清华大学 核能与新能源技术研究院, 核检测技术北京市重点实验室, 北京 100084
收稿日期: 2016-02-26
作者简介: 万欣(1990-), 女, 博士研究生
通信作者: 吴志芳, 研究员, E-mail:zhifang.wu@tsinghua.edu.cn
摘要：线性插值是多层螺旋CT的基础重建算法之一，基本原理是搜寻重建平面上下2组投影数据进行插值，而搜寻数据及计算权重函数过程会大大降低重建效率。该文提出了一种改进的适用于一定螺距范围的线性插值算法，以4层螺旋CT为例，给出了不同探测器排投影数据的权重函数，可直接用于插值计算，从而提高重建效率。通过模拟三维Shepp-Logan头部模型投影数据，验证了该算法的重建效果和适用范围。结果表明：该算法在中小螺距范围内重建效果好，图像还原能力高，在保证重建图像质量的同时，拥有较大的体积覆盖率，可用于需要快速重建的情况。
关键词： 多层螺旋CT (MSCT) 线性插值算法 重建图像 螺距
Improved linear interpolation algorithm for multi-slice helical CT
WAN Xin, LIU Ximing, MIAO Jichen, WU Zhifang
Beijing Key Laboratory of Nuclear Detection and Measurement Technology, Institute of Nuclear and New Energy Technology, Tsinghua University, Beijing 100084, China
Abstract:Linear interpolation (LI) is one of the basic reconstruction algorithms for multi-slice helical CT (MSCT) which searches for the upper and lower projection data sets adjacent to the reconstructed slice for interpolation. However, the searching for the data and computing the weighting function significantly reduces the reconstruction efficiency. An improved LI method was developed for a range of helical pitches with a 4-slice helical CT as an example. The algorithm defines the projection data weighting function from different detector rows, which can be used directly for interpolation to increase the reconstruction efficiency. The 3D projection data for the Shepp-Logan head phantom was simulated to verify the reconstruction capability and the applicable range of this method. The results show that this method does well for moderate and small helical pitches. The image restoration capacity is very good and the volume coverage is quite fast with good image quality. This method can be used in situations requiring fast reconstruction.
Key words: multi-slice helical CT (MSCT)linear interpolation algorithmreconstructed imagehelical pitch
多层螺旋CT (multi-slice helical CT, MSCT)重建算法可分为线性插值、近似三维重建、精确三维重建以及迭代算法4大类[1]，其中线性插值算法本质仍为二维滤波反投影，原理简单、易于实现，且对锥角较小的MSCT，该算法性能良好，是MSCT常用的重建算法。
在螺旋扫描模式下，以旋转轴为Z轴，射线源轨迹与任意垂直Z轴的平面只有一个交点，因此对任意重建平面，只有一个投影被采集。为获得重建图像，需用邻近投影数据估计重建平面内的投影，才能进行后续反投影重建。线性插值的基本原理即搜索重建平面上下2组投影数据进行插值，得到重建所需的近似投影数据。然而，搜索插值数据和计算权重函数过程会大大降低重建效率。
MSCT常用线性插值方法有360MLI (multi-slice linear interpolation)和180MLI[2-6]。360MLI是用距离重建平面最近的两排探测器所测数据(称为直接数据)进行插值，180MLI则利用了共轭数据，选择离重建平面最近的直接数据或共轭数据进行插值。相较于360MLI，180MLI插值间距小，重建效果更好，但搜索插值数据更费时。如果能直接给出一定投影角度下，不同探测器排所测投影数据对重建平面的贡献，即给出投影数据的权重函数，将大大提高重建效率。
Hu等[7]以4层螺旋CT (4-slice helical CT, 4SCT)为例，推导了适用于特定螺距范围的插值权重函数，简称为Hu线性插值算法，可直接用于投影数据插值。Hu算法公式有2种: 1)?适用于排螺距在3附近，重建图像质量高，但体积覆盖率低；2)?适用于排螺距在6附近，体积覆盖率高，但牺牲了部分图像质量。实际应用中，对图像质量和体积覆盖率的不同权衡存在不同的最优螺距，如医学常用射束螺距为0.85~1.75[8]，4SCT下对应排螺距为3.4~7(排螺距和射线束螺距定义见下文)。Wang等[9]的研究分析也表明，在扫描长度和层厚固定且满足一定条件时，射线束螺距约为1.4时图像噪声最小，4SCT下对应排螺距为5.6。而Hu算法中排螺距在3~6之间时效果不好，因此，基于Hu算法思想，本文推导了适用该范围的线性插值算法，并通过模拟三维Shepp-Logan (SL)头部模型投影数据，验证了该算法的重建效果和适用范围。
1 基本概念1.1 螺距多层螺旋CT螺距有射线束螺距和排螺距2种，本文采用排螺距，其定义为h=S/b，即探测器旋转一周沿Z轴移动距离S除以探测器单元宽度b。射线束螺距p与排螺距h的转换关系为，p=h/N，其中N为探测器总排数[1]。
1.2 共轭采样满足(γ, β)和(-γ, β+π+2γ)条件的2次采样，形成共轭采样[1]，其中γ表示探测器角度，β表示投影角度。若在步进-采集模式下，共轭采样表示相同的射线路径；在螺旋扫描模式下，由于探测器的匀速运动，则表示不同Z位置下互相平行的2条射线路径。180MLI即利用了共轭采样的原理，因此也称为共轭插值。
1.3 MSCT线性插值算法通用公式在MSCT的线性插值算法中，Z方向靠近重建平面的上下2组投影数据被用于插值计算。用Pn(β, γ)表示MSCT投影数据，线性插值算法可以表述如下
| $P = \left( {\beta, \gamma } \right) = {w_1}{P_{n1}}\left( {\beta, \gamma } \right) + {w_2}{P_{n2}}\left( {\beta, \gamma } \right).$ | (1) |
上述为MSCT线性插值算法通用公式，适用于任意排数、任意螺距的CT系统。可以看出，该公式对如何确定Pn1(β, γ)和Pn2(β, γ)及其对应权重w1、w2并未给出直观定义，而这一信息对实际重建过程很重要。下文以4SCT为例，给出本文改进算法的简单推导，适用于螺距在4附近，简称为4SCT_h~4，同样Hu算法2种公式分别简称为4SCT_h~3和4SCT_h~6。
2 4SCT_h~4线性插值算法该方法的本质和180MLI相同，都利用了共轭采样的原理，用包括共轭数据在内的，离重建平面最近的2组数据进行插值。不同之处在于，该方法给出了每一个投影角度下，用来插值的数据及其权重函数。
设沿Z轴正方向的4排探测器分别为A、B、C、D，令βA、βB、βC、βD表示不同探测器排和重建平面相交时的投影角度。由于重建平面定义为垂直于Z轴的平面，同一排的所有探测器通道具有相同的交角，因此它们在β-γ关系图上为一条水平线，称为直接交线，如图 1所示。
 |
| 图 1 4SCT_h~4螺旋扫描共轭区域 |
| 图选项 |
第n排探测器的Z坐标可以表示为
| ${z_n} = {z_0} + \frac{{S\beta }}{{2{\rm{\pi }}}} + \left( {n-\frac{{N + 1}}{2}} \right)b.$ | (2) |
| $ \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\gamma ' =-\gamma, }\\{{\beta _{n \pm }} = {\beta _n} \pm {\rm{\pi }}-2r.}\end{array}} \right. $ | (3) |
定义直接交线处的投影权重为1，则共轭交线处的投影权重为0。对某个投影角度β，首先判断其所处的共轭区域，例如，当βA < β < βB+时，β处于A排探测器直接交线βA和共轭交线βB+构成的区域中，则采用该投影时刻所对应的βA和βB+数据进行线性插值，即得到式(4)中A排权重函数wA(β, γ)中的第2项。需注意的是，直接交线和共轭交线存在重叠，如βB和βD+，此时应考虑两者对插值数据的共同贡献，即wA(β, γ)中的因子UA和VA。另外，由于A、D排探测器所测投影数据存在冗余，它们对重建层的贡献可以结合，即存在一个冗余因子，式(4)中wA(β, γ)和wD(β, γ)中的1/2即为冗余因子，表示A、D排探测器对重建层的贡献相等[11-12]。以此类推，可得到权重函数如式(4)，即4SCT_h~4算法。
| ${w_{\rm{A}}}\left( {\beta, \gamma } \right) = \frac{1}{2}\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{U_{\rm{A}}} + {V_{\rm{A}}}, }&{{\beta _{{\rm{Am}}}} < \beta \le {\beta _{\rm{A}}};}\\{\frac{{\beta-{\beta _{{\rm{B + }}}}}}{{{\beta _{\rm{A}}}-{\beta _{{\rm{B + }}}}}}, }&{{\beta _{\rm{A}}} < \beta < {\beta _{{\rm{B + }}}};}\\{0, }&{其他.}\end{array}} \right.$ |
| ${w_{\rm{B}}}\left( {\beta, \gamma } \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{U_{{\rm{B1}}}} + {V_{{\rm{B1}}}}, }&{{\beta _{{\rm{Bm}}}} < \beta \le {\beta _{\rm{B}}};}\\{{U_{{\rm{B2}}}} + {V_{{\rm{B2}}}}, }&{{\beta _{\rm{B}}} < \beta < {\beta _{{\rm{BM}}}};}\\{0, }&{其他.}\end{array}} \right.$ |
| ${w_{\rm{C}}}\left( {\beta, \gamma } \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{U_{{\rm{C1}}}} + {V_{{\rm{C1}}}}, }&{{\beta _{{\rm{Cm}}}} < \beta \le {\beta _{\rm{C}}};}\\{{U_{{\rm{C2}}}} + {V_{{\rm{C2}}}}, }&{{\beta _{\rm{C}}} < \beta < {\beta _{{\rm{CM}}}};}\\{0, }&{其他.}\end{array}} \right.$ |
| ${w_{\rm{D}}}\left( {\beta, \gamma } \right) = \frac{1}{2}\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\frac{{\beta-{\beta _{{\rm{C}}-}}}}{{{\beta _{\rm{D}}}-{\beta _{{\rm{C}} - }}}}, }&{{\beta _{{\rm{C}} - }} < \beta \le {\beta _{\rm{D}}};}\\{{U_{\rm{D}}} + {V_{\rm{D}}}, }&{{\beta _D} < \beta < {\beta _{{\rm{DM}}}};}\\{0, }&{其他.}\end{array}} \right.$ |
| $ {\beta _{{\rm{Am}}}} = \min \left( {{\beta _{\rm{B}}}, {\beta _{{\rm{D + }}}}} \right), {\beta _{{\rm{Dm}}}} = \max \left( {{\beta _{{\rm{A}}-}}, {\beta _{\rm{C}}}} \right); $ |
| $ {\beta _{{\rm{Bm}}}} = \min \left( {{\beta _{{\rm{A}}-}}, {\beta _{\rm{C}}}} \right), {\beta _{{\rm{Bm}}}} = \max \left( {{\beta _{\rm{A}}}, {\beta _{{\rm{C + }}}}} \right); $ |
| $ {\beta _{{\rm{Cm}}}} = \min \left( {{\beta _{{\rm{B}}-}}, {\beta _{\rm{D}}}} \right), {\beta _{{\rm{Cm}}}} = \max \left( {{\beta _{\rm{B}}}, {\beta _{{\rm{D + }}}}} \right); $ |
| $ \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{U_{\rm{A}}} = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{1}{2}\frac{{\beta-{\beta _{\rm{B}}}}}{{{\beta _{\rm{A}}}-{\beta _{\rm{B}}}}}, }&{{\beta _{\rm{B}}} < \beta < {\beta _{\rm{A}}};}\\{0, }&{其他.}\end{array}} \right.}\\{{V_{\rm{A}}} = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{1}{2}\frac{{\beta-{\beta _{{\rm{D + }}}}}}{{{\beta _{\rm{A}}} - {\beta _{{\rm{D + }}}}}}, }&{{\beta _{{\rm{D + }}}} < \beta < {\beta _{\rm{A}}};}\\{0, }&{其他.}\end{array}} \right.}\end{array}} \right. $ | (4a) |
| $ \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{U_{{\rm{B1}}}} = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{1}{2}\frac{{\beta-{\beta _{{\rm{A}}-}}}}{{{\beta _{\rm{B}}}-{\beta _{{\rm{A}} - }}}}, }&{{\beta _{{\rm{A}} - }} < \beta < {\beta _{\rm{B}}};}\\{0, }&{其他.}\end{array}} \right.}\\{{V_{{\rm{B1}}}} = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{1}{2}\frac{{\beta - {\beta _{\rm{C}}}}}{{{\beta _{\rm{B}}} - {\beta _{\rm{C}}}}}, }&{{\beta _{\rm{C}}} < \beta < {\beta _{\rm{B}}};}\\{0, }&{其他.}\end{array}} \right.}\end{array}} \right. $ | (4b) |
| $ \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{U_{{\rm{B2}}}} = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{1}{2}\frac{{\beta-{\beta _{\rm{A}}}}}{{{\beta _{\rm{B}}}-{\beta _{\rm{A}}}}}, }&{{\beta _{\rm{B}}} < \beta < {\beta _{\rm{A}}};}\\{0, }&{其他.}\end{array}} \right.}\\{{V_{{\rm{B2}}}} = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{1}{2}\frac{{\beta-{\beta _{{\rm{C}} + }}}}{{{\beta _{\rm{B}}} - {\beta _{{\rm{C + }}}}}}, }&{{\beta _{\rm{B}}} < \beta < {\beta _{{\rm{C + }}}};}\\{0, }&{其他.}\end{array}} \right.}\end{array}} \right. $ | (4c) |
| $ \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{U_{{\rm{C1}}}} = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{1}{2}\frac{{\beta-{\beta _{\rm{D}}}}}{{{\beta _{\rm{B}}}-{\beta _{\rm{A}}}}}, }&{{\beta _{\rm{D}}} < \beta < {\beta _{\rm{C}}};}\\{0, }&{其他.}\end{array}} \right.}\\{{V_{{\rm{C1}}}} = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{1}{2}\frac{{\beta-{\beta _{{\rm{B}} - }}}}{{{\beta _{\rm{C}}} - {\beta _{{\rm{C}} - }}}}, }&{{\beta _{{\rm{B}} - }} < \beta < {\beta _{\rm{C}}};}\\{0, }&{其他.}\end{array}} \right.}\end{array}} \right. $ | (4d) |
| $ \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{U_{{\rm{C2}}}} = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{1}{2}\frac{{\beta-{\beta _{\rm{B}}}}}{{{\beta _{\rm{B}}}-{\beta _{\rm{A}}}}}, }&{{\beta _{\rm{C}}} < \beta < {\beta _{\rm{B}}};}\\{0, }&{其他.}\end{array}} \right.}\\{{V_{{\rm{C2}}}} = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{1}{2}\frac{{\beta-{\beta _{{\rm{D + }}}}}}{{{\beta _{\rm{C}}} - {\beta _{{\rm{D + }}}}}}, }&{{\beta _{\rm{C}}} < \beta < {\beta _{{\rm{D + }}}};}\\{0, }&{其他.}\end{array}} \right.}\end{array}} \right. $ | (4e) |
| $ \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{U_{\rm{D}}} = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{1}{2}\frac{{\beta-{\beta _{\rm{C}}}}}{{{\beta _{\rm{D}}}-{\beta _{\rm{C}}}}}, }&{{\beta _{\rm{D}}} < \beta < {\beta _{\rm{C}}};}\\{0, }&{其他.}\end{array}} \right.}\\{{V_{\rm{D}}} = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{1}{2}\frac{{\beta-{\beta _{{\rm{A}} - }}}}{{{\beta _{\rm{D}}} - {\beta _{{\rm{A}} - }}}}, }&{{\beta _{\rm{D}}} < \beta < {\beta _{{\rm{A}} - }};}\\{0, }&{其他.}\end{array}} \right.}\end{array}} \right. $ | (4f) |
| $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{\beta _{\rm{A}}} < {\beta _{\rm{B}}} + {\rm{\pi }}-{\rm{2}}\gamma, }&{{\beta _{\rm{D}}} < {\beta _{\rm{A}}}-{\rm{\pi }}-{\rm{2}}\gamma ;}\\{{\beta _{\rm{A}}} - {\beta _{\rm{B}}} = \frac{{2{\rm{\pi }}}}{h}, }&{{\beta _{\rm{A}}} - {\beta _{\rm{D}}} = \frac{{{\rm{6\pi }}}}{h}.}\end{array}} \right.$ | (5) |
| $ 2{\rm{\pi /}}\left( {{\rm{\pi }}-2{\gamma _{\max }}} \right) < h < 6{\rm{\pi }}/\left( {{\rm{\pi }} + 2{\gamma _{\max }}} \right). $ |
由文[7]可知，4SCT_h~3算法适用条件为
3 4SCT_h~4算法实验3.1 三维Shepp-Logan模型投影数据模拟为验证本文算法，需要获取螺旋CT投影数据进行重建。本文采用计算机断层成像领域模拟计算的经典模型，Shepp-Logan (SL)头部模型进行仿真投影，它由10个方位和密度不同的椭球组成，其某个角度下的透视图如图 2a所示，z=0处的剖面图如图 2b所示，图中标注了各椭球在仿真图像中的灰度值。
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| 图 2 三维SL头部模型透视图及z=0处剖面图 |
| 图选项 |
CT投影数据是物体线性衰减系数μ沿射线路径的线积分，当射线能量一定时，μ与物体密度成正比。SL模型各椭球内密度均匀，因此通过计算不同投影角度射线与椭球的截距，乘以对应椭球密度即为仿真投影数据[13-14]。
模拟所用长度单位归一化，对SL模型以1°的投影角度间隔扫描一个周期，即360°。探测器排数为4，每排有256个探测单元。扇束张角2γmax≈π/4，初始扫描位置z0=-0.5h，重建平面z=0，为SL模型Z轴方向的中心平面。每排探测器Z方向宽度为0.02，约为SL模型最长轴长度的1/100。SL模型在4SCT某螺距下的仿真投影数据如图 3所示。
 |
| 图 3 SL模型在4SCT下的仿真投影数据 |
| 图选项 |
3.2 4SCT_h~4图像重建效果为与Hu算法进行对比，分别用本文4SCT_h~4算法和Hu 4SCT_h~3、4SCT_h~6算法对SL仿真投影数据进行重建，选择扫描螺距h为3、4、6三种情况为代表，图 4为3种算法对不同螺距扫描投影的重建图像。
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| 图 4 三种算法对不同螺距扫描投影的重建图像 |
| 图选项 |
由图 4可知4SCT_h~3算法仅在h=3时图像质量最好，h=4、6时图像质量恶化；4SCT_h~6算法在h=3时图像质量比4SCT_h~3差，但在h=4、6时较好；而本文4SCT_h~4算法在3种螺距下图像质量均最好。进一步实验表明，4SCT_h~4算法在h>7时开始出现伪影。
选取上述3种螺距下重建图像第128行，绘制灰度曲线，并与SL模型仿真原图第128行进行比较，如图 5-7所示。图像灰度均已经过归一化处理，其中箭头所指图像为椭圆框内曲线放大所得。
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| 图 5 h=3时3种算法重建图像第128行灰度曲线 |
| 图选项 |
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| 图 6 h=4时3种算法重建图像第128行灰度曲线 |
| 图选项 |
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| 图 7 h=6时3种算法重建图像第128行灰度曲线 |
| 图选项 |
由图 5-7可知，h=3时，4SCT_h~4算法灰度曲线最接近原图，4SCT_h~3算法优于4SCT_h~6算法；h=4时，4SCT_h~4算法曲线同样误差最小；h=6时，4SCT_h~3算法曲线远远偏离原图，4SCT_h~4算法和4SCT_h~6算法几乎重合，与原图误差很小。
3.3 归一化平均绝对距离为量化分析重建后图像与仿真图像差异，采用归一化平均绝对距离对重建图像进行评价，其定义为[15]
| $r = \frac{{\sum\limits_{u = 1}^N {\sum\limits_{v = 1}^N {\left| {{t_{u, v}}-{w_{u, v}}} \right|} } }}{{\sum\limits_{u = 1}^N {\sum\limits_{v = 1}^N {\left| {{t_{u, v}}} \right|} } }}.$ | (6) |
以0.5为间隔，分别计算扫描螺距在3~7之间时3种算法重建图像的r值，结果如图 8所示。比较4SCT_h~3和4SCT_h~6算法可知，与理论相符，4SCT_h~3算法适用螺距范围窄，仅在h=3和3.5时r值较小，表明此时其重建图像质量最好；4SCT_h~6算法在4 < h < 7之间时，r值小于4SCT_h~3算法，但整体远大于4SCT_h~3算法在h=3时的r值，可见4SCT_h~6算法虽然能适用于大螺距，但牺牲了图像质量。
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| 图 8 三种算法重建图像归一化平均绝对距离 |
| 图选项 |
而在所有实验h下，4SCT_h~4算法的r值均远远小于Hu的2种算法，原因是本文方法对共轭区域的划分更精细，因而选择插值数据时更准确。另外由图 8可知，虽然4SCT_h~4算法理论适用螺距范围为2.6~4.8，实验验证结果表明，在3 < h < 7较大范围内重建图像误差都很小。当h继续增大，重建图像开始出现伪影，r值变差，噪声增大。
4 结论针对多层螺旋CT线性插值算法中，搜索插值数据和计算权重过程降低重建效率的问题，Hu等人提出了适用特定螺距范围的插值算法，给出了投影数据的权重函数，可直接用于插值计算。针对需权衡图像质量和体积覆盖率而可能需要中小螺距的情况，本文基于Hu算法思想，提出了适用中小螺距的插值算法公式，并通过模拟三维SL头部模型投影数据，进行了实验验证，结果表明在3~7的中小螺距范围内，该算法的重建图像质量较好，图像还原能力高，可在保证重建图像质量的同时，拥有较大的体积覆盖率。该算法基于4层螺旋CT，可推广到不同探测器排数，但排数较大时，推导过程复杂，且锥角效应趋于严重，线性插值算法重建图像质量降低，因而本文方法可用于螺旋CT探测器排数较少、中小螺距、需要快速重建的情形。
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