, 张嵘 清华大学 精密仪器系, 导航技术工程中心, 北京 100084
收稿日期：2017-03-15
基金项目：总装预研基金项目（9140A09011514JW01123）
作者简介：宋明亮(1989-), 男, 博士研究生
通信作者：周斌, 副研究员, E-mail:zhoub@mail.tsinghua.edu.cn
摘要：参量激励是一种时变的谐振子振动激励方法，在微机电（MEMS）传感器中有着重要的应用。该文针对基于参量激励的谐振子闭环振动控制系统，通过理论推导得到了谐振子及控制环的数学模型，并对控制系统稳定性进行了分析，得到了控制系统参数选取的准则。通过数值仿真对理论研究的结论进行了验证，并研究了控制环参数对系统性能的影响。基于上述分析实验实现了基于参量激励的谐振子振动控制，谐振子起振过程的稳定时间小于0.2 s，稳定后振动幅度的方差为0.04 mV。该研究对基于参量激励的谐振子振动控制系统的设计具有参考意义。
关键词：微机电(MEMS)谐振子振动控制参量激励稳定性分析
Design of a resonator vibration control system based on parametric drive
SONG Mingliang, ZHOU Bin
, ZHANG RongEngineering Research Center for Navigation Technology, Department of Precision Instrument, Tsinghua University, Beijing 100084, China
Abstract: Resonator vibration control based on parametric drive is a time-varying control method which has important applications in micro-electro-mechanical system (MEMS) sensors. This paper presents the design of a closed-loop parametric drive resonator vibration control system. The mathematical models of the parametric drive resonator and the control loops are derived theoretically. The system stability is analyzed with criteria for selecting the control loop parameters. Numerical simulations verify the theoretical analysis and the influences of the control loop parameters on the system performance. The analysis is then used to design a parametric drive vibration control for a MEMS resonator. The settling time of the starting process is less than 0.2 s and the variance of the amplitude at steady state is 0.04 mV. The research provides an important reference for the design of closed-loop parametric drive resonator vibration control systems.
Key words: micro-electro-mechanical system (MEMS) resonatorvibration controlparametric drivestability analysis
谐振子是微机电(micro-electro-mechanical system, MEMS)惯性传感器(例如陀螺仪、加速度计)的常用结构[1-2]。这些传感器中的MEMS谐振子通常需要进行振动控制[3-5]。谐振子及其振动控制的性能直接决定传感器的性能。通常采用与振动频率同频的谐波力进行谐振子的振动激励，然而使用该方法会导致谐振子的振动幅度受到驱动力大小的限制，并且可能会引起从驱动到检测的电耦合。这些局限使得研究者们试图寻找其他的解决方案。参量激励是一种时变的谐振子振动激励方法[6-10]，该方法中谐振结构的刚度以振动频率的2倍频率发生变化，变刚度幅值不同对应的结构的振动状态也不同，通过控制系统实时调节变刚度的幅值，可以改变谐振结构的振动状态，从而进行谐振结构的振动控制。使用参量激励进行谐振子振动控制，谐振子的振动幅度不受参量激励信号大小的限制，并且使用振动频率2倍频率的激励信号进行谐振子的激励，可以有效避免驱动到检测的电耦合。
开环的参量激励被应用到陀螺驱动轴以解决频率不匹配问题并提高陀螺对参数变化的鲁棒性[7]。闭环的参量激励也被用于速率积分陀螺的能量控制，以降低由能量控制反馈引入的测量误差[9]。文[10]利用一种由非叉指电极产生变刚度的谐振结构在常压下实现了谐振结构的闭环参量激励振动控制。然而，该研究没有对控制系统的稳定性进行分析，也没有研究控制系统参数选择对于振动控制的影响。
本文通过理论分析和数值仿真对基于参量激励的谐振子闭环振动控制系统进行分析和设计。首先，推导了谐振子和控制环路的数学模型，利用Lyapunov稳定性判定方法对控制系统稳定性进行分析，得到了控制系统参数选取的准则。然后，通过数值仿真对理论推导进行了验证，并研究了控制环参数对系统性能的影响。在此基础上，通过实验实现了基于参量激励的谐振子振动控制。
1 系统稳定性理论分析基于参量激励的谐振子振动闭环控制系统如图 1所示，控制系统由幅度控制环和频率控制环组成。频率控制环通过维持振动相位使谐振子工作在谐振频率。幅度控制环通过调节变刚度幅值改变谐振结构的振动状态：当振动幅度大于预先设定幅度时，减小变刚度幅值使结构工作于稳定区，振幅逐渐减小；而当振幅小于设定值时，增加变刚度幅值使结构工作于不稳定区，振幅逐渐增加；如此通过控制器的作用，最终将结构振幅稳定在设定值。
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| 图 1 基于参量激励的谐振子闭环振动控制系统框图 |
| 图选项 |
1.1 谐振子振幅和相位的微分方程参量激励谐振子的动力学微分方程为
| $m\ddot x + c\dot x + \left( {k - \Delta k\sin 2\omega t} \right)x = 0$ | (1) |
| $\ddot x + \eta \dot x + \left( {\omega _{\rm{n}}^2 - \sigma \sin 2\omega t} \right)x = 0.$ | (2) |
式(2)是一个典型的Mathieu方程，其解的幅值和相位相对于时间为慢变量，可以用平均法进行分析。平均法解Mathieu方程的基本思路是将其看作时变项扰动下的线性定常方程，它和对应的线性定常方程具有相同的解的形式，只是受到时变项的影响，解的特征参数会随时间发生缓慢改变。
设谐振子的运动为
| $x = a\cos \left( {\omega t + \varphi } \right).$ | (3) |
| $\dot x = - a\omega \sin \left( {\omega t + \varphi } \right).$ | (4) |
| $\dot x = \dot a\cos \left( {\omega t + \varphi } \right) - a\left( {\omega + \dot \varphi } \right)\sin \left( {\omega t + \varphi } \right).$ | (5) |
| $\dot a\cos \left( {\omega t + \varphi } \right) - a\dot \varphi \sin \left( {\omega t + \varphi } \right) = 0.$ | (6) |
| $\ddot x = - \dot a\omega \sin \left( {\omega t + \varphi } \right) - a\omega \left( {\omega + \dot \varphi } \right)\cos \left( {\omega t + \varphi } \right).$ | (7) |
| $\begin{array}{*{20}{c}}{\dot a\omega \sin \left( {\omega t + \varphi } \right) + a\omega \dot \varphi \cos \left( {\omega t + \varphi } \right) = - a\eta \omega \sin \left( {\omega t + \varphi } \right) + }\\{\left[ {a\left( {\omega _{\rm{n}}^2 - {\omega ^2}} \right) - a\sigma \sin 2\omega t} \right]\cos \left( {\omega t + \varphi } \right).}\end{array}$ | (8) |
| $\left\{ \begin{array}{l}\dot a = \frac{a}{\omega }\left\{ {\left[ {\left( {\omega _{\rm{n}}^2 - {\omega ^2}} \right) - \sigma \sin 2\omega t} \right]\cos \left( {\omega t + \varphi } \right) - } \right.\\\;\;\;\;\;\;\left. {\eta \omega \sin \left( {\omega t + \varphi } \right)} \right\}\sin \left( {\omega t + \varphi } \right),\\\dot \varphi = \frac{1}{\omega }\left\{ {\left[ {\left( {\omega _{\rm{n}}^2 - {\omega ^2}} \right) - \sigma \sin 2\omega t} \right]\cos \left( {\omega t + \varphi } \right) - } \right.\\\;\;\;\;\;\;\left. {\eta \omega \sin \left( {\omega t + \varphi } \right)} \right\}\cos \left( {\omega t + \varphi } \right).\end{array} \right.$ | (9) |
| $\left\{ \begin{array}{l}\dot a = - \frac{a}{{2\omega }}\left( {\eta \omega + \frac{1}{2}\sigma \cos 2\varphi } \right),\\\dot \varphi = \frac{1}{{2\omega }}\left[ {\left( {\omega _{\rm{n}}^2 - {\omega ^2}} \right) + \frac{1}{2}\sigma \sin 2\varphi } \right].\end{array} \right.$ | (10) |
1.2 控制环模型1.2.1 幅度控制环在实际控制系统中，谐振子的振动幅度通常采用振动信号的同相分量表征。这里振动信号同相分量的提取通过乘法器和低通滤波器实现。振动信号与同相参考信号相乘得到
| $2x\sin \omega t = - a\sin \varphi + a\left( {\sin 2\omega t + \cos 2\omega t} \right).$ | (11) |
| $a\sin \varphi = a\cos \left( {\frac{{\rm{ \mathsf{ π} }}}{2} - \varphi } \right) \approx a,$ | (12) |
采用比例积分控制器的幅度控制环可以用如图 2所示框图进行描述，对应的数学模型为
| $\left\{ \begin{array}{l}\dot r = {\lambda _a}\left( {a\sin \varphi - r} \right),\\\dot B = {K_{{\rm{I}}a}}\left( {{X_0} - r} \right),\\\sigma = {K_{{\rm{P}}a}}\left( {{X_0} - r} \right) + B.\end{array} \right.$ | (13) |
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| 图 2 幅度控制环框图 |
| 图选项 |
其中：λa为幅度控制环低通滤波器的截止频率，KPa和KIa分别为幅度控制器的比例和积分系数。
1.2.2 频率控制环与幅度控制环类似，频率控制环的相位误差通常通过振动信号的正交分量来表征。这里振动信号正交分量的提取通过乘法器和低通滤波器实现。振动信号与正交参考信号相乘得到
| $2x\cos \omega t = a\cos \varphi + a\left( {\cos 2\omega t - \sin 2\omega t} \right).$ | (14) |
| $\cos \varphi = \sin \left( {\frac{{\rm{ \mathsf{ π} }}}{2} - \varphi } \right) \approx \frac{{\rm{ \mathsf{ π} }}}{2} - \varphi ,$ | (15) |
采用比例积分控制器的频率控制环可以用图 3所示的框图进行描述，对应的数学模型为
| $\left\{ \begin{array}{l}\dot p = {\lambda _p}\left( { - \frac{a}{{{X_0}}}\cos \varphi - p} \right),\\\dot C = {K_{1\omega }}p,\\\omega = {\omega _0} + {K_{{\rm{P}}\omega }}p + C.\end{array} \right.$ | (16) |
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| 图 3 频率控制环框图 |
| 图选项 |
其中：X0为振动幅度的设定值，λp为频率控制环低通滤波器的截止频率，ω0为频率的初始值，KPω和KIω分别为频率环控制器的比例和积分系数。
1.3 系统状态方程联立式(10)、(16)、(13)并整理可以得到系统的状态方程，为方便进行数学分析，记为
| $\begin{array}{*{20}{c}}{\mathit{\boldsymbol{y}} = {{\left[ {{y_1},{y_2},{y_3},{y_4},{y_5},{y_6}} \right]}^{\rm{T}}} = }\\{{{\left[ {a,\varphi ,r,B,p,C} \right]}^{\rm{T}}},}\end{array}$ |
| $\left\{ \begin{array}{l}{{\dot y}_1} = - \frac{{{y_1}}}{{2\left( {{\omega _0} + {K_{{\rm{P}}\omega }}{y_5} + {y_6}} \right)}}\left\{ {\eta \left( {{\omega _0} + {K_{{\rm{P}}\omega }}{y_5} + {y_6}} \right) + } \right.\\\;\;\;\;\;\;\;\left. {\frac{1}{2}\left[ {{K_{{\rm{P}}a}}\left( {{X_0} - {y_3}} \right) + {y_4}} \right]\cos 2{y_2}} \right\},\\{{\dot y}_2} = \frac{1}{{2\left( {{\omega _0} + {K_{{\rm{P}}\omega }}{y_5} + {y_6}} \right)}}\left\{ {\omega _{\rm{n}}^2 - {{\left( {{\omega _0} + {K_{{\rm{P}}\omega }}{y_5} + {y_6}} \right)}^2} + } \right.\\\;\;\;\;\;\;\;\left. {\frac{1}{2}\left[ {{K_{{\rm{P}}a}}\left( {{X_0} - {y_3}} \right) + {y_4}} \right]\sin 2{y_2}} \right\},\\{{\dot y}_3} = {\lambda _a}\left( {{y_1}\sin {y_2} - {y_3}} \right),\\{{\dot y}_4} = {K_{{\rm{I}}a}}\left( {{X_0} - {y_3}} \right),\\{{\dot y}_5} = {\lambda _p}\left( { - \frac{{{y_1}\cos {y_2}}}{{{X_0}}} - {y_5}} \right),\\{{\dot y}_6} = {K_{{\rm{I}}\omega }}{y_5}.\end{array} \right.$ | (17) |
| $\mathit{\boldsymbol{y}} = {\left[ {{X_0},\frac{{\rm{ \mathsf{ π} }}}{2},{X_0},2\eta {\omega _{\rm{n}}},0,{\omega _{\rm{n}}} - {\omega _{\rm{0}}}} \right]^{\rm{T}}},$ | (18) |
1.4 稳定性分析根据Lyapunov稳定性分析方法，非线性系统的稳定性由Jacobi矩阵特征根决定，当所有特征根具有负实部时控制系统稳定。在平衡点式(见式(18))处，状态方程(17)对应的Jacobi矩阵为
| $\mathit{\boldsymbol{J}}\left( \mathit{\boldsymbol{y}} \right) = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}0&0&{ - \frac{{{X_0}{K_{{\rm{P}}a}}}}{{4{\omega _{\rm{n}}}}}}&{\frac{{{X_0}}}{{4{\omega _{\rm{n}}}}}}&{ - \frac{{{X_0}\eta {K_{{\rm{P}}\omega }}}}{{2{\omega _{\rm{n}}}}}}&{ - \frac{{{X_0}\eta }}{{2{\omega _{\rm{n}}}}}}\\0&{ - \eta }&0&0&{ - {K_{{\rm{P}}\omega }}}&{ - 1}\\{{\lambda _a}}&0&{ - {\lambda _a}}&0&0&0\\0&0&{ - {K_{{\rm{I}}a}}}&0&0&0\\0&{{\lambda _p}}&0&0&{ - {\lambda _p}}&0\\0&0&0&0&{{K_{{\rm{I}}\omega }}}&0\end{array}} \right].$ | (19) |
| $\begin{array}{*{20}{c}}{M\left( s \right) = \frac{1}{{4{\omega _{\rm{n}}}}}\left( {4{\omega _{\rm{n}}}{s^3} + 4{\omega _{\rm{n}}}{\lambda _a}{s^2} + {K_{{\rm{P}}a}}{X_0}{\lambda _a}s + {K_{{\rm{I}}a}}{X_0}{\lambda _a}} \right) \cdot }\\{\left[ {{s^3} + \left( {\eta + {\lambda _p}} \right){s^2} + \left( {{K_{{\rm{P}}\omega }} + \eta } \right){\lambda _p}s + {K_{{\rm{I}}\omega }}{\lambda _p}} \right].}\end{array}$ | (20) |
| $\left\{ \begin{array}{l}{K_{{\rm{I}}a}} < {K_{{\rm{P}}a}}{\lambda _a},\\{K_{{\rm{I}}\omega }} < \left( {\eta + {\lambda _p}} \right)\left( {\eta + {K_{{\rm{P}}\omega }}} \right).\end{array} \right.$ | (21) |
2 数值仿真为验证本文稳定性理论分析并研究基于参量激励的谐振子振动控制中控制参数对控制性能的影响，对第1节中提出的系统进行了数值仿真。采用的基于MATLAB/Simulink的仿真平台框图如图 4所示，仿真系统由谐振子模型、乘法解调器、正余弦发生器及频率控制环和幅度控制环构成，与第1节理论分析的各部分一一对应。
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| 图 4 基于参量激励的谐振子振动控制系统仿真平台框图 |
| 图选项 |
2.1 幅度控制环首先分析幅度控制环参数对系统性能的影响。为分离频率控制环的影响，此时将频率环断开，频率环输出直接设置为结构的谐振频率，即通过人为设置使结构工作在谐振状态下。
2.1.1 滤波器截止频率下面分析幅度提取使用的低通滤波器的截止频率对系统的影响。此时, 设置幅度环的控制参数为: KPa=(2k/Q)×5, KIa=KPaλa/50。为了方便记为：Ma=QKPa/(2k), Na=KPaλa/KIa；即Ma=5, Na=50。此时系统能够稳定工作。不同截止频率λa下参量激励振动系统的振幅响应如图 5所示。仿真结果表明，随着截止频率λa的减小，系统的响应速度变慢，超调量也随之减小。同时, 当截止频率较大时，滤波器的滤波效果较差，幅度解调结果中高频成分较大，导致稳态时幅值也有明显的高频成分。综合考虑，后续的分析中滤波器截止频率选为λa=100 Hz。
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| 图 5 幅度环截止频率λa对系统振幅响应的影响 |
| 图选项 |
2.1.2 幅度控制器比例系数下面分析幅度环控制器的比例系数KPa对系统的影响。当Na=50时，不同比例系数KPa下的参量激励振动系统的振幅响应如图 6所示。仿真结果表明，随着比例系数KPa的增加(即Ma增加)，系统的响应速度变快，但同时超调量也随之增加，并且出现震荡。综合考虑，后续分析中选取比例系数Ma=10。
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| 图 6 幅度环比例系数对系统振幅响应的影响 |
| 图选项 |
2.1.3 幅度控制器积分系数下面分析幅度环控制器的积分系数KIa对系统的影响。不同积分系数KIa下参量激励振动系统的振幅响应如图 7所示。仿真结果表明，随着积分系数的增加(即Na减小)，系统的响应速度略微变快，但是系统的超调量明显增加。综合考虑，后续的仿真中选用Na=10。同时，仿真表明，当Na＜1时，控制系统发散，与理论分析结果一致。
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| 图 7 幅度环积分系数对系统振幅响应的影响 |
| 图选项 |
2.2 频率控制环2.2.1 滤波器截止频率下面分析相位提取使用的低通滤波器的截止频率λp对控制系统的影响。记Np=(η+λp)(η+KPω)/KIω, Mp=ωn/KPω, 此时设置频率环的控制参数Mp=50, Np=50，系统能够稳定工作。不同截止频率λp下参量激励振动系统的振动响应如图 8所示。仿真结果表明，截止频率对系统的振幅响应影响不显著，但是对频率响应有较大影响。随滤波器截止频率λp的降低，滤波器对高频分量的滤波效果更好，稳态时频率波动的幅度更小，但同时滤波器的延迟作用使频率的响应变慢。后续分析中滤波器截止频率选为λp=100 Hz, 频率响应速度通过控制器参数进行调节。
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| 图 8 频率环截止频率对系统响应的影响 |
| 图选项 |
2.2.2 频率控制器比例系数下面分析频率环控制器的比例系数KPω对系统的影响。不同比例系数KPω下参量激励振动系统的振动响应如图 9所示。仿真结果表明，比例系数KPω同样对系统的振幅响应影响不显著，随着比例系数KPω的增加(Mp减小)，幅度响应速率略有提升，超调略有下降；但是比例系数KPω对频率响应有较大影响，随着比例系数KPω的增加(Mp减小)，频率的响应速率变快，但是稳态时频率波动的幅度变大。后续的分析中比例系数选为Mp=20。
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| 图 9 频率环比例系数对系统响应的影响 |
| 图选项 |
2.2.3 频率控制器积分系数最后分析频率环控制器的积分系数KIω对系统的影响。不同频率环积分系数KIω(即不同Np)下参量激励振动系统的振动响应如图 10所示。仿真结果表明，积分系数对系统的振幅响应几乎无影响，对频率响应的影响也不明显；但是当Np＜1时，系统不稳定，与理论分析结果一致。
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| 图 10 频率环积分系数对系统响应的影响 |
| 图选项 |
3 实验3.1 谐振结构设计在理论分析和仿真研究的基础上，进行了基于参量激励的谐振子闭环振动控制实验。实验使用的谐振子如图 11所示，该谐振子由集中质量、折叠梁、叉指电极及非叉指电极构成。其中, 叉指电极用来进行振动信号检测, 而非叉指电极利用边缘效应产生刚度变化[11]。忽略非线性项的影响，非叉指电容产生的刚度变化与参激电压的关系近似为
| $\Delta K = {\alpha _1}{\left( {{V_{\rm{p}}}\sin 2\omega t - {V_{\rm{b}}}} \right)^2}.$ | (22) |
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| 图 11 MEMS参量激励谐振子实物图 |
| 图选项 |
其中：ΔK为非叉指电极产生的刚度变化，Vb为接在非叉指电容的一个极板上的直流偏置电压，Vp为参量激励交流信号的幅值，α1为非叉指电极将两极板电压差的平方转化为刚度变化的线性系数。
谐振结构采用文[12]提出的基于玻璃基硅工艺(silicon on glass, SOG)的微加工工艺进行加工。将加工的MEMS参量激励谐振子进行键合并采用陶瓷管壳进行封装。对MEMS谐振子进行扫频测试，测得结构的谐振频率为3 295.5 Hz，对应的结构品质因数为65.8。
3.2 控制方案设计如图 12所示，基于参量激励的谐振子振动控制系统由MEMS谐振子、数模/模数转换(DAC/ADC)印制电路板(printed circuit board, PCB)和专用集成电路(application specific integrated circuit, ASIC)组成。控制算法在ASIC中实现。控制环路包括频率控制环和参量激励幅度控制环。频率控制环路通过维持振动信号和参考信号间的相位差来跟踪谐振子的谐振频率。以频率控制环输出频率的2倍频变化的参量激励信号施加在非叉指电极上，产生结构刚度变化。参量激励信号的幅值由幅度控制器产生，在比例积分控制器的作用下将结构振幅稳定在预设值。
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| 图 12 基于参量激励的谐振子振动控制方案 |
| 图选项 |
3.3 实验结果在图 12所示基于参量激励的振动控制系统的作用下，谐振子起振及稳定控制的实验结果如图 13所示。谐振子起振过程稳定时间小于0.2 s。稳定后振动幅度的方差为0.04 mV(幅度设定值为128.5 mV)，参量激励信号的幅值为4.66 V。参量激励信号的频率最终稳定在6 577.1 Hz，与扫频测试得到的结构谐振频率的2倍有一定偏差，这是由于参量激励信号的静电刚度调节作用使结构的谐振频率发生了一定改变[6, 13]。
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| 图 13 谐振子振幅、参量激励电压及参量激励频率响应 |
| 图选项 |
4 结论本文介绍了针对基于参量激励的谐振子闭环振动控制系统的分析和设计，通过理论推导得到了系统控制环参数选取的准则，采用数值仿真研究了控制环参数对系统性能的影响。在以上分析的基础上，通过实验实现了基于参量激励的谐振子振动控制，起振过程稳定时间小于0.2 s, 稳定后振动幅度的方差为0.04 mV。本研究对基于参量激励的谐振子振动控制系统的设计具有重要参考意义。在下一步的工作中，将研究使用更优的控制算法以进一步提高谐振子的瞬态特性、稳态性能及环境鲁棒性。
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