, 王冬 1,2 1. 清华大学 机械工程系, 北京 100084;
2. 精密超精密制造装备及控制北京市重点实验室, 北京 100084
收稿日期：2017-04-29
基金项目：国家自然科学基金资助项目（51622505，51575307）
作者简介：于广(1988-), 男, 博士研究生
通信作者：吴军, 副教授, E-mail:jhwu@tsinghua.edu.cn
摘要：机床的动态特性可以衡量机床抵抗动载荷的能力，对机床切削性能有着重要影响。该文以一种具有平行四边形结构的3自由度并联主轴头为研究对象，研究其动力学建模方法及其分析动态特性。该主轴头运动学支链中的杆件具有变截面特点，基于有限元思想该文提出了一种求解变截面杆件质量矩阵的方法，并考虑铰链的影响，建立了铰链的质量矩阵，进一步推导了并联主轴头的动力学模型。基于动力学模型，研究了并联主轴头在工作空间内的固有频率分布规律及其振型。通过在并联主轴头样机上的实验，验证了动力学模型和动态特性分析的准确性和有效性，为并联主轴头的工程应用奠定了坚实基础。
关键词：并联机构动力学模型质量矩阵固有频率
Dynamic model and dynamic characteristics of a 3-DOF spindle with a parallel linkage mechanism
YU Guang1,2, WANG Liping1,2, WU Jun1,2
, WANG Dong1,21.Department of Mechanical Engineering, Tsinghua University, Beijing 100084, China;
2.Beijing Key Laboratory of Precision/Ultra-Precision Manufacturing Equipments and Control, Beijing 100084, China
Abstract: The dynamic characteristics of a machine tool are related to the ability of the tool to resist the dynamic loads which has an important influence on the machine tool cutting performance. This paper presents a model of the dynamic characteristics of a 3-DOF spindle with a parallel linkage mechanism. The valuable cross-section of the link in the spindle complicates an accurate defination of the mass matrix. This paper presents an approach to derive the mass matrix of a link with an arbitrarily shaped cross-section based on the finite-element method. The joint mass matrix is also considered in the model. The dynamic model is then used to investigate the natural frequencies and the vibration modes in the workspace. Tests on a prototype with the parallel linkage validate the model for accurate dynamic modeling of 3-DOF spindles with parallel linkages. This work is very useful for development of the 3-DOF spindle with parallel mechanism.
Key words: parallel mechanismdynamic modelmass matrixnatural frequency
由于高刚度、高承载能力、低惯量等特性，并联机构得到了国内外学术界和工业界的广泛关注，已经应用在机床和机器人等多种领域[1-2]。其中一个比较成功的应用就是并联主轴头，这种主轴头克服了传统的摆叉式或万能式主轴头在运动学上的先天缺陷，可以配置在立柱的线性导轨上沿Y方向移动，工件安装在X方向移动的工作台上。这种配置的特点是可以获得较大的工作空间，对大型飞机结构件加工非常有利。由德国DSTechnologie机床公司开发的集成并联主轴头的五轴联动数控机床在航空制造企业中得到了广泛应用[3-4]。
机床的动态特性可以衡量其抵抗振动的能力，动态性能与其加工性能紧密相关，其中固有频率和振型等将影响切削的颤振稳定性，进而直接影响所加工零件的尺寸精度和表面质量，因此研究机床的动态特性具有重要意义。对于配有并联主轴头机床的动态特性，由于串联部分的刚度较大，动态特性主要由并联主轴头的结构体现。因此为了分析机床的动态特性，需要分析并联主轴头的动态特性，即求解机床的刚度矩阵和质量矩阵，从而获得准确的动力学模型。目前，利用有限元法和半分析法等[5-6]可以得到较准确的刚度矩阵，冯志友等[7]利用SolidWorks建立了4自由度并联机构模型，再导入Ansys软件进行模态分析，得到机构的固有频率和振型，揭示了机构的刚度分布和抗振性能规律；落海伟等[8]提出了一种弹性动力学建模方法，建模过程中将结构划分为子结构，通过变形协调条件将子结构的刚度矩阵进行集成，最终得到整机动力学方程，再进行固有频率和振型的分析。李忠杰[9]应用虚拟铰链法建立了并联3自由度振动台的动力学模型，仅考虑了驱动刚度，分析了固有频率和振型，并进行了相应的实验研究，但是求解具有变截面机床部件的质量矩阵仍具有挑战性。机床部件的质量矩阵的求解方法大致可分为3种[10-12]：1)直接法，基于有限元理论通过位移插值函数直接积分求得，得到的质量矩阵是一个包括平动和转动2部分的对称正定矩阵，但是该方法不适合变截面部件；2)模态凝聚法，借助有限元软件首先把单元实体导入有限元软件进行节点划分，得到每个节点的单元质量矩阵，之后进行模态凝聚的计算，这种方法不能获得质量矩阵的转动项；3)集中质量法，忽略耦合项把单元的质量平均集中到单元的每一个节点上，这种方法得到的矩阵精度较低。
本文以一种具有平行四边形结构的3自由度并联主轴头为研究对象，针对运动学支链中的杆件具有变截面的特点，基于有限元思想提出了一种求解变截面杆件质量矩阵的方法，进一步考虑铰链的影响，建立了并联主轴头的完整结构动力学模型。基于所建立的动力学模型，研究了并联主轴头在工作空间内的固有频率分布规律及其振型，最后在3自由度并联主轴头上进行了相应的实验研究。
1 机构描述及运动学分析1.1 机构描述图 1为一台五轴混联机床的三维模型，该机床主要用来加工航空薄壁结构件，由3自由度并联主轴头和传统的XY串联机构组成。主轴头配置在可沿Y轴移动的立柱上，工作台沿X轴移动。如图 2所示，3自由度并联主轴头包括一个用于固定电主轴的动平台、3个运动学支链及固定有3根导轨的箱体。
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| 图 1 五轴混联机床 |
| 图选项 |
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| 图 2 并联主轴头 |
| 图选项 |
每条运动学支链包括一个可以在导轨上滑动的滑台和一个平行四边形结构。其中，平行四边形结构与滑台和动平台之间分别通过转动副R和球副S连接，滑台和导轨之间通过移动副P连接，因此该并联主轴头为3-P(4R)S并联机构构型。滑台通过伺服电机驱动滚珠丝杠实现移动。通过3个滑台的移动可以实现动平台的二维转动和一维移动。
图 3给出了并联主轴头在工作空间中不同位置时，支链中的平行四边形机构Ei1Ei2Ei3Ei4所处的位置(如位置1、2和3)。假设虚拟点Bi相对于Ei3Ei4的位置与点Di相对于Ei1Ei2的位置相同，当杆件Ei1Ei4(Ei2Ei3)绕点Ei3(Ei4)运动时，虚拟杆BiDi绕点Bi运动，虚拟杆BiDi一直平行且相等于杆件Ei1Ei4(Ei2Ei3)，所以点Bi相当于转动副R的中心。因此，图 3中实线所示的P(4R)S支链等效于虚线所示的PRS支链，这种简化方法在文[13]研究3-P(4R)S并联主轴头运动学标定中也得到了证明。因此，在本文分析3-P(4R)S并联主轴头的运动学时，将P(4R)S支链简化为PRS支链。但是，为了获得准确动力学模型，在动力学建模部分，P(4R)S支链不做简化。
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| 图 3 单一支链结构原理图 |
| 图选项 |
图 4是并联主轴头的机构原理图，固定坐标系O-XYZ固定在移动箱体底面中心，Z轴垂直于底面，Y轴指向点A1，X轴符合右手螺旋定则。动坐标系O′-X′Y′Z′原点O′固定在动平台中心上，Z′轴垂直于动平台，X′轴由点O′指向D1。3个体坐标系Bi-uiviwi固定在等效转动副中心点Bi上，ui轴指向点Di，vi与转动轴的轴线平行。
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| 图 4 3-P(4R)S的简化原理 |
| 图选项 |
采用TT角α、β和φ来描述动平台的转动，则动坐标系O′-X′Y′Z′相对于O-XYZ的旋转矩阵可以写为
| $\begin{array}{l}\mathit{\boldsymbol{R}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\cos \alpha }&{ - \sin \alpha }&0\\{\sin \alpha }&{\cos \alpha }&0\\0&0&1\end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\cos \beta }&0&{\sin \beta }\\0&1&0\\{ - \sin \beta }&0&{\cos \beta }\end{array}} \right] \cdot \\\;\;\;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\cos \alpha }&{\sin \alpha }&0\\{ - \sin \alpha }&{\cos \alpha }&0\\0&0&1\end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\cos \varphi }&{ - \sin \varphi }&0\\{\sin \varphi }&{\cos \varphi }&0\\0&0&1\end{array}} \right].\end{array}$ | (1) |
体坐标系Bi-uiviwi相对于固定坐标系O-XYZ的旋转矩阵可以表示为
| ${\mathit{\boldsymbol{R}}_i} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\cos {\eta _i}}&{ - \sin {\eta _i}}&0\\{\sin {\eta _i}}&{\cos {\eta _i}}&0\\0&0&1\end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\cos {\theta _i}}&0&{\sin {\theta _i}}\\0&1&0\\{ - \sin {\theta _i}}&0&{\cos {\theta _i}}\end{array}} \right].$ | (2) |
基于图 4，3-P(4R)S并联主轴头的闭环矢量方程可以表示为
| $\mathit{\boldsymbol{H}} + \mathit{\boldsymbol{R}}{\mathit{\boldsymbol{a}}_i} = {\mathit{\boldsymbol{l}}_i} + {\mathit{\boldsymbol{b}}_i} + {q_i}{\mathit{\boldsymbol{e}}_3}.$ | (3) |
由于转动副的转动特性，约束虚拟杆BiDi在平面OAiBiDi内运动，由式(3)可得到如下公式：
| $\left( {\mathit{\boldsymbol{H}} + \mathit{\boldsymbol{R}}{\mathit{\boldsymbol{a}}_i} - {\mathit{\boldsymbol{b}}_i} - {q_i}{\mathit{\boldsymbol{e}}_3}} \right) \cdot {\mathit{\boldsymbol{E}}_i} = 0.$ | (4) |
根据式(4)可以推导出并联主轴头的伴生运动为
| $\begin{array}{*{20}{c}}{x = \frac{1}{2}{r_{\rm{m}}}\left( {{{\cos }^2}\alpha - {{\sin }^2}\alpha } \right)\left( {\cos \beta - 1} \right),}\\{y = - {r_{\rm{m}}}\sin \alpha \cos \alpha \left( {\cos \beta - 1} \right).}\end{array}$ | (5) |
由于虚拟杆BiDi是定长杆，对式(3)中的li取模可以得到：
| $\left\| {\mathit{\boldsymbol{H}} + \mathit{\boldsymbol{R}}{\mathit{\boldsymbol{a}}_i} - {\mathit{\boldsymbol{b}}_i} - {q_i}{\mathit{\boldsymbol{e}}_3}} \right\| = l.$ | (6) |
| $\begin{array}{*{20}{c}}{{q_i} = \mathit{\boldsymbol{e}}_3^{\rm{T}}{{\mathit{\boldsymbol{H'}}}_i} - \sqrt {{{\left( {\mathit{\boldsymbol{e}}_3^{\rm{T}}{{\mathit{\boldsymbol{H'}}}_i}} \right)}^2} - \mathit{\boldsymbol{H}}_i^{'2} + {l^2}} ,}\\{{\theta _i} = - \arcsin \left( {\frac{{\mathit{\boldsymbol{e}}_3^{\rm{T}}{{\mathit{\boldsymbol{H'}}}_i} - {q_i}}}{l}} \right).}\end{array}$ | (7) |
2 质量矩阵求解2.1 变截面杆件的质量矩阵本文研究的3自由度主轴头的运动学支链具有平行四边形结构，其杆件均为变截面杆。为了准确建立主轴头的动力学模型，本文提出了一种求解变截面杆件质量矩阵的方法。该方法根据有限元的思想，对变截面的部件进行分段，当每段单元足够小时可以近似为等截面单元。每个等截面单元的质量矩阵可以采用等截面的公式进行计算，再把每个单元叠加起来便得到了整个变截面单元的单元质量矩阵。
假设一个杆单元的形状函数矩阵为N，则质量矩阵M (e)可以表示为
| ${\mathit{\boldsymbol{M}}^{\left( e \right)}} = \int_v {{\mathit{\boldsymbol{N}}^{\rm{T}}}\rho \mathit{\boldsymbol{N}}{\rm{d}}V} .$ | (8) |
当分段单元为等截面单元时，体积可以表示为
| ${\rm{d}}V = A{l_0}{\rm{d}}\xi .$ | (9) |
将式(9)代入式(8)可以得到：
| ${\mathit{\boldsymbol{M}}^{\left( e \right)}} = \rho A{l_0}\int_0^{{l_0}} {{\mathit{\boldsymbol{N}}^{\rm{T}}}N{\rm{d}}\xi } .$ | (10) |
| ${\mathit{\boldsymbol{M}}^{\left( e \right)}} = \rho {l_0}\int_0^{{l_0}} {{\mathit{\boldsymbol{N}}^{\rm{T}}}\mathit{\boldsymbol{N}}A\xi {\rm{d}}\xi } .$ | (11) |
| ${\mathit{\boldsymbol{M}}^{\left( e \right)}} = \rho {l_0}\sum\limits_{i = 1}^h {{A_i}} \int_{i - 1/h}^{i/h} {{\mathit{\boldsymbol{N}}^{\rm{T}}}\mathit{\boldsymbol{N}}{\rm{d}}\xi } .$ | (12) |
2.2 铰链单元质量矩阵为了得到准确的动力学模型，动力学建模过程中需要考虑铰链的质量。铰链的质量矩阵采用集中质量矩阵的方法求得。对于铰链，考虑到其绕转动轴的方向不受力矩，集中质量的对应元素为零，而非转动轴方向会受到力矩作用，相应地矩阵元素不为零。对于绕X轴转动的转动副铰链，质量矩阵可以表示为
| ${\mathit{\boldsymbol{M}}_{\rm{r}}} = \frac{1}{2}{\rm{diag}}\left( {{m_{\rm{r}}},{m_{\rm{r}}},{m_{\rm{r}}},0,{J_{{\rm{r}}y}},{J_{{\rm{r}}z}}} \right).$ | (13) |
本文中还涉及到球铰，考虑到球铰3个转轴方向不承受力矩，只承受力的作用，所以质量矩阵可表达为
| ${\mathit{\boldsymbol{M}}_{\rm{s}}} = \frac{1}{2}{\rm{diag}}\left( {{m_{\rm{s}}},{m_{\rm{s}}},{m_{\rm{s}}},0,0,0} \right).$ | (14) |
2.3 单元质量矩阵集成根据单元集成法，整机质量矩阵集成过程和刚度矩阵相同。设整个机构的节点数为n，第i个单元具有l个节点，节点编号依次为n1，n2，…，nl∈{1，2，…，n}。则第i个单元的单元质量矩阵可表示为
| ${\mathit{\boldsymbol{M}}^{\left( i \right)}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\mathit{\boldsymbol{m}}_{{n_1}{n_1}}^{\left( i \right)}}&{\mathit{\boldsymbol{m}}_{{n_1}{n_2}}^{\left( i \right)}}& \cdots &{\mathit{\boldsymbol{m}}_{{n_1}{n_l}}^{\left( i \right)}}\\{\mathit{\boldsymbol{m}}_{{n_2}{n_1}}^{\left( i \right)}}&{\mathit{\boldsymbol{m}}_{{n_2}{n_2}}^{\left( i \right)}}& \cdots &{\mathit{\boldsymbol{m}}_{{n_2}{n_l}}^{\left( i \right)}}\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots \\{\mathit{\boldsymbol{m}}_{{n_l}{n_1}}^{\left( i \right)}}&{\mathit{\boldsymbol{m}}_{{n_l}{n_2}}^{\left( i \right)}}& \cdots &{\mathit{\boldsymbol{m}}_{{n_l}{n_l}}^{\left( i \right)}}\end{array}} \right].$ | (15) |
由单元质量矩阵集成得到的整机质量矩阵具有n个节点，可以表示为
| $\mathit{\boldsymbol{M}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{\mathit{\boldsymbol{M}}_{11}}}&{{\mathit{\boldsymbol{M}}_{12}}}& \cdots &{{\mathit{\boldsymbol{M}}_{1n}}}\\{{\mathit{\boldsymbol{M}}_{21}}}&{{\mathit{\boldsymbol{M}}_{22}}}& \cdots &{{\mathit{\boldsymbol{M}}_{2n}}}\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots \\{{\mathit{\boldsymbol{M}}_{n1}}}&{{\mathit{\boldsymbol{M}}_{n2}}}& \cdots &{{\mathit{\boldsymbol{M}}_{nn}}}\end{array}} \right].$ | (16) |
3 动力学模型及动态特性分析变截面部件单元刚度矩阵的求解方法与节2的质量矩阵求解方法类似，可以参考文[14]，这里不再详述。根据D′Alembert原理，机构的动力学方程可以表示为
| $\mathit{\boldsymbol{M\ddot X}} + \mathit{\boldsymbol{C\dot X}} + \mathit{\boldsymbol{KX}} = \mathit{\boldsymbol{F}}\left( t \right).$ | (17) |
机械结构的动力学响应是以机械结构的自由振动为基础的。因此，在对系统进行动力学分析时，通常忽略系统的阻尼和外加激振力，只研究系统自由振动时的固有频率和相应的振型。忽略式(17)中的阻尼和外加激振力，系统自由振动方程可以表示为
| $\mathit{\boldsymbol{M\ddot X}} + \mathit{\boldsymbol{KX}} \approx {\bf{0}}.$ | (18) |
| $\mathit{\boldsymbol{X}} = {\mathit{\boldsymbol{X}}_0}\sin \left[ {\omega \left( {t - {t_0}} \right)} \right].$ | (19) |
将式(19)代入式(18)得：
| $\left( {\mathit{\boldsymbol{K}} - {\omega ^2}\mathit{\boldsymbol{M}}} \right){\mathit{\boldsymbol{X}}_0} = {\bf{0}}.$ | (20) |
| $\mathit{\boldsymbol{M}} = \mathit{\boldsymbol{L}}{\mathit{\boldsymbol{L}}^{\rm{T}}}.$ | (21) |
| $\left( {\mathit{\boldsymbol{\bar K}} - \lambda \mathit{\boldsymbol{I}}} \right)\mathit{\boldsymbol{\bar X}} = {\bf{0}}.$ | (22) |
由式(22)求得其特征值λi(0≤λ1≤λ2≤…≤λn-1≤λn)和相应的特征向量?i(i=1，2，…，n)，固有频率和振型可表达为
| ${\omega _i} = \sqrt {{\lambda _i}} ,$ | (23) |
| ${\mathit{\boldsymbol{ \boldsymbol{\varPhi} }}_i} = {\left( {{\mathit{\boldsymbol{L}}^{ - 1}}} \right)^{\rm{T}}}{\phi _i}.$ | (24) |
通过三维软件提取变截面部件的h个等距截面的横截面积、惯性矩等尺寸信息(本文中h=10)，并根据推导的公式(12)可得到部件的质量矩阵和刚度矩阵。
基于节2和3的质量矩阵和动力学建模方法，对3-P(4R)S并联主轴头的动力学特性进行仿真研究。主轴头机构尺寸参数和材料属性参数，转动副、移动副、丝杠和球铰刚度分别如表 1和2所示。
表 1 结构参数和结构件材料属性
| 参数 | 数值 |
| rm/mm | 200 |
| rb/mm | 260 |
| l/mm | 487 |
| E/Pa | 2.0×1011 |
| v | 0.3 |
表选项
表 2 转动副、移动副、丝杠和球铰刚度值
| 关键部件 | 方向 | 刚度/(N·m-1) |
| 移动副 | X轴扭转刚度 | 2.13×105 |
| Y轴扭转刚度 | 4.02×106 | |
| Z轴扭转刚度 | 3.27×106 | |
| Y轴正向刚度 | 9.86×108 | |
| Y轴负向刚度 | 1.96×109 | |
| Z轴刚度 | 1.31×109 | |
| 转动副 | 轴承径向刚度 | 8.7×107 |
| 轴承轴向刚度 | 1.9×109 | |
| 丝杠 | 轴向 | 3×1010 |
| 球铰 | 任意方向刚度 | 3×108 |
表选项
主轴头工作空间中方向角变化范围α∈[0°，360°]，倾斜角变化范围β∈[0°，30°]，z方向位移为0.6 m。基于式(23)得到3-P(4R)S主轴头的固有频率，其前三阶的固有频率在工作空间的分布如图 5所示。
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| 图 5 (网络版彩图)前三阶固有频率 |
| 图选项 |
从图 5可知3-P(4R)S机构前三阶固有频率关于Y轴(α=90°和α=270°)对称分布，这与坐标系的建立和机构自身对称性特点有关。通过观察一阶固有频率分布图可以发现，机构动平台在α=0°、β=0°姿态下的固有频率较高，此时固有频率为29.39 Hz；三阶固有频率在α=0°、β=0°姿态下的固有频率较高，频率值为48.11 Hz；而二阶固有频率在α=0°、β=0°姿态下的固有频率较低，频率值为30.90 Hz。一阶固有频率为27~31 Hz，三阶固有频率为47~49 Hz。由于重力的影响，一阶和三阶固有频率的最大值比α=0°、β=0°姿态下略有偏移，但基本上随着倾斜角增大而增大；二阶固有频率为29~32 Hz，随倾斜角的变化情况则与一阶固有频率变化情况恰恰相反。综合前三阶固有频率分布图可以发现，方向角变化对固有频率影响较小。
4 实验研究为了验证动力学模型及动态特性分析的有效性，在五轴混联机床的实际样机上测试了并联主轴头的动态特性。实验过程中，采取瞬态脉冲激振法(敲击法)获得激励和响应信号，通过运用数字信号处理技术求得频响函数，再运用参数识别方法求得系统的模态。激振设备为一个带力传感器的力锤(锤头材料为橡胶)，振动采集设备为加速度传感器。在实验中，分别针对主轴头在工作空间上的7个典型位姿(α=0°，β=0°)、(α=90°，β=20°)、(α=90°，β=40°)、(α=270°，β=20°)、(α=270°，β=40°)、(α=0°，β=20°)和(α=0°，β=40°)进行模态测试。
根据五轴混联机床的结构特点，在主轴头上共布置30个测点。将所有测点作为响应拾取，同时选取动平台上的第1、2、3点作为激振点，使用磁座将三向加速度传感器固定在所有拾振点上提取加速度信息。
图 6为模态实验现场照片，在对激振点进行激振后，可以得到各响应点的频响函数，应用模态参数识别方法即可得出结构的固有频率及其振型。实验共选取了7个姿态进行模态实验，图 7为α=0°、β=0°时的前三阶模态振型，表 3为各阶模态的振型描述。
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| 图 6 模态实验测试 |
| 图选项 |
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| 图 7 实验测得并联主轴头前三阶振型 |
| 图选项 |
表 3 前三阶振型描述
| 阶次 | 固有频率/Hz | 振型描述 |
| 一阶 | 25.91 | 动平台整体沿X′向振动 |
| 二阶 | 26.62 | 动平台整体沿Y′向振动 |
| 三阶 | 49.72 | 动平台整体绕Z′轴转动 |
表选项
通过对工作空间内7个姿态下的模态进行实验，可以得到动平台在不同姿态下的固有频率的变化规律，表 4为动平台在竖直面(α=90°和α=270°)内不同倾斜角的固有频率变化，表 5为动平台在水平面(α=0°)内不同倾斜角的固有频率变化。
表 4 动平台在竖直面内不同倾斜角的固有频率对比
| α，β/(°) | 一阶频率/Hz | 二阶频率/Hz | 三阶频率/Hz | |||||
| 理论 | 实验 | 理论 | 实验 | 理论 | 实验 | |||
| 90，40 | 27.32 | 25.30 | 31.38 | 27.53 | 47.52 | 41.06 | ||
| 90，20 | 30.38 | 26.00 | 30.61 | 26.51 | 48.06 | 47.33 | ||
| 0，0 | 29.39 | 25.91 | 30.90 | 26.62 | 48.11 | 49.72 | ||
| 270，20 | 28.87 | 24.00 | 31.33 | 26.76 | 47.83 | 47.81 | ||
| 270，40 | 27.14 | 23.02 | 32.09 | 27.13 | 47.42 | 43.52 | ||
表选项
表 5 动平台在水平面内不同倾斜角的固有频率对比
| α，β/(°) | 一阶频率/Hz | 二阶频率/Hz | 三阶频率/Hz | |||||
| 理论 | 实验 | 理论 | 实验 | 理论 | 实验 | |||
| 0，0 | 29.39 | 25.91 | 30.90 | 26.62 | 48.11 | 49.72 | ||
| 0，20 | 28.93 | 25.22 | 31.13 | 27.26 | 47.59 | 48.55 | ||
| 0，40 | 27.32 | 23.51 | 31.73 | 27.52 | 46.94 | 46.92 | ||
表选项
通过表 4和5可以看出，理论计算得到固有频率值比实验得到的固有频率值偏高，其原因可能是在理论建模时没有考虑一些固定结合面的动态特性。但是动平台前三阶固有频率在竖直面内的变化规律和水平面内的变化规律与理论分析的结果完全一致，从而可以说明本文提出的动态特性分析方法是有效的。
5 结论本文研究了一种具有平行四边形结构的3自由度并联主轴头的动力学建模方法及动态特性分析，基于有限元思想，提出了一种求解变截面杆件的质量矩阵的方法。该3自由度并联主轴头在工作空间内的固有频率受倾斜角影响较大，方向角对固有频率影响较小，且主轴头的前三阶频率对称分布。该主轴头的模态实验结果比理论模型计算的数值略小，但二者在不同姿态下的频率变化规律是一致的，从而验证了动态特性分析的准确性。本文工作为并联主轴头的准确动力学建模及工程应用提供了重要参考。
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