩展了Mohr-Coulomb屈服准则，用于各向异性土壤材料，上下限理论均有涉及。Capsoni等[6]提出了应变率形式的耗散能理论显式表达，应用Hill屈服准则来进行塑性上限分析。李华祥等[7]应用塑性极限与安定的上限定理，结合数值求解方法处理了正交各向异性结构问题。文[8]扩展了上限定理，应用于岩土类各向异性及非关联流动材料的极限求解，提出的数值算式可适用于多种不同的屈服准则。张宏涛等[9]采用下限定理和温度参数法构建自平衡应力场，结合有限元离散方法实现了正交各向异性材料或结构的下限分析，但该研究侧重于各向异性结构而非各向异性材料。文[10]用同样的方法求解了正交各向异性材料的下限，并采用代表性微元的分析结果计算了实际工程结构的性能。
本文从材料的屈服特性出发，基于Hill屈服准则，提出一种描述正交各向异性材料塑性下限的方法，并对相应的规划列式进行处理以得到较高的计算效率。本文方法可直接计算多方向多种正交异性材料的实际三维结构的极限和安定载荷域。算例结果对比验证了本文方法的有效性。
1 塑性极限与安定的下限分析安定下限定理由Melan[11]提出，利用该定理可以寻找结构能够承受的载荷极大值。和上限定理相比，其结果更为保守，适用于结构安全评估。
下限定理的物理表述为：如果存在一个自平衡的残余应力场ρ，与外界载荷产生的弹性应力场σE相叠加后，结构处处不违反屈服准则F，则结构进入安定状态。式(1)为其数学表述。
| $F\left( {{\mathit{\boldsymbol{\sigma }}^{\rm{E}}} + \mathit{\boldsymbol{\bar \rho }}} \right) \le 1,\\\nabla \cdot \mathit{\boldsymbol{\bar \rho }} = {\bf{0}}\ {\rm{in}}\ \mathit{\Omega ,}\\\mathit{\boldsymbol{\bar \rho }} \cdot \mathit{\boldsymbol{n}} = {\bf{0}}\ {\rm{on}}\ {\mathit{\Gamma }_1}.$ | (1) |
在具体工况的数值求解时，要结合有限元方法对式(1)进行离散，获得用于数值优化求解的算式(2)，以求得外载荷系数α的最大值。
| $\max \alpha ,\\{\rm{s}}{\rm{.t}}{\rm{.}}\sum\limits_{r = 1}^{{N_{\rm{G}}}} {{\mathit{\boldsymbol{C}}_r}{{\mathit{\boldsymbol{\bar \rho }}}_{r,k}} = {\bf{0}}} ,\\F\left( {\alpha \mathit{\boldsymbol{\sigma }}_{r,k}^{\rm{E}} + {{\mathit{\boldsymbol{\bar \rho }}}_{r,k}}} \right) \le {\sigma _{{\rm{Y}},r}},\\r = 1, \cdots ,{N_{\rm{G}}};k \in \left[ {1,{N_{\rm{V}}}} \right].$ | (2) |
纵观极限与安定分析数值计算的发展历史，有众多方法和计算工具曾被使用以获得可接受的计算效率。本文建立了基于MATLAB下Mosek求解器的计算平台，将规划问题处理为圆锥二次优化(conic quadratic optimization，CQO)问题，可以达到较好的计算效率。
2 正交各向异性屈服准则的引入和相关列式处理对于正交各向异性材料，人们提出了多种屈服准则，常用的有Hill准则、Tsai-Wu准则等。本文选取Hill屈服准则(见式(3))，它扩展自Von Mises屈服准则，具有屈服面光滑、适用性广泛的特点[12]。
| $\begin{array}{*{20}{c}}{\mathit{\Phi } = \left( {G + H} \right)\sigma _{11}^2 + \left( {H + F} \right)\sigma _{22}^2 + }\\{\left( {F + G} \right)\sigma _{33}^2 - 2H{\sigma _{11}}{\sigma _{22}} - 2F{\sigma _{22}}{\sigma _{33}} - }\\{2G{\sigma _{33}}{\sigma _{11}} + 2L\alpha _{33}^2 + 2M\sigma _{31}^2 + 2N\sigma _{12}^2 \le 1.}\end{array}$ | (3) |
| $\left\{ \begin{array}{l}2H = \frac{1}{{{X^2}}} + \frac{1}{{{Y^2}}} - \frac{1}{{{Z^2}}},\\2G = \frac{1}{{{X^2}}} + \frac{1}{{{Z^2}}} - \frac{1}{{{Y^2}}},\\2F = \frac{1}{{{Z^2}}} + \frac{1}{{{Y^2}}} - \frac{1}{{{X^2}}},\\2L = \frac{1}{{{P^2}}},\\2M = \frac{1}{{{R^2}}},\\2N = \frac{1}{{{S^2}}}.\end{array} \right.$ | (4) |
| $\max \alpha ,\\{\rm{s}}{\rm{.t}}{\rm{.}}\sum\limits_{r = 1}^{{N_{\rm{G}}}} {{\mathit{\boldsymbol{C}}_r}\left( {{\mathit{\boldsymbol{\sigma }}_r} - \alpha \mathit{\boldsymbol{\sigma }}_r^{\rm{E}}} \right) = {\bf{0}},} \\\mathit{\Phi }\left( {{\mathit{\boldsymbol{\sigma }}_r}} \right) \le 1,\\r = 1, \cdots ,{N_{\rm{G}}}.$ | (5) |
首先，引入矩阵
| $\mathit{\boldsymbol{T}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{1/2}&{1/2}&{1/2}&{}&{}&{}\\{ - 1/2}&{1/2}&{1/2}&{}&{}&{}\\{ - 1/2}&{ - 1/2}&{1/2}&{}&{}&{}\\{}&{}&{}&1&{}&{}\\{}&{}&{}&{}&1&{}\\{}&{}&{}&{}&{}&1\end{array}} \right].$ | (6) |
| ${\mathit{\boldsymbol{\sigma }}_r} = \mathit{\boldsymbol{T}}{\mathit{\boldsymbol{v}}_r}.$ | (7) |
| $\sum\limits_{r = 1}^{{N_{\rm{G}}}} {{\mathit{\boldsymbol{C}}_r}\mathit{\boldsymbol{T}}{\mathit{\boldsymbol{v}}_r}} - \alpha \left( {\sum\limits_{r = 1}^{{N_{\rm{G}}}} {{\mathit{\boldsymbol{C}}_r}\mathit{\boldsymbol{\sigma }}_r^{\rm{E}}} } \right) = {\bf{0}}.$ | (8) |
| ${\mathit{\boldsymbol{C}}_r}\mathit{\boldsymbol{T}}{\mathit{\boldsymbol{v}}_r} = \sum\limits_{j = 1,j \ne 3}^6 {{{\left[ {{\mathit{\boldsymbol{C}}_r}\mathit{\boldsymbol{T}}} \right]}^j}v_r^j + {{\left[ {{\mathit{\boldsymbol{C}}_r}\mathit{\boldsymbol{T}}} \right]}^3}v_r^3} .$ | (9) |
| ${\mathit{\boldsymbol{z}}_r} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\mathit{\boldsymbol{z}}_r^1}\\{\mathit{\boldsymbol{z}}_r^2}\\{\mathit{\boldsymbol{z}}_r^3}\\{\mathit{\boldsymbol{z}}_r^4}\\{\mathit{\boldsymbol{z}}_r^5}\end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{v_r^1}\\{v_r^2}\\{v_r^3}\\{v_r^4}\\{v_r^5}\end{array}} \right],$ | (10) |
| ${x_r} = v_r^3.$ | (11) |
| $\begin{array}{*{20}{c}}{{\mathit{\boldsymbol{A}}_r} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{\left( {{\mathit{\boldsymbol{C}}_r}\mathit{\boldsymbol{T}}} \right)}^1}}&{{{\left( {{\mathit{\boldsymbol{C}}_r}\mathit{\boldsymbol{T}}} \right)}^2}}&{{{\left( {{\mathit{\boldsymbol{C}}_r}\mathit{\boldsymbol{T}}} \right)}^4}}\end{array}} \right.}\\{\left. {\begin{array}{*{20}{c}}{{{\left( {{\mathit{\boldsymbol{C}}_r}\mathit{\boldsymbol{T}}} \right)}^5}}&{{{\left( {{\mathit{\boldsymbol{C}}_r}\mathit{\boldsymbol{T}}} \right)}^6}}\end{array}} \right]{\mathit{\boldsymbol{K}}^{ - {\rm{T}}}},}\end{array}$ | (12) |
| $\mathit{\boldsymbol{B}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{\left( {{\mathit{\boldsymbol{C}}_1}\mathit{\boldsymbol{T}}} \right)}^3}}&{{{\left( {{\mathit{\boldsymbol{C}}_2}\mathit{\boldsymbol{T}}} \right)}^3}}&{{{\left( {{\mathit{\boldsymbol{C}}_{{N_{\rm{G}}}}}\mathit{\boldsymbol{T}}} \right)}^3}}\end{array}} \right],$ | (13) |
| $\mathit{\boldsymbol{w}} = \sum\limits_{r = 1}^{{N_{\rm{G}}}} {{\mathit{\boldsymbol{C}}_r}\mathit{\boldsymbol{\sigma }}_r^{\rm{E}}} ,$ | (14) |
| ${\mathit{\boldsymbol{u}}_r} = {\mathit{\boldsymbol{K}}^{\rm{T}}}{\mathit{\boldsymbol{z}}_r}.$ | (15) |
| ${\mathit{\boldsymbol{K}}^{\rm{T}}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\sqrt {G + H} }&{\frac{G}{{\sqrt {G + H} }}}&{}&{}&{}\\{}&{\sqrt {\frac{{FG + FH + GH}}{{G + H}}} }&{}&{}&{}\\{}&{}&{\sqrt {2N} }&{}&{}\\{}&{}&{}&{\sqrt {2L} }&{}\\{}&{}&{}&{}&{\sqrt {2M} }\end{array}} \right].$ | (16) |
| $\sum\limits_{r = 1}^{{N_{\rm{G}}}} {{\mathit{\boldsymbol{A}}_r}{\mathit{\boldsymbol{u}}_r}} + \mathit{\boldsymbol{Bx}} - \alpha \mathit{\boldsymbol{w}} = {\bf{0}}.$ | (17) |
| $\begin{array}{*{20}{c}}{H{{\left( {v_r^1} \right)}^2} + F{{\left( {v_r^2} \right)}^2} + G{{\left( {v_r^1 + v_r^2} \right)}^2} + }\\{2N{{\left( {v_r^4} \right)}^2} + 2L{{\left( {v_r^5} \right)}^2} + 2M{{\left( {v_r^6} \right)}^2} \le 1.}\end{array}$ | (18) |
结合式(10)和(15)式，不等式(18)转换为Euclid球约束的形式，
| $\begin{array}{*{20}{c}}{\left( {G + H} \right){{\left( {v_r^1} \right)}^2} + 2Gv_r^1v_r^2 + }\\{\left( {F + G} \right){{\left( {v_r^2} \right)}^2} + 2N{{\left( {v_r^4} \right)}^2} + }\\{2L{{\left( {v_r^5} \right)}^2} + 2M{{\left( {v_r^6} \right)}^2} = {{\left\| {{\mathit{\boldsymbol{K}}^{\rm{T}}}{\mathit{\boldsymbol{z}}_r}} \right\|}^2} = {{\left\| {{\mathit{\boldsymbol{u}}_r}} \right\|}^2} \le 1.}\end{array}$ | (19) |
综上，对于一个载荷点的工况，极限求解的优化问题处理为：
| $\max \alpha ,\\{\rm{s}}{\rm{.t}}{\rm{.}}\sum\limits_{r = 1}^{{N_{\rm{G}}}} {{\mathit{\boldsymbol{A}}_r}{\mathit{\boldsymbol{u}}_r} + \mathit{\boldsymbol{Bx}} - \alpha \mathit{\boldsymbol{w}}} = {\bf{0}},\\{\left\| {{\mathit{\boldsymbol{u}}_r}} \right\|^2} \le 1,r = 1, \cdots ,{N_{\rm{G}}}.$ | (20) |
3 数值实例3.1 算法验证圆孔方板模型是进行极限与安定塑性分析经常用到的模型。它常被用于极限与安定塑性分析的直接法的验证。图 1和表 1展示了模型的外形、尺寸以及载荷形式。
 |
| 图 1 圆孔方板模型 |
| 图选项 |
表 1 圆孔方板模型几何参数
| 长度L/mm | 孔径D/mm | 厚度h/mm | D/L |
| 100 | 20 | 2 | 0.2 |
表选项
在本例中，为实现与标准模型的对比验证，采用各向同性材料进行计算。本文计算模型使用Hill准则进行退化处理，参数见式(21)及表 2。
| $F = G = H = \frac{L}{3} = \frac{M}{3} = \frac{N}{3} = \frac{1}{{2{\sigma _{\rm{Y}}}}}.$ | (21) |
| 材料 | 弹性模量E/MPa | Poisson比μ | 屈服强度σY/MPa |
| 钢材 | 210 | 0.3 | 280 |
表选项
安定载荷域计算的结果如图 2所示。横纵坐标为相应方向载荷压力和材料屈服应力的比值。将计算结果与文[13-15]中的相关曲线进行对比可以看出，它们分布在较窄的区间内，并具有相同的变化规律。具体数值的差异是不同有限元软件单元及不同网格划分所导致的。
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| 图 2 圆孔方板的安定载荷域曲线图 |
| 图选项 |
算例1在一定程度上验证了本文方法的正确性以及其计算流程的可行性。在计算效率方面，与传统未使用圆锥二次优化的算法相比，算例1使用本文方法时，数值计算所消耗时间仅约为原算法的1/8至1/5。传统算法的程序采用IPOPT或Cplex求解器，以及AMPL语言程序环境。采用本文算法，在个人计算机上普通硬件配置的计算平台上, 可处理10万节点量级的模型，这大大扩展了塑性分析的实践应用范围。
3.2 层合复合板应用算例2采用各向异性材料参数进行塑性极限分析。由于没有各向异性材料极限分析的标准模型可供对比验证，本文采用直接法和增量法两种方法来计算极限载荷。仿照碳纤维层合板建立主方向互相垂直的双层层合结构模型，每层均为正交各向异性材料，计算面内两个垂直方向的强度极限。模型均匀化等效处理的示意图见图 3，其中材料参数见表 3。其中：XT为材料x向拉伸强度，YT为材料y向拉伸强度，S12为xy向剪切强度。
 |
| 图 3 双层正交各向异性方板示意图 |
| 图选项 |
表 3 模型所用T300/1034-C型碳纤维面板材料力学参数
| E1/GPa | E2/GPa | G12/GPa | μ12 |
| 146.9 | 11.4 | 6.18 | 0.3 |
| μ23 | XT/MPa | YT/MPa | S12/MPa |
| 0.4 | 1 370.6 | 66.5 | 133.8 |
表选项
其他弹性模量及强度参数可以由以下公式计算得到：E3=E2，G13=G12，G23=0.5E2/(1+μ23)，S13=S12，S23=S12。在建模中，每层结构均视作正交各向异性的均质材料。
图 4为建立的有限元模型网格及其边界条件。所选取的基本微元边长为d=10 mm，厚度t=2 mm，单位载荷为100 MPa。
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| 图 4 层合板微元的有限元模型 |
| 图选项 |
表 4展示了两向载荷在不同组合比例下，使用两种方法计算得到的结构塑性极限及其相对误差。
表 4 直接法和增量法求极限结果对比
| θ/rad | 直接法极限解/MPa | 增量法极限解/MPa | 误差/% |
| 0 | 719.93 | 718.45 | 0.21 |
| π/6 | 826.06 | 808.17 | 2.17 |
| π/4 | 973.72 | 989.95 | -1.67 |
| π/3 | 825.49 | 808.17 | 2.10 |
| π/2 | 719.93 | 710.00 | 1.38 |
表选项
由表 4及图 5可以看出，两种方法得到的极限数值误差约为1%~2%，且直接法数值普遍偏大，符合增量法计算结果小于理论值的逻辑规律。算例1检验了本文方法在传统材料上的应用，算例2则使用两种方法来求解新材料模型，两个算例共同验证了本文计算流程的可行性，得到了令人满意的结果。
 |
| 图 5 直接法和增量法极限分析的结果对比 |
| 图选项 |
3.3 蜂窝夹芯复合结构应用算例3将本文提出的方法应用于某蜂窝复合结构代表性微观单元(RVE)面内强度分析。图 6为结构示意图，其中蜂窝面板由4层各向异性的碳纤维材料组成，材料参数根据表 3确定，铺层角度为[0°/±45°/90°]；蜂窝夹芯为铝合金材料。
 |
| 图 6 蜂窝夹芯结构示意图 |
| 图选项 |
根据结构和载荷的对称性，选取RVE结构的1/8进行有限元建模。模型网格见图 7。表面板所在平面为xy平面。
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| 图 7 蜂窝结构微元网格模型 |
| 图选项 |
以蜂窝板面内互相垂直的两向拉伸载荷为单位载荷，且将结果按照两方向应变量进行归一化处理，得到了图 8所示的弹性应变域、安定应变域及极限应变曲线。按照应变归一化处理的结果可以直接用于实际结构中承受面内拉压载荷的面板安全性校核。
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| 图 8 蜂窝微元载荷面内承载分析结果(应变域) |
| 图选项 |
该算例为此类复杂的各向异性材料及结构的塑性极限与安定分析提供了范例，在工程中可为结构优化设计、安全评估提供分析工具。
4 结论本文研究了正交各向异性弹塑性材料的塑性极限与安定载荷域计算方法。基于Hill屈服准则，构建了塑性下限分析的求解列式。结合有限元理论的离散方法，将列式转化为圆锥二次优化问题，实现高效率求解多主方向多种正交各向异性材料构成结构的极限载荷与安定载荷域。通过算例验证，本文方法计算结果较准确，且适用性较广。该研究扩展了塑性安定下限理论的应用对象和场景，有利于进一步针对使用各向异性材料的复杂结构开展塑性分析。
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