台玉琢 , 宋健 , 卢正弘 , 方圣楠 , Nguyen Truong Sinh
清华大学 汽车安全与节能国家重点实验室, 北京 100084

收稿日期：2017-12-04
作者简介：台玉琢(1993-), 男, 博士研究生
通信作者：宋健, 教授, E-mail:daesj@tsinghua.edu.cn

摘要：为了改善电动汽车的动力性和经济性，越来越多的研究者选择在电动汽车上加装无动力中断变速器。该文关注无动力中断变速器的换挡过程的控制方法，以减少换挡过程中的冲击和滑摩功；展示了一种无动力中断变速器的结构，并建立电动汽车传动系统的模型；然后对模型进行离散化，针对特定的评价函数进行最优化分析，得到最优控制序列和轨迹。在此基础上，应用一种结合前馈控制和反馈控制的控制方法对变速器进行控制。仿真结果表明：该控制方法能够减少换挡过程的滑摩损失，降低换挡过程中车辆冲击度。
关键词：变速器电动汽车最优轨迹换挡控制
Control algorithm for a seamless shifting 2-speed transmission based on the optimal trajectory
TAI Yuzhuo, SONG Jian, LU Zhenghong, FANG Shengnan, NGUYEN Truong Sinh
State Key Laboratory of Automotive Safety and Energy, Tsinghua University, Beijing 100084, China


Abstract: To improve the dynamics and energy efficiencies of electric vehicles (EVs), many researchers have decided to equip EVs with seamless shifting transmission. This paper focuses on the control algorithm for a seamless shifting transmission that reduces the shock and friction losses during shifting. An EV powertrain model is developed that includes the seamless shifting transmission and then discretized. The discrete time algebraic equation and the objective function are then used to calculate the optimal control vectors and reference trajectories of the rotational speeds. The control vectors and trajectories are then used to develop a control algorithm which contains both feed forward and feed backward parts to control the transmission. Simulations show that the algorithm not only reduces the friction loss, but also lessens the shock during shifting.
Key words: transmissionelectric vehicleoptimal trajectorygear shifting control
纯电动汽车(electric vehicle, EV)由电机驱动，具有零排放、节能等特性，引起了各国政府和汽车制造商的广泛关注。汽车制造商普遍希望能够提高EV的动力性和经济性^[1]以使其更有竞争力。由于电机相比内燃机具有低速大扭矩、工作范围广的特性，大部分的EV仅有减速器即可满足驾驶需求。然而这也给EV带来了3个主要问题：电机成本增加，电机的启动电流较大和续航里程减少。目前，已有研究证明通过加装多挡位变速器能够显著改善这些问题^[2-4]。Ren等^[3]证明了在新欧洲行驶工况(new European driving cycle, NEDC)下，加装了两挡变速器的EV的电能消耗比仅有减速器的EV减少了9.2%。一些研究认为在EV上采用两挡位变速器是一个在成本和收益之间的权衡^[5-6]。
为提高EV的换挡舒适性和动力性，国内外许多****研究了EV用无动力中断变速器，并提出了许多构型。这些构型主要分为2类，第1类是平行轴式变速器，其起变速功能的部分是平行轴式的，通过不同速比的齿轮副来达到变速的效果。文[7-8]将湿式双离合器自动变速器(dual clutch transmission, DCT)应用在EV上，实现了无动力中断换挡。一种更简单的机构是将后置离合器和单向离合器结合来实现无动力中断的效果，文[9-11]提出类似的想法，并做了实验研究。第2类是行星齿轮式，通过一对或者几对行星齿轮副的结合来变速。行星齿轮式的变速器结构与液力自动变速器(automatic transmission, AT)类似，它结构紧凑，能够在不同挡位间平滑切换，具有动力耦合和结构紧凑的优点。方圣楠等^[12]提出了一种带式制动器和离心摩擦离合器相结合的两挡动力不中断变速器，并应用了最优控制理论^[13]来控制变速器。Mousavi等^[14]提出了一种具有两个制动器和两个行星排的变速器结构，它通过对两个制动器控制实现两个挡位。
对于动力不中断变速器，已经有多种换挡方法提出，例如最优控制^{[9, 12-13]}、跟随比例-积分-微分控制(proportional-integral-derivative controller, PID)^{[11, 15]}、粒子群算法^[8]等。可以看出，动力不中断变速器的控制方法主要包含2个部分：前馈控制和反馈控制部分。本文提出了一种基于最优控制序列和最优轨迹的前馈控制和反馈控制相结合的控制方法，并研究了换挡过程参数对换挡过程的影响，以保证换挡过程的冲击度和滑摩损失达到理想的程度。
本文首先建立EV的动力学模型，将其转换为离散的差分状态方程；然后将规定时间范围的冲击度，离合器的滑摩功，控制变化量以及末端状态作为评价性能指标，设计离散线性二次型状态反馈调节器；通过离散Riccati方程得到控制过程的最优控制序列和轨迹序列；最终进行了仿真实验，并验证了控制方法的有效性。
1 电动汽车动力系统模型1.1 两挡无动力中断变速器模型两挡无动力中断变速器的结构及动力传递路线如图 1所示。变速器的主要元件包括：干式离合器、带式制动器和行星排。如图 1a所示，在一挡时，带式制动器抱死，干式离合器分离，电机力矩从太阳轮传到行星架，再通过主减速器传递到差速器，最终到达车轮。如图 1b所示，在二挡时，干式离合器完全接合，带式制动器分离，整个行星排一起转动，电机力矩直接传递到主减速器，进而通过差速器传递到车轮。该动力不中断变速器的换挡过程与DCT类似，可分为转矩相和惯性相。升挡时，离合器开始滑摩，进入转矩相，制动器的静摩擦力矩逐渐减小，当其接近零时，制动器顺势脱开，进入惯性相。惯性相离合器继续滑摩，直到完全接合进入二挡。降挡情形与之类似。首先制动器开始滑摩，进入惯性相，离合器的静摩擦力矩逐渐减小，当离合器的静摩擦力矩降为零时，离合器顺势脱开，进入转矩相。当制动器完全接合时，降至一挡。

图 1 变速器结构简图及力矩传递路线

图选项

该变速器的运动学方程为：

$\left( {{r_{\rm{R}}} + {r_{\rm{S}}}} \right){\omega _{\rm{C}}} = {r_{\rm{S}}}{\omega _{\rm{S}}} + {r_{\rm{R}}}{\omega _{\rm{R}}}$

(1)

其中：ω_S、ω_C和ω_R分别是太阳轮、行星架和齿圈的转速，r_R和r_S分别是齿圈和太阳轮的分度圆半径。
当变速器工作在稳态，变速器速比为：

${i_{{\rm{g1}}}} = 1 + {K_{\rm{s}}},$

(2)

${i_{{\rm{g2}}}} = 1.$

(3)

其中：i_g1和i_g2分别为变速器的一挡和二挡速比，K_s为齿圈和太阳轮的齿数比。
针对变速器的换挡过程，建立变速器的动态模型。变速器的简化模型如图 2所示。其中: T_M为电机的输出力矩，T_T为变速器的输出力矩，T_BR是制动带的摩擦力矩，T_CL是离合器的摩擦力矩，ω_S、ω_C和ω_R分别是太阳轮、行星架和齿圈的转速，I_S、I_C和I_R分别是太阳轮、行星架和齿圈的转动惯量。建立该变速器的Lagrange方程，并求解得到动力学方程

$\left\{ \begin{array}{l}{J_1}{{\dot \omega }_{\rm{R}}} + {J_2}{{\dot \omega }_{\rm{C}}} = {T_{\rm{M}}} - {T_{\rm{T}}} + {T_{{\rm{BR}}}},\\{J_3}{{\dot \omega }_{\rm{R}}} + {J_4}{{\dot \omega }_{\rm{C}}} = \frac{{{T_{{\rm{CL}}}}\left( {1 + {K_{\rm{s}}}} \right) + {T_{{\rm{BR}}}}}}{{ - {K_{\rm{s}}}}} + {T_{\rm{M}}}.\end{array} \right.$

(4)

$\left\{ \begin{array}{l}{J_1} = - {I_{\rm{S}}} \cdot {K_{\rm{s}}} + {I_{\rm{R}}},\\{J_2} = {I_{\rm{S}}} \cdot \left( {1 + {K_{\rm{s}}}} \right) + {I_{\rm{C}}},\\{J_3} = - {I_{\rm{S}}}{K_{\rm{s}}} - \frac{{{I_{\rm{R}}}}}{{{K_{\rm{s}}}}},\\{J_4} = {I_{\rm{S}}} \cdot \left( {1 + {K_{\rm{s}}}} \right).\end{array} \right.$

(5)

图 2 变速器的简化模型

图选项

1.2 电动汽车纵向动力学模型汽车的阻力包含滚动阻力、空气阻力、加速阻力和空气阻力4个部分。汽车的行驶方程式为：

$\frac{{{T_{\rm{T}}}{i_0}{\eta _{\rm{T}}}}}{{{r_{\rm{w}}}}} = {F_{\rm{f}}} + {F_{\rm{w}}} + {F_{\rm{j}}} + {F_{\rm{i}}}.$

(6)

其中：i₀为主减速器的速比，η_T为传动系统的传递效率，r_w为车轮的滚动半径，F_f为滚动阻力，F_w为空气阻力，F_j为加速阻力，F_i为坡度阻力。F_f、F_w、F_j和F_i的表示如下：

$\left\{ \begin{array}{l}{F_{\rm{f}}} = fMg\cos \alpha ,\\{F_{\rm{w}}} = \frac{1}{2}{C_{\rm{D}}}Au_{\rm{v}}^2,\\{F_{\rm{j}}} = \delta M\frac{{{\rm{d}}{u_{\rm{v}}}}}{{{\rm{d}}t}},\\{F_{\rm{i}}} = Mg\sin \alpha .\end{array} \right.$

(7)

其中：f为滚动阻力系数，M为整车质量，g为重力加速度，c_D为空气阻力系数，A为迎风面积，u_v为车辆速度，δ为旋转质量换算系数，α为坡道角。
2 离散最优控制2.1 状态空间方程基于前文的建模，可以将变速器的模型变为：

$J\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{\dot \omega }_{\rm{R}}}}\\{{{\dot \omega }_{\rm{C}}}}\end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}1&1&0&{ - 1}\\1&{\frac{1}{{ - {K_{\rm{s}}}}}}&{\frac{{1 + {K_{\rm{s}}}}}{{ - {K_{\rm{s}}}}}}&0\end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{T_{\rm{M}}}}\\{{T_{{\rm{BR}}}}}\\{{T_{{\rm{CL}}}}}\\{{T_{\rm{r}}}}\end{array}} \right].$

(8)

其中：

$J = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{J_1}}&{{J_2} + {J_{\rm{v}}}}\\{{J_3}}&{{J_4}}\end{array}} \right].$

(9)

${J_{\rm{v}}} = \frac{{\delta Mr_{\rm{w}}^2}}{{i_0^2{\eta _{\rm{T}}}}},$

(10)

${T_{\rm{r}}} = \left( {{F_{\rm{w}}}{r_{\rm{w}}} + {F_{\rm{f}}}{r_{\rm{w}}} + {F_{\rm{i}}}{r_{\rm{w}}}} \right)\frac{1}{{{\eta _{\rm{T}}}{i_0}}}.$

(11)

方程(8)可以进一步化为：

$\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{\dot \omega }_{\rm{R}}}}\\{{{\dot \omega }_{\rm{C}}}}\end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{C_{11}}}&{{C_{12}}}&{{C_{13}}}&{{C_{14}}}\\{{C_{21}}}&{{C_{22}}}&{{C_{23}}}&{{C_{24}}}\end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{T_{\rm{M}}}}\\{{T_{{\rm{BR}}}}}\\{{T_{{\rm{CL}}}}}\\{{T_{\rm{r}}}}\end{array}} \right].$

(12)

本研究主要针对的是升挡过程的惯性相，此时离合器处在滑摩状态，制动器已经分离，即T_BR为零。选取此时系统的状态变量为x，控制变量为u，表示如下：

$\mathit{\boldsymbol{x}} = {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{\omega _{\rm{R}}}}&{\Delta \omega }&{{T_{\rm{M}}}}&{{T_{{\rm{CL}}}}}\end{array}} \right]^{\rm{T}}},$

(13)

$u = {\left[ {{{\dot T}_{\rm{M}}}{{\dot T}_{{\rm{CL}}}}} \right]^{\rm{T}}}.$

(14)

其中Δω为离合器主从动盘之间的相对转速。Δω可表示为：

$\Delta \omega = {\omega _{\rm{S}}} - {\omega _{\rm{R}}} = \left( {1 + {K_{\rm{s}}}} \right)\left( {{\omega _{\rm{C}}} - {\omega _{\rm{R}}}} \right).$

(15)

则系统可以化为：

$\mathit{\boldsymbol{\dot x}} = \mathit{\boldsymbol{Ax}} + \mathit{\boldsymbol{Bu}} + \mathit{\boldsymbol{Hw}},$

(16)

$\mathit{\boldsymbol{A}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}0&0&{{C_{11}}}&{{C_{13}}}\\0&0&{\left( {1 + {K_{\rm{s}}}} \right)\left( {{C_{21}} - {C_{11}}} \right)}&{\left( {1 + {K_{\rm{s}}}} \right)\left( {{C_{23}} - {C_{13}}} \right)}\\0&0&0&0\\0&0&0&0\end{array}} \right],$

(17)

$\mathit{\boldsymbol{B}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}0&0\\0&0\\1&0\\0&1\end{array}} \right],$

(18)

$\mathit{\boldsymbol{w}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{T_{\rm{r}}}}&0\\0&{{T_{\rm{r}}}}\end{array}} \right],$

(19)

$\mathit{\boldsymbol{H}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{C_{14}}}&{\left( {1 + {K_{\rm{s}}}} \right)\left( {{C_{24}} + {C_{{\rm{14}}}}} \right)}\end{array}} \right].$

(20)

由于换挡时间比较短暂，坡度阻力，滚动阻力和空气阻力几乎不变，可以将Hw看为常值干扰量。
2.2 评价性能指标本文将换挡时间间隔设定为定值t_f。固定时间间隔的最优控制系统的性能指标的一般形式为：

${J_{\rm{s}}} = \frac{1}{2}\mathit{\boldsymbol{x}}{\left( {{t_{\rm{f}}}} \right)^{\rm{T}}}\mathit{\boldsymbol{Sx}}\left( {{t_{\rm{f}}}} \right) + \frac{1}{2}\int_0^{{t_{\rm{f}}}} {\left( {{\mathit{\boldsymbol{x}}^{\rm{T}}}\mathit{\boldsymbol{Qx}} + {\mathit{\boldsymbol{u}}^{\rm{T}}}\mathit{\boldsymbol{Ru}}} \right){\rm{d}}t} .$

(21)

本文的性能指标泛函为：

${J_{\rm{S}}} = \frac{1}{2}S + \frac{1}{2}\int_0^{{t_{\rm{f}}}} {\left( {{Q_1} + {Q_2} + {Q_3}} \right){\rm{ + }}\left( {{R_{\rm{j}}} + {R_{\rm{1}}}} \right){\rm{d}}t} .$

(22)

$\left\{ \begin{array}{l}S = {s_{22}}\Delta {\omega ^2},\\{Q_1} = 2{q_{24}}{T_{{\rm{CL}}}}\Delta \omega ,\\{Q_2} = {q_{22}}\Delta {\omega ^2},\\{Q_3} = {q_{33}}T_{\rm{M}}^2 + {q_{44}}T_{{\rm{CL}}}^2,\\{R_1} = {r_1}\dot T_{\rm{M}}^2 + {r_2}\dot T_{{\rm{CL}}}^2,\\{R_{\rm{j}}} = {r_0}{\left( {{C_{21}}{{\dot T}_{\rm{M}}} + {C_{23}}{{\dot T}_{{\rm{CL}}}}} \right)^2}.\end{array} \right.$

(23)

其中的S、Q₁、Q₂、Q₃、R₁和R_j为子评价指标。指标S的目的在于控制系统在t_f时刻离合器完全接合，转速差为零；Q₁指标为离合器的滑摩功，降低换挡过程中产生的热量；指标Q₂使离合器的转速差趋于零；指标Q₃使矩阵Q非负定，通过合适的设置q₃₃和q₄₄使Q非负定，若矩阵负定则不能得到解析解；指标R_j通过降低输出轴冲击度${\ddot \omega _{\rm{C}}} $来减小车辆的冲击度；指标R₁能够减小换挡过程中T_M和T_CL的变化快慢，其中的r₁、r₂分别影响T_M、T_CL。综上，影响换挡过程的参数有s₂₂、q₂₂、q₂₄、q₃₃、q₄₄、r₀、r₁和r₂共8个。可得性能指标的矩阵S，Q和R为：

$\mathit{\boldsymbol{S}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}0&0&0&0\\0&{{s_{22}}}&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\end{array}} \right],$

(24)

$\mathit{\boldsymbol{Q}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}0&0&0&0\\0&{{q_{22}}}&0&{{q_{24}}}\\0&0&{{q_{33}}}&0\\0&{{q_{24}}}&0&{{q_{44}}}\end{array}} \right],$

(25)

$\mathit{\boldsymbol{R}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{r_0}C_{21}^2 + {r_1}}&{{r_0}{C_{21}}{C_{23}}}\\{{r_0}{C_{21}}{C_{23}}}&{{r_0}C_{23}^2 + {r_2}}\end{array}} \right].$

(26)

2.3 连续系统离散化，最优参考轨迹及控制序列将上述的连续系统进行离散化，得到：

$\mathit{\boldsymbol{x}}\left( {k + 1} \right) = \mathit{\boldsymbol{Gx}}\left( k \right) + \mathit{\boldsymbol{Lu}}\left( k \right) + \mathit{\boldsymbol{M}}.$

(27)

其中：

$\left\{ \begin{array}{l}\mathit{\boldsymbol{G}} = \mathit{\boldsymbol{I}} + \mathit{\boldsymbol{A}}\Delta t\\\mathit{\boldsymbol{L}} = \mathit{\boldsymbol{B}}\Delta t\\\mathit{\boldsymbol{M}} = \mathit{\boldsymbol{Hw}}\Delta t\end{array} \right..$

(28)

其中Δt为离散时间间隔。则性能指标J_s变为：

$\begin{array}{*{20}{c}}{{J_{{\rm{sd}}}} = \frac{1}{2}{\mathit{\boldsymbol{x}}^{\rm{T}}}\left( N \right)\mathit{\boldsymbol{Sx}}\left( N \right) + \frac{1}{2}\sum\limits_{k = 0}^{N - 1} {\left[ {{\mathit{\boldsymbol{x}}^{\rm{T}}}\left( k \right)\mathit{\boldsymbol{Qx}}\left( k \right) + } \right.} }\\{\left. {{\mathit{\boldsymbol{u}}^{\rm{T}}}\left( k \right)\mathit{\boldsymbol{Ru}}\left( k \right)} \right]\left( {k = 0,1,2, \cdots ,N - 1} \right).}\end{array}$

(29)

其中：N时刻为换挡结束时刻，即NΔt=t_f。在最优化的过程中忽略干扰量M，其为恒定值，且相对较小。针对这个离散线性二次型状态反馈调节器问题设计最优状态反馈，得到离散Riccati方程及终端条件：

$\begin{array}{*{20}{c}}{\left\{ \begin{array}{l}{\mathit{\boldsymbol{P}}_k} = \mathit{\boldsymbol{Q}} + {\mathit{\boldsymbol{G}}^{\rm{T}}}\left[ {{\mathit{\boldsymbol{P}}_{k + 1}} - {\mathit{\boldsymbol{P}}_{k + 1}}\mathit{\boldsymbol{L}}\left( {\mathit{\boldsymbol{R}} + {\mathit{\boldsymbol{L}}^{\rm{T}}}{\mathit{\boldsymbol{P}}_{k + 1}}\mathit{\boldsymbol{L}}} \right){\mathit{\boldsymbol{L}}^{\rm{T}}}{\mathit{\boldsymbol{P}}_{k + 1}}} \right]\mathit{\boldsymbol{G}},\\{\mathit{\boldsymbol{K}}_k} = {\left( {\mathit{\boldsymbol{R}} + {\mathit{\boldsymbol{L}}^{\rm{T}}}{\mathit{\boldsymbol{P}}_{k + 1}}\mathit{\boldsymbol{L}}} \right)^{ - 1}}{\mathit{\boldsymbol{L}}^{\rm{T}}}{\mathit{\boldsymbol{P}}_{k + 1}}\mathit{\boldsymbol{G}}\end{array} \right.}\\{\left( {k = 0,1,2, \cdots ,N - 1} \right).}\end{array}$

(30)

其中P_N=S。从后往前递推，得到了在固定时间段的反馈矩阵序列K_k，随后得到最优控制序列：

${\mathit{\boldsymbol{u}}^ * }\left( k \right) = - {\mathit{\boldsymbol{K}}_k}\mathit{\boldsymbol{x}}\left( k \right),\left( {k = 0,1,2, \cdots ,N - 1} \right).$

(31)

在此基础上，即可得到最优参考轨迹。
2.4 换挡过程参数对换挡过程的影响上文中，影响换挡过程的参数有8个，但是不是每个参数都对换挡过程有较大的影响，或者其存在负面的影响。本文着重分析q₂₂、q₂₄、r₀、r₁和r₂对换挡过程的影响。传动系统及仿真的主要参数见表 1。
表 1 传动系统及仿真的主要参数

参数	数值
汽车质量M/kg	1 500
滚动阻力系数f	0.010
空气阻力系数CD	0.30
迎风面积A/m2	1.80
车轮滚动半径rw/m	0.29
传动系统的传递效率ηT	0.95
旋转质量换算系数δ	1.00
主减速器速比i0	4.00
变速器一挡速比ig1	2.75
变速器二挡速比ig2	1.00
惯性相时间间隔tf/s	0.50
s22	10 000
q33和q44相同	0.010

表选项






在默认的q₂₂、q₂₄、r₀、r₁和r₂(q₂₂=1，q₂₄=1，r₀=0.01，r₁=0.5，r₂=0.5)不变的情况下，改变单独参数对换挡过程的影响如图 3所示。r₀改变时对变速器输出轴冲击度的影响见图 3a。当r₀=0.01时，过程中最大的冲击度${\ddot \omega _{{{C, max}}}} $=7.42 rad/s³，最小冲击度为${{\ddot \omega }_{{{C, min}}}} $=-6.42 rad/s³反映到整车上，车辆的最大冲击度约为0.54 m/s³，能够满足换挡要求。当r₀为500或1 000时，变速器输出轴的冲击度已经很小，小于1 rad/s³，而且两者之间最大的差值为${{\ddot \omega }_{{C}}} $ =0.26 rad/s³，改变也很小。可以看出尽管r₀对车辆有一定的影响，但是其占比很小的时候，就能够满足车辆换挡的需求。不同r₁对离合器和电机力矩的影响见图 3b，随着r₁的增加，电机的力矩变化越来越平稳。不同r₂对离合器和电机力矩的影响见图 3c。r₂对T_CL和T_M的影响与r₁正好相反，r₂对T_CL的影响较大，而T_M的变化趋势大致相同。图 3d和图 3e展示的是改变q₂₂对换挡过程的影响。可以看出，随着q₂₂的增加，Δω初始阶段下降的速度变快，但是之后会下降的慢，最终都在t_f时刻降为零。q₂₂越大，T_M和T_CL整体变化的幅度越大。当q₂₂=0.5时，T_M和T_CL变化较少，曲线也更加平缓。改变q₂₄对滑摩功的影响见图 3f，随着q₂₄的增加，离合器的滑摩功在逐渐地减小。

图 3 不同换挡参数对变速器换挡过程的影响

图选项

综合各个因素，本文最终选用的仿真参数为：q₂₂=1.5，q₂₄=1，r₀=500，r₁=0.5，r₂=0.5。
3 基于离散最优轨迹的控制方法在得到的最优参考轨迹的基础上，设计前馈控制规律。然而仅有前馈控制规律是不够的，还需要加入反馈控制来保证控制的稳定。本文构建了基于最优控制序列和最优轨迹序列的控制系统。首先，当系统从转矩相进入惯性相的时候，记录换挡的初始状态x₀。根据预定的惯性相间隔时间t_f，应用前文的离散Riccati方程计算最优的电机力矩需求T_Mf和离合器力矩需求T_CLf，以及参考转速轨迹Δω_ref和ω_{R, ref}。将T_Mf和T_CLf作为前馈控制部分，对电机和离合器的力矩需求进行预判。同时由于系统存在一定的误差，将偏差通过PID计算得到控制量，通过前文的动态模型方程，得出反馈控制的电机和离合器力矩需求。将前馈控制部分和反馈控制部分相加，最终得出实际的力矩需求T_{M, dmd}和T_{CL, dmd}。由于离散Riccati方程计算量较大，本文的最优前馈控制和参考轨迹采取离线计算。反馈控制部分采用在线计算，根据当前的真实转速Δω和ω_R，得到反馈控制量。
4 仿真结果本文在MATLAB/Simulink中对电动汽车动力系统模型和控制系统进行建模仿真。将这种基于离散Riccati方程的控制方法(下标记为1)与一种参考的前馈控制、稳态控制和反馈控制相结合的控制方法^[16](下标记为2)相对比。在速度为55 km/h时该电动汽车从一挡升到二挡，此时的加速度大约为0.43 m/s²，仿真结果如图 4和5所示。

图 4 仿真结果1

图选项

图 5 仿真结果2

图选项

图 4a对2种控制方法的电机、离合器和制动器的力矩进行了对比。可以看出，相比参考的控制方法，本文的控制方法在惯性相初始阶段电机力矩T_{M, 1}下降比较快，离合器力矩T_{CL, 1}上升的较快。在之后的阶段，离合器力矩T_{CL, 1}下降较快，电机力矩T_{M, 1}上升较快。由于制动器在惯性相就完全脱开，所以两种方法的制动器力矩T_{BR, 1/2}变化一致。图 4b显示了离合器的相对转速的变化，本文的控制方法的离合器相对转速开始阶段下降较快，后期较为平缓。图 5a展示了两者滑摩功的对比，采用本文控制方法滑摩功相比参考方法减少了将近14.7%。从图 5b中可以看出，两种方法的变速器输出力矩的最大波动都很小，参考方法的力矩波动大约为9.3%，本文方法为8.7%。相比参考方法，本文方法的转矩波动更小。
5 结论本文建立了搭载了两挡无动力中断变速器的电动汽车的动力系统模型，并在变速器动态模型的基础上，建立了其状态空间方程。针对确定的变速器换挡时间间隔，本文建立了一个评价性能指标。该评价性能指标考察换挡过程中离合器的滑摩功、车辆冲击度等目标。然后对状态空间方程进行离散化，并通过离散Riccati方程得到最优控制序列和最优参考轨迹。本文还研究了评价性能指标中的换挡过程参数对电机力矩、离合器力矩、滑摩功和离合器相对转速的影响。最后，本文提出了一种基于离散最优轨迹的控制方法，该方法结合了前馈控制和反馈控制。仿真结果表明:该方法能够减少滑摩损失，降低换挡过程的变速器输出力矩波动。

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