1. 清华大学 汽车工程系, 汽车安全与节能国家重点实验室, 北京 100084;
2. 陕西汉德车桥有限公司, 西安 710201
收稿日期: 2015-12-31
基金项目: 清华大学校企合作项目（20132000261）
作者简介: 田程(1985-), 男, 博士研究生
通信作者: 范子杰, 教授, E-mail:zjfan@tsinghua.edu.cn
摘要：针对准双曲面齿轮齿面加工误差的机床加工参数调整修正问题，建立了基于刀倾半展成法（HFT）的齿面方程，给出了齿面离散化方法和齿面加工误差的表达式。基于机床加工参数对齿面误差的灵敏度系数进行推导，给出了现有齿面误差修正方法的数学模型，并指出其不足。在此基础上提出了基于回归分析的齿面误差修正方法，通过加工参数的灵敏度系数向量与实测齿面误差向量的线性相关性分析来选择变量，在选取较少的加工参数作为调整变量的同时，减少了各参数所需的调整量。实际齿轮的误差修正试验证明了该方法的上述优点以及误差修正的有效性，可为其他齿面误差修正问题提供了一定的借鉴。
关键词： 准双曲面齿轮 机床加工参数 齿面误差修正 回归分析 刀倾半展成法
Flank error correction of hypoid gears based on regression analyses
TIAN Cheng1, DING Weiqi2, GUI Liangjin1, FAN Zijie1
1.State Key Laboratory of Automotive Safety and Energy, Department of Automotive Engineering, Tsinghua University, Beijing 100084, China;
2.Shaanxi Hande Axle Co., Ltd., Xi'an 710201, China
Abstract:Tooth surface equations are derived based on the hypoid-format-tilt (HFT) method to calculate the machine parameter correction for the flank machining error of hypoid gears. The tooth surface discretization method is given for the flank machining error. The sensitivity coefficient for the flank error machine parameters is used to develop a mathematical model for the flank error correction method to identify its disadvantages based on a regression analysis. The linear dependence of the sensitivity coefficient vector of the machine parameters is compared with the real flank error vector to identify the variables for the regression analysis, which reduces the number of machine parameters to be adjusted. Tests of the flank error correction of a real gear show the above advantages and the effectiveness of this method. Guidelines are given for other flank error correction problems.
Key words: hypoid gearmachine setting parametersflank error correctionregression analysishypoid format tilt
准双曲面齿轮是汽车驱动桥中的重要传动部件，也是驱动桥振动噪声的主要来源之一。随着人们对汽车舒适性要求的提高，对这类齿轮的精度要求也相应提高。在实际加工时，由于机床本身运动误差、机床和刀具的弹性变形、刀具与工件的安装误差以及热变形等因素的存在，所加工的齿面与设计齿面之间不可避免地存在一定的误差。为了使实际加工齿面尽量接近于设计齿面，目前通用的方法是通过对机床加工参数进行适当调整，以实现齿面误差的补偿。Simon等[1-3]研究了机床加工参数对齿面误差的影响规律。Litvin等[4-7]采用基于误差灵敏度系数矩阵的方法，计算得到了误差修正所需的加工参数调整量。王军、王小椿等[8-9]采用差平面的参数替代齿面误差，并根据与加工参数增量空间的相关性给出了修正所需的最小调整量。现有方法普遍存在的问题是这些方法往往直接针对所有加工参数进行调整，这种调整方式虽然在理论计算和对一些算例计算时效果理想，但却不适合实际加工使用。这主要是由于机床加工参数之间存在着复杂的耦合性，对于某一个加工参数而言，当其他加工参数发生变化时，该参数对于齿面误差的影响是不同的；而普遍采用的基于灵敏度系数矩阵的求解方法忽略了这种耦合关系产生的影响，各加工参数对于齿面误差的灵敏度是固定的。因此，当多个加工参数同时进行调整时，尤其是一些参数调整量较大时，实际的调整效果与预测结果相去甚远，造成错误的修正。实际工程上一般只采用2~3个加工参数进行调整[10]，而如何选取调整参数则成为误差修正的关键，针对这方面的研究目前尚不多见。曹康、张彤等[10-11]定义了误差影响系数来评价各加工参数对齿面误差的影响程度，但该方法忽视了不同加工参数对齿面误差的影响形式的差异，在选取参数时并不能用简单的误差量来评价。王小椿等[9]虽然考虑了加工参数与实际测量误差之间的相关性，但所采用的差平面方法会引入拟合误差，影响实际的误差修正效果。王志永等[12]采用了一种基于比例修正系数的修正方法，但本质上仍是对所有加工参数进行调整计算，也存在单个参数多次调整的问题。
本文提出了一种基于回归分析的准双曲面齿轮齿面误差修正方法，在加工参数误差灵敏度的基础上，通过分析各加工参数与实测误差之间的线性相关度来选取调整变量，并通过多轮分析选取合适数量的加工参数作为调整变量，计算得到所需的修正值。通过对某齿轮的实际反调修正试验，对比了该方法与传统方法的修正效果，验证了该方法在实际应用中的有效性。
1 HFT加工方法下的齿面数学方程本文以加工格里森(Gleason) 制渐缩齿最为常用的刀倾半展成法(hypoid format tilt, HFT) 为例。该方法又称五刀法，在精加工小轮时齿轮的凹凸面是分开加工的，在误差修正时也是分别进行修正。
准双曲面齿轮齿面的设计基于局部共轭理论，其齿面的空间几何形状非常复杂。由于其实际齿面是通过加工过程中刀具与齿坯在空间中通过复杂的相对运动切削得到，因此可以通过已知的加工参数构建刀具和齿坯的相对位置关系，并结合啮合方程得到齿面的数学表达。以加工左旋小轮凹面为例，刀具和齿坯的空间坐标位置关系如图 1所示。
 |
| 图 1 左旋小齿轮凹面加工坐标系 |
| 图选项 |
图 1中，Om为机床坐标系原点，Oc为刀盘坐标系原点，Og为轮坯坐标系原点，M为齿面参考点；c为刀盘轴线方向，p为轮坯轴线方向，n为齿面法线方向，τ为刀具刃面方向。HFT方法加工小轮凹面时有11个加工参数，由图 1中位置关系可以表示出的加工参数有：水平轮位Xp、垂直轮位Em、床位XB、机床安装根锥角δm、径向刀位S、角向刀位q、刀转角j、刀倾总角i；图 1未能表示的加工参数还有机床滚比ipc、刀盘半径rc、刀具齿形角αc。
通过图 1，根据坐标变换和向量计算，并引入啮合方程vpc·npc=0，即可导出轮坯坐标系下小轮齿面方程，具体推导过程可参考相关文献[6]，这里不赘述。此时的齿面方程表示为
| $\left\{ \begin{array}{l}\mathit{\boldsymbol{r}} = \mathit{\boldsymbol{r}}\left( {\theta ,\varphi } \right)\\\mathit{\boldsymbol{n}} = \mathit{\boldsymbol{n}}\left( {\theta ,\varphi } \right)\end{array} \right..$ | (1) |
2 齿面的离散化和齿面误差获得要定量评价真实齿面与理论齿面之间的误差，需要在两个齿面上选取相同位置的点进行比较，因此需要将齿面进行离散化处理。一般的方法是将齿面旋转投影到轴截面上，然后均匀规划出一些网格点，并根据齿面方程计算出这些点在轮坯坐标系中的坐标值。所规划的网格点在齿面边界的收缩量取决于实际齿轮的有效工作齿面的大小以及齿轮测量仪探头的半径。为保证所取的网格点能够反映齿面的真实形状，一般沿齿长方向取9个点，沿齿高方向取5个点。如图 2所示，其中坐标原点是齿轮副的轴交错点。
 |
| 图 2 齿面离散示意图 |
| 图选项 |
规划出网格点后，网格点在投影面上的坐标与齿面方程的关系可表示为式(2)。其中：xg、yg坐标值可直接根据节锥几何参数得到。将式(2) 与式(1) 联立，采用二元迭代即可求解出齿面上每个网格点的空间坐标和法向方向。
| $\left\{ \begin{array}{l}{x_{\rm{g}}} = - \mathit{\boldsymbol{r}} \cdot \mathit{\boldsymbol{p}}\\{y_{\rm{g}}} = \left| {\mathit{\boldsymbol{r}} \times \mathit{\boldsymbol{p}}} \right|\end{array} \right..$ | (2) |
| $\left\{ \begin{array}{l}{e_i} = \left( {{\mathit{\boldsymbol{r}}_{{\rm{real,}}\mathit{i}}} - {\mathit{\boldsymbol{r}}_i}} \right) \cdot {\mathit{\boldsymbol{n}}_i},i = 1,2, \cdots ,45\\\mathit{\boldsymbol{e}} = {\left[ {{e_1},{e_2}, \cdots ,{e_{45}}} \right]^{\rm{T}}}\end{array} \right..$ | (3) |
3 加工参数对齿面误差的影响齿面方程是基于加工参数所确定的刀具表面与齿面之间的空间位置关系而建立的，此时的加工参数是确定值。若将加工参数也看作变量，则齿面方程可表示为
| $\left\{ \begin{array}{l}\mathit{\boldsymbol{r}} = \mathit{\boldsymbol{r}}\left( {\theta ,\varphi ,{\zeta _j}} \right)\\\mathit{\boldsymbol{n}} = \mathit{\boldsymbol{n}}\left( {\theta ,\varphi ,{\zeta _j}} \right)\end{array} \right.,j = 1,2, \cdots ,11.$ | (4) |
| $\left\{ \begin{array}{l}{\varepsilon _{j,i}} = \left( {{\mathit{\boldsymbol{r}}_i}\left( {{\zeta _j} + \Delta {\zeta _j}} \right) - {\mathit{\boldsymbol{r}}_i}\left( {{\zeta _j}} \right)} \right) \cdot {\mathit{\boldsymbol{n}}_i}\left( {{\zeta _j}} \right)\\{\mathit{\boldsymbol{\varepsilon }}_{\rm{j}}} = {\left[ {{{\rm{ ε }}_{1,i}},{{\rm{ ε }}_{2,i}}, \cdots ,{{\rm{ ε }}_{45,i}}} \right]^{\rm{T}}}\end{array} \right..$ | (5) |
| $\mathit{\boldsymbol{s}}\left( {{\zeta _j}} \right) = \frac{{\partial {\mathit{\boldsymbol{\varepsilon }}_j}\left( {\Delta {\zeta _j}} \right)}}{{\partial \Delta {\zeta _j}}} \approx \frac{{{\mathit{\boldsymbol{\varepsilon }}_j}\left( {{\rm{d}}{\zeta _j}} \right)}}{{{\rm{d}}{\zeta _j}}}.$ | (6) |
| ${\mathit{\boldsymbol{S}}_j} = \left[ {\mathit{\boldsymbol{s}}\left( {{\zeta _1}} \right),\mathit{\boldsymbol{s}}\left( {{\zeta _2}} \right), \cdots ,\mathit{\boldsymbol{s}}\left( {{\zeta _{11}}} \right)} \right].$ | (7) |
| $\begin{array}{*{20}{c}}{{\rm{find}}\;{\mathit{\boldsymbol{d}}_j}}\\{\min \;\;{{\left\| {{\mathit{\boldsymbol{S}}_j}{\mathit{\boldsymbol{d}}_j} + \mathit{\boldsymbol{e}}} \right\|}_2}.}\end{array}$ | (8) |
4 基于回归分析的齿面误差修正为了保证式(6) 得到的灵敏度系数向量的精度，应在选取尽量少的加工参数并且在加工参数的变化量尽量小的情况下完成齿面误差的修正。很多研究表明[1, 3-4]，不同的加工参数对于齿面误差的影响方式是不同的，因此根据实际测量的齿面误差的分布情况，选择与之相关性最好的加工参数可有效解决这一问题。
第3节已将实际测量的齿面误差以向量的形式表示，而每个加工参数的误差灵敏度系数同样以向量的形式表示，因此可以依次对各加工参数的灵敏度系数向量与误差向量进行线性回归分析，并以所得的线性回归决定系数R2作为其线性相关性的评价指标。此时的线性回归分析相当于求解式(9)，可用最小二乘逼近的方式求解。
| $\begin{array}{*{20}{c}}{{\rm{find}}\;{\alpha _j}}\\{\min \;\left( {\;{{\left\| {\mathit{\boldsymbol{e + }}{\alpha _j}\mathit{\boldsymbol{s}}\left( {{\zeta _j}} \right)} \right\|}_2}} \right).}\end{array}$ | (9) |
| $\begin{array}{*{20}{c}}{{\rm{find}}\;{\alpha _f},{\alpha _j}}\\{\min \;\left( {\;{{\left\| {\mathit{\boldsymbol{e + }}{\alpha _f}\mathit{\boldsymbol{s}}\left( {{\zeta _f}} \right) + {\alpha _j}\mathit{\boldsymbol{s}}\left( {{\zeta _j}} \right)} \right\|}_2}} \right),}\\{{\rm{s}}.{\rm{t}}.\;\;j \ne f.}\end{array}$ | (10) |
5 试验验证本文以某准双曲面齿轮的实际加工过程为例对所提出的齿面误差修正方法进行验证。该齿轮为格里森制渐缩齿，基本几何参数如表 1所示。采用HFT方法加工，加工设备为国产YKE2060A五轴联动数控磨齿机，小轮凹凸面的初始加工参数如表 2所示。齿面误差检测采用格里森的Sigma7齿轮检测中心，对小轮凹凸面的齿面误差进行检测。经多次加工验证，该YKE2060A机床在不更换齿轮夹具的前提下，对于同一批次齿轮进行加工所产生的齿面误差基本一致。因此，本文采用其中一次加工的齿轮作为代表进行计算和修正试验。该齿轮检测结果如图 3所示。其中：凹面最大误差为49.6 μm，凸面最大误差为44 μm。
表 1 准双齿面齿轮基本参数
| 参数 | 数值 |
| 大轮齿数 | 37 |
| 模数 | 11.49 mm |
| 偏置距 | 26 mm |
| 小轮设计螺旋角 | 43.65° |
| 大轮节锥角 | 73.87° |
| 小轮齿数 | 9 |
| 大轮齿面宽 | 61 mm |
| 轴交角 | 90° |
| 平均压力角 | 22.5° |
| 小轮节锥角 | 15.99° |
表选项
表 2 小轮初始加工参数
| 加工参数名称 | 凹面 | 凸面 |
| 角向刀位/(°) | 60.322 0 | 60.795 4 |
| 垂直轮位/mm | 18.000 0 | 34.000 0 |
| 水平轮位/mm | 0.736 0 | 3.532 5 |
| 安装根锥角/(°) | -4.527 3 | -6.215 2 |
| 径向刀位/mm | 151.236 3 | 165.718 7 |
| 滚比 | 5.432 8 | 5.715 3 |
| 床位/mm | 14.191 4 | 29.728 5 |
| 刀转角/(°) | 151.185 9 | 318.127 3 |
| 刀倾角/(°) | -17.635 9 | 17.512 9 |
| 刀尖半径/mm | 149.002 9 | 159.173 3 |
| 刀具齿形角/(°) | 20.000 0 | 25.000 0 |
表选项
 |
| 图 3 初始齿面误差(专用齿轮检测机报告) |
| 图选项 |
在Matlab环境下编程实现本文所提出基于回归分析的齿面误差反调方法。为了与全加工参数调整方法进行对比，本文也对该方法进行了编程计算。考虑到实际加工时，砂轮的修整比较费时，成本也较高，因此将刀尖半径和刀具齿形角这两个参数不作为可选参数。此外，经过分析可知角向刀位对齿面误差没有影响，因此也不作为可选参数。这样全加工参数调整方法共有8个调整量，为叙述方便将该方法称为传统方法；而对于本文所提出的方法，设定最多调整参数数量为3个，将其简称为改进方法。两种方法计算得到的加工参数调整量如表 3所示。
表 3 两种方法计算得到的加工参数调整量
| 修正方法 | 垂直轮位 mm | 水平轮位 mm | 安装根锥角 (°) | 径向刀位 mm | 滚比 | 床位 mm | 刀转角 (°) | 刀倾角 (°) | |
| 传统方法 | 凹面 | -7.149 7 | 1.702 5 | 0.763 2 | -1.273 8 | -0.088 7 | -14.392 4 | 0.488 9 | -0.415 1 |
| 凸面 | -6.339 3 | 0.350 2 | -0.245 5 | -5.363 0 | -0.041 1 | 5.806 7 | -4.332 0 | 0.082 2 | |
| 改进方法 | 凹面 | - | - | - | 0.295 1 | - | -1.965 5 | - | -0.015 0 |
| 凸面 | - | 0.078 1 | -0.201 4 | 0.441 0 | - | - | - | - | |
表选项
将表 3中的调整量分别带回各自的求解方程中，可以得到理论修正残差σtheory，也是基于各自求解模型所能达到的最小残差。取其中的绝对值最大项和均方根值来评价误差修正效果，并计入表 4。此外，依照表 3的计算结果对初始加工参数进行调整，然后采用新的加工参数依照式(5) 可计算得到此时的齿面与初始理论齿面之间的误差εcorrect。将该值与检测误差e相加后，可以得到实际的齿面修正残差σcorrect。σcorrect并非实际调整加工后的残余误差，而是计算值。同样取其中的绝对值最大项和均方根值来评价误差修正效果，如表 4所示。一般工程中认为，当修正后的齿面最大残差低于10 μm时，即为达到理想修正效果。
表 4 两种方法误差修正效果
| 修正方法 | σtheory | σcorrect | ||||
| 绝对值最大 μm | 均方根 μm | 绝对值最大 μm | 均方根 μm | |||
| 传统方法 | 凹面 | 2.9 | 1.0 | 15.4 | 8.9 | |
| 凸面 | 3.8 | 1.8 | 4.6 | 2.0 | ||
| 改进方法 | 凹面 | 3.6 | 1.5 | 3.4 | 1.5 | |
| 凸面 | 4.9 | 2.2 | 4.9 | 2.2 | ||
表选项
从表 3中可以看出，改进方法在仅选取3个加工参数作为调整变量的情况下，计算得到的加工参数调整量相比于传统方法计算的结果均有明显减小。
从表 4的修正效果对比中可以看到，在实际齿面修正残差中，改进方法在凹面修正时效果明显好于传统方法，在凸面的修正效果也与传统方法接近；两侧齿面的最大残差均在5 μm以内，达到了理想的修正效果。对比理论残差与实际残差结果可以发现，改进方法对于两种残差的计算结果基本一致；而传统方法在凹面计算时，实际残差结果明显大于理论残差，最大残差超过了10 μm，没有达到理想的修正效果。这正是由于多个加工参数发生较大变化后，灵敏度系数矩阵精度下降所致。通过以上对比可以看出，改进方法即基于回归分析的齿面误差修正方法相比于传统方法，可以在选择较少的加工参数作为调整变量的同时，减少参数的调整量，并能达到理想的修正效果。
将表 3中改进方法计算得到的加工参数调整量加到初始参数中，对真实的齿轮进行第2轮试切，并将修正后的齿轮再次检测其齿面误差，所得结果如图 4所示。其中修正的凹面最大误差为7.7 μm，凸面为6.4 μm，达到了理想的修正效果，进一步验证了该方法在实际应用中的有效性。
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| 图 4 修正后的齿面误差(专用齿轮检测机报告) |
| 图选项 |
6 结论1)?本文通过理论推导指出了现有准双曲面齿轮齿面误差修正方法的不足，并提出了一种基于回归分析的齿面误差修正方法来解决这一问题。
2)?针对某齿轮的实际误差检测结果，分别采用传统方法和基于回归分析的改进方法进行误差修正计算，结果印证了传统方法的不足，并证明了改进方法可在选取较少加工参数进行调整的同时，减少所需的调整量，从而达到理想的修正效果。
3)?通过对实际齿轮的误差修正加工和残余误差检测，进一步验证了改进方法的正确性。
4)?该方法可为其他类型齿轮或其他加工方法加工的齿轮的齿面误差修正问题提供了一定的借鉴。
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