基于北向陀螺零偏自观测的捷联惯性导航系统双位置初始对准方法

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彭卓 ^1,2 , 郭美凤 ¹ , 张嵘 ¹ , 罗寿红 ¹
1.清华大学精密仪器系, 导航工程中心, 北京 100084;
2.中国航天员科研训练中心, 北京 100094

收稿日期: 2015-12-01
基金项目: 总装惯性技术预先研究项目（51309010301）
作者简介: 彭卓(1986-), 男, 博士研究生
通信作者: 张嵘, 研究员, E-mail:rongzh@tsinghua.edu.cn

摘要：传统捷联惯性导航系统单位置初始对准系统不完全可观测，不可观测的东向陀螺零偏造成航向估计的主要误差。双位置初始对准可以改善系统的可观测性，但一般需要精确的转位机构，不便于工程应用。该文提出一种基于北向陀螺零偏自观测的双位置初始对准方法，只需陀螺载体在近似水平的任意两个位置停留片刻，从第1位置提取北向陀螺零偏信息传递给第2位置作为观测量，即可提高东向陀螺零偏的可观测度并提高航向对准精度。为了寻找最优转角，提出一种全面可观测度分析方法，将可观测度细分为表征不同条件下同一状态可观测程度的相对可观测度和表征状态收敛速度的可观测阶两部分，利用相对可观测度分析得出最佳转角为±90°，并进行了仿真实验验证。实测实验结果表明：相比于单位置对准，双位置对准将航向误差由0.268°降低到0.041°，并可估计出水平陀螺零偏。
关键词：捷联惯性导航初始对准双位置可观测度
Two-position alignment for SINS based on north gyroscope bias self-observations
PENG Zhuo^1,2, GUO Meifeng¹, ZHANG Rong¹, LUO Shouhong¹
1.Engineering Research Center for Navigation Technology, Department of Precision Instrument, Tsinghua University, Beijing 100084, China;
2.Astronaut Center of China, Beijing 100094, China

Abstract:The traditional one-position initial alignment system for the strap-down inertial navigation system (SINS) is not completely observable because the unobservable east gyroscope bias creates a large heading error. The two-position method can improve the observability but always needs an additional precise rotator which is impractical. This paper describes a two-position method based on a north gyroscope bias self-observation, which only needs two arbitrary approximate horizontal positions. The north gyroscope bias is extracted from one position and transmitted to the other position as an observation to make the east gyroscope bias observable and reduce the heading error. The rotation angle is optimized using a comprehensive degree of observability which includes a relative degree of observability and an order of observability. The relative degree of observability indicates the observability of the same state for different conditions while the order of observability indicates the convergence rate. The relative degree of observability shows that the optimal rotation angle is ±90°, which is verified by numerical simulations. Tests show that this two-position method reduces the heading error from 0.268° to 0.041° and estimates the horizontal gyroscope bias.
Key words: strap-down inertial navigation system (SINS)initial alignmenttwo-positiondegree of observability
捷联惯性导航系统(strap-down inertial navigation system，SINS)依靠固联在载体上的陀螺和加速度计来感知载体的角速度和加速度，通过积分获得载体实时的姿态、速度和位置。SINS的本质是一个积分系统，因此积分初值的准确程度至关重要。初始对准就是确定系统初始姿态的过程。高精度SINS一般采用Kalman滤波(Kalman filter，KF)来实现精确自对准，通常在静基座条件下完成，此时系统不完全可观测，东向陀螺零偏不可观测是造成航向角对准误差的主要因素^[1]。
多位置对准方法可以改善系统的可观测性^[2]，已成为当前研究的热点。吴哲明等提出一种通过旋转来估计陀螺零偏的方法^[3]，但是需要已知初始姿态、旋转轴坐标以及转角。缪玲娟等提出一种不需要初始姿态的方法^[4]，但需要载体绕天向轴精确旋转180°。刘百奇等提出一种不需要精确转角的方法^[5]，只需载体绕天向轴旋转任意角度即可解析计算出航向角和3个陀螺的零偏。谭彩铭等提出一种绕任意轴旋转的方法^[6]，只需载体绕任意轴转动90°和180°即可求解出3个陀螺和3个加表的零偏。李建利等提出了一种绕任意轴旋转任意角度的双位置陀螺测漂方法^[7]，需要迭代多次以提高精度。Sri等提出一种不要求转轴和转角的双位置对准方法^[8]，通过线性搜索求函数极值来确定最佳航向角，但不能估计出陀螺和加表的零偏。以上方法都是解析方法，没有考虑惯性器件的随机噪声，因此精度不高且容易受到环境的干扰。于飞等提出一种将KF与双位置相结合的方法^[9]，但该方法近似认为两个位置上KF得到的航向角误差相等，由此带来的原理误差将影响陀螺零偏计算的准确性。赖舟济等提出一种基于无迹Kalman滤波器(unscented Kalman filter，UKF)的双位置对准方法^[10]，需要载体绕天向轴精确转动180°，该方法对失准角的大小不敏感，但对转角精度有要求且不能估计出陀螺和加表的零偏。以上各种双位置对准算法或者需要精确的转位机构，或者未考虑器件的随机噪声，或者不能估计陀螺零偏。为了克服这些不足，本文提出一种基于北向陀螺零偏自观测的双位置初始对准方法，只需载体绕天向轴旋转任意角度(实际操作时只需载体在近似水平的两个位置各停留一段时间)，即可有效提高航向对准精度，并估计出3个陀螺的零偏，具有工程实用价值。
1 静基座初始对准模型本文采用“右前上”载体坐标系，记为b系；“东北天”(ENU)地理坐标系，记为n系；带有解算误差的计算地理坐标系记为n′系。推导出的SINS静基座初始对准系统方程为

$\left\{ \begin{gathered} \boldsymbol{\dot \phi} = - \boldsymbol{\omega} _{{\text{ie}}}^{\text{n}} \times \boldsymbol{\phi} - \boldsymbol{C}_{\text{b}}^{\text{n}}\boldsymbol{\varepsilon} _{\text{b}}^{\text{b}} - \boldsymbol{C}_{\text{b}}^{{\text{n'}}}\boldsymbol{\varepsilon} _{\text{w}}^{\text{b}} \hfill \\ \delta {{\boldsymbol{\dot V}}^{\text{n}}} = - {\boldsymbol{g}^{\text{n}}} \times \boldsymbol{\phi} + \boldsymbol{C}_{\text{b}}^{{\text{n'}}}\boldsymbol{\nabla} _{\text{b}}^{\text{b}} + \boldsymbol{C}_{\text{b}}^{{\text{n'}}}\boldsymbol{\nabla} _{\text{w}}^{\text{b}} \hfill \\ \boldsymbol{\dot \varepsilon} _{\text{b}}^{\text{b}} = \boldsymbol{0} \hfill \\ \boldsymbol{\dot \nabla} _{\text{b}}^{\text{b}} = \boldsymbol{0} \hfill \\ \end{gathered} \right.$

(1)

其中：φ表示失准角，ω_ie表示地球自转角速度，C_b^n′表示姿态矩阵，ε_b表示陀螺的常值零偏，ε_w表示陀螺的白噪声，δV表示速度误差，g表示重力加速度矢量，?_b表示加表的常值零偏，?_w表示加表的白噪声。矢量的上标n、b、n′分别表示在n系、b系、n′系的投影。
取式(1)中等号左端的4个矢量为状态变量，记为x=[φ_E φ_N φ_U δV_E δV_N δV_U ε_bx ε_by ε_bz ?_bx ?_by ?_bz]^T，以δVⁿ为观测量，得到静基座初始对准模型为

$\left\{ \begin{gathered} \boldsymbol{\dot x} = \boldsymbol{Fx} + \boldsymbol{Gw} \hfill \\ z = \boldsymbol{Hx} + v \hfill \\ \end{gathered} \right..$

(2)

其中：$\boldsymbol{F} = \left[{\begin{array}{*{20}{c}} {-\boldsymbol{\omega} _{{\text{ie}}}^{\text{n}}}&{{\boldsymbol{0}_{3 \times 3}}}&{-\boldsymbol{C}_{\text{b}}^{{\text{n'}}}}&{{\boldsymbol{0}_{3 \times 3}}} \\ {-{\boldsymbol{g}^n} \times }&{{\boldsymbol{0}_{3 \times 3}}}&{{\boldsymbol{0}_{3 \times 3}}}&{\boldsymbol{C}_{\text{b}}^{{\text{n'}}}} \\ {}&{{\boldsymbol{0}_{6 \times 6}}}&{}&{} \end{array}} \right]$(“-ω_ieⁿ×”和“-gⁿ×”分别表示由矢量叉乘定义的斜对角矩阵)，w=[ε_wx ε_wy ε_wz ?_wx ?_wy ?_wz]^T表示陀螺和加表的白噪声在b系的投影，$\left[{\begin{array}{*{20}{\boldsymbol{G}}} {-\boldsymbol{C}_{\text{b}}^{{\text{n'}}}}&{{\boldsymbol{0}_{3 \times 3}}} \\ {{\boldsymbol{0}_{3 \times 3}}}&{\boldsymbol{C}_{\text{b}}^{{\text{n'}}}} \\ {{\boldsymbol{0}_{6 \times 6}}}&{} \end{array}} \right]$，z=[δV_E δV_N δV_U]^T为观测量，H=[0_3×3 I_3×3 0_3×3 0_3×3]为观测矩阵，v=[v_wE v_wN v_wU]^T为n系中的速度测量白噪声。该模型不完全可观测，东向陀螺零偏ε_E、东向加表零偏?_E和北向加表零偏?_N不可观测。天向失准角φ_U的极限精度主要由ε_E决定^[1]。
2 双位置对准算法为了提高航向对准精度，一个有效的途径是增加观测量使ε_E可观测。多位置方法可以改善系统的可观测度。基于这个原理，本文提出一种基于北向陀螺零偏自观测的双位置对准方法，其原理如图 1所示。首先，在位置1作传统的KF初始对准，通过一定方法提取北向陀螺零偏ε_N，即所谓的北向陀螺零偏自观测；然后，将ε_N作为位置2的额外观测量进行KF，即可改善位置2的可观测性，使陀螺零偏完全可观测，从而提高航向角估计精度并估计出3个陀螺零偏。

图 1 基于北向陀螺零偏自观测的双位置对准原理

图选项

在近似水平基座上，载体系x_b、y_b轴与地理系E、N轴的关系如图 2所示。图中ψ表示航向角。

图 2 水平基座上载体系与地理系的关系

图选项

由图 2可知北向陀螺零偏为

${\varepsilon _{\text{N}}} = {\varepsilon _{{\text{bx}}}}\sin \varphi + {\varepsilon _{{\text{by}}}}\cos \varphi .$

(3)

在位置1上对准时，ε_E不可观测，设置合适的滤波初值可以使ε_E始终保持在0附近，这样估计出来的水平陀螺零偏就是ε_N在x_b和y_b方向的分量。记位置1上北向陀螺零偏为ε_N1，位置1上KF估计出的水平陀螺零偏为${\tilde \varepsilon _{{\text{bx1}}}}$和${\tilde \varepsilon _{{\text{by1}}}}$，估计出的航向角为ψ₁，由图 2可知

$\left\{ \begin{gathered} {{\tilde \varepsilon }_{{\text{bx1}}}} = {\varepsilon _{{\text{N1}}}}\sin {\varphi _1} \hfill \\ {{\tilde \varepsilon }_{{\text{by1}}}} = {\varepsilon _{{\text{N1}}}}\cos {\varphi _1} \hfill \\ \end{gathered} \right..$

(4)

式(4)中的两式都可以用来提取ε_N1，为了避免分母为零发生歧义，综合两式得到式(5)来计算ε_N1。

${\varepsilon _{{\text{N1}}}} = \left\{ \begin{gathered} \frac{{{{\tilde \varepsilon }_{{\text{bx1}}}}}}{{\sin {\varphi _1}}},\left| {\cos {\varphi _1}} \right| \leqslant 0.01 \hfill \\ \frac{{{{\tilde \varepsilon }_{{\text{by1}}}}}}{{\cos {\varphi _1}}},\left| {\sin {\varphi _1}} \right| \leqslant 0.01 \hfill \\ \frac{{\frac{{{{\tilde \varepsilon }_{{\text{bx1}}}}}}{{\sin {\varphi _1}}} + \frac{{{{\tilde \varepsilon }_{{\text{by1}}}}}}{{\cos {\varphi _1}}}}}{2},其他 \hfill \\ \end{gathered} \right..$

(5)

求得ε_N1后代入式(3)即可得到水平陀螺的观测方程为

${\varepsilon _{{\text{N1}}}} = {\varepsilon _{{\text{bx}}}}\sin {\varphi _1} + {\varepsilon _{{\text{by}}}}\cos {\varphi _1}.$

(6)

在位置2进行KF时，状态方程保持式(2)所示的形式不变，量测方程变为

$\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{\text{V}}_{\text{E}}}} \\ {{{\text{V}}_{\text{N}}}} \\ {{{\text{V}}_{\text{U}}}} \\ {{\varepsilon_{{\text{N1}}}}} \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {}&1&0&0&0&0&{} \\ {}&0&1&0&0&0&{} \\ \boldsymbol{0}&0&0&1&0&0&\boldsymbol{0} \\ {}&0&0&0&{\sin {\varphi _1}}&{\cos {\varphi _1}}&{} \end{array}} \right]\boldsymbol{x} + \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{v_{\text{w}}}_{\text{E}}} \\ {{v_{\text{w}}}_{\text{E}}} \\ {{v_{\text{w}}}_{\text{E}}} \\ {{\varepsilon _{{\text{Nw}}}}} \end{array}} \right].$

(7)

其中ε_Nw代表ε_N1的观测噪声，反映ε_N1的可信程度，越小代表越可靠。在位置2进行KF时，将量测噪声方差阵中ε_Nw对应的协方差设置为位置1滤波结束时误差协方差矩阵中ε_bx或ε_by协方差对应的数量级。
3 全面可观测度分析方法3.1 原理介绍双位置对准时，虽然对位置2与位置1之间的转角α不作要求，但不同的α下得到的航向精度不同。为了寻找最佳转角，本文提出一种全面可观测度分析方法。
设线性定常系统为$\left\{ \begin{gathered} \boldsymbol{\dot x} = \boldsymbol{Fx} \hfill \\ \boldsymbol{z} = \boldsymbol{Hx} \hfill \\ \end{gathered} \right.$，x表示状态向量，z表示观测向量，状态矩阵F和量测矩阵H均为常值阵，该系统的可观测矩阵Q为

$\boldsymbol{Q} = {\left[ {{\boldsymbol{H}^{\text{T}}}\;\;{{\left( {\boldsymbol{HF}} \right)}^{\text{T}}}\;\;{{\left( {\boldsymbol{H}{\boldsymbol{F}^2}} \right)}^{\text{T}}} \cdots {{\left( {\boldsymbol{H}{\boldsymbol{F}^{n - 1}}} \right)}^{\text{T}}}} \right]^{\text{T}}}.$

(8)

Q满秩则系统完全可观测，不满秩则不完全可观测。传统的可观测度分析是基于Q阵奇异值分解并利用奇异值大小来表征可状态观测度大小的^[11-12]，这种方法存在不足^[13]，实际上可观测度除了与奇异值有关外，还与状态分量的数量级以及与之对应的观测量的导数阶次有关。本文将可观测度概念细分为相对可观测度和可观测阶两个概念：相对可观测度描述同一状态或状态组合在不同条件下的可观测程度，用于指导寻优算法；可观测阶描述状态或状态组合的收敛速度，用于分析不同状态的收敛快慢。
可观测性的本质是式(9)所示的方程组^[14]：

$\boldsymbol{Z} = \boldsymbol{Qx}.$

(9)

其中$\boldsymbol{Z} = {\left[{{z^{\text{T}}}\;\;\;{{\dot z}^{\text{T}}}\;\;\;{{\ddot z}^{\text{T}}} \cdots {{\left( {{z^{\left( {n-1} \right)}}} \right)}^{\text{T}}}} \right]^{\text{T}}}$是观测量及其各阶导数。孔星炜等提出一种Gauss消元分解方法来分析可观测度^[15]，使相对可观测度分析更加直观，但是分解结果不唯一且对可观测阶的分析仍不够直观。本文提出一种更为严谨的方法，其基本流程如图 3所示：首先，给观测矩阵H左乘对角阵${\boldsymbol{D}_H} = {\text{diag}}\left( {\frac{1}{{{\beta _1}}}, \frac{1}{{{\beta _2}}}, \cdots, \frac{1}{{{\beta _m}}}} \right)$将观测量的单位归一化，其中β_i(i=1, 2, …, m)为z中第i个观测量z_i的数量级；然后，用归一化后的H阵构造可观测矩阵Q；接着，对Q进行列主元Gauss消元将其化为上三角阵；之后，进行自下而上的逆序Gauss消元，将非零对角线元素对应列除该对角线元素外全部化为零；最后，对以上变换所对应的初等变换矩阵MP′左乘对角阵D进行行单位化，将每一行的模值都化为1。

图 3 全面可观测度分析流程

图选项

全面可观测度分析的变换是唯一的，最终将式(9)化为

$\boldsymbol{PZ} = \left[ \begin{gathered} \boldsymbol{U} \hfill \\ \boldsymbol{0} \hfill \\ \end{gathered} \right]\boldsymbol{x}.$

(10)

其中：P=DMP′是由初等变换矩阵组成的可逆阵，U是上三角矩阵(完全可观测时为对角阵)。U的一般形式如式(11)所示(零对角线元素并不一定集中在最后几列，也可能分布在中间某列)。式(11)中：n为状态的个数，u₁₁, u₂₂, …, u_rr(r≤n)为非零对角线元素，“*”号表示该位置可取任意值。每个非零对角线元素所在列除该对角线元素外均为零，零对角线元素所在列对角线以上部分元素不一定为零。

$\boldsymbol{U} = {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{u_{11}}}&0&0&0& * & * & * \\ {}&{{u_{22}}}&0&0& * & * & * \\ {}&{}& \ddots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ {}&{}&{}&{{u_{rr}}}& * & * & * \\ {}&{}&{}&{}&0& * & * \\ {}&{}&{}&{}&{}& \ddots & * \\ {}&{}&{}&{}&{}&{}&0 \end{array}} \right]_{n \times n}} \cdot \left[ \begin{gathered} \boldsymbol{u}_1^{\text{T}} \hfill \\ \boldsymbol{u}_2^{\text{T}} \hfill \\ \vdots \hfill \\ \boldsymbol{u}_N^{\text{T}} \hfill \\ \end{gathered} \right].$

(11)

由U和P可以直观地得到系统的可观测度信息：
1)相对可观测度。
如果U矩阵的所有对角线元素均不为零，则系统完全可观测，所有状态均独立可观测，U的对角线元素u_ii就代表x的第i个状态x_i在观测量中所体现出来的大小，称u_ii为x_i的相对可观测度。
如果U矩阵的对角线元素不全为零，则系统不完全可观测，不可观测状态的个数等于U矩阵全零行的个数。如果U矩阵的第i行u_i^T中仅有1个元素u_ij不为零，则x的第j个状态x_j仍然独立可观测，称u_ij为x_j的相对可观测度。如果U矩阵的第i行u_i^T中有多个元素不为零，则这些元素对应的状态存在耦合，耦合形式为u_i^Tx，只能确定u_i^Tx整体可观测。
不同的状态分量x_i在观测量中体现为不仅与其系数(即相对可观测度)有关，还与x_i自身的数量级有关。数量级相差很大的状态之间简单比较相对可观测度是没有意义的，只有在讨论数量级相同的几个状态或者同一状态在不同条件下的可观测度时，相对可观测度才有意义，这就是所谓的“相对”。相对可观测度数值越大，可观测程度越高。
2)可观测阶。
可观测阶是指与系统状态所对应的观测量中的最高导数阶次，反映收敛速度，可观测阶越高，KF时收敛越慢。用p_i^T表示P矩阵的第i行，如式(10)所示，u_i^Tx对应的观测量就是p_i^TZ，p_i^TZ中观测量的导数的最高阶次就定义为u_i^Tx的可观测阶。可观测阶的计算方法为：首先，逐行化简P矩阵的每一行，略去本行中远小于1的元素；p_i^T中非零元素对应的最大导数阶就是u_i^Tx的可观测阶。P中的元素p_ij对应的导数阶定义为$\left\lfloor {j/m} \right\rfloor, \left\lfloor {} \right\rfloor $表示向下取整，m为H矩阵的行数。
3.2 双位置对准的可观测度分析根据3.1节提出的全面可观测度分析方法，对单位置和双位置对准的可观测度进行了对比。模拟场景为：载体位置[40°, 116°, 50 m]，速度为0 m/s，位置1姿态[0°, 0°, 10°]，位置2姿态[0°, 0°, 100°]。
位置2单位置对准全面可观测度分析结果如表 1所示。Q的秩为9，3个状态ε_E、?_bx和?_by不可观测，可观测状态中收敛最快的是δV_E、δV_N和δV_U，其次是φ_E、φ_N和?_U，再次是φ_U和ε_N，最慢的是ε_U，这与经典分析结果^[1]和实际情况完全一致。
表 1 单位置对准全面可观测度分析结果

状态或状态组合	相对可观测度	可观测阶
φ_E	9.8	1
φ_N	9.8	1
φ_U	0.000 48	2
δV_E	1	0
δV_N	1	0
δV_U	1	0
9.7ε_bx-1.7ε_by	10	2
?_U	1	1
ε_U	0.000 48	3
1.7ε_bx+9.7ε_by、?_bx、?_by	不可观测	不可观测

表选项

位置2双位置对准全面可观测度分析结果如表 2所示。可以看出，Q的秩增加为10，增加的可观测状态正是ε_E，这使得ε_bx和ε_by变为可观测。这正是双位置对准的优势所在。此外，可以看出各状态的收敛速度与单位置一致，没有明显改善。
表 2 双位置对准全面可观测度分析结果

状态或状态组合	相对可观测度	可观测阶
φ_E	9.8	1
φ_N	9.8	1
φ_U	0.000 48	2
δV_E	1	0
δV_N	1	0
δV_U	1	0
ε_bx	10.0	2
ε_by	56.5	2
ε_U	0.000 48	3
?_U	1	1
?_bx、?_by	不可观测	不可观测

表选项

3.3 最佳转角分析利用相对可观测度分析可以寻找最佳转角。假设位置1姿态角为[0°, 0°, 10°]，在[-180°180°]范围内每隔2°取一个转角作为位置2计算φ_U的相对可观测度，结果如图 4所示，可以看出α=±90°时φ_U的相对可观测度最大，此时KF得到的航向角最精确(因为载体水平所以φ_U反映航向角的精度)，由此得出最佳转角为±90°。

图 4 不同转角下φ_U的相对可观测度

图选项

选取不同航向角的位置1进行相对可观测度分析都可以得到最佳转角为±90°，但这只是一种数值分析方法。为了进一步验证最佳转角的通用性，下面用解析方法证明了最佳转角为±90°。
本文提出的双位置对准实际上是根据两个位置上提供的北向陀螺零偏ε_N1和ε_N2来求解ε_bx和ε_by，等效于求解式(12)所示的方程组，

$\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\sin \varphi }&{\cos \varphi } \\ {\sin \left( {\varphi + \alpha } \right)}&{\cos \left( {\varphi + \alpha } \right)} \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{\varepsilon _{{\text{bx}}}}} \\ {{\varepsilon _{{\text{by}}}}} \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{\varepsilon _{{\text{N}}1}}} \\ {{\varepsilon _{{\text{N2}}}}} \end{array}} \right].$

(12)

记$\boldsymbol{A} = \left[{\begin{array}{*{20}{c}} {\sin \varphi }&{\cos \varphi } \\ {\sin \left( {\varphi + \alpha } \right)}&{\cos \left( {\varphi + \alpha } \right)} \end{array}} \right]$，方程组有唯一解的充分条件是|A|=sin(-α)≠0，这说明双位置方法有效的充分条件是sin(α)≠0，即当转角为180°的整数倍时双位置将退化为单位置。此外，方程组的奇异程度可以用条件数cond(A)=‖A‖·‖A^-1‖来描述，取2范数求得cond₂(A)的解析表达式为

${\text{con}}{{\text{d}}_2}\left( A \right) = \sqrt {1 + \left| {\cos \alpha } \right|} \sqrt {\max \left( {\frac{1}{{1 + \left| {\cos \alpha } \right|}},\frac{1}{{1 - \left| {\cos \alpha } \right|}}} \right)} .$

(13)

cond₂(A)的曲线如图 5所示。图 5a是完整曲线，可以看出α为±180°或0°时cond₂(A)非常大，表示此时双位置方法失效；图 5b是纵坐标拉伸后的局部放大图，可以看出在α=±90°时cond₂(A)最小，代表此时方程组最容易解，双位置对准方法性能最优，即最佳转角为±90°。以上理论分析结果与通过相对可观测度分析得到的结论是一致的，证明了本文提出的全面可观测度分析方法是正确的。

图 5 不同转角下cond₂(A)的曲线

图选项

4 实验验证4.1 最佳转角数值仿真实验为了验证最佳转角，进行了仿真实验。仿真参数为：陀螺常值零偏0.01 (°)/h；为了避免随机噪声淹没最佳转角，陀螺角度随机游走系数设为一个较小的值10^-6(°)/$\sqrt {\text{h}} $；加表常值零偏100 μg；速度随机游走系数10 μg/$\sqrt {{\text{Hz}}} $。位置1姿态[0°, 0°, 10°]，位置2姿态[0°, 0°, k°]。k在[-180 180]范围内每隔2取一个值，比较各个位置上双位置对准航向误差。计算结果如图 6所示。可以看出，转角在0°和±180°附近时航向误差最大，与单位置对准误差相当，说明此时双位置不能提供有效的观测信息，退化为单位置对准；转角在±90°附近时航向误差最小，说明最佳转角确实是±90°，验证了本文提出的最佳转角。

图 6 不同转角下双位置对准航向误差

图选项

4.2 双位置对准效果实物实验为了验证双位置对准的效果，进行了实物实验。实验采用一套由光纤陀螺和石英加表组成的惯性测量单元(inetial measurement unit, IMU)，其中光纤陀螺的零偏稳定性约为0.03 (°)/h。实验现场如图 7所示。

图 7 光纤陀螺IMU双位置对准实验现场

图选项

实验中在水平转台上航向相差约90°的两个位置上分别采集两组数据。该IMU中陀螺零偏已被良好标定，常值零偏小于随机噪声水平，可以认为直接利用采集数据对准得到的航向角是准确的，可以将其作为对比基准。为了验证双位置对准的效果，人为地给x_b轴陀螺加入0.03 (°)/h的常值零偏，给y_b轴陀螺加入0.05 (°)/h的常值零偏。双位置对准时先在位置1作10 min初始对准，再将提取的北向陀螺零偏传递到位置2作15 min双位置对准。单位置对准时仅利用位置2的15 min数据作传统KF初始对准。对所采集的多组数据进行了分析，取其中一组典型的结果列在表 3中。从表 3中的结果可以看出，双位置方法明显提高了航向精度，航向误差由0.268°降低到0.041°；单位置对准得到的水平陀螺零偏误差高达0.042 (°)/h，是真实值的140%，完全不可接受，而双位置对准得到的水平陀螺零偏误差不大于0.006 (°)/h，接近该陀螺的噪声水平，很好地估计出了水平陀螺零偏。
表 3 单、双位置对准实验结果

类别	航向角/(°)	ε_x/((°)·h^-1)	ε_y/((°)·h^-1)
精确值	143.438	0.030	0.050
单位置	143.170	-0.012	0.016
双位置	143.397	0.024	0.044
单位值误差	0.268	0.042	0.034
双位置误差	0.041	0.006	0.006

表选项

5 结论本文提出了一种无需精密转位机构、易于现场实施的基于北向陀螺零偏自观测的双位置初始对准方法，只需载体在近似水平的两个位置上分别静止一段时间，从位置1提取北向陀螺零偏作为位置2的观测量，即可提高位置2的航向角估计精度并估计出水平陀螺的零偏。为了分析最佳转角，本文还提出了一种全面可观测度分析方法，将传统分析中笼统的可观测度分解为表征不同条件下同一状态可观测程度的相对可观测度和表征状态收敛速度的可观测阶两个概念，并给出了求解方法。利用相对可观测度分析证明了该双位置对准方法中最佳转角为±90°，并通过数值仿真验证了这一结论，证明了全面可观测度分析方法的正确性。用光纤陀螺IMU进行的实物测试结果表明：该双位置对准方法效果优于单位置对准方法，航向误差由0.268°降低到0.041°，并能估计出水平陀螺的零偏，是一种效果良好且易于实现的实用技术。

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