考虑控制受限的近距离星间相对姿轨耦合控制

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陶佳伟 , 张涛
清华大学自动化系, 北京 100084

收稿日期：2017-05-16
基金项目：国家自然科学基金资助项目（61673239）
作者简介：陶佳伟(1989-), 男, 博士研究生
通信作者：张涛, 教授, E-mail:taozhang@tsinghua.edu.cn

摘要：针对航天器交会对接近距离段的相对姿轨耦合控制问题，考虑存在参数不确定性、外部干扰以及控制受限，该文提出了一种考虑控制受限的鲁棒自适应控制方法。利用自适应控制技术估计模型参数的不确定性及外界干扰上界，有效地提高了控制系统的鲁棒性。同时通过引入辅助饱和分析系统来补偿执行机构的饱和非线性，进而满足执行机构的幅值受限要求，确保执行机构饱和受限约束条件下跟踪误差的最终一致有界性，并采用Lyapunov方法严格证明了闭环系统的全局稳定性。最后通过数值仿真验证了控制方法的有效性。
关键词：相对姿轨耦合控制控制受限鲁棒自适应控制
Coupled control of relative position and attitude for spacecraft proximity operations with input constraints and parameter uncertainties
TAO Jiawei, ZHANG Tao
Department of Automation, Tsinghua University, Beijing 100084, China

Abstract: An coupled control strategy was developed for proximity operations of spacecraft formation flying which tabes into account the unknown but bounded disturbance, parametric uncertainties and actuator saturation. An auxiliary system is used to compensate for the effects of input constraints. The auxiliary system states are applied to the control design and stability analysis. The system was an adaptive updating technique that does not need to know the system parameters and the unknown bound of the external disturbance in advance Lyapunov theory shows that this controller guarantees uniform ultimate boundedness of all the signals in the closed-loop system and that the tracking errors will converge to a small neighborhood of the origin. Finally, a six degree of freedom simulation demonstrates the effectiveness of this control law compared to an approach that does not consider actuator saturation.
Key words: coupled control spacecraft formationinput constraintrobust adaptive control
随着航天技术的不断发展与进步，很多复杂的航天任务要求航天器与目标之间的相对位置和相对姿态同时以高控制精度达到期望状态。但是，传统方法对航天器轨道和姿态的建模与控制是分开处理的，由于忽略了轨道和姿态之间的耦合特性，将严重影响控制精度。
针对该问题，需要研究航天器相对轨道与姿态耦合建模与控制。文[1]建立了考虑各种约束条件的相对轨道与姿态的非线性耦合动力学模型。在考虑约束情况下，以燃料最优为性能指标，采用Gauss伪谱法把编队卫星一体化耦合控制问题转换成离散形式非线性规划问题。文[2]针对卫星编队飞行，考虑飞行过程中的姿轨耦合以及模型不确定性，提出了一种鲁棒自适应终端滑模控制方法，使相对轨道与姿态运动能够在有限时间内跟踪上期望轨迹。文[3]针对航天器交会对接近距离段的控制问题，建立了跟踪航天器与目标航天器间的相对姿轨耦合动力学模型，然后设计了有限时间收敛的相对轨道与姿态参考轨迹，进而将控制问题转化为轨迹跟踪控制问题，并设计了自适应姿轨耦合控制器实现对参考轨迹的渐进跟踪。
虽然上述方法在控制性能方面取得了较好的结果，但是均未考虑执行机构的非线性饱和特性，因此这些方法在实际的工程应用中很难实现。针对该问题，早期****^[4-5]提出了一种抗积分饱和补偿器设计方法。文[6]针对刚体卫星的姿态调节控制设计了一种输出反馈控制器，通过引入双曲正切饱和函数，推导出只需控制参数的选取满足某一限制条件，就能有效地抑制控制输入的饱和问题。在此基础上，文[7]针对卫星编队飞行中的控制受限问题，在控制器设计过程中通过选取双曲正切函数来处理执行器输出饱和约束，设计了具有L2增益干扰抑制能力且满足控制输入有界条件的自适应协同控制器。文[8]通过在控制器中引入非线性饱和函数的方法，使得控制输出不发生饱和，满足系统控制受限的要求。然而由于控制器中饱和函数的引入，控制器的性能往往具有一定的保守性。
本文在前述研究的基础上，针对航天器近距离相对姿轨耦合控制问题，提出了一种基于辅助饱和分析系统的鲁棒自适应姿轨耦合控制方法。
1 姿轨耦合动力学建模考虑到空间近距离操作会存在大角度姿态机动，本文采用修正的Rodrigues参数来描述相对姿态运动学与动力学^[9]:

$\mathit{\boldsymbol{\dot \sigma }} = \mathit{\boldsymbol{G}}\left( \mathit{\boldsymbol{\sigma }} \right)\mathit{\boldsymbol{\omega }},$

(1)

$\mathit{\boldsymbol{J\dot \omega }} + {\mathit{\boldsymbol{C}}_{\rm{r}}}\mathit{\boldsymbol{\omega }} + {\mathit{\boldsymbol{n}}_{\rm{r}}} = \mathit{\boldsymbol{\tau }} + {\mathit{\boldsymbol{\tau }}_{\rm{d}}}.$

(2)

其中，反对称矩阵C_r和向量n_r满足

$\begin{array}{*{20}{c}}{{\mathit{\boldsymbol{C}}_{\rm{r}}} = \mathit{\boldsymbol{JS}}\left( {\mathit{\boldsymbol{R}}_t^p\mathit{\boldsymbol{\omega }}_{i,t}^t} \right) + \mathit{\boldsymbol{S}}\left( {\mathit{\boldsymbol{R}}_t^p\mathit{\boldsymbol{\omega }}_{i,t}^t} \right)\mathit{\boldsymbol{J}} - }\\{\mathit{\boldsymbol{S}}\left( {\mathit{\boldsymbol{J}}\left( {\mathit{\boldsymbol{\omega }} + \mathit{\boldsymbol{R}}_t^p\mathit{\boldsymbol{\omega }}_{i,t}^t} \right)} \right).}\end{array}$

(3)

${\mathit{\boldsymbol{n}}_{\rm{r}}} = \mathit{\boldsymbol{S}}\left( {\mathit{\boldsymbol{R}}_t^p\mathit{\boldsymbol{\omega }}_{i,t}^t} \right)\mathit{\boldsymbol{JR}}_t^p\mathit{\boldsymbol{\omega }}_{i,t}^t + \mathit{\boldsymbol{JR}}_t^p\mathit{\boldsymbol{\dot \omega }}_{i,t}^t.$

(4)

在追踪航天器本体系下的相对轨道动力学方程为

$\mathit{\boldsymbol{\dot p}} = \mathit{\boldsymbol{v}} + \mathit{\boldsymbol{S}}\left( {{\mathit{\boldsymbol{\omega }}_{i,p}}} \right)\mathit{\boldsymbol{p}},$

(5)

$\begin{array}{*{20}{c}}{m\mathit{\boldsymbol{\dot v}} = - m\mathit{\boldsymbol{S}}\left( {{\mathit{\boldsymbol{\omega }}_{i,p}}} \right)\mathit{\boldsymbol{v}} - \frac{{m\mu }}{{r_p^3}}\left( {\mathit{\boldsymbol{p}} + \mathit{\boldsymbol{R}}_t^p\mathit{\boldsymbol{r}}_{i,t}^t} \right) - }\\{m\mathit{\boldsymbol{R}}_t^p\mathit{\boldsymbol{\ddot r}}_{i,t}^t + \mathit{\boldsymbol{f}} + {\mathit{\boldsymbol{f}}_{\rm{d}}}.}\end{array}$

(6)

为了描述6自由度运动，选择状态向量如下：

${\mathit{\boldsymbol{x}}_1} = \left[ {\mathit{\boldsymbol{p}};\mathit{\boldsymbol{\sigma }}} \right],\;\;\;{\mathit{\boldsymbol{x}}_2} = \left[ {\mathit{\boldsymbol{v}};\mathit{\boldsymbol{\omega }}} \right].$

(7)

则姿轨耦合动力学模型可写为如下形式：

$\left\{ \begin{array}{l}{{\mathit{\boldsymbol{\dot x}}}_1} = {\mathit{\boldsymbol{C}}_1}{\mathit{\boldsymbol{x}}_1} + \mathit{\boldsymbol{ \boldsymbol{\varLambda} }}{\mathit{\boldsymbol{x}}_2},\\\mathit{\boldsymbol{M}}{{\mathit{\boldsymbol{\dot x}}}_2} = - {\mathit{\boldsymbol{C}}_2}{\mathit{\boldsymbol{x}}_2} - \mathit{\boldsymbol{n}} + \mathit{\boldsymbol{d}} + \mathit{\boldsymbol{u}}.\end{array} \right.$

(8)

其中，反对称矩阵C₁和C₂分别为

${\mathit{\boldsymbol{C}}_1} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{ - \mathit{\boldsymbol{S}}\left( {\mathit{\boldsymbol{\omega }}_{i.p}^p} \right)}&{{{\bf{0}}_{3 \times 4}}}\\{{{\bf{0}}_{4 \times 3}}}&{{{\bf{0}}_{4 \times 4}}}\end{array}} \right],\;\;\;\;{\mathit{\boldsymbol{C}}_2} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{m\mathit{\boldsymbol{S}}\left( {\mathit{\boldsymbol{\omega }}_{i.p}^p} \right)}&{{{\bf{0}}_{3 \times 3}}}\\{{{\bf{0}}_{3 \times 3}}}&{{\mathit{\boldsymbol{C}}_{\rm{r}}}}\end{array}} \right].$

系统惯性矩阵为M=diag{mI₃, J}，非线性项n及干扰d分别为

$\mathit{\boldsymbol{n}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{{\mu m}}{{r_p^3}}\left( {\mathit{\boldsymbol{p}} + \mathit{\boldsymbol{R}}_t^p\mathit{\boldsymbol{r}}_{i,t}^t} \right) + m\mathit{\boldsymbol{R}}_t^p\mathit{\boldsymbol{\ddot r}}_{i,t}^t}\\{{\mathit{\boldsymbol{n}}_{\rm{r}}}}\end{array}} \right],\mathit{\boldsymbol{d}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{\mathit{\boldsymbol{f}}_{\rm{d}}}}\\{{\mathit{\boldsymbol{\tau }}_{\rm{d}}}}\end{array}} \right].$

(9)

2 控制受限的姿轨耦合控制器设计考虑到航天器在轨运行期间质量及惯量参数不确定性，为便于后续参数自适应律的构造，首先需要对不确定的系统参数进行线性提取，这里定义需要自适应估计的系统参数θ为

$\mathit{\boldsymbol{\theta }} = {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}m&{\mathit{\boldsymbol{\theta }}_J^{\rm{T}}}\end{array}} \right]^{\rm{T}}}.$

(10)

对系统式(8)中的包含不确定性系统参数的非线性项n进行变换，可得

$\mathit{\boldsymbol{n}} = {\mathit{\boldsymbol{N}}_1}\theta .$

(11)

其中，矩阵N₁表示为

${\mathit{\boldsymbol{N}}_1} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{\mathit{\boldsymbol{N}}_{1,11}}}&{{{\bf{0}}_{3 \times 6}}}\\{{{\bf{0}}_{3 \times 1}}}&{{\mathit{\boldsymbol{N}}_{1,22}}}\end{array}} \right],$

$\begin{array}{*{20}{c}}{{\mathit{\boldsymbol{N}}_{1,11}} = \frac{\mu }{{r_p^3}}\left( {\mathit{\boldsymbol{p}} + \mathit{\boldsymbol{R}}_t^p\mathit{\boldsymbol{r}}_{i,t}^t} \right) + \mathit{\boldsymbol{R}}_t^p\mathit{\boldsymbol{\ddot r}}_{i,t}^t,}\\{{\mathit{\boldsymbol{N}}_{1,22}} = \mathit{\boldsymbol{S}}\left( {\mathit{\boldsymbol{R}}_t^p\mathit{\boldsymbol{\omega }}_{i,t}^t} \right)\mathit{\boldsymbol{L}}\left( {\mathit{\boldsymbol{R}}_t^p\mathit{\boldsymbol{\omega }}_{i,t}^t} \right) + \mathit{\boldsymbol{L}}\left( {\mathit{\boldsymbol{R}}_t^p\mathit{\boldsymbol{\dot \omega }}_{i,t}^t} \right).}\end{array}$

(12)

其中L(·):R³→R^3×6为线性算子。
考虑式(11)，则姿轨耦合动力学模型式(8)可以转换为

${{\mathit{\boldsymbol{\dot x}}}_1} = {\mathit{\boldsymbol{C}}_1}{\mathit{\boldsymbol{x}}_1} + \mathit{\boldsymbol{ \boldsymbol{\varLambda} }}{\mathit{\boldsymbol{x}}_2},$

(13)

$\mathit{\boldsymbol{M}}{{\mathit{\boldsymbol{\dot x}}}_2} = - {\mathit{\boldsymbol{C}}_2}{\mathit{\boldsymbol{x}}_2} - {\mathit{\boldsymbol{N}}_1}\mathit{\boldsymbol{\theta }} + \mathit{\boldsymbol{u}} + \mathit{\boldsymbol{d}}.$

(14)

为了方便后续控制器的设计，特作以下假设及引理。
假设1 ?目标航天器的位姿信号ω_{i, t}^t、$\boldsymbol{\dot \omega} _{i, t}^t$、r_{i, t}^t和$\boldsymbol{\ddot r}_{i, t}^t $可测、光滑且有界。
假设2 ?存在一组未知但是有界的正常数ρ_i, i=1, 2, …, 6，使得系统的外界干扰力和力矩向量满足

$\left| {{\mathit{\boldsymbol{d}}_i}} \right| \le {\mathit{\boldsymbol{\rho }}_i},\;\;\;i = 1,2, \cdots ,6.$

(15)

假设3 ?追踪航天器的质量及惯量参数满足

${\mathit{\boldsymbol{\theta }}_{\min }} \le \mathit{\boldsymbol{\theta }} \le {\mathit{\boldsymbol{\theta }}_{\max }}.$

(16)

其中：θ_min、θ_max分别表示θ的下界与上界，$\boldsymbol{\tilde \theta } = \boldsymbol{\hat \theta}-\boldsymbol{\theta }$为参数θ的估计误差。下文将采用基于投影算子^[9]的参数自适应律，确保参数θ的估计值在式(16)定义的合理范围内。
引理1^[10]对于任意标量ε>0和η∈ $\mathbb{R}$，下列不等式成立：

$0 \le \left| \eta \right| - \eta \tanh \left( {\eta /\varepsilon } \right) \le \delta \varepsilon .$

(17)

其中：δ是一个正常数，满足δ=e^-(δ+1)，即δ=0.278 5。
2.1 不考虑输入饱和的鲁棒自适应控制律问题1 ?考虑姿轨耦合动力学系统式(13)—(14)及假设1—3，设计姿轨耦合控制律，使得系统存在未知参数θ、外界干扰d的情况下，系统状态x₁、x₂尽可能接近期望值x_1c=0, x_2c=0。
首先采用反步法构造下面的误差变量：

${\mathit{\boldsymbol{z}}_1} = {\mathit{\boldsymbol{x}}_1},\;\;\;{\mathit{\boldsymbol{z}}_2} = {\mathit{\boldsymbol{x}}_2} - \mathit{\boldsymbol{\alpha }},$

(18)

${{\mathit{\boldsymbol{\dot z}}}_1} = {{\mathit{\boldsymbol{\dot x}}}_1} = {\mathit{\boldsymbol{C}}_1}{\mathit{\boldsymbol{x}}_1} + \mathit{\boldsymbol{ \boldsymbol{\varLambda} }}{\mathit{\boldsymbol{x}}_2} = {\mathit{\boldsymbol{C}}_1}{\mathit{\boldsymbol{z}}_1} + \mathit{\boldsymbol{ \boldsymbol{\varLambda} }}\left( {{\mathit{\boldsymbol{z}}_2} + \mathit{\boldsymbol{\alpha }}} \right).$

(19)

其次针对误差运动学方程(13)，设计虚拟控制α为

$\mathit{\boldsymbol{\alpha }} = - {\mathit{\boldsymbol{K}}_1}{\mathit{\boldsymbol{ \boldsymbol{\varLambda} }}^{\rm{T}}}{\mathit{\boldsymbol{z}}_1} = {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\mathit{\boldsymbol{\alpha }}_p^{\rm{T}}}&{\mathit{\boldsymbol{\alpha }}_q^{\rm{T}}}\end{array}} \right]^{\rm{T}}}.$

(20)

进一步，定义V₁=1/2z₁^Tz₁，对其求导，将式(19)和(20)代入，利用性质z₁^TC₁z₁=0，并同时注意到式(18)，则有

$\begin{array}{*{20}{c}}{{{\mathit{\boldsymbol{\dot V}}}_1} = \mathit{\boldsymbol{z}}_1^{\rm{T}}{{\mathit{\boldsymbol{\dot z}}}_1} = \mathit{\boldsymbol{z}}_1^{\rm{T}}\left( {{\mathit{\boldsymbol{C}}_1}{\mathit{\boldsymbol{z}}_1} + \mathit{\boldsymbol{ \boldsymbol{\varLambda} }}\left( {{\mathit{\boldsymbol{z}}_2} + \mathit{\boldsymbol{\alpha }}} \right)} \right) = }\\{\mathit{\boldsymbol{z}}_1^{\rm{T}}\mathit{\boldsymbol{ \boldsymbol{\varLambda} }}{\mathit{\boldsymbol{z}}_2} - \mathit{\boldsymbol{z}}_1^{\rm{T}}\mathit{\boldsymbol{ \boldsymbol{\varLambda} }}{\mathit{\boldsymbol{K}}_1}{\mathit{\boldsymbol{ \boldsymbol{\varLambda} }}^{\rm{T}}}{\mathit{\boldsymbol{z}}_1}.}\end{array}$

(21)

随后，考虑到坐标变换式(18)，并进行下述线性化

$\mathit{\boldsymbol{M\dot \alpha }} = {\mathit{\boldsymbol{N}}_{\alpha 1}}\mathit{\boldsymbol{\theta }},\;\;\;{\mathit{\boldsymbol{C}}_2}\mathit{\boldsymbol{\alpha }} = {\mathit{\boldsymbol{N}}_{\alpha 2}}\mathit{\boldsymbol{\theta }}.$

(22)

其中N_α1和N_α2分别为

$\begin{array}{l}{\mathit{\boldsymbol{N}}_{\alpha 1}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{\mathit{\boldsymbol{\dot \alpha }}}_p}}&{{{\bf{0}}_{3 \times 6}}}\\{{{\bf{0}}_{3 \times 1}}}&{\mathit{\boldsymbol{L}}\left( {{{\mathit{\boldsymbol{\dot \alpha }}}_q}} \right)}\end{array}} \right],\\{\mathit{\boldsymbol{N}}_{\alpha 2}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\mathit{\boldsymbol{S}}\left( {{\mathit{\boldsymbol{\omega }}_{i,p}}} \right)}&{{{\bf{0}}_{3 \times 6}}}\\{{{\bf{0}}_{3 \times 1}}}&{{\mathit{\boldsymbol{N}}_{\alpha 2,22}}}\end{array}} \right].\end{array}$

(23)

上式中N_{α2, 22}为

$\begin{array}{*{20}{c}}{{\mathit{\boldsymbol{N}}_{\alpha 2,22}} = \mathit{\boldsymbol{L}}\left( {\mathit{\boldsymbol{S}}\left( {\mathit{\boldsymbol{R}}_t^p\mathit{\boldsymbol{\omega }}_{i,t}^t} \right){\mathit{\boldsymbol{\alpha }}_q}} \right) + }\\{\mathit{\boldsymbol{S}}\left( {\mathit{\boldsymbol{R}}_t^p\mathit{\boldsymbol{\omega }}_{i,t}^t} \right)\mathit{\boldsymbol{L}}\left( {{\mathit{\boldsymbol{\alpha }}_q}} \right) + \mathit{\boldsymbol{S}}\left( {{\mathit{\boldsymbol{\alpha }}_q}} \right)\mathit{\boldsymbol{L}}\left( {\mathit{\boldsymbol{\omega }} + \mathit{\boldsymbol{R}}_t^p\mathit{\boldsymbol{\omega }}_{i,t}^t} \right).}\end{array}$

(24)

则动力学方程变换为

$\left\{ \begin{array}{l}{{\mathit{\boldsymbol{\dot z}}}_1} = {\mathit{\boldsymbol{C}}_1}{\mathit{\boldsymbol{z}}_1} + \mathit{\boldsymbol{ \boldsymbol{\varLambda} }}{\mathit{\boldsymbol{z}}_2} - \mathit{\boldsymbol{ \boldsymbol{\varLambda} }}{\mathit{\boldsymbol{K}}_1}{\mathit{\boldsymbol{ \boldsymbol{\varLambda} }}^{\rm{T}}}{\mathit{\boldsymbol{z}}_1},\\\mathit{\boldsymbol{M}}{{\mathit{\boldsymbol{\dot z}}}_2} = - {\mathit{\boldsymbol{C}}_2}{\mathit{\boldsymbol{z}}_2} + \mathit{\boldsymbol{d}} + \mathit{\boldsymbol{u}} - \mathit{\boldsymbol{N\theta }}.\end{array} \right.$

(25)

其中，N=N₁+N_α1+N_α2。
进而，基于式(21)和(25)，则自适应鲁棒姿轨耦合控制律可以设计出来，并由下述定理给出。
定理1 ?在假设1—3的条件下，考虑由系统式(13)—(14)，控制律

$\mathit{\boldsymbol{u}} = - {\mathit{\boldsymbol{ \boldsymbol{\varLambda} }}^{\rm{T}}}{\mathit{\boldsymbol{z}}_1} - {\mathit{\boldsymbol{K}}_2}{\mathit{\boldsymbol{z}}_2} + \mathit{\boldsymbol{N\hat \theta }} - {\rm{Tanh}}\left( {{\mathit{\boldsymbol{z}}_2}} \right)\mathit{\boldsymbol{\hat \rho }},$

(26)

及自适应律

$\left\{ \begin{array}{l}\mathit{\boldsymbol{\dot {\hat \theta} }} = {\rm{Pro}}{{\rm{j}}_{\hat \theta }}\left( { - {\mathit{\boldsymbol{K}}_\theta }{\mathit{\boldsymbol{N}}^{\rm{T}}}{\mathit{\boldsymbol{z}}_2}} \right),\\\dot {\hat \rho} = {\mathit{\boldsymbol{K}}_\rho }\left( {{\rm{Tanh}}\left( {{\mathit{\boldsymbol{z}}_2}} \right){\mathit{\boldsymbol{z}}_2} - {k_\rho }\mathit{\boldsymbol{\hat \rho }}} \right),\end{array} \right.$

(27)

组成的闭环系统，使得闭环系统所有误差信号一致最终有界。
证明 ?定义系统Lyapunov函数为

${\mathit{\boldsymbol{V}}_2} = {\mathit{\boldsymbol{V}}_1} + \frac{1}{2}\mathit{\boldsymbol{z}}_2^{\rm{T}}\mathit{\boldsymbol{M}}{\mathit{\boldsymbol{z}}_2} + \frac{1}{2}{{\mathit{\boldsymbol{\tilde \theta }}}^{\rm{T}}}\mathit{\boldsymbol{K}}_\theta ^{ - 1}\mathit{\boldsymbol{\tilde \theta }} + \frac{1}{2}{{\mathit{\boldsymbol{\tilde \rho }}}^{\rm{T}}}\mathit{\boldsymbol{K}}_\rho ^{ - 1}\mathit{\boldsymbol{\tilde \rho }}.$

(28)

对其求导，并将式(21)和(25)代入，能够得到

$\begin{array}{*{20}{c}}{{{\mathit{\boldsymbol{\dot V}}}_2} \le \mathit{\boldsymbol{z}}_1^{\rm{T}}\mathit{\boldsymbol{ \boldsymbol{\varLambda} }}{\mathit{\boldsymbol{z}}_2} - \mathit{\boldsymbol{z}}_1^{\rm{T}}\mathit{\boldsymbol{ \boldsymbol{\varLambda} }}{\mathit{\boldsymbol{K}}_1}{\mathit{\boldsymbol{ \boldsymbol{\varLambda} }}^{\rm{T}}}{\mathit{\boldsymbol{z}}_1} - \mathit{\boldsymbol{z}}_2^{\rm{T}}{\mathit{\boldsymbol{C}}_2}{\mathit{\boldsymbol{z}}_2} + }\\{\sum\limits_{i = 1}^6 {\left| {{\mathit{\boldsymbol{z}}_{2i}}} \right|{\mathit{\boldsymbol{\rho }}_i}} + \mathit{\boldsymbol{z}}_2^{\rm{T}}\mathit{\boldsymbol{u}} - \mathit{\boldsymbol{z}}_2^{\rm{T}}\mathit{\boldsymbol{N\theta }} + {{\mathit{\boldsymbol{\tilde \theta }}}^{\rm{T}}}\mathit{\boldsymbol{K}}_\theta ^{ - 1}\mathit{\boldsymbol{\dot {\hat \theta} }} + {{\mathit{\boldsymbol{\tilde \rho }}}^{\rm{T}}}\mathit{\boldsymbol{K}}_\rho ^{ - 1}\mathit{\boldsymbol{\dot {\hat \rho} }}.}\end{array}$

(29)

根据引理1，有

$\sum\limits_{i = 1}^6 {\left| {{\mathit{\boldsymbol{z}}_{2i}}} \right|{\rho _i}} \le \frac{{{{\left\| \varphi \right\|}^2}}}{2} + \frac{{{{\left\| \rho \right\|}^2}}}{2} + \mathit{\boldsymbol{z}}_2^{\rm{T}}{\rm{Tanh}}\left( {{z_2}} \right)\rho .$

(30)

其中：

$\begin{array}{*{20}{c}}{{\rm{Tanh}}\left( {{\mathit{\boldsymbol{z}}_2}} \right) = {\rm{diag}}\left( {\tanh \left( {{\mathit{\boldsymbol{z}}_{2j}}/{\mathit{\boldsymbol{\varepsilon }}_{2j}}} \right)} \right),}\\{\mathit{\boldsymbol{\varphi }} = {{\left[ {\delta {\mathit{\boldsymbol{\varepsilon }}_{21}},\delta {\mathit{\boldsymbol{\varepsilon }}_{22}}, \cdots ,\delta {\mathit{\boldsymbol{\varepsilon }}_{26}}} \right]}^{\rm{T}}},}\\{\mathit{\boldsymbol{\rho }} = {{\left[ {{\mathit{\boldsymbol{\rho }}_1},{\mathit{\boldsymbol{\rho }}_2}, \cdots ,{\mathit{\boldsymbol{\rho }}_6}} \right]}^{\rm{T}}}.}\end{array}$

(31)

将式(30)、控制律式(26)和自适应律式(27)代入式(29)，并注意到z₂^TC₂z₂=0，以及

$\left\{ \begin{array}{l}{{\mathit{\boldsymbol{\tilde \theta }}}^{\rm{T}}}\mathit{\boldsymbol{K}}_\theta ^{ - 1}{\rm{Pro}}{{\rm{j}}_{\hat \theta }}\left( { - {\mathit{\boldsymbol{K}}_\theta }{\mathit{\boldsymbol{N}}^{\rm{T}}}{\mathit{\boldsymbol{z}}_2}} \right) + \mathit{\boldsymbol{z}}_2^{\rm{T}}\mathit{\boldsymbol{N\tilde \theta }} \le 0,\\ - {{\mathit{\boldsymbol{\tilde \rho }}}^{\rm{T}}}\mathit{\boldsymbol{\hat \rho }} \le - \left( {{{\left\| {\tilde \rho } \right\|}^2}/2} \right) + \left( {{{\left\| \rho \right\|}^2}/2} \right).\end{array} \right.$

(32)

则式(29)最终可化简为

$\begin{array}{*{20}{c}}{{{\mathit{\boldsymbol{\dot V}}}_2} = - \mathit{\boldsymbol{z}}_1^{\rm{T}}\mathit{\boldsymbol{ \boldsymbol{\varLambda} }}{\mathit{\boldsymbol{K}}_1}{\mathit{\boldsymbol{ \boldsymbol{\varLambda} }}^{\rm{T}}}{\mathit{\boldsymbol{z}}_1} - \mathit{\boldsymbol{z}}_2^{\rm{T}}{\mathit{\boldsymbol{K}}_2}{\mathit{\boldsymbol{z}}_2} - \left( {{k_\rho }/2} \right){{\left\| {\tilde \rho } \right\|}^2} + }\\{\frac{1}{2}\left( {{k_\rho } + 1} \right){{\left\| \rho \right\|}^2} + \left( {{{\left\| \varphi \right\|}^2}/2} \right).}\end{array}$

(33)

因此，系统误差信号一致最终有界。
2.2 考虑输入饱和的鲁棒自适应控制律考虑执行机构的饱和特性，定义其输出力矩为u=sat(u_c)。其中饱和函数sat是考虑到执行机构的饱和特性而引起的非线性，u_c为待设计的控制律，u_max为执行机构的饱和值，则由执行机构的饱和特性所引起的非线性为Δu=u-u_c。
问题2 ?考虑姿轨耦合动力学系统式(13)—(14)及假设1—3，设计姿轨耦合控制律，使得系统存在控制约束式、未知参数θ、外界干扰d的情况下，系统状态x₁、x₂尽可能接近期望值x_1c=0, x_2c=0。
考虑到执行机构的饱和特性式，式(25)可以转化为

$\left\{ \begin{array}{l}{{\mathit{\boldsymbol{\dot z}}}_1} = {\mathit{\boldsymbol{C}}_1}{\mathit{\boldsymbol{z}}_1} + \mathit{\boldsymbol{ \boldsymbol{\varLambda} }}{\mathit{\boldsymbol{z}}_2} - \mathit{\boldsymbol{ \boldsymbol{\varLambda} }}{\mathit{\boldsymbol{K}}_1}{\mathit{\boldsymbol{ \boldsymbol{\varLambda} }}^{\rm{T}}}{\mathit{\boldsymbol{z}}_1},\\\mathit{\boldsymbol{M}}{{\mathit{\boldsymbol{\dot z}}}_2} = - {\mathit{\boldsymbol{C}}_2}{\mathit{\boldsymbol{z}}_2} + \mathit{\boldsymbol{d}} + {\mathit{\boldsymbol{u}}_c} + \Delta u - \mathit{\boldsymbol{N\theta }}.\end{array} \right.$

(34)

为了便于考虑系统输入饱和的影响，同时消除输入受限而产生的偏差，引入辅助系统对控制律进行补偿^[11]：

${{\mathit{\boldsymbol{\dot e}}}_u} = \left\{ \begin{array}{l} - {\mathit{\boldsymbol{K}}_3}{\mathit{\boldsymbol{e}}_u} - \frac{{f\left( {\Delta \mathit{\boldsymbol{u}},{\mathit{\boldsymbol{z}}_2}} \right){\mathit{\boldsymbol{e}}_u}}}{{{{\left\| {{\mathit{\boldsymbol{e}}_u}} \right\|}^2}}} - \Delta \mathit{\boldsymbol{u}},\;\;\;\;\;\;\;\left\| {{\mathit{\boldsymbol{e}}_u}} \right\| \ge {\sigma _1},\\{\bf{0}},\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\left\| {{\mathit{\boldsymbol{e}}_u}} \right\| < {\sigma _1}.\end{array} \right.$

(35)

其中：$ f(\Delta \mathit{\boldsymbol{u}}, {\mathit{\boldsymbol{z}}_2}) = \left| {z_2^{\rm{T}}\Delta \mathit{\boldsymbol{u}}} \right| + \frac{1}{2}\Delta {\mathit{\boldsymbol{u}}^{\rm{T}}}\Delta \mathit{\boldsymbol{u}}$，σ₁的选取和最终的跟踪精度相关，e_u是为了减弱输入饱和对系统的影响而引进的变量。实际的控制输入设计为

$\begin{array}{*{20}{c}}{{\mathit{\boldsymbol{u}}_c} = - {\mathit{\boldsymbol{ \boldsymbol{\varLambda} }}^{\rm{T}}}{\mathit{\boldsymbol{z}}_1} - {\mathit{\boldsymbol{K}}_2}\left( {{\mathit{\boldsymbol{z}}_2} - {\mathit{\boldsymbol{e}}_u}} \right) + \mathit{\boldsymbol{N\hat \theta }} - }\\{{\rm{Tanh}}\left( {{\mathit{\boldsymbol{z}}_2}} \right)\mathit{\boldsymbol{\hat \rho }} - \frac{{{\mathit{\boldsymbol{z}}_2}g\left( \mathit{\boldsymbol{z}} \right)}}{{{\zeta ^2} + {{\left\| {{\mathit{\boldsymbol{z}}_2}} \right\|}^2}}}.}\end{array}$

(36)

其中$\boldsymbol{\dot \zeta} $和g(z₂)分别为

$\mathit{\boldsymbol{\dot \zeta }} = \left\{ \begin{array}{l} - \frac{{g\left( {{\mathit{\boldsymbol{z}}_2}} \right)\mathit{\boldsymbol{\zeta }}}}{{{\mathit{\boldsymbol{\zeta }}^2} + {{\left\| {{\mathit{\boldsymbol{z}}_2}} \right\|}^2}}} - {k_4}\mathit{\boldsymbol{\zeta }},\;\;\;\;\;\left\| {{\mathit{\boldsymbol{z}}_2}} \right\| \ge {\sigma _2},\\{\bf{0}},\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\left\| {{\mathit{\boldsymbol{z}}_2}} \right\| < {\sigma _2}.\end{array} \right.$

(37)

$g\left( {{\mathit{\boldsymbol{z}}_2}} \right) = 1/2\mathit{\boldsymbol{z}}_2^{\rm{T}}\mathit{\boldsymbol{K}}_2^{\rm{T}}{\mathit{\boldsymbol{K}}_2}{\mathit{\boldsymbol{z}}_2} + {\left\| \varphi \right\|^2}/2.$

(38)

当跟踪误差z₂进入到稳定区域σ₂后，ζ的变化率为0，这也意味着其不再减少，避免了控制输入过大。
定理2 ?在假设1—3的条件下，考虑由系统式(13)—(14)、控制律式(36)及自适应律式(27)组成的闭环系统，保证闭环系统误差最终一致有界。
证明?对式(28)求导，并将式(21)和(34)代入，能够得到

$\begin{array}{*{20}{c}}{{{\mathit{\boldsymbol{\dot V}}}_2} \le \mathit{\boldsymbol{z}}_1^{\rm{T}}\mathit{\boldsymbol{ \boldsymbol{\varLambda} }}{\mathit{\boldsymbol{z}}_2} - \mathit{\boldsymbol{z}}_1^{\rm{T}}\mathit{\boldsymbol{ \boldsymbol{\varLambda} }}{\mathit{\boldsymbol{K}}_1}{\mathit{\boldsymbol{ \boldsymbol{\varLambda} }}^{\rm{T}}}{\mathit{\boldsymbol{z}}_1} - \mathit{\boldsymbol{z}}_2^{\rm{T}}{\mathit{\boldsymbol{C}}_2}{\mathit{\boldsymbol{z}}_2} + }\\{\sum\limits_{i = 1}^6 {\left| {{\mathit{\boldsymbol{z}}_{2i}}} \right|{\mathit{\boldsymbol{\rho }}_i}} + \mathit{\boldsymbol{z}}_2^{\rm{T}}{\mathit{\boldsymbol{u}}_c} + \mathit{\boldsymbol{z}}_2^{\rm{T}}\Delta \mathit{\boldsymbol{u}} - \mathit{\boldsymbol{z}}_2^{\rm{T}}\mathit{\boldsymbol{N\theta }} + }\\{{{\mathit{\boldsymbol{\tilde \theta }}}^{\rm{T}}}\mathit{\boldsymbol{K}}_\theta ^{ - 1}\mathit{\boldsymbol{\dot {\hat \theta} }} + {{\mathit{\boldsymbol{\tilde \rho }}}^{\rm{T}}}\mathit{\boldsymbol{K}}_\rho ^{ - 1}\mathit{\boldsymbol{\dot {\tilde \rho} }}.}\end{array}$

(39)

将式(30)、控制律式(36)和自适应律式(27)代入式(39)，并注意到z₂^TC₂z₂=0和式(32)，可得到

$\begin{array}{*{20}{c}}{{{\mathit{\boldsymbol{\dot V}}}_2} \le - \mathit{\boldsymbol{z}}_1^{\rm{T}}\mathit{\boldsymbol{ \boldsymbol{\varLambda} }}{\mathit{\boldsymbol{K}}_1}{\mathit{\boldsymbol{ \boldsymbol{\varLambda} }}^{\rm{T}}}{\mathit{\boldsymbol{z}}_1} - \mathit{\boldsymbol{z}}_2^{\rm{T}}{\mathit{\boldsymbol{K}}_2}{\mathit{\boldsymbol{z}}_2} - \left( {{k_\rho }/2} \right){{\left\| {\tilde \rho } \right\|}^2} + }\\{\mathit{\boldsymbol{z}}_2^{\rm{T}}{\mathit{\boldsymbol{K}}_2}{\mathit{\boldsymbol{e}}_u} - \frac{{g\left( \mathit{\boldsymbol{z}} \right){{\left\| {{\mathit{\boldsymbol{z}}_2}} \right\|}^2}}}{{{\mathit{\boldsymbol{\zeta }}^2} + {{\left\| {{\mathit{\boldsymbol{z}}_2}} \right\|}^2}}} + \mathit{\boldsymbol{z}}_2^{\rm{T}}\Delta \mathit{\boldsymbol{u}} + }\\{1/2\left( {{k_\rho } + 1} \right){{\left\| \mathit{\boldsymbol{\rho }} \right\|}^2} + {{\left\| \varphi \right\|}^2}/2.}\end{array}$

(40)

定义系统Lyapunov函数为

${\mathit{\boldsymbol{V}}_3} = {\mathit{\boldsymbol{V}}_2} + 1/2\mathit{\boldsymbol{e}}_u^{\rm{T}}{\mathit{\boldsymbol{e}}_u} + 1/2{\mathit{\boldsymbol{\zeta }}^2}.$

(41)

对其求导，并将式(40)、式(35)和式(37)—(38)代入，能够得到

$\begin{array}{*{20}{c}}{{{\mathit{\boldsymbol{\dot V}}}_3} = - \mathit{\boldsymbol{z}}_1^{\rm{T}}\mathit{\boldsymbol{ \boldsymbol{\varLambda} }}{\mathit{\boldsymbol{K}}_1}{\mathit{\boldsymbol{ \boldsymbol{\varLambda} }}^{\rm{T}}}{\mathit{\boldsymbol{z}}_1} - \mathit{\boldsymbol{z}}_2^{\rm{T}}{\mathit{\boldsymbol{K}}_2}{\mathit{\boldsymbol{z}}_2} - \mathit{\boldsymbol{e}}_u^{\rm{T}}{\mathit{\boldsymbol{K}}_3}{\mathit{\boldsymbol{e}}_u} - {k_4}{\zeta ^2} - }\\{\left( {{k_\rho }/2} \right){{\left\| {\tilde \rho } \right\|}^2} + 1/2\left( {{k_\rho } + 1} \right){{\left\| \rho \right\|}^2} + }\\{\left( {\mathit{\boldsymbol{z}}_2^{\rm{T}}\Delta \mathit{\boldsymbol{u}} - \left| {\mathit{\boldsymbol{z}}_2^{\rm{T}}\Delta \mathit{\boldsymbol{u}}} \right|} \right) - 1/2\mathit{\boldsymbol{z}}_2^{\rm{T}}\mathit{\boldsymbol{K}}_2^{\rm{T}}{\mathit{\boldsymbol{K}}_2}{\mathit{\boldsymbol{z}}_2} + }\\{\left( {\mathit{\boldsymbol{z}}_2^{\rm{T}}{\mathit{\boldsymbol{K}}_2}{\mathit{\boldsymbol{e}}_u} - \mathit{\boldsymbol{e}}_u^{\rm{T}}\Delta \mathit{\boldsymbol{u}} - 1/2\Delta {\mathit{\boldsymbol{u}}^{\rm{T}}}\Delta \mathit{\boldsymbol{u}}} \right).}\end{array}$

(42)

注意到

$\mathit{\boldsymbol{z}}_2^{\rm{T}}{\mathit{\boldsymbol{K}}_2}{\mathit{\boldsymbol{e}}_u} - \mathit{\boldsymbol{e}}_u^{\rm{T}}\Delta \mathit{\boldsymbol{u}} - \frac{1}{2}\Delta {\mathit{\boldsymbol{u}}^{\rm{T}}}\Delta \mathit{\boldsymbol{u}} \le \frac{1}{2}\mathit{\boldsymbol{z}}_2^{\rm{T}}\mathit{\boldsymbol{K}}_2^{\rm{T}}{\mathit{\boldsymbol{K}}_2}{\mathit{\boldsymbol{z}}_2} + \mathit{\boldsymbol{e}}_u^{\rm{T}}{\mathit{\boldsymbol{e}}_u}.$

(43)

则式(42)可以化简为

(44)

因此，系统误差信号最终一致有界。
3 仿真验证与分析为了验证本文所设计控制方法的有效性和可行性，考虑对空间航天器交会对接近距离段进行相对轨道与相对姿态耦合控制，选择如下参数进行仿真验证。
追踪航天器的质量为m=20 kg，转动惯量为J=[20, 0.1, 0.2; 0.1, 20, 0.1; 0.2, 0.1, 20] kg·m².
追踪航天器与目标航天器的初始相对位姿分别为

$\mathit{\boldsymbol{p}}\left( 0 \right) = {\left[ {35, - 50,35} \right]^{\rm{T}}}{\rm{m}},$

$\mathit{\boldsymbol{v}}\left( 0 \right) = {\left[ {15, - 5,10} \right]^{\rm{T}}}{\rm{m}}/{\rm{s}};$

$\mathit{\boldsymbol{\sigma }}\left( 0 \right) = {\left[ { - 0.3143,0.4825,0.3473} \right]^{\rm{T}}};$

$\boldsymbol{\omega} (0) = {[0.01, - 0.02,0.01]^{\rm{T}}}\;{\rm{rad}}/{\rm{s}}.$

要求追踪航天器执行机构所能够施加的最大控制力为30 N，最大控制力矩为10 N·m。控制律增益选取为K₁=I, K₂=2I；卫星质量惯量参数自适应律增益为K_θ=0.01I；干扰上界自适应律增益选取为K_ρ=0.01I, k_ρ=0.001；辅助饱和分析系统相关参数取为K₃=2I, e_u(0)=0, σ₁=0.01；ζ子系统相关参数取为k₄=3, ζ(0)=0.01, σ₂=0.01。
为了便于比较，分别采用节2.1和2.2中2种方案进行仿真。控制方案Ⅰ、Ⅱ的仿真结果如图 1—4所示，各图例中下标“Ⅰ”表示采用节2.1中方案的仿真结果，下标“Ⅱ”表示采用节2.2中方案的仿真结果。

图 1 相对轨道

图选项

图 2 相对姿态

图选项

图 3 相对速度

图选项

图 4 相对角速度

图选项

图 1—4给出了相对位置、相对姿态、相对速度和相对角速度的变化曲线，从图 1—4可以看出，尽管受模型参数不确定性、外界干扰和执行机构饱和非线性的影响，但是相对轨道和相对速度在25 s附近收敛到0，而相对姿态和相对角速度则在60 s附近收敛到0。表明本文所设计的2种控制策略都能够使追踪航天器与目标航天器间的相对位姿快速收敛至期望状态。
图 5—7给出了三轴控制力变化曲线，可以看出系统运行初期执行机构发生输入饱和，由第一种控制策略所计算出的期望控制力要远大于实际控制力上限，饱和程度比较严重，这是因为方案Ⅰ中控制器设计过程中，没有考虑执行机构的饱和特性。而在方案Ⅱ中，由于控制器设计过程中显式考虑了执行机构的饱和特性，饱和现象很快消除，实际推力始终在所要求的幅值区间内，符合实际应用需求。

图 5 X轴控制力

图选项

图 6 Y轴控制力

图选项

图 7 Z轴控制力

图选项

4 结论针对存在模型参数不确定性、外部干扰以及控制输入饱和受限情况下的航天器近距离相对姿轨耦合控制问题，本文提出了一种考虑控制受限的鲁棒自适应控制器，通过自适应控制技术估计模型参数的不确定性及外界干扰上界，有效地提高了控制系统的鲁棒性。同时针对执行机构的饱和特性，通过引入辅助饱和分析系统来进行补偿，降低了执行机构饱和非线性对系统的影响，实现跟踪误差的一致最终有界稳定。基于Lyapunov理论对闭环系统稳定性进行了严格的证明。仿真结果表明：所设计的控制器能够严格满足执行机构的饱和约束，且对模型参数不确定性和外界干扰具有较强的鲁棒性。

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