1. 清华大学 水沙科学与水利水电工程国家重点实验室, 北京 100084;
2. 昆明理工大学 电力工程学院, 昆明 650500
收稿日期：2018-01-26
基金项目：国家自然科学基金资助项目（41762021）；中国博士后科学基金资助项目（2017M620048，2016M592717，2017T100715，2018T110103）
作者简介：陈宇龙(1988-), 男, 助理研究员
通信作者：张科, 副教授, E-mail:zhangke_csu@163.com
摘要：在研究滚石的运动规律过程中，滚石的碰撞恢复系数是重要的控制参数。该文研究了积水情况下滚石的碰撞恢复系数。采用球状的玻璃珠代替岩块，利用高速摄像系统对玻璃珠运动全过程进行摄像，获得了滚石碰撞前后的速度，进而得到碰撞恢复系数，探讨了不同降落高度和积水深度对碰撞恢复系数的影响规律。通过分析积水情况下玻璃珠与刚性底座碰撞和回弹过程中的受力，建立了积水情况下的滚石碰撞模型。结果表明：积水出现后，恢复系数随着积水深度的增大而减小，随着降落高度的升高而增大，积水的存在极大程度上降低了恢复系数。玻璃珠在与积水接触过程中，一部分能量将转化为积水的动能与液相桥的重力势能。
关键词：滚石恢复系数积水
Coefficient of restitution of granular material at the seeper condition
CHEN Yulong1, ZHANG Ke2
1.State Key Laboratory of Hydroscience and Engineering, Tsinghua University, Beijing 100084, China;
2.Faculty of Electric Power Engineering, Kunming University of Science and Technology, Kunming 650500, China
Abstract: The motion of a rockfall is strongly dependent on the coefficient of restitution. This study investigates the coefficient of restitution in the presence of seeper. The coefficient of restitution was measured for various rockfall and seeper fall heights. The influences of the seeper depth and the fall height of the glass beads acting as the rockfall on the coefficient of restitution were investigated during normal impact on a flat steel wall with a seeper layer using free-fall experiments with a high-speed camera used to capture the collision mechanics. A collision model was then developed for the glass beads and the seeper on the rigid wall. The model took into account the viscous, surface tension, capillary, contact, drag, buoyancy and gravitational forces acting on the bead. The results show that the seeper significantly reduces the coefficient of restitution. Deeper seeper layers then dissipate more energy during the collisions that gives smaller coefficients of restitution. The coefficient of restitution increased with increasing bead fall height with part of the energy transferred from the glass bead to the seeper.
Key words: rockfallscoefficient of restitutionseeper
中国西部山区面临严峻滚石灾害，其分布范围广、发生突然、频率高、防不胜防，对西部交通基础设施建设及人民生命财产安全造成巨大威胁。目前，滚石灾害已成为继滑坡、崩塌、泥石流灾害之后的又一大山地灾害。为避免或减小滚石灾害带来的损失，对滚石运动特性的研究便成了滚石研究的最基础工作和主要内容[1-2]。滚石碰撞恢复系数是计算滚石运动轨迹最为重要的参数[3]。恢复系数e定义为碰撞后滚石运动速度vr与碰撞前滚石运动速度的比值vi，即e=vr/vi，如图 1所示。恢复系数决定了滚石与坡面碰撞后的速度大小，表征着碰撞中能量的传递与耗散。它不仅与滚石的冲击速度、质量有关，还与滚石、坡面覆盖层的物理力学性质密切相关，目前尚无合理的计算理论，这是滚石灾害研究的一个难点问题。
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| 图 1 滚石碰撞模型[4] |
| 图选项 |
国内外****已对滚石碰撞恢复系数进行了一些研究[4-7]，但均只考虑了干燥的情况。然而，边坡坡面常常出现有积水的坑洼。在这样的情况下，若滚石在碰撞过程中遇到积水，将发生能量损失和水的质量传递。在干燥情况下，恢复系数主要与坡面与滚石的岩性和几何形态有关。积水出现后，恢复系数还与积水的液相性状有关。
考虑到滚石问题的复杂性，采用理论方法研究滚石碰撞恢复系数的难度非常大，目前主要依赖于实验，在实验的基础上通过反分析得到恢复系数。本文采用球状的玻璃珠代替岩块，利用高速摄像系统对碰撞全过程进行摄像，获得了滚石碰撞前后的速度，进而得到碰撞恢复系数，探讨了不同降落高度和积水深度对碰撞恢复系数的影响规律，为研究滚石的碰撞恢复系数提供实验数据，并为研究滚石多发区滚石坡面运动规律提供了一套理论方法，有助于预测滚石的运动轨迹，为正确认识滚石运动机制提供了理论基础。
1 实验方法实验系统如图 2所示。高速摄像系统能拍摄滚石自由降落、与刚性底座相碰撞和回弹的全过程，并通过解析获取各参数。滚石由真空吸嘴吸持住，悬空于刚性底座中心的正上方。真空吸嘴的气压关闭后，滚石以初始速度0向下自由落体运动。
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| 图 2 实验系统示意图 |
| 图选项 |
滚石采用球度非常高的玻璃珠，直径25 mm，质量20 g。玻璃珠作为颗粒材料，在岩土工程实验中得到了广泛的应用[8-11]。玻璃作为理想的弹性材料，在碰撞过程中只有极少的能量损耗。因此，积水将作为能量损耗的主要因素，极大程度上影响恢复系数。实验考虑不同降落高度和积水深度2种条件，降落高度为50~200 mm，积水深度为0~25 mm。每组实验重复进行20次。
2 实验结果及分析降落高度和积水深度与恢复系数关系如图 3所示。无积水条件下，恢复系数接近1.0，且不会受到降落高度的影响。说明玻璃珠与刚性底座近似发生弹性碰撞，只有极少的能量损耗。积水出现后，能量的损耗几乎完全由积水造成。
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| 图 3 降落高度和积水深度与恢复系数关系曲线 |
| 图选项 |
恢复系数随着降落高度的升高而增大，说明降落高度越大，积水导致的能量损耗所占的比例越小。反之，降落高度越小，积水导致的能量损耗所占的比例越大。从图 3可以看出，随着降落高度的降低，恢复系数的降幅增大。甚至出现玻璃珠落入积水中，无法弹起的情况，如降落高度50 mm，积水深度25 mm的情况。恢复系数随着积水深度的增大而减小，这是因为积水的黏滞阻尼随着其深度的增加而增大。
图 4给出了不同降落高度和积水深度条件下的测量误差，可见，积水的存在导致误差显著增大。且降落高度越小，误差越大；积水深度越大，误差也越大。说明积水对初始能量较低的情况影响更大。
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| 图 4 测量误差 |
| 图选项 |
利用高速摄像机捕捉到了玻璃珠自由降落、与刚性底座相碰撞和回弹的全过程。以降落高度200 mm，积水深度5 mm的实验结果为例，玻璃珠运动的全过程如图 5所示。观察图 5可以发现，玻璃珠回弹时，积水会部分附着在玻璃珠底部，随着玻璃珠共同上升。玻璃珠的能量会部分传递为积水的动能与重力势能。图 6演示了0.2 s左右的碰撞过程，玻璃珠首先与积水接触并向外挤压，与刚性底座碰撞后玻璃珠开始向上回弹，离开积水表面。此时，积水表面形成液相桥。之后，随着玻璃珠的升高，液相桥断裂，玻璃珠脱离积水继续上升。由图 7可知，液相桥的上升高度随着积水深度的增大而增大。玻璃珠在与积水接触过程中，一部分能量将转化为积水的动能与液相桥的重力势能。积水的深度越大，液相桥的重力势能越大，且玻璃珠与积水的接触越充分，能量的损耗就越大。
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| 图 5 玻璃珠自由降落、与刚性底座相碰撞和回弹过程 |
| 图选项 |
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| 图 6 积水深度5 mm的碰撞过程 |
| 图选项 |
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| 图 7 积水深度与液相桥高度关系曲线 |
| 图选项 |
图 8显示了玻璃珠自由降落、与刚性底座相碰撞和回弹过程中的速率变化。玻璃珠在降落过程中作匀加速运动，与积水接触后开始减速。随后，与刚性底座发生碰撞，碰撞时间10 μs。碰撞后，速度方向由向下变为向上，且速率被减小。之后，在液相桥和重力的作用下，速率大幅减小。最后，玻璃珠脱离液相桥作用，在重力作用下作匀减速运动。可见，积水的存在极大程度上降低了恢复系数。
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| 图 8 玻璃珠运动过程中的速率变化曲线 |
| 图选项 |
3 积水情况下滚石碰撞模型图 9为积水情况下玻璃珠与刚性底座碰撞和回弹过程中受力图。积水情况下，玻璃珠与刚性底座碰撞的一般式可表达为
| $\begin{array}{*{20}{c}}{{m_{\rm{p}}}\frac{{{{\rm{d}}^2}\mathit{\boldsymbol{x}}}}{{{\rm{d}}{t^2}}} = {\mathit{\boldsymbol{F}}_{{\rm{p,g}}}} + {\mathit{\boldsymbol{F}}_{\rm{t}}} + {\mathit{\boldsymbol{F}}_{\rm{b}}} + {\mathit{\boldsymbol{F}}_{\rm{D}}} + }\\{{\mathit{\boldsymbol{F}}_{\rm{C}}} + {\mathit{\boldsymbol{F}}_{{\rm{vis}}}} + {\mathit{\boldsymbol{F}}_{{\rm{cap}}}} + {\mathit{\boldsymbol{F}}_{{\rm{l,g}}}}.}\end{array}$ | (1) |
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| 图 9 碰撞与回弹过程中的受力 |
| 图选项 |
其中：mp为玻璃珠的质量，x为玻璃珠进入积水的深度，Fp, g与Fl, g分别为玻璃珠和积水的重力，Ft为表面张力，FD为阻力，Fb为浮力，FC为玻璃珠与刚性底座间的接触力，Fvis为黏滞力，Fcap为液相桥的毛细力。
表面张力Ft取决于玻璃珠与积水的接触面的周长和界面性质。表面张力Ft的竖向分量可表达为[12-15]
| ${\mathit{\boldsymbol{F}}_{\rm{t}}} = \pm {\gamma _{{\rm{la}}}}\pi {d_{\rm{p}}}\sin \alpha \sin \left( {\mathit{\Theta } + \alpha } \right).$ | (2) |
浮力Fb等于玻璃珠与积水接触时排开积水的重力，表达式为
| ${\mathit{\boldsymbol{F}}_{\rm{b}}} = \pm V{\rho _1}\mathit{\boldsymbol{g = }} \pm \frac{1}{6}\pi x\left( {3R_{\rm{p}}^2 - {x^2}} \right){\rho _1}\mathit{\boldsymbol{g}}.$ | (3) |
阻力FD可表达为
| ${\mathit{\boldsymbol{F}}_{\rm{D}}} = \pm \frac{1}{2}{C_{\rm{D}}}{\rho _{\rm{l}}}{A_{\rm{D}}}{v^2} = \pm \frac{1}{8}\pi {C_{\rm{D}}}{\rho _{\rm{l}}}d_{\rm{p}}^2{v^2}{\sin ^2}\alpha .$ | (4) |
| ${C_{\rm{D}}} = \frac{{24}}{{\mathit{Re}}} + \frac{4}{{\sqrt {\mathit{Re}} }} + 0.4.$ | (5) |
| $\mathit{Re = }\frac{{v{{d'}_{\rm{p}}}{\rho _{\rm{f}}}}}{\eta }.$ | (6) |
当玻璃珠与刚性底座相碰撞时，玻璃珠呈现弹塑性，接触力FC可表达为
| ${\mathit{\boldsymbol{F}}_{\rm{C}}} = {F_{{\rm{c,el}}}} + {F_{{\rm{c,d}}}}.$ | (7) |
| ${F_{{\rm{c,el}}}} = \frac{2}{3}{E^*}\sqrt {{R^*}x_{\rm{c}}^3} .$ | (8) |
| ${R^*} = {\left( {\frac{1}{{{R_{\rm{p}}}}} + \frac{1}{{{R_{\rm{w}}}}}} \right)^{ - 1}}.$ | (9) |
| ${R^*} = {R_{\rm{p}}}.$ | (10) |
| ${E^*} = 2{\left( {\frac{{1 - \mu _{\rm{p}}^2}}{{{E_{\rm{p}}}}} + \frac{{1 - \mu _{\rm{w}}^2}}{{{E_{\rm{w}}}}}} \right)^{ - 1}}.$ | (11) |
| ${E^*} = \frac{{2{E_{\rm{p}}}}}{{1 - \mu _{\rm{p}}^2}}.$ | (12) |
| ${F_{{\rm{c,d}}}} = {\alpha _{\rm{d}}}\sqrt {{m^*}{{k'}_{{\rm{el}}}}} x_{\rm{c}}^{1/4}\frac{{{\rm{d}}{x_{\rm{c}}}}}{{{\rm{d}}t}}.$ | (13) |
有效质量m*可表达为
| ${m^*} = {\left( {\frac{1}{{{m_{\rm{p}}}}} + \frac{1}{{{m_{\rm{w}}}}}} \right)^{ - 1}}.$ | (14) |
| ${m^*} = {m_{\rm{p}}}.$ | (15) |
| ${{k'}_{{\rm{el}}}} = \frac{2}{3}{E^*}\sqrt {{R^*}} .$ | (16) |
| ${\mathit{\boldsymbol{F}}_{{\rm{vis}}}} = \pm \frac{{6\pi \eta R_{\rm{p}}^2}}{{{h_{\rm{s}}} - x}}\frac{{{\rm{d}}x}}{{{\rm{d}}t}}.$ | (17) |
液相桥的毛细力Fcap取决于Laplace静水压力差Δp，其表达式为
| ${\mathit{\boldsymbol{F}}_{{\rm{cap}}}} = - \Delta p{A_{\rm{D}}} = - {\gamma _{{\rm{la}}}}\left( {\frac{1}{{{R_1}}} - \frac{1}{{{R_2}}}} \right)\pi R_{\rm{p}}^2{\sin ^2}\alpha .$ | (18) |
4 结论本文采用球状的玻璃珠代替岩块，利用高速摄像系统对碰撞全过程进行摄像，获得了滚石碰撞前后的速度，进而得到碰撞恢复系数，探讨了不同降落高度和积水深度对碰撞恢复系数的影响规律，主要结论如下：
1) 无积水条件下，恢复系数接近1.0，且不会受到降落高度的影响。恢复系数随着积水深度的增大而减小，这是因为积水的黏滞阻尼随着其深度的增加而增大。积水出现后，能量的损耗几乎完全由积水造成。恢复系数随着降落高度的升高而增大，说明降落高度越大，积水导致的能量损耗所占的比例越小。反之，降落高度越小，积水导致的能量损耗所占的比例越大。甚至出现玻璃珠落入积水中，无法弹起的情况。
2) 利用高速摄像机捕捉到了玻璃珠自由降落、与刚性底座相碰撞和回弹的全过程。玻璃珠首先与积水接触并向外挤压，与底座碰撞后玻璃珠开始向上回弹，离开积水表面。此时，积水表面形成液相桥。之后，随着玻璃珠的升高，液相桥断裂，玻璃珠脱离积水继续上升。液相桥的上升高度随着积水深度的增大而增大。玻璃珠在与积水接触过程中，一部分能量将转化为积水的动能与液相桥的重力势能。积水的深度越大，液相桥的重力势能越大，且玻璃珠与积水的接触越充分，能量的损耗就越大。
3) 玻璃珠在降落过程中作匀加速运动，与积水接触后开始减速。随后，与刚性底座发生碰撞，速度方向由向下变为向上，且速率被减小。之后，在液相桥和重力的作用下，速率大幅减小。最后，玻璃珠脱离液相桥作用，在重力作用下作匀减速运动。可见，积水的存在极大程度上降低了恢复系数。
4) 本文通过分析积水情况下玻璃珠与刚性底座碰撞和回弹过程中受力，建立了积水情况下的滚石碰撞模型。
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