李海霞 , 张嵘 , 韩丰田
清华大学 精密仪器系, 北京 100084

收稿日期: 2015-05-22
基金项目: 国家自然青年科学基金项目(61203227)
作者简介: 李海霞(1977—), 女, 助研。E-mail: li-hx03@mails.tsinghua.edu.cn


摘要：工程实用的高精度感应同步器测角系统因安装及校准等条件的限制, 有时难以应用圆光栅进行误差密集测补来提高精度。针对该问题研究了一种稀疏误差采样及补偿方法。在分析感应同步器测角系统误差特性的基础上, 提出先测补零位误差引起的细分误差成分, 再处理剩余细分误差的方式, 给出了由棱体获取全面、有效零位误差的方法及应用稀疏误差数据补偿的具体过程。实验表明: 应用该方法后某测角系统精度由最大误差峰峰值11.7″提升至 2.9″。该方法零位误差剔除充分, 实现了稀疏采样条件下感应同步器测角系统误差的全范围有效补偿。
关键词： 感应同步器 误差补偿 误差测试 零位误差 细分误差 多面棱体
Error testing and compensation of an inductosyn-based angular measurement system
LI Haixia, ZHANG Rong, HAN Fengtian
Department of Precision Instruments, Tsinghua University, Beijing 100084, China


Abstract:Installation and calibration difficulties restrict the use of circular gratings to improve the precision of practical high-precise inductosyn-based angular measurement systems through angle-error sampling and compensation. The study analyzes appropriate solutions of sparse error sampling and compensation methods for this problem. The error characteristics of inductosyn-based angular measurement systems are analyzed to compensate for the subdivision error caused by the existing zero-point error and other subdivision errors to get the overall zero-point error with a prism. An error compensation method is then given using sparse sampling data. Tests show that the precision of an angular measurement system is improved by this method from a peak to peak error of 11.7″ to 2.9″. The method accurately identifies the zero-point error and provides full-range error compensation with sparse sampling data for an inductosyn-based angular measurement system.
Key words: inductosynerror compensationerror testingzero- point errorsubdivision errorpolyhedral prism
由感应同步器及相关处理电路组成的测角系统精度高、抗干扰性好,广泛应用于精密角位置伺服系统^[1-3]。测角系统误差主要源于测角元件的制作、安装、原理性误差及测角电路误差,分为零位误差和细分误差。其误差特性稳定,进行软件补偿是提高测角精度的有效手段^[4-12]。
感应同步器测角系统误差软件补偿一般采用线性插值或模型拟合法^[4-9],也有应用神经网络^[10-11]、 小波分析^[12]等方法。应用上述方法实施误差补偿的前提是获取有效的误差数据,目前通用的做法是采用更高精度的角度基准比对测试,主要有精密端齿盘、高精度圆光栅、多面棱体等^{[6, 13-14]}。精密端齿盘测试过程需逐点人工干预,工作量大,仅适用于小角度范围测试。高精度圆光栅易实现自动测试,采样点不受限制,可密集采样误差并由模型拟合补偿,现有感应同步器误差测补的研究大多基于该方式^[4-12];但应用圆光栅时除光栅元件需具有更高精度外,对指示光栅和标尺光栅的装调质量也有很高的要求,一般装调完成后还需利用其他方式细致校准,不便于工程应用。多面棱体方式测试精度高,装调简单,是高精度测角系统校准、测试的主要手段之一^{[13, 15]}; 但其测试数据稀疏,一般仅用于掌握误差概貌,即使有个别利用其测试结果进行误差补偿的尝试^[15],因零位误差测量及扣除不充分,仅在误差标本采样点补偿效果显著。
本文研究了一种适用于棱体方式的感应同步器测角系统稀疏误差测试及补偿方法。首先,在感应同步器测角系统误差特性分析的基础上,提出先获取所有两相零位误差数据并补偿其引起的细分误差成分,再处理剩余细分误差的方式; 给出由棱体获得相对全面的零位误差数据的方法及由稀疏测试数据实现误差补偿的具体过程; 最后,进行了实验验证。
1 测角系统误差特性分析感应同步测角系统的组成如图 1所示^[16]。图 1中由双通道感应同步器测角系统测量绝对角度,粗、精测通道测角元件分别为1对极、 360对极圆感应同步器,采用单相连续绕组(转子)激磁、双相分段绕组(定子)鉴幅型输出方式; a、 b相定子感应的正、余弦电压信号(精通道对应u_fa、 u_fb,粗通道对应u_ca、 u_cb)经放大后与参考同步信号(u_ref)共同送入轴角变换电路得到粗、精通道的数字角度φ_c、 φ_f,数字角度经粗精耦合及误差补偿处理得到所测轴角θ。

图 1 感应同步器测角系统[16]

图选项

感应同步器测角系统误差可分为长周期零位误差和相邻零位间的细分误差。长周期零位误差一般包含两种系统成分^[17-20]： 1) 由连续绕组导体偏差的K次成分引起、周期为N/K(N为极数,K为一相分段绕组组数)的高次成分; 2) 低次成分,源于测角元件制作及定、转子安装偏心引起的导体偏差和端面倾斜产生的定、转子电势幅值偏差。零位误差中还存在随机性工艺、安装偏差引起的随机误差,表现为奇、偶零位跳动误差。
细分误差指两个零位之间任意位置的误差,细分误差中包含了零位误差的影响。细分误差源于函数误差、两相幅值偏差及相位偏差,主要与转子制作精度、非有效电势大小、信号放大及转换精度相关。细分误差Δα一般可表示为^{[5, 18-19]}

$\begin{align} & \Delta \alpha =\frac{\Delta {{\alpha }_{s}}+\Delta {{\alpha }_{c}}}{2}+\frac{\left( \Delta {{\alpha }_{s}}-\Delta {{\alpha }_{c}} \right)cos\text{ }2{{\alpha }_{d}}}{2}+ \\ & \frac{\left( \Delta {{\varepsilon }_{s}}-\Delta {{\varepsilon }_{c}} \right)sin\text{ }2{{\alpha }_{d}}}{2}\text{ }+\left( {{\varepsilon }_{3}}+{{\varepsilon }_{5}} \right)sin\text{ }4{{\alpha }_{d}}. \\ \end{align}$

(1)

式中： Δα_s、 Δα_c分别为正、余弦绕组在该极下的零位误差,α_d为电角度,Δε_s、 Δε_c分别为正、余弦绕组输出电势幅值误差的归一化值,ε₃、 ε₅分别为正、余弦绕组输出3、 5次谐波电势幅值的归一化值。
式(1)所示细分误差由3部分构成： 第1部分对应零位误差及其引起的细分误差成分,呈二次余弦变化; 第2部分由幅值误差引起,呈二次正弦变化; 第3部分为由3、 5次谐波电势引起的函数误差,呈四次正弦变化。不同对极函数误差的主要成分相同,零位误差及两相基波幅值误差可能不同。360对极感应同步器两相绕组在360°范围内交错均布,不同区域因气隙波动产生的两相输出基波幅值误差的变化量相近,因此不同对极由幅值误差引起的细分误差也可认为不变。也就是说,零位误差及其引起的细分误差是影响不同对极细分误差重复性的主要因素,剔除其影响后,不同检测周期的剩余细分误差具有一定的重复性。
任一对极下的细分误差示意如图 2所示。图 2中： Δα_si(i为偶数,360对极测角系统i＜719)、 Δα_sk(k=i+2)为正弦绕组偶零位误差,Δα_sj(j=i+1)为正弦绕组奇零位误差,Δα_cj、 Δα_ci分别为余弦绕组的奇、偶零位误差。某多轴转台设备一测角系统实测零位误差如图 3和4所示,图 3为两相绕组的4组奇、偶零位误差,图 4将各绕组的奇、偶零位误差分别合并于一条曲线。

图 2 任一对极下的细分误差示意

图选项

图 3 两相绕组的奇零位、偶零位误差

图选项

图 4 同一绕组的奇、偶零位误差合并

图选项

由图 3可以看出,两相绕组的奇、偶零位误差周期特征明显,含一次成分及15°(N=720,K=48)周期的高次成分; 除均值不同外,4组误差的相位也存在一定差异。由图 4可见,两相零位误差的长周期规律相似,局部细节差异较大,相邻奇、偶零位误差有明显的跳跃特征。如果不剔除上述零位误差的影响,即使可利用圆光栅对综合误差密集采样并应用模型拟合,零位误差中的随机及不规律因素也会增加模型复杂性并影响对系数的有效辨识。
2 误差测试及补偿方案多面棱体一般与自准直仪配合使用,棱体面数分8、 12、 24、 36、 72面(用于测试零位误差)及13、 17、 23、 46面(用于测试综合误差)等。综合误差即零位误差及细分误差的合成误差,如果零位误差及其引起的细分误差剔除充分,剩余细分误差在不同对极具有较好的重复性,棱体所测综合误差按角度小数部分排序后可作为任一对极下细分误差的测试值。棱体面数的选择主要考虑待测误差主要组成成分的阶次。图 3所示零位误差曲线含15°周期的高次成分,应至少采用72面体测量; 扣除零位误差的影响后,任一对极下的细分误差主要为4次以下的低次成分,可选用最常见的23面体测量。
对于图 1所示系统,若已知任一对极下的5点零位误差数据(如图 2所示),则可由式(1)的前两项计算零位误差引起的细分误差成分,补偿后得仅含函数误差和幅值误差的细分误差。由第1节的分析可知,该剩余细分误差具有一定的周期重复性,可由23面体测出。由此本文提出感应同步器测角系统误差测补方案如下：
1) 由72面体测试并处理得到任一对极下的5点零位误差。
2) 由式(1)的前两项计算由零位误差产生的细分误差成分并进行全范围补偿。
3) 由23面体测试剩余细分误差并按角度的小数部分排序得到任一对极的细分误差。
4) 由所测细分误差数据应用线性插值或模型拟合计算实时细分误差并补偿。
3 误差测试及补偿实现3.1 零位误差测试及计算误差测补的关键在于零位误差的有效获取。360对极感应同步器测角系统共有1 440个零位,零位间隔0.25°。结合图 3所示曲线,设计由72面体获取零位误差数据的方案如下： 1) 测试两相绕组的奇、偶零位误差。利用72面体分别以0°、 0.25°、 0.5°、 0.75°为起点测试整周,得到4组5°间隔的两相绕组奇、偶零位误差,每组数据由73个点组成,分别记为Z₀、 Z₁、 Z₂、 Z₃。
2) 计算任一对极下的5点零位误差。因每一相绕组的奇、偶零位误差自身变化缓慢,可由Z₀、 Z₁、 Z₂、 Z₃线性插值计算任一对极下的零位误差,即两相绕组的零位误差Δα_si、 Δα_sj、 Δα_ci、 Δα_cj分别由Z₀、 Z₂、 Z₁、 Z₃插值计算。
3.2 零位误差补偿得到任一对极下的奇、偶零位误差后,由式(1)的前两项计算并补偿当前角度中零位误差引起的细分误差成分。结合图 2所示曲线,不同区间由零位误差引起的细分误差补偿量Δα_z见表 1。
表 1 任一对极由零位误差引起的细分误差补偿量

αd/360	Δαz
[0°,0.25°)	(Δαsi+Δαci)/2+[(Δαsi－Δαci)cos 2αd]/2
[0.25°,0.5°)	(Δαsj+Δαci)/2+[(Δαsj－Δαci)cos 2αd]/2
[0.5°,0.75°)	(Δαsj+Δαcj)/2+[(Δαsj－Δαcj)cos 2αd]/2
[0.75°,1°)	(Δαsk+Δαcj)/2+[(Δαsk－Δαcj)cos 2αd]/2

表选项






棱体比对是一种相对测量方式,所测Z₀、 Z₁、 Z₂、 Z₃为相对各自测试起点的误差值,而式(1)中Δα_s、 Δα_c为相对同一基点(如0°点)的误差值。若测得0.25°、 0.5°、 0.75°相对0°的误差(记为δ₁、 δ₂、 δ₃)并与相应误差序列相加(Z₁+δ₁、 Z₂+δ₂、 Z₃+δ₃),可得相对0°点的误差序列。棱体方式的测量精度仅在自准直仪轴线与棱体镜面垂直时有保证,难以测得δ₁、 δ₂、 δ₃。本文直接利用相对误差序列Z₀、 Z₁、 Z₂、 Z₃计算Δα_z,由此产生的附加误差Δα_z^'见表 2。Δα_z^'在不同对极大小相同,可作为不变的剩余细分误差处理。
表 2 任一对极下的附加误差

αd/360	Δαz'
[0°,0.25°)	δ1(cos 2αd－1)/2
[0.25°,0.5°)	[(δ1－δ2)cos 2αd]/2－(δ1+δ2)/2
[0.5°,0.75°)	[(δ3－δ2)cos 2αd]/2－(δ3+δ2)/2
[0.75°,1°)	[(δ3－δ1)cos2αd]/2－(δ3+δ1)/2

表选项






3.3 细分误差测试及补偿补偿完零位误差引起的细分误差成分后,剩余细分误差由23面体测出,具体过程为： 由23面体以0°为起点每隔15.652 17°测试一点误差值,共24个点,将所测结果按角度的小数部分(角度小数部分间隔为1°/23=0.043 48°)排序得一个检测周期内等区间间隔的细分误差序列,记为X₀。
细分误差补偿过程为： 原始角度依3.2节所示剔除零位误差的影响后,取角度的小数部分,依据其大小在X₀中线性插值得实时细分误差并在最终输出的角度中扣除。
4 误差测试及补偿实验被测对象为某型多轴转台设备一感应同步器测角系统,系统组成如图 1所示,精通道正、余弦绕组组数K=48。测试设备选用EC3000型电子自准直仪、 23面及72面棱体,精度0.2″。测试时,棱体通过工装安装到被测轴的轴端,调整自准直仪光轴与棱体轴心等高,转动被测轴,调节塔差至允许范围。此时将自准直仪读数清零,以后依次旋转至棱体各面中心,记下自准直仪误差示数。误差示数剔除棱体各面校准误差及伺服误差即得测角误差。
由72面体测量4组误差序列Z₀、 Z₁、 Z₂、 Z₃,每个序列均正、反向测试4次,以检验系统零位误差的稳定性。计算4组正、反向测试数据的均值曲线并与各组数据的对应点求差,不同序列该差值的最大绝对值列于表 3。由表 3可见,实际系统的零位误差具有一定重复稳定性,可进行软件补偿。取各序列所测误差的均值曲线为最终输出,得4组零位误差序列如图 5所示。
表 3 不同序列测试数据求差后的最大绝对值(″)

序列	Z0	Z1	Z2	Z3
最大绝对值	0.3	0.4	0.3	0.3

表选项

图 5 4组相对零位误差序列

图选项

按3.1节所示插值计算两相绕组的奇、偶零位误差,由表 1计算零位误差补偿量Δα_z并实时扣除,之后由23面体依3.3节所示测补剩余细分误差。利用23面体测试依上述流程(简称方法A)补后的误差曲线如图 6-9所示。为便于比较,图 6-9中同时给出由文^[15]所示基于棱体的测补方法(方法B,该方法仅测试Z₀误差序列用于零位误差补偿)补后的误差曲线及系统未补前的误差曲线。图 6-9分别为以0°、 90°、 180°及270°为起点测试的结果,图中不同曲线的最大误差峰峰值见表 4。

图 6 以0°为起点检验补偿前后的效果

图选项

图 7 以90°为起点检验补偿前后的效果

图选项

图 8 以180°为起点检验补偿前后的效果

图选项

图 9 以270°为起点检验补偿前后的效果

图选项

表 4 不同起点检测的最大误差峰峰值(″)

起点	方法A补后	方法B补后	原始误差
0°	0.7	0.9	10.5
90°	2.3	6.8	9.0
180°	2.8	9.4	11.7
270°	2.9	7.3	9.9

表选项






图 6-9中,因零位误差的影响,不同起点测得的原始误差曲线差异显著; 误差最大峰峰值为11.7″。用于细分误差插值的X₀误差序列及图 6所示补后误差均以0°为起点测得,误差标本及补后检验数据采样点相同,因此图 6中两种补偿方法均表现出好的补偿效果。图 7-9中,偏开一定角度重新检验,方法B补后最大误差峰峰值为9.4″,方法A补后最大误差峰峰值为2.9″。方法B零位误差剔除不充分,所测X₀中含大量零位误差成分,不同对极剩余误差的重复性差,全局补偿效果差。方法A零位误差剔除相对充分,具有较好的全局补偿效果,一定程度上解决了仅在误差标本采样点有补偿效果、在非采样点无效的问题。该方法虽基于棱体方式提出,也可应用于圆光栅等方式,以实现稀疏采样条件下的感应同步器测角系统误差补偿。
5 结 论1) 零位误差引起的细分误差成分是影响感应同步器测角系统不同对极细分误差重复性的主要因素,需先测补该成分,减小零位误差的影响,再处理剩余细分误差,才可能实现基于棱体方式的误差测补。
2) 两相绕组奇、偶零位误差周期特征显著,可利用72 面体以0°、 0.25°、 0.5°、 0.75°为起点测试4组零位误差序列,并由其插值计算任一对极的5点零位误差。
3) 采用本文方法对某一测角系统进行误差测补,测角精度由最大误差峰峰值11.7″提升至2.9″。本文方法具有较好的全局补偿效果,解决了仅在误差标本采样点有补偿效果、在非采样点无效的问题。该方法实现了稀疏采样条件下感应同步器测角系统误差的有效补偿。

参考文献

[1]	Journal of Central South University(Science and Technology), 41(2):649-654.--> LIU Qiang. Application of inductosyns in high precision mechanical servo systems [C]// 2006 1st IEEE Conference on Industrial Electronics and Applications. Singapore, 2006: 1-4.
[2]	Journal of Central South University(Science and Technology), 41(2):649-654.-->陈敬泉, 尔联洁, 刘正华, 等. 基于感应同步器的高速高精度位置测量技术[J].北京航空航天大学学报,2005, 31(4): 447–450.CHEN Jingquan, ER Lianjie, LIU Zhenghua, et al. High speed and accuracy position measuring method based on inductosyn[J].Journal of Beijing University of Aeronautics and Astronautics,2005, 31(4): 447–450.(in Chinese)
[3]	Journal of Central South University(Science and Technology), 41(2):649-654.-->蔡铁锋, 骆崇. 基于感应同步器的轴角测量系统及其误差分析[J].浙江工业大学学报,2009, 37(3): 323–325.CAI Tiefeng, LUO Chong. The angle measurement system based on inductosyn and the analysis of its error[J].Journal of Zhejiang University of Technology,2009, 37(3): 323–325.(in Chinese)
[4]	Journal of Central South University(Science and Technology), 41(2):649-654.-->潘文贵, 付晶, 朱钰, 等. 感应同步器测角系统的电路设计与软件补偿[J].科学技术与工程,2012, 12(22): 5484–5488.PAN Wengui, FU Jing, ZHU Yu, et al. Circuit design and software compensation in an inductosyn angular measurement system[J].Science Technology and Engineering,2012, 12(22): 5484–5488.(in Chinese)
[5]	Journal of Central South University(Science and Technology), 41(2):649-654.-->刘承军, 齐明, 邹继斌. 感应同步器测角系统误差建模[J].哈尔滨工业大学学报,2009, 41(9): 51–55.LIU Chengjun, QI Ming, ZOU Jibin. Error modeling of inductosyn angle measuring system[J].Journal of Harbin Institute of Technology,2009, 41(9): 51–55.(in Chinese)
[6]	Journal of Central South University(Science and Technology), 41(2):649-654.-->陈希军, 任顺清. 感应同步器测角误差的自动化检测与补偿[J].电机与控制学报,2010, 14(4): 41–45.CHEN Xijun, REN Shunqing. Automatic measurement and compensation of inductosyn angular displacement error[J].Electric Machines and Control,2010, 14(4): 41–45.(in Chinese)
[7]	Journal of Central South University(Science and Technology), 41(2):649-654.--> YI Guoxing, MA Guangcheng, WANG Changhong. The compensation of speed ripple caused by the angle-measuring error of inductosyn using neural network [C]// International Conference on Info-Tech and Info-Net. Beijing, 2001: 340-345.
[8]	Journal of Central South University(Science and Technology), 41(2):649-654.-->娄莉娜, 朱革, 王先全, 等. 感应同步器测角系统短周期误差的研究及软件补偿[J].计算机测量与控制,2010, 18(8): 1730–1732.LOU Lina, ZHU Ge, WANG Xianquan, et al. Error research and software compensation of inductosyn angle measuring system[J].Computer Measurement & Control,2010, 18(8): 1730–1732.(in Chinese)
[9]	Journal of Central South University(Science and Technology), 41(2):649-654.--> DU Chunyang, YANG Guijie. Error analysis and compensation for inductosyn-based position measuring system [C]// Industry Applications Society Annual Meeting (IAS). Salt Lake City, UT, 2003: 6-10.
[10]	Journal of Central South University(Science and Technology), 41(2):649-654.-->齐明, 邹继斌, 胡建辉. 神经网络在感应同步器零位误差补偿中的应用[J].中国电机工程学报,2008, 28(9): 105–110.Mi ng, ZOU Jibin, HU Jianhui. Application of neural network in pitch error compensation of inductosyn[J].Proceedings of the CSEE,2008, 28(9): 105–110.(in Chinese)
[11]	Journal of Central South University(Science and Technology), 41(2):649-654.-->张翠芳. 基于神经网络的感应同步器测角系统的误差补偿 [D]. 哈尔滨: 哈尔滨工业大学, 2008. ZHANG Cuifang. Error Compensation of Angular Measuring System of Inductosyn Based on Neural Network [D]. Harbin: Harbin Institute of Technology, 2008. (in Chinese)
[12]	Journal of Central South University(Science and Technology), 41(2):649-654.-->DENG Huiyu, WANG Xinli, MA Peisun. A study of wavelet analysis based error compensation for the angular measuring system of high-precision test turntables[J].ISA Transactions,2005, 44: 15–21.
[13]	Journal of Central South University(Science and Technology), 41(2):649-654.-->裘祖荣, 陈清清, 李敬杰. 正多面棱体和多齿分度台角分度误差的互检[J].光电工程,2009, 36(10): 90–93.QIU Zurong, CHEN Qingqing, LI Jingjie. Mutual check of angular deviation for regular polygonal prism and precise angle dividing table[J].Opto-Electronic Engineering,2009, 36(10): 90–93.(in Chinese)
[14]	Journal of Central South University(Science and Technology), 41(2):649-654.--> ZOU An, ZHAO Hui, MA Yehan, et al. Analysis calculation and testing of rotary inductosyn angle measuring errors [C]// 2014 33rd Chinese Control Conference. Nanjing, 2014: 8091-8096.
[15]	Journal of Central South University(Science and Technology), 41(2):649-654.-->陈文. 空间稳定平台式惯导系统姿态测量的关键技术研究 [D]. 北京: 清华大学, 2008. CHEN Wen. Research on the Key Technologies of Attitude Measurement in the Space-Stable Platform Inertial Navigation System [D]. Beijing: Tsinghua University, 2008. (in Chinese)
[16]	Journal of Central South University(Science and Technology), 41(2):649-654.-->李海霞, 张嵘, 韩丰田, 等. 查表实现双通道测角系统的粗精耦合[J].清华大学学报: 自然科学版,2014, 54(11): 1481–1485.LI Haixia, ZHANG Rong, HAN Fengtian, et al. Look-up-table method for coarse-fine data coupling for a double-channel angle measurement system[J].J Tsinghua Univ: Sci and Tech,2014, 54(11): 1481–1485.(in Chinese)
[17]	Journal of Central South University(Science and Technology), 41(2):649-654.--> WANG Xianquan, WU Min, ZHU Ge, et al. Research and simulation of amplitude error and quadrature error for inductosyn [C]// 2010 2nd International Asia Conference on Informatics in Control Automation and Robotics. Wuhan, 2010, 2: 354-357.
[18]	Journal of Central South University(Science and Technology), 41(2):649-654.-->鲍茂然. 感应同步器精密测角技术研究 [D]. 哈尔滨: 哈尔滨工业大学, 2013. BAO Maoran. Research on Technologies of Precise Angle Measurement Based on Inductosyn Transducer [D]. Harbin: Harbin Institute of Technology, 2013. (in Chinese)
[19]	Journal of Central South University(Science and Technology), 41(2):649-654.-->陆永平, 岑文远. 感应同步器及其系统[M].北京: 国防工业出版社, 1982.LU Yongping, CEN Wenyuan. Inductosyn and Its System[M].Beijing: National Defense Industry Press, 1982.(in Chinese)
[20]	Journal of Central South University(Science and Technology), 41(2):649-654.-->齐凤梅, 石治国. 圆感应同步器安装误差修正方法研究[J].光学技术,2006, 32(8): 445–447.QI Fengmei, SHI Zhiguo. The installation error revise method research of round inductosyn[J].Optical Technique,2006, 32(8): 445–447.(in Chinese)