, 孙靖譞 清华大学 汽车工程系, 北京 100084
收稿日期：2016-07-23
作者简介：吕振华(1961—), 男, 教授。E-mail:lvzh@tsinghua.edu.cn
摘要：针对工程中常见的厚度方向变密度的闭孔铝泡沫材料，该文通过动态和静态压缩实验与模拟分析，探讨了大尺度变密度铝泡沫部件变形与吸能特性分析的有限元模型构建方法。对变密度铝泡沫大试样的准静态压缩和冲击压缩实验研究表明：厚度方向变密度铝泡沫材料的压缩过程呈现从低密度层开始的逐层屈服变形伴随整体变形的特性，与密度均匀的铝泡沫材料的变形特性显著不同。该文建立了变密度铝泡沫大试样的分层变密度变尺度有限元模型和近似的密度和尺度均匀的有限元模型，计算结果对比分析表明：分层变密度变尺度有限元模型能够模拟实际材料的逐层屈服变形特性，计算的试样准静态和冲击压缩变形与吸能特性等与实验结果相符；而基于均匀模型的计算结果则不能模拟逐层变形特性，与实验结果及理论特性明显不相符。分层变密度变尺度有限元模型的单元尺度会影响逐层屈服变形特性模拟结果，基于单元尺度接近实际铝泡沫材料胞元尺度的分层有限元模型的计算结果与实验结果一致性较好。这些研究结果对各种结构的铝泡沫材料应用研究具有重要意义。
关键词：变密度铝泡沫材料冲击压缩力学特性分层变密度变尺度有限元模型逐层变形与吸能特性
Dynamic and static compression tests and FEA analyses of aluminum foam specimen with variable density in the loading direction
Lü Zhenhua
, SUN JingxuanDepartment of Automotive Engineering, Tsinghua University, Beijing 100084, China
Abstract: Closed-cell aluminum foams with variable densities in the loading direction are widely used. A finite-element mode (FEM) is used to model the foam deformation and energy absorption characteristics with dynamic and quasi-static compression tests. The results show that large aluminum foam specimens with variable densities have density-dependent layered deformation characteristics, which differ from uniform-density aluminum foams. Predictions of an FEM model with a layered variable density and layered element sizes are compared with those of a conventional FEA model with uniform density and element size. The computation results show that the layered gradual deformation characteristics can be simulated by the layered models with quasi-static and dynamic compression simulation results agreeing well with experimental data. The uniform model cannot accurately predict the layered gradual deformation characteristics. The element size of the layered models influences the simulated layered gradual deformation characteristics with simulation results using the layered model with element sizes equal to the foam cell diameter agreeing best with the experimental data. These results will improve engineering designs using aluminum foam materials.
Key words: aluminum foam with variable densitydynamic compressional mechanical characteristicsFE model with layered variable density and element sizelayered gradual deformation and energy absorption characteristics
铝泡沫材料属于典型的轻量化多孔材料，具有优良的能量吸收特性。国内外许多****对泡沫材料的力学特性进行了实验和有限元模拟研究[1-15]，但有限元模拟的准确性受到泡沫材料力学特性和微观结构复杂性的影响，有待进一步提高。多数有限元模拟研究中均采用宏观等效建模方式，所选择的泡沫材料本构模型对计算结果的准确性有重要影响。由于在基于实验数据进行本构模型拟合时会对材料的初始压缩应力峰值、塑性段的波动和斜率等特征进行一些简化，会引入相应的误差；同时由于泡沫材料微观结构的复杂性导致其在不同力学状态下的力学特性也较为复杂，而目前尚缺乏泡沫材料在各类力学状态下的准确本构关系模型[2]，在有限元计算中只能根据具体工况选用“较合适的”本构模型，这也影响着计算结果的精度。例如文[3]采用根据实验结果自行拟合的本构模型，模拟了层叠的铝泡沫结构对冲击波的衰减作用，计算的冲击波压力结果与实验结果偏差在10%左右。文[4]采用Deshpande-Fleck本构模型，模拟了在不同加载条件下金属泡沫试样的力学特性，在平面压缩等简单工况下，计算的压缩载荷结果的偏差在10%左右；而在三轴压缩、局部压陷等复杂工况下，计算的压缩载荷结果的误差则超过60%。
部分研究则通过建立泡沫材料胞元结构有限元模型，直接采用基体材料的本构模型进行计算，以避免泡沫材料本构模型引入的偏差。部分论文假设泡沫材料的胞元结构为理想化的多面体或椭球体，据此建立有限元模型，但计算的泡沫材料弹性模量与实验结果的偏差达到100%~300%[2]。文[5]则根据X光扫描得到的泡沫材料实际胞元结构建立有限元模型，计算的应力-应变曲线与实验结果一致性较高，误差不超过10%。但由于泡沫材料的实际胞元结构的不规则性、不均匀性，建模时只能采用较小的单元尺寸，导致计算量很大；同时受到X光扫描设备扫描能力的限制，难以实现对大尺寸泡沫部件的扫描、建模。
泡沫材料微观结构复杂性的一种表现是材料内部由于工艺原因导致的密度不均匀性，尤其是某些批量化生产的大厚度铝泡沫材料沿厚度方向存在较明显的密度变化。文[6]对在厚度方向变密度的铝泡沫材料进行了实验研究，发现密度变化会对铝泡沫材料的压缩力学特性产生显著影响。但目前尚无考虑密度变化影响的铝泡沫材料力学本构模型，且相关实验和模拟研究较少。因此有必要对工程中常见的变密度铝泡沫材料进行实验研究和有限元分析，研究其变形、承载和吸能特性，探索其有限元建模方法，以促进铝泡沫材料的工程应用研究。
本文针对国内工业化生产的一类闭孔铝泡沫材料，测定了不同密度的小尺寸试样的准静态、动态压缩应力-应变特性；同时制备了轴向变密度的大尺寸圆柱试样，进行准静态压缩和冲击压缩实验。在此基础上，探索了大尺寸试样的分层变密度变尺度有限元建模方法，并从准静态压缩和冲击压缩的变形过程、载荷变化和吸能特性的角度对比分析了有限元计算结果和实验结果，得到了关于变密度铝泡沫部件的静、动态力学特性的有限元分析方法的一些重要结果。
1 变密度铝泡沫材料试样压缩实验1.1 试样制备采用国内工业化生产的一种闭孔铝泡沫材料，截取同一块铝泡沫材料沿厚度的不同部位，分别制备了密度为0.50和0.71 g/cm3的小尺寸圆柱试样，试样的直径为30 mm、厚度为20 mm，其密度可视为近似均匀，以测定材料的基本力学特性。
同时，在整块铝泡沫材料中截取制作了厚度为100 mm的变密度大尺寸圆柱试样。为保证压缩实验过程中不出现失稳，圆柱直径取为80 mm，平均密度为0.63 g/cm3，如图 1所示。可以看到试样的胞元直径在轴向由上到下逐层减小，反映了变密度特性，沿轴向的密度变化范围约为0.54~0.73 g/cm3。
 |
| 图 1 轴向变密度铝泡沫大尺寸圆柱试样 |
| 图选项 |
1.2 实验工况对铝泡沫小试样和大试样均进行了准静态压缩实验，以等速率加载，实验应变率约为0.001 s-1；其中大试样的密度较小的一端面向作动头；对压缩实验过程进行了录像记录。
对铝泡沫小试样进行了分离式Hopkinson压杆(split Hopkinson pressure bar，SHPB)冲击实验，以测定材料在高应变率下的压缩应力-应变特性。SHPB实验台的杆径为37 mm，子弹长度为600 mm，入射杆、透射杆长度均为2 m，材料均为硬铝合金。实验过程进行了高速摄像记录，帧速为60 000帧/s。实验应变率最高达到1 100 s-1。
对铝泡沫大试样进行了与标准SHPB冲击实验方法有所不同的冲击压缩实验，实验系统示意图见图 2，实验台的杆径为100 mm，子弹长度为1.2 m，入射杆、透射杆长度均为2 m，材料均为45号钢。试样安装在入射杆前端，密度较小的一端朝向子弹方向。子弹直接冲击压缩试样，通过光帘测速装置测定子弹撞击试样的初速度。在入射杆中间位置布置应变片，测定入射杆应变，以计算试样末端载荷。对实验过程进行了高速摄像记录，帧速为15 000帧/s。实验中测定的子弹初速度为10.67 m/s。
 |
| 图 2 变密度铝泡沫大试样的冲击压缩实验系统示意图 |
| 图选项 |
1.3 实验结果铝泡沫小试样和大试样的准静态、动态压缩过程如图 3所示。变密度铝泡沫大试样的准静态和动态压缩变形过程均呈现从密度较小端向另一端逐层屈服的特点，在应变较大时前端部还出现了局部破裂，变形规律与小试样的明显不同。
 |
| 图 3 铝泡沫小试样、大试样的压缩实验过程 |
| 图选项 |
密度为0.50 g/cm3的铝泡沫小试样SHPB实验的入射杆中入射、反射波形和透射杆中透射波形如图 4a所示，波形均符合实验要求。小试样的准静态、动态压缩应力-应变曲线如图 4b所示(工程应力-应变)。由于SHPB实验中试样沿轴向的应变存在不均匀性，因此根据高速摄像记录处理得到的试样局部表面应变，给出了一种近似的实验应力-应变曲线，即试样后端的近似应力-应变，由试样后端透射杆应力计算出试样后端的应力(透射波信号较准确反映了试样后端的应力)，应变则取为试样后端一定厚度的平均应变。受子弹加载速度的限制，SHPB冲击实验未得到小试样较大应变阶段的应力-应变曲线。
 |
| 图 4 铝泡沫小试样、大试样的压缩实验曲线结果 |
| 图选项 |
2种铝泡沫小试样的准静态压缩应力-应变曲线均由初始的弹性上升段、初始屈服应力峰值、中间的压缩平台段和密实化阶段组成，初始屈服应力峰值的特征较为明显。在750和1 100 s-1的应变率下，材料的压缩应力水平有所提高，呈现较为明显的应变率效应。高应变率下的材料压缩应力-应变曲线形态与准静态压缩工况较接近。
变密度铝泡沫大试样的准静态压缩平均载荷-变形曲线、冲击压缩的平均载荷-时间历程分别如图 4c和4d所示，其中平均载荷为实验系统测量的试样末端作用力除以试样末端名义横截面积得到的截面平均载荷。变形为试样压缩过程中的轴向变形量。
可以看到，大试样的准静态压缩平均载荷-变形曲线在初始屈服后呈现小幅波动上升趋势，反映了大试样在压缩过程中逐层屈服的特点，与小试样的应力-应变曲线形态存在差异。冲击压缩平均载荷-时间历程曲线呈现较明显的波动性，有效数据时长仅为约0.8 ms，此后受到入射杆末端反射应力波的影响。由于加载方式不同，不便直接比较铝泡沫小试样和大试样的动态压缩力学特性。
2 变密度铝泡沫大试样压缩模拟分析的有限元模型构建2.1 变密度铝泡沫大试样的变尺度单元分层有限元模型采用宏观等效有限元模型模拟变密度铝泡沫大试样的变形及吸能特性。由于试样的密度沿轴向有明显的变化，而目前尚无变密度铝泡沫材料的力学本构关系模型，因此考虑将试样沿轴向分为不同密度的多层，对每层赋予相应密度的材料参数。
分层建立有限元模型的合理方法是测定试样的轴向密度分布，确定各层厚度和密度。但受测量工作量等限制，这种方法不便普遍应用。
铝泡沫材料的胞元是其最小结构单元，直接影响其密度和力学特性。同一块铝泡沫材料中的胞元壁厚差异不显著，在此情况下胞元直径的倒数与材料密度呈正相关关系，可作为材料密度的表征。因此，可以考虑以大试样轴向各处的局部胞元直径作为单元分层的参考尺度，建立有限元模型。
对于图 1中的变密度铝泡沫大试样，其轴向不同位置的胞元直径不同，基本呈单调变化。测量试样两端的胞元直径，作为第一层和最后一层单元的厚度；设其沿轴向的各层平均胞元直径变化是线性的，则可确定中间各层单元厚度。据此建立试样的分层变密度变尺度有限元模型，每层单元厚度从6.9到4.2 mm等比例连续变化，共18层。
同时，依照相同的建模思路，分别建立分层单元尺度小于胞元直径和大于胞元直径的有限元模型，以对比研究模型的分层单元尺度对计算结果的影响。其中分层单元尺度小于胞元直径的模型单元厚度从4.1到2.5 mm连续变化，共30层；分层单元尺度大于胞元直径的模型单元厚度从11.8到6.3 mm连续变化，共11层。3种分层尺度不同的分层有限元模型如图 5所示。
 |
| 图 5 大尺寸试样的3种分层尺度不同的分层有限元模型 |
| 图选项 |
此外，作为对比，按大尺寸试样的平均密度建立其近似的密度和单元尺度均匀的有限元模型，单元厚度为5.6 mm。
2.2 分层单元的材料密度和力学本构关系模型根据大尺寸试样轴向的密度变化范围，结合节2.1建立的3种分层变密度变尺度模型中各层单元厚度和试样的平均密度，设各层单元材料密度是线性变化的，即可确定各层单元材料的密度值。
对于相同基体材料、不同密度的铝泡沫材料，其主要的材料力学参数基本呈现随材料密度变化的规律性[1, 7]。根据Gibson和Ashby对泡沫材料的准静态力学特性描述[1]，对于闭孔铝泡沫材料，其弹性模量主要由相对密度和基体材料弹性模量决定，塑性屈服应力主要由相对密度和基体材料的塑性屈服应力决定，有
| $E = {E_{\rm{s}}}(0.32{\rho _{\rm{r}}} + 0.32{\rho ^2}_{\rm{r}}), $ | (1) |
| ${\sigma _{\rm{y}}} = {\sigma _{{\rm{ys}}}}(0.33{\rho _{\rm{r}}} + 0.44{\rho ^2}_{\rm{r}}).$ | (2) |
| ${\varepsilon _{\rm{D}}} = 1-1.4{\rho _{\rm{r}}}.$ | (3) |
| $\left\{ \begin{array}{l}x = {C_0} + {C_1}{\rho ^n}_{\rm{r}}\\{\varepsilon _{\rm{D}}} =- {C_2}{\rm{ln}}{\rho _{\rm{r}}}.\end{array} \right.$ | (4) |
因此，在相对密度较小、密度变化范围不大时，可基于某些密度的铝泡沫试样的实验结果，通过以相对密度为自变量的线性插值，近似估计其他密度的铝泡沫材料的力学特性。即可基于图 4a小试样的准静态和动态压缩应力-应变曲线，插值得到大试样有限元模型各层单元的材料力学特性。
实验测定的铝泡沫小试样的高应变率应力-应变曲线未包含较大应变阶段。考虑到相关文献中测定的铝泡沫材料在不同应变率下的应力-应变曲线具有形态相似性[3, 8-9]，结合本文实验测得的不同应变率的应力-应变曲线在较小应变阶段也具有形态相似的特征，可以维持曲线形态相似性的假设。因此，将铝泡沫小试样的准静态实验曲线适当平滑，并基于形态相似性外推弥补较大应变阶段的高应变率的应力-应变曲线，作为构建有限元模型的材料本构模型的基础，如图 6所示。
 |
| 图 6 对铝泡沫小试样压缩应力-应变曲线的拓展 |
| 图选项 |
考虑到铝泡沫小试样在实验中表现出较高的初始屈服应力峰值和应变率效应，在有限元计算中选择可描述这些特点的Modified-Crushable-Foam本构模型[16]。该模型采用最大主应力屈服准则，考虑压缩硬化效应；根据输入的材料在不同应变率下的一系列单向压缩应力-应变曲线，通过插值确定单元在当前迭代步的应变率下的硬化律，不同单元可根据其各自的应变率适用不同硬化律；在材料拉伸时，采用弹性-理想塑性模型描述；在材料卸载时，采用线弹性模型。材料塑性流动时的应力计算式为
| $\sigma _{ij}^{{\rm{tr}}} = \sigma _{_{ij}}^k + E\dot \varepsilon _{ij}^{\left( {k + 1/2} \right)}\Delta {t^{\left( {k + 1/2} \right)}}, $ | (5) |
| $若|\sigma _i^{{\rm{tr}}}| > {Y^0}{\rm{ }},则\sigma _i^{(k + 1)} = \sigma _i^{{\rm{tr}}}Y/|\sigma _i^{{\rm{tr}}}|.$ | (6) |
根据大试样分层变密度变尺度有限元模型的各层单元材料密度，对图 6中的压缩应力-应变曲线进行插值，得到各层单元材料的压缩应力-应变曲线，建立各层单元材料的本构模型，并赋予各层单元。对于均匀模型，使用插值得到密度为0.63 g/cm3的材料本构模型。
2.3 实验过程的有限元模拟分析模型参照变密度铝泡沫大试样的准静态压缩实验和冲击压缩实验工况，设定有限元模拟计算工况。对于准静态压缩工况，建立直径为100 mm的压头和底座模型，二者厚度均为50 mm，材料均为45号钢；底座模型底部设置固定约束；对压头模型设定恒定速度加载，将加载速度提高为10 mm/s，对应的应变率为0.1 s-1，以适当提高有限元模型的计算效率。
对于冲击压缩工况，建立直径为100 mm的子弹、入射杆、透射杆和吸收杆模型，模型尺寸均与实验设备相同，材料均为45号钢；试样置于子弹和入射杆之间、末端与入射杆前端相接触，初始状态下子弹与试样前端之间有0.01 mm的间隙；入射杆、透射杆和吸收杆依次相接触。设定子弹撞击试样的初速度与实验工况相同，为10.67 m/s。模型的各接触面均设置基于接触力罚函数的面-面接触关系，摩擦因数设为0.1。
3 变密度铝泡沫大试样静、动态压缩特性模拟分析3.1 准静态压缩特性模拟分析变密度铝泡沫大试样的4种不同有限元模型的准静态压缩变形过程模拟计算与实验结果的比较如图 7所示，计算结果展示了模型的轴向位移云图，每张图的上半部分为模型中心剖面的单元变形状态，下半部分则为模型外表面的单元变形状态。
 |
| 图 7 4种模型的准静态压缩变形计算与实验结果 |
| 图选项 |
准静态压缩实验中大试样呈现从低密度层开始的逐层屈服变形伴随整体变形的特性，变形由密度较小的一端开始，逐步向密度较大的部分扩展。密度较小一端的轴向压缩量和横向变形量都较大，变形后的试样呈现近似锥形，伴随着端部边缘的一定程度破裂。
基于3种分层变密度变尺度有限元模型的计算结果均反映出了试样的逐层变形特点，整体变形形态与实验结果较为相似。其中分层尺度接近胞元直径的模型变形过程与实验结果最为相似，分层尺度较小的模型的前部变形略大，分层尺度较大的模型的前部变形则略小。有限元模型未能模拟试样端部边缘的破裂状态，这是由于所采用的宏观等效建模方法和材料本构模型均只适用于模拟试样的宏观变形特性，胞元结构的破裂失效等问题则超出了其分析范畴，难以对试样端部边缘的破裂形态进行可靠模拟；另一方面，由于实验工况下大试样仅在密度较小端边缘发生了局部破裂，对试样前端的变形形态和力学特性有一定的影响，而对试样中部和末端的影响很小，有限元模型忽略局部破裂效应不会对试样整体变形和平均载荷特性产生显著影响。
而密度和单元尺度均匀的有限元模型则由于其轴向力学特性均匀，整体呈现均匀变形，不能模拟试样的非均匀变形，与实验结果有明显的差异。
大试样的4种不同有限元模型的准静态压缩平均载荷-变形曲线计算结果与实验结果的对比如图 8所示。有限元计算的试样的平均载荷同样由试样模型末端作用力除以试样末端名义横截面积得到。
 |
| 图 8 4种模型的准静态压缩平均载荷-变形曲线与实验结果对比 |
| 图选项 |
对试样的初始压缩阶段的有限元模拟计算结果与实验结果略有偏差，这一方面与有限元模型中插值得到的材料参数的误差有关；另一方面，实际铝泡沫试样在同一横截面上胞元结构存在不均匀，而有限元模型未考虑这一不均匀性。在后续的等效塑性变形阶段，由于3种分层变密度变尺度有限元模型均能较好地模拟大试样的逐层变形特性，因此三者计算的平均载荷-变形曲线较为接近，与实验结果具有较高的一致性，但曲线的波动形态有差别。曲线的波动反映了试样压缩过程中的逐层屈服，而有限元模型的分层单元尺度决定了模型在变形过程中逐层屈服的发展过程，因此计算结果曲线的平均载荷波动周期(单次波动对应的变形增量)随着模型的分层单元尺度的增大而增大。其中以分层单元尺度接近胞元直径的模型计算曲线的波动周期与实验结果最为接近，因为其分层尺度更接近实际试样的逐层屈服尺度，更利于模拟实际试样的逐层屈服、破坏过程。但同样由于材料参数偏差和对实际试样胞元结构不均匀性模拟偏差等因素的影响，其计算曲线与实验结果也难以完全一致。
而均匀模型未能模拟试样的逐层变形特性，且其材料密度和屈服应力都高于实际试样中前期参与变形的部分，因此计算的平均载荷高于实验结果，初始载荷峰值的差异尤为明显。
变密度铝泡沫大试样的4种不同有限元模型的准静态压缩模拟计算结果的整体轴向变形能密度-变形曲线与实验结果的对比如图 9a所示，试样整体轴向变形能密度由试样整体轴向变形吸能量除以试样初始体积得到，试样整体轴向变形吸能量由试样末端作用力和轴向压缩变形量进行数值积分得到(这样便于与实验结果进行比较)。可以看到，基于3种分层变密度变尺度有限元模型计算的整体轴向变形能密度-变形曲线与实验结果一致性较高，而均匀模型的计算结果明显高于实验结果。
 |
| 图 9 准静态压缩整体轴向变形能密度曲线及分段变形能曲线 |
| 图选项 |
将分层单元尺度接近胞元直径的模型和均匀模型沿轴向等分为5段，从密度较小端到密度较大端依次编号，提取每段模型的单元变形能与整体轴向压缩变形量的关系曲线，如图 9b和9c所示。分层变密度变尺度有限元模型的变形吸能相对集中于密度较小端，变形能逐段递减，反映了试样逐层变形吸能的特性；基于均匀模型计算的各段变形能则基本相同，说明模型均匀变形，与实验中观察到的试样逐层变形特性有显著差别。
因此，若采用密度和单元尺度均匀的有限元模型对大尺度、轴向变密度铝泡沫材料吸能结构进行有限元分析，则不能反映此类材料的逐层变形特性，且计算结果将高估初始载荷峰值和变形吸能量，对相关的方案设计和优化产生误导。
需要说明，由于准静态压缩和冲击压缩工况的计算采用统一的模型和算法，因此准静态压缩工况也采用了显式有限元方法进行计算。由于以较低的恒定速率对试样模型进行压缩，计算过程中模型的最大动能仅占总能量的近0.1%，其影响可以忽略。
3.2 冲击压缩特性模拟分析变密度铝泡沫大试样的4种不同有限元模型的冲击压缩变形过程模拟计算与实验结果的比较如图 10所示，计算结果展示了模型的轴向位移云图，每张图的上半部分为模型中心剖面的单元变形状态，下半部分则为模型外表面的单元变形状态。
 |
| 图 10 4种模型的冲击压缩变形过程与实验结果比较 |
| 图选项 |
冲击压缩工况下试样呈现与准静态工况相似的逐层变形特性，变形后的试样呈现近似锥形。基于3种分层变密度变尺度有限元模型的计算结果均反映了实验中试样的变形特点(如节3.1所述，未能模拟试样的端部边缘破裂)，分层单元尺度接近胞元直径的模型的变形过程与实验结果最为相似；而均匀模型的轴向变形分布较均匀，且未形成锥度，与实验结果有明显差异。
参照图 9中的试样轴向分段，根据铝泡沫大试样冲击压缩实验的高速摄像记录提取每段的变形量，计算每段变形量与该段初始轴向长度的比值，得到局部相对变形-时间历程；同时提取分层单元尺度接近胞元直径的有限元模型计算得到的轴向分段局部相对变形-时间历程，与实验结果对比，如图 11所示。
 |
| 图 11 分段局部相对变形-时间历程计算结果与实验结果对比 |
| 图选项 |
模型计算结果的规律性与实验结果较为一致：初始弹性阶段试样整体变形相对较均匀，各段局部相对变形较接近，受到子弹冲击的密度较小端的变形略大(由于刚度不均匀性及惯性效应等)；进入等效塑性阶段后，试样密度较小端的变形显著增加且应力水平较高(由于屈服强度不均匀性及惯性效应等)，局部相对变形从密度较小端到另一端逐层递减。试样密度较小端的局部相对变形始终较高，是另一端局部相对变形的2.5~8倍。
但受材料参数误差和实际试样胞元结构不均匀性等因素的影响，计算的1.5 ms后的密度较小端局部相对变形略小于实验结果，密度较大端局部相对变形略大于实验结果，轴向局部变形的不均匀度略小于实验结果。
大试样的4种不同有限元模型计算得到的平均载荷-时间历程与实验结果的对比见图 12。实验结果的波动性较强，主要是由于冲击压缩实验受到试样与入射杆之间接触条件、试样局部破裂以及实验测试系统中的随机因素等的影响。有限元计算结果的波动性弱于实验结果，与计算中接触条件、材料参数及模型不均匀性的设置较为理想化等因素有关。
 |
| 图 12 4种模型的冲击压缩平均载荷-时间历程与实验结果对比 |
| 图选项 |
在试样初始变形阶段，基于4种有限元模型计算的试样的平均载荷-时间历程基本重合，且与实验结果均在0.2 ms左右出现了载荷波峰。试样在这一时刻的压缩量很小，仍处于弹性变形阶段，这一波峰与子弹对试样的惯性加载力的变化、试样中的弹性波、试样和入射杆端面的初始接触状态变化等有关。由于有限元模型的接触条件设置与实验中实际接触状态有所不同，计算的初始载荷峰的形态与实验结果相似，但峰值水平略低。
在约0.4 ms之后，4种有限元模型的计算结果出现分离。均匀模型由于不能模拟试样的逐层变形过程，所计算的曲线呈现单调上升形态，与实验结果产生明显的偏差。基于3种分层变密度变尺度有限元模型计算的平均载荷-时间历程曲线则均反映出了实验曲线在0.5 ms左右的波峰和0.7 ms左右的波谷。在0.5 ms至0.8 ms阶段，基于这3种分层变密度变尺度有限元模型的计算曲线的波动形态呈现差异，波动周期随分层单元尺度的增大而增大，规律与准静态工况相同。
变密度铝泡沫大试样的4种不同有限元模型的冲击压缩整体轴向变形能密度-变形曲线计算结果与实验结果的对比如图 13a所示。可以看到，由于在试样初始变形阶段的平均载荷计算值略低于实验结果，因此有限元计算的试样整体轴向变形能密度-变形曲线在变形量为2~6 mm的阶段略低于实验结果。此后，基于3种分层变密度变尺度有限元模型的计算结果与实验结果的一致性较高，而均匀模型的计算结果则明显大于实验结果。与准静态压缩工况相比，在相同变形量下冲击压缩工况的试样整体轴向变形能密度较高(参考图 9a)，也反映了试样的应变率效应。
 |
| 图 13 4种模型的冲击压缩分段变形能-时间历程曲线 |
| 图选项 |
参照图 9，提取分层单元尺度接近胞元直径的模型和均匀模型的分段单元变形能-时间历程曲线如图 13b和13c所示。与准静态压缩工况类似，基于分层变密度变尺度有限元模型计算的变形吸能均相对集中于密度较小端，反映了试样的逐层变形吸能特性；而均匀模型计算的各段变形能则差异很小，未能反映试样的逐层变形特性。
因此，在冲击压缩工况下，若采用密度和单元尺度均匀的有限元模型进行大尺度变密度铝泡沫材料的力学特性分析，则同样存在不能反映此类材料的逐层变形特性、且高估初始压缩载荷峰值和高估变形吸能量的问题。
此外，分层单元尺度接近胞元直径的有限元模型中不同径向位置、不同时刻的轴向应变率分布曲线如图 14所示(应变率为对应位置的单元轴向应变的数值导数)，图 14轴向位置0代表试样的密度较小端、100代表另一端。可以看到，模型的轴向应变率为0~300 s-1，在铝泡沫小试样实验测试的应变率范围之内。在冲击压缩过程的初期，模型的轴向应变率峰值位于密度较小端，然后逐渐向末端移动，并且应变率峰值逐渐减小。
 |
| 图 14 分层有限元模型不同径向位置、不同时刻的轴向应变率 |
| 图选项 |
受试样在轴向压缩过程中横向变形的影响，在圆柱试样的不同半径的轴剖面上，沿轴向的单元应变率的变化规律存在差异。这对于铝泡沫吸能缓冲结构设计优化具有借鉴意义。
本节的一系列计算分析结果充分表明：对于大尺度变密度铝泡沫材料吸能结构的准静态压缩和冲击压缩力学特性设计分析，采用密度和尺度均匀的有限元模型的计算结果存在明显的定性和定量偏差，而采用适当的分层变密度变尺度有限元模型的计算结果与实验结果的一致性较高。
4 结论及讨论本文对工程中常见的厚度方向变密度的闭孔铝泡沫材料进行了准静态压缩和动态压缩实验研究和有限元模拟分析，研究了此类材料的静、动态压缩变形、承载和吸能特性，探讨了此类材料的压缩力学特性模拟分析的有限元建模技术。
实验研究表明：大尺度变密度铝泡沫材料在准静态和冲击压缩工况下均呈现从低密度层开始的逐层屈服变形伴随着整体变形的特性，与密度均匀的铝泡沫材料的屈服变形特性有显著的差异。
有限元模拟分析表明：对于大尺度变密度铝泡沫材料吸能结构，采用本文提出的分层变密度变尺度有限元建模方法能够较好地模拟实际材料的逐层屈服变形特性，计算的准静态压缩、冲击压缩变形和吸能特性与实验结果相符。分层变密度变尺度有限元模型的分层单元尺度决定了模型的逐层屈服变形特性，按胞元尺度进行单元分层的有限元模型有利于准确地模拟实际试样的逐层屈服、破坏，是较为合理的。而采用密度和尺度均匀的有限元模型的计算结果则不能反映此类材料的逐层屈服变形特性，将导致高估初始载荷峰值、高估变形吸能量等明显偏差，会误导相关吸能结构的设计分析。
大尺度变密度铝泡沫材料在冲击压缩工况的变形和吸能特性相对较为复杂，后续有必要进行更深入的探究。根据上述研究，由于铝泡沫材料的生产工艺、胞元结构差异等原因造成的复杂性，对密度不均匀性等特性差异较大的铝泡沫材料，需要进行针对性的材料力学特性实验和模拟分析，以准确地掌握其力学性能、尤其是冲击动力学特性，提高铝泡沫吸能缓冲结构的设计与应用水平。
参考文献
| [1] | Gibson L, Ashby M. Cellular Solids: Structure and Properties[M]. 2nd ed, Cambridge, UK: Cambridge University Press, 1997. |
| [2] | Giorgi M, Carofalo A, Dattoma V, et al. Aluminum foams structural modelling[J]. Computers and Structures, 2010, 88: 25–35. DOI:10.1016/j.compstruc.2009.06.005 |
| [3] | 胡永乐, 王峰超, 胡时胜. 泡沫铝经验型动态本构模型及其在LS-DYNA中的实现[J]. 兵工学报, 2014, 35(Suppl. 2): 46–50.HU Yongle, WANG Fengchao, HU Shisheng. An empirical dynamic constitutive model for aluminum foams and its implementation in LS-DYNA[J]. Acta Armamentarii, 2014, 35(Suppl. 2): 46–50. (in Chinese) |
| [4] | Reyes A, Hopperstad O, Berstad T, et al. Constitutive modeling of aluminum foam including fracture and statistical variation of density[J]. European Journal of Mechanics A/Solids, 2003, 22: 815–835. DOI:10.1016/j.euromechsol.2003.08.001 |
| [5] | 张健, 赵桂平, 卢天健. 泡沫金属在冲击载荷下的动态压缩行为[J]. 爆炸与冲击, 2014, 34(3): 278–284.ZHANG Jian, ZHAO Guiping, LU Tianjian. High speed compression behavior of metallic cellular materials under impact loading[J]. Explosion and Shock Waves, 2014, 34(3): 278–284. DOI:10.11883/1001-1455(2014)03-0278-07(in Chinese) |
| [6] | Beals J, Thompson M. Density gradient effects on aluminum foam compression behavior[J]. Journal of Materials Science, 1997, 32: 3595–3600. DOI:10.1023/A:1018670111305 |
| [7] | Deshpande V, Fleck N. Isotropic constitutive models for metallic foams[J]. Journal of the Mechanics and Physics of Solids, 2000, 48: 1253–1283. DOI:10.1016/S0022-5096(99)00082-4 |
| [8] | Deshpande V, Fleck N. High strain rate compressive behavior of aluminum alloy foams[J]. International Journal of Impact Engineering, 2000, 24: 277–298. DOI:10.1016/S0734-743X(99)00153-0 |
| [9] | CUI Liang, Kiernan S, Gilchrist M. Designing the energy absorption capacity of functionally graded foam materials[J]. Materials Science and Engineering A, 2009, 507: 215–225. DOI:10.1016/j.msea.2008.12.011 |
| [10] | Andrews E, Sanders W, Gibson L. Compressive and tensile behavior of aluminum foams[J]. Materials Science and Engineering A, 1999, 270: 113–124. DOI:10.1016/S0921-5093(99)00170-7 |
| [11] | Mukai T, Kanahashi H, Miyoshi T, el at. Experimental study of energy absorption in a close-celled aluminum foam under dynamic loading[J]. Scripta Materialia, 1999, 40(8): 921–927. DOI:10.1016/S1359-6462(99)00038-X |
| [12] | 高善清, 王高朋. 泡沫铝材料抗爆炸冲击问题研究[J]. 金属功能材料, 2013, 20(6): 45–52.GAO Shanqing, WANG Gaopeng. Study on explosion and shock wave resistance of aluminum foam material[J]. Metallic Functional Materials, 2013, 20(6): 45–52. (in Chinese) |
| [13] | 王永刚, 施绍裘, 王礼立. 采用改进的SHPB方法对泡沫铝动态力学性能的研究[J]. 实验力学, 2013, 18(2): 257–264.WANG Yonggang, SHI Shaoqiu, WANG Lili. An improved SHPB method and its application in the study of dynamic mechanical behavior of aluminum foams[J]. Journal of Experimental Mechanics, 2013, 18(2): 257–264. (in Chinese) |
| [14] | 丁圆圆, 杨黎明, 王礼立. 泡沫铝材料动态本构参数的实验确定[J]. 爆炸与冲击, 2015, 35(1): 1–8.DING Yuanyuan, YANG Liming, WANG Lili. Experimental determination of dynamic constitutive parameters for aluminum foams[J]. Explosion and Shock Waves, 2015, 35(1): 1–8. DOI:10.11883/1001-1455(2015)01-0001-08(in Chinese) |
| [15] | 章超, 徐松林, 王鹏飞, 等. 不同冲击速度下泡沫铝变形和应力的不均匀性[J]. 爆炸与冲击, 2015, 35(4): 567–575.ZHANG Chao, XU Songlin, WANG Pengfei, et al. Deformation and stress nonuniformity of aluminum foam under different impact speeds[J]. Explosion and Shock Waves, 2015, 35(4): 567–575. DOI:10.11883/1001-1455(2015)04-0567-09(in Chinese) |
| [16] | Hallquist J. LS-DYNA Theoretical Manual[M]. Livermore: Livermore Software Technology Corporation, 2006. |
