李祚泳, 魏小梅, 汪嘉杨
成都信息工程大学, 资源环境学院, 成都 610225
收稿日期: 2018-10-25; 修回日期: 2019-01-08; 录用日期: 2019-01-08
基金项目: 国家自然科学基金(No.51679155);四川省科技厅项目(No.19JCQN0008);四川省社科规划项目(No.SC18B027)
作者简介: 李祚泳(1944-), 男, 教授, E-mail:lizuoyong@cuit.edu.cn
通讯作者（责任作者）: 李祚泳

摘要: 针对高维、非线性环境系统的传统预测模型存在结构复杂、收敛速度慢、求解精度低的局限，提出对环境系统预测量及其影响因子进行幂函数与对数函数相结合的规范变换.此规范变换能使变换后的各影响因子皆等效于一个线性化的规范因子，从而将多因子、非线性的预测建模简化为简单的一个"等效"规范因子的一元线性回归建模；并对预测样本的模型输出进行误差修正，以提高样本的预测精度.在规范变换的基础上，由有m个规范因子的每个建模样本生成一个规范因子的m个"等效"训练样本，n个建模样本共生成N=m×n个训练样本.应用最小二乘法，建立基于规范变换的一元线性回归预测模型.将基于规范变换的一元线性回归预测模型与相似样本误差修正法相结合，分别用于某市5个点位的SO₂浓度预测和南昌市城市降水酸度pH值预测及某河段COD_Mn预测，并与多种传统预测模型和方法及基于规范变换与误差修正的3种智能预测模型的预测结果进行了比较.结果表明：该预测模型用于3个实例预测的相对误差绝对值的平均值分别为1.14%、0.49%和1.45%；最大相对误差绝对值分别为2.22%、0.87%和1.85%，与基于规范变换与误差修正的3种智能预测模型的相应误差几乎没有差异，甚至还要小；均远小于多种传统预测模型和方法的相应误差，其预测精度甚至提高了一个数量级以上.基于规范变换与误差修正的一元线性回归预测模型简单、预测精度高、稳定性好，不存在"维数灾难"，因而可广泛用于任意系统的预测建模.
关键词:环境系统规范变换误差修正一元线性回归预测模型
A univariate linear regression prediction model for environmental systems based on normal transform dimension reduction and error correction
LI Zuoyong , WEI Xiaomei, WANG Jiayang
College of Resources and Environment, Chengdu University of Information Technology, Chengdu 610225
Received 25 October 2018; received in revised from 8 January 2019; accepted 8 January 2019
Abstract: Aiming at the limitations of complex structure, slow convergence speed and low precision of traditional prediction models for high-dimensional and nonlinear environmental systems, a canonical transformation of prediction variables and their influencing factors for environmental systems was proposed. It combined power function with logarithmic function. The normalized transformation can make the transformed influence factors equivalent to a linearized specification factor, so that the multi-factor and nonlinear complex model can be simplified as a simple univariate linear regression model by a "equivalent" norm factor. Furthermore, the error correction method calculating the output results was proposed to improve the prediction accuracy of the samples. On the basis of the canonical transformation, each model sample, which has m norms factors, generates m "equivalent" training samples, which has only one-gauge factor. Therefore, n modeling samples were symbiotic to N=m×n training samples. Then, a univariate linear regression prediction model was established by the least-squares method based on canonical transformation. The univariate linear regression prediction model was combined with the error correction method of similar samples. concentration of SO₂ at 5 points in a city, the pH value of urban precipitation acidity in Nanchang and the COD_Mn prediction of a river section were all predicted with the model. Three intelligent prediction models were compared with the prediction results. Results show that the average of relative error of the prediction model of three examples are 1.14%, 0.49% and 1.45% respectively, and the maximum of relative error are 2.22%, 0.87% and 1.85% respectively. Compared with the corresponding errors of the three intelligent prediction models based on gauge transformation and error correction, there is almost no difference or even less. They are far less than the corresponding errors of many traditional prediction models and methods, and the accuracy of the prediction accuracy is improved by an order of magnitude. A univariate linear regression prediction model based on canonical transformation and error correction is simple, accurate and stable, and there is no "dimension disaster", so it can be widely used in prediction of arbitrary system.
Keywords: environmental systemnormal transformationerror correctiona univariate linear regressionprediction model
1 引言(Introduction)自然界和人类社会都是不断发展和变化的, 为了人类能更好地生存和发展, 我们不仅要了解环境的过去和现状, 还要能预见环境的未来.因此, 人们提出了多种可用于环境系统预测的机理性模型和非机理性模型.非机理性预测模型因不涉及较复杂的产生机理、相对简单、应用方便而常被采用.非机理性预测模型主要有基于概率统计原理的多元线性回归(Giorgio et al., 2006; 黄思等, 2015)、分段线性分析(Chen et al., 2013)、时序分析(Diaz Robles et al., 2008; Thoe et al., 2012)、门限回归(廖杰等, 2006)、最近邻估计(蒋尚明等, 2013; 王保良等, 2016)等各种环境统计预测模型；有基于模糊分析(Chen et al., 2005)、灰色分析(Chen 2008; 代伟等, 2016)、集对分析(徐源蔚等, 2015)等不确定性分析的环境预测模型；还有基于神经网络(Palani et al., 2008; Paschalidou et al., 2011; Gazzaz et al., 2012; Li et al., 2014; 张旭东等, 2016; 孙宝磊等, 2017)、投影寻踪(PP)(Xiaoni et al., 2008; 崔东文等, 2016)和支持向量机(SVR)(Liu et al., 2013; Moazami et al., 2016; Shaban et al., 2016)等环境系统智能预测模型或改进的智能预测模型(笪英云等, 2015；秦喜文等, 2016).
上述传统的预测模型各有其特点, 但其共同不足之处是：①当影响因子较多而又复杂(比如数据非线性、非正态、波动大)情况下, 不仅模型结构设计复杂, 计算工作量大, 计算效率低, 收敛速度慢；而且因为需要优化的参数多, 在参数优化调试过程中, 需要兼顾具有不同特性的众多因子, 以满足不同预测模型制定的目标函数式的精度要求.因此, 不论是智能预测模型, 还是统计预测模型, 即使训练时间长, 模型也很难达到指定的精度要求.②虽然从理论上讲, 只要有代表性的训练样本数足够多, 模型结构又与问题相匹配, 多数预测模型(比如智能预测模型)都能以任意精度逼近任意函数.不过, 对于实际问题, 样本数总是有限的, 而且代表性也是不完全的.因此, 对高维、非线性预测问题, 传统预测模型的预测效果也难以满足实际需要.为此, 传统的预测模型只能的选择是：要么增加训练样本个数, 以满足模型的复杂结构；要么减少因子个数, 以简化模型结构.对于实际问题, 增加训练样本个数往往是不现实的；为了简化预测模型结构, 传统的统计预测建模或采用主分量分析法提取少数几个主成分作为预测建模的因子(Sousa et al., 2007; 李嵩等, 2015), 或用相关系数法剔除不重要的因子(田静毅等, 2015), 或用相似性准则选择对预测变量有显著作用的因子(Liu et al., 2015).但无论用何种减少因子个数的方法来简化模型结构, 皆会丢失样本部分信息, 致使模型部分失真.这也许就是传统的预测模型预测结果大多不理想(精度不高)和对不同样本(尤其对异常样本)预测的误差差异很大(稳定性差)的原因之一.因此, 为了建立收敛速度较快, 而又有较高预测精度的预测模型, 不仅需要在不损失样本信息的情况下简化模型结构, 而且还必须消除或削弱因样本数有限(不完备)和样本的代表性不全而对模型预测精度的影响.
从实用角度出发, 一元线性回归预测模型应是最简单的预测模型, 但传统的一元线性回归(ULR)预测模型只适用于单因子线性问题预测, 不能用于多因子、非线性问题预测.不过, 文献(李祚泳等, 2019)依据误差理论, 推导得出：不论变量的原始数据具有何种分布特征及呈现什么样变化规律, 总可以借助于一个有可调参数的幂函数变换式和对数变换式组成的规范变换式, 将其规范化、降维化和线性化, 若再结合预测样本模型输出的误差修正公式, 就能大幅提高模型预测精度, 与采用预测模型的具体形式无关.因此, 将基于规范变换与误差修正结合用于一元线性回归(Univariate Linear Regression of normalized variable, NV-ULR)预测模型也应该是适合的.这样的模型不仅能简化模型结构, 而且还能极大地提高模型的预测精度.
2 预测变量及其影响因子的规范变换式(Standard transformation formula of predictive variables and their influencing factors)对多个影响因子的预测建模, 虽然不同因子的量纲、单位、数值大小和变化特性(线性或非线性、正态或非正态、独立或相关、正向或逆向)不尽相同, 但正如文献(李祚泳等, 2018)所指出的：若构建如式(1)所示的正幂函数变换式(幂指数b>0)和式(2)所示的对数变换式相结合的规范变化式, 对环境系统预测变量及其各影响因子的原始数据进行规范变换.由于满足一定变换要求的正幂函数变换式(1)能使所有样本各因子变换后的幂函数数据特性和变化规律大体协调一致, 数值大小差异减小；再通过式(2)对各因子的幂函数值进行对数变换, 对数变换不仅能使变换后的样本的不同因子规范值差异进一步减小, 而且对数变换还可将幂函数值线性化.为了使规范后的各因子可以视作一个“等效”线性规范因子, 规范变换还需满足变换后的预测变量及各因子的最小规范值x_jm′(或y_jm′)和最大规范值x_jM′(或y_jM′)分别被限定在各自的较小区间内.两个区间各自的限定范围和两个区间之间的间隔距离都不能太大或太小.若太大, 将规范变换后的所有因子视为同一个“等效”规范因子就不能成立；若太小, 某些情况下又可能使有的因子参照值c_j0的选取和调试变得困难.此外, 考虑到这两个区间限定范围及两个区间之间的间隔距离最好分别与基于规范变换的评价模型的最低一级评价标准和最高一级评价标准的指标规范值区间范围相一致, 最终选择[0.10, 0.24]和[0.40, 0.55]分别作为最小规范值和最大规范值的限定区间.可见, 规范变换的目的为：借助规范变换, 将任意数据分布的高维、非线性复杂预测建模问题转化为对“等效”规范因子的简单一元线性回归的预测建模问题, 从而极大的简化模型结构, 使计算变得十分简单.

(1)

(2)

式中, c_j为因子或预测变量实际值；c_j0为设置的因子或预测变量的参照值；c_jb为设定的因子或预测变量的阈值；X_j和x_j′分别为因子或预测变量的变换值和规范值；k代表全体样本个数；n_j为如式(3)所示的因子或预测变量的幂指数.式(1)右边1~4行适用于正向类因子或预测变量的变换；5~8行适用于逆向类因子或预测变量的变换.

(3)

式中, t_j为因子或预测量实际值的最大值与最小值之比值, 具体如式(4)所示.式(1)~(4)中的参数c_jb、n_j、c_j0和t_j的确定过程详见文献(李祚泳等, 2019).

(4)

3 预测样本的模型输出的误差修正公式(Error correction formula for model output of predicted samples)为使预测样本尤其是异常预测样本(或检测样本)的预测(或检测)值更接近实际值, 多数情况下需用式(5)和式(6)所示的误差修正计算公式, 对预测(或检测)样本的模型输出值进行误差修正, 然后将修正后的预测样本的模型输出值再代入规范变换式(1)和(2), 进行逆运算, 计算出样本实际预测值.

(5)

(6)

式中, y_x′和y_xx′分别为预测(或检测)样本修正前和修正后的模型计算输出值；r_x′为计算得到预测(或检测)样本模型输出的估计相对误差的绝对值；y_s′和r_s′分别为在建模样本集中, 与预测(或检测)样本的模型输出值y_x′最接近的一个或多个相似样本的模型拟合输出值及拟合相对误差的绝对值.误差修正的基本思想和误差修正公式的具体使用说明详见文献(李祚泳等, 2019).
4 NV-ULR预测模型的建模理论依据及建模过程(Theoretical basis and modeling process of NV-ULR prediction mdel)依据误差理论, 对基于因子规范变换与误差修正公式相结合的任何类型的预测模型的预测精度, 用数学分析方法从定量角度获得的结果表明：其模型预测精度比不用误差修正公式修正的模型预测精度或传统的预测模型的预测精度皆能提高数倍到数十倍不等, 与采用预测模型的具体形式无关.其严格的数学推导、论证过程和结果详见文献(李祚泳等, 2019).因此, 这一结论无疑对基于规范变换降维与误差修正相结合的一元线性回归预测模型也是成立的.NV-ULR模型的预测建模过程如图 1所示.
图 1(Fig. 1)

图 1 NV-ULR模型的预测建模过程示意图 Fig. 1A schematic diagram of the predictive modeling process of the NV-ULR model

5 基于规范变换与误差修正的一元线性回归预测模型的实例检验(Examples tests of a univariate linear regression forecasting model based on standard transformation and error correction)结合环境系统的3个实例, 说明规范变换与误差修正相结合, 分别用于多因子和时序变量的一元线性回归预测的实现过程.
5.1 某市SO₂浓度的一元线性回归预测模型5.1.1 SO₂及其影响因子的参照值和规范变换式的设置某城市SO₂浓度(C_y)及其工业耗煤(C₁)、人口密度(C₂)、交通密度(C₃)、饮食服务点(C₄)4个影响因子的监测数据如表 1所示(刘永等, 2004).传统的多种预测模型和方法对此实例预测结果的相对误差皆较大.为了与多种传统的预测模型和方法的预测结果相比较, 本文采用规范变换降维与误差修正相结合建立一元线性回归预测模型.依据c_j0和n_j的设计原则和方法及变换式(1), 设置如式(7)所示的变换式, 由式(7)和式(2)计算出各影响因子的规范值x_i′及SO₂的规范值y_i′, 具体如表 1所示.
表 1(Table 1)

表 1 某城市SO2浓度及4个影响因子的监测数据和规范值 Table 1 The monitoring data and standard values of SO2 concentration and 4 influencing factors in a city

表 1 某城市SO2浓度及4个影响因子的监测数据和规范值 Table 1 The monitoring data and standard values of SO2 concentration and 4 influencing factors in a city 序号 影响因子实际值 影响因子规范值 SO2 ci1 ci2 ci3 ci4 xi1′ xi2′ xi3′ xi4′ 实际值cy 规范值yi0′ 1 0.028 0.093 12.9 24 0.2929 0.2724 0.3250 0.3087 0.008 0.2996 2 0.102 0.051 8.3 12 0.3575 0.2424 0.2809 0.2740 0.012 0.3198 3 0.004 0.043 12.0 22 0.1956 0.2339 0.3178 0.3043 0.023 0.3524 4 0.640 0.053 3.0 8 0.4494 0.2443 0.1792 0.2538 0.020 0.3454 5 0.432 0.185 31.2 41 0.4297 0.3068 0.4134 0.3355 0.062 0.4020 6 0.120 0.203 33.8 39 0.3657 0.3115 0.4214 0.3330 0.041 0.3813 7 0.430 0.194 50.8 22 0.4295 0.3092 0.4621 0.3043 0.071 0.4087 8 0.099 1.379 9.4 6 0.3560 0.4073 0.2934 0.2394 0.012 0.3198 9 0.084 0.039 35.7 23 0.3478 0.2290 0.4268 0.3066 0.007 0.2929 10 0.673 0.208 15.1 7 0.4519 0.3127 0.3408 0.2471 0.062 0.4020 11 2.319 0.245 9.1 12 0.5137 0.3209 0.2901 0.2740 0.092 0.4217 12 0.933 0.619 17.3 64 0.4682 0.3672 0.3544 0.3577 0.044 0.3848 13 0.217 6.732 46.8 276 0.3953 0.4865 0.4539 0.4308 0.120 0.4350 14 0.704 1.164 16.1 40 0.4541 0.3988 0.3472 0.3342 0.009 0.3055 15 0.017 1.233 25.8 38 0.2679 0.4017 0.3944 0.3317 0.014 0.3276 16 0.144 5.544 42.5 260 0.3748 0.4768 0.4443 0.4278 0.120 0.4350 17 0.120 0.203 33.8 39 0.3657 0.3115 0.4214 0.3330 0.041 0.3813 18 0.144 0.152 10.7 5 0.3748 0.2970 0.3063 0.2303 0.024 0.3545 19 0.503 1.255 7.1 57 0.4373 0.4026 0.2653 0.3519 0.056 0.3969 20 0.080 1.632 8.3 54 0.3454 0.4157 0.2809 0.3492 0.028 0.3622 21 0.120 1.422 6.8 135 0.3657 0.4088 0.2610 0.3951 0.024 0.3545 22 0.078 1.268 7.3 140 0.3441 0.4031 0.2681 0.3969 0.014 0.3276 23 0.045 0.247 6.4 80 0.3166 0.3213 0.2549 0.3689 0.030 0.3657 24 0.121 0.224 6.7 29 0.3661 0.3164 0.2595 0.3182 0.021 0.3478 25 0.245 0.451 19.3 68 0.4013 0.3514 0.3653 0.3608 0.012 0.3198 26* 0.044 0.087 20.7 48 0.3155 0.2691 0.3723 0.3433 0.028 0.3622 27* 0.323 1.271 32.0 77 0.4152 0.4032 0.4159 0.3670 0.045 0.3859 28* 1.566 2.255 36.7 96 0.4941 0.4319 0.4296 0.3780 0.073 0.4101 29* 2.312 0.439 39.8 74 0.5136 0.3500 0.4377 0.3650 0.078 0.4134 30* 1.403 0.330 48.1 77 0.4886 0.3358 0.4566 0.3670 0.099 0.4254 注：“*”表示预测样本；c1单位为104 t·km-2；c2单位为104人·km-2；c3单位为辆·km-2；c4单位为个·km-2；cy单位为mg·m-3；规范值为无量纲的量.

(7)

式中, 因子C₁、C₂、C₃、C₄和SO₂ (C_y)的参照值c_j0分别设置为0.8 t·km^-2、4人·km^-2、0.5辆·km^-2、0.05个· km^-2和0.00002 mg·m^-3.
5.1.2 SO₂浓度规范值的一元线性回归预测模型选取表 1中序号1~25的数据作为建模样本, 序号26^*~30^*的数据作为模型检验样本.由于规范变换后的4个因子皆等效于同一个规范因子, 因而具有这4个因子、n个样本的预测建模可简化为只对一个等效规范因子、N=m×n个样本的一元线性回归预测模型, 用最小二乘法优化建立的一元线性回归预测模型具体为：

(8)

5.1.3 SO₂浓度规范值的一元线性回归模型的拟合与预测输出结果分别将表 1中各样本的4个影响因子规范值x_i1′、x_i2′、x_i3′和x_i4′代入式(8)计算, 并求平均, 得到前25个SO₂建模样本(序号1~25)的一元线性回归模型拟合输出值y_i′及拟合相对误差绝对值r_i′, 具体如表 2所示；类似, 计算得到后5个SO₂预测(检测)样本(序号26^*~30^*)的一元线性回归模型预测输出值y_x′, 具体见表 2.
表 2(Table 2)

表 2 某市SO2浓度规范值的一元线性回归预测模型的输出值及拟合相对误差 Table 2 Output values and fitting relative error of univariate linear regression prediction model for SO2 concentration standard value in a city

表 2 某市SO2浓度规范值的一元线性回归预测模型的输出值及拟合相对误差 Table 2 Output values and fitting relative error of univariate linear regression prediction model for SO2 concentration standard value in a city 序号 xi′ yi′ yi0′ ri′ 1 0.2998 0.3528 0.2996 17.76% 2 0.2887 0.3506 0.3198 9.63% 3 0.2629 0.3456 0.3524 1.93% 4 0.2817 0.3493 0.3454 1.13% 5 0.3714 0.3667 0.4020 8.78% 6 0.3579 0.3641 0.3813 4.51% 7 0.3763 0.3677 0.4087 10.03% 8 0.3240 0.3575 0.3198 11.79% 9 0.3276 0.3582 0.2929 22.29% 10 0.3381 0.3602 0.4020 10.40% 11 0.3497 0.3625 0.4217 14.04% 12 0.3869 0.3697 0.3848 3.92% 13 0.4416 0.3804 0.4350 12.55% 14 0.3836 0.3691 0.3055 20.82% 15 0.3489 0.3623 0.3276 10.59% 16 0.4309 0.3783 0.4350 13.03% 17 0.3579 0.3641 0.3813 4.51% 18 0.3021 0.3532 0.3545 0.37% 19 0.3643 0.3651 0.3969 8.01% 20 0.3478 0.3621 0.3622 0.03% 21 0.3577 0.3640 0.3545 2.68% 22 0.3531 0.3631 0.3276 10.84% 23 0.3154 0.3558 0.3657 2.71% 24 0.3151 0.3557 0.3478 2.27% 25 0.3697 0.3664 0.3198 14.57% 26* 0.3251 0.3577 0.3622 27* 0.4003 0.3723 0.3859 28* 0.4334 0.3788 0.4101 29* 0.4166 0.3755 0.4134 30* 0.4120 0.3746 0.4254

5.1.4 预测样本模型输出的误差修正由表 2可知, 与序号26^*的样本模型输出相似的建模样本有序号8、10、23和24共4个建模样本；与序号27^*的样本模型输出相似的有序号7、12和16共3个建模样本；与序号28^*的样本模型输出相似的有序号12、13和16共3个建模样本；与序号29^*的样本模型输出相似的有序号7、12和16共3个建模样本；与序号30^*的样本模型输出相似的有序号7、13和16共3个建模样本.用式(5)和式(6)修正后5个SO₂预测样本(26^*~30^*)的一元线性回归模型预测输出值y_x′分别为0.3618、0.3842、0.4110、0.4136和0.4249.再由式(2)和式(7)的逆运算式c_y=c_j0e^20y′_x, 计算得到5个预测样本的SO₂浓度预测值c_y分别为0.0278、0.044、0.074、0.0783和0.098 mg·m^-3.5个预测样本的SO₂浓度的一元线性回归模型预测值的相对误差绝对值及其平均值和最大值如表 3所示.表 3中还列出研究者(李祚泳等, 2018; 2019)用基于规范变换与误差修正相结合的NV-FNN、NV-PPR、NV-SVR 3种预测模型及其他文献用传统的BP网络(刘永等, 2004)、PPR(彭荔红等, 2002)、模糊识别(熊德琪等, 1993)、组合算子(姜庆华, 2006)及多元回归(姜庆华, 2006)等多种模型对后5个预测样本预测结果的相对误差绝对值的平均值和最大的相对误差绝对值.从表 3可以看出, 基于规范变换的一元线性回归模型(NV-ULR)对5个预测样本预测结果的相对误差绝对值的平均值和最大的相对误差绝对值均远小于传统的5种预测模型预测的相应相对误差, 也略小于基于规范变换的两种不同结构的3种预测模型的相应误差.
表 3(Table 3)

表 3 多种预测模型预测的5个检测样本的相对误差绝对值及其平均值和最大值 Table 3 Absolute relative error values, mean value and maximum value of five detection samples predicted by multiple prediction models

表 3 多种预测模型预测的5个检测样本的相对误差绝对值及其平均值和最大值 Table 3 Absolute relative error values, mean value and maximum value of five detection samples predicted by multiple prediction models 预测样本 6种预测模型的预测相对误差的绝对值 规范变换的3种智能预测模型的预测相对误差的绝对值 NV-ULR 多元回归 模糊识别 BP神经网络 传统PPR 组合算子 NV-FNN(2) NV-FNN(3) NV-PPR(2) NV-PPR(3) NV-SVR(2) NV-SVR(3) 26* 0.71% 17.86% 32.14% 56.07% 17.86% 14.29% 3.57% 3.57% 3.57% 3.57% 3.57% 3.57% 27* 2.22% 20.00% 24.44% 37.56% 6.67% 22.22% 0.67% 1.11% 0.00% 2.22% 2.22% 2.22% 28* 1.37% 27.40% 21.92% 9.18% 27.40% 4.11% 4.11% 4.11% 2.74% 2.74% 2.74% 2.74% 29* 0.38% 60.26% 5.13% 17.82% 8.97% 12.82% 2.56% 2.56% 2.56% 2.56% 2.56% 1.28% 30* 1.01% 1.01% 24.24% 7.98% 10.10% 38.38% 2.02% 2.02% 2.02% 2.02% 5.05% 2.02% 平均值 1.14% 25.31% 21.57% 25.72% 14.20% 18.36% 2.59% 2.67% 2.18% 2.62% 3.23% 2.37% 最大值 2.22% 60.26% 32.14% 56.07% 27.40% 38.38% 4.11% 4.11% 3.57% 3.57% 5.05% 3.57%

5.2 南昌市降水酸度的一元线性回归预测模型5.2.1 降水酸度及其影响因子的参照值及规范变换式的设置1981—1999年南昌市城市降水酸度pH(C_y)及其SO₂(C₁)、NO_x(C₂)、TSP(C₃)、降尘(C₄)4个影响因子的监测数据(c_y, c_j)如表 4所示(汤丽妮等, 2003).依据c_j0、c_b和n_j的设计原则和方法及变换式(1), 设置如式(9)所示的变换式, 由式(9)和式(2)计算出各影响因子的规范值x_ij′及降水酸度pH的规范值y_i′(表 4).
表 4(Table 4)

表 4 南昌市的降水酸度及其影响因子的监测数据和规范值(1981—1999年) Table 4 Monitoring data and standard values of precipitation acidity and its influencing factors in Nanchang (1981—1999)

表 4 南昌市的降水酸度及其影响因子的监测数据和规范值(1981—1999年) Table 4 Monitoring data and standard values of precipitation acidity and its influencing factors in Nanchang (1981—1999) 年份 影响因子实际值 影响因子规范值 pH ci1 ci2 ci3 ci4 xi1′ xi2′ xi3′ xi4′ cy yi′ 1981 0.075 0.063 0.552 21.750 0.2902 0.2310 0.1999 0.4327 4.33 0.2398 1982 0.068 0.055 0.598 11.980 0.3098 0.2582 0.1839 0.3134 4.34 0.2428 1983 0.085 0.037 0.393 16.870 0.2651 0.3375 0.2679 0.3818 4.32 0.2367 1984 0.066 0.044 0.423 18.370 0.3157 0.3028 0.2532 0.3989 4.52 0.2853 1985 0.064 0.040 0.400 17.780 0.3219 0.3219 0.2644 0.3924 5.80 0.4094 1986 0.043 0.038 0.421 14.410 0.4014 0.3321 0.2541 0.3503 4.62 0.3029 1987 0.049 0.029 0.359 11.087 0.3753 0.3862 0.2860 0.2979 4.51 0.2833 1988 0.071 0.023 0.452 13.645 0.3011 0.4326 0.2399 0.3394 4.35 0.2457 1989 0.075 0.035 0.281 14.516 0.2902 0.3486 0.3350 0.3518 4.25 0.2120 1990 0.043 0.028 0.189 9.733 0.4014 0.3932 0.4143 0.2718 4.43 0.2663 1991 0.048 0.031 0.150 10.133 0.3794 0.3729 0.4605 0.2799 4.55 0.2909 1992 0.073 0.025 0.210 11.277 0.2956 0.4159 0.3932 0.3013 4.48 0.2773 1993 0.068 0.029 0.200 12.171 0.3098 0.3862 0.4030 0.3166 4.60 0.2996 1994 0.104 0.026 0.230 10.191 0.2248 0.4080 0.3750 0.2810 4.60 0.2996 1995 0.069 0.029 0.280 9.251 0.3068 0.3862 0.3357 0.2617 4.54 0.2890 1996* 0.070 0.022 0.186 8.530 0.3040 0.4415 0.4175 0.2455 4.60 0.2996 1997* 0.054 0.031 0.180 8.750 0.3559 0.3729 0.4241 0.2506 4.47 0.2752 1998* 0.045 0.039 0.174 7.200 0.3923 0.3270 0.4308 0.2116 4.57 0.2944 1999* 0.048 0.040 0.180 8.970 0.3794 0.3219 0.4241 0.2555 4.67 0.3106 注：“*”表示预测样本.除pH值(无单位)外, 各影响因子实际值单位均为mg·m-3; 规范值为无量纲的量.

(9)

式中, C₁、C₂、C₃、C₄和C_y的参照值c_j0分别设置为0.32、0.2、1.5、2.5 mg·m^-3和0.03；C_y的阈值c_b为4.
5.2.2 降水酸度pH规范值的一元线性回归预测模型选取1981—1995年的数据作为建模样本, 1996—1999年的数据作为模型检验样本.预测建模过程与实例1的SO₂浓度的一元回归预测建模过程完全类似, 从而建立基于降水酸度pH规范值的一元线性回归预测模型为：

(10)

5.2.3 降水酸度pH规范值的一元线性回归模型的拟合与预测输出结果分别将表 4中各样本的4个影响因子规范值x_i1′、x_i2′、x_i3′和x_i4′代入式(10)计算, 并求平均, 得到前15个样本(1981—1995年) pH的一元线性回归模型拟合输出规范值y_i′及拟合相对误差绝对值r_i′(表 5)；类似, 计算得到后4个预测样本(序号1996^*—1999^*年)pH的一元线性回归模型预测输出规范值y_x′(表 5).
表 5(Table 5)

表 5 南昌市pH规范值的一元线性回归预测模型的输出值及拟合相对误差 Table 5 Output values and fitting relative error of univariate linear regression prediction model of pH norm value in Nanchang City

表 5 南昌市pH规范值的一元线性回归预测模型的输出值及拟合相对误差 Table 5 Output values and fitting relative error of univariate linear regression prediction model of pH norm value in Nanchang City 年份 xi′ yi′ yi0′ ri′ 1981 0.2885 0.2757 0.2398 14.97% 1982 0.2663 0.2741 0.2428 12.89% 1983 0.3131 0.2775 0.2367 17.24% 1984 0.3177 0.2779 0.2853 2.59% 1985 0.3252 0.2784 0.4094 32.00% 1986 0.3345 0.2791 0.3029 7.86% 1987 0.3364 0.2792 0.2833 1.45% 1988 0.3283 0.2786 0.2457 13.39% 1989 0.3314 0.2789 0.2120 31.56% 1990 0.3702 0.2817 0.2663 5.78% 1991 0.3732 0.2819 0.2909 3.09% 1992 0.3515 0.2803 0.2773 1.08% 1993 0.3539 0.2805 0.2996 6.38% 1994 0.3222 0.2782 0.2996 7.14% 1995 0.3226 0.2782 0.2890 3.74% 1996* 0.3521 0.2804 0.2996 1997* 0.3509 0.2803 0.2752 1998* 0.3404 0.2795 0.2944 1999* 0.3452 0.2799 0.3106

5.2.4 预测样本模型输出的误差修正由表 5可见, 与1996^*年样本模型输出相似的有1992和1993年2个建模样本；与1997^*年样本模型输出相似的只有1992年1个建模样本；与1998^*年样本模型输出相似的有1986、1987年2个建模样本；与1999^*年样本模型输出相似的有1986年1个建模样本.用式(5)和式(6)修正后4个预测样本的pH规范值的一元线性回归模型预测输出值y_x′分别为0.2915、0.2773、0.2935和0.3038；再由式(2)和式(9)的逆运算式c_y=c_b+c_j0e^10y′_x, 计算出4个预测样本的pH的一元线性回归模型预测值c_y分别为4.56、4.48、4.57、4.63. 4个预测样本的pH的一元线性回归模型预测值的相对误差绝对值r_x及相对误差绝对值的平均值和最大值见表 6.表 6中还列出研究者(李祚泳等, 2018; 2019)用基于规范变换与误差修正相结合的NV-FNN、NV-PPR、NV-SVR模型, 以及其他文献用基于集对分析的相似预测模型(徐源蔚等, 2015)、传统的时序Holt′S模型、多元线性回归模型、BP网络模型(毛端谦等, 2001)和GA-BP网络模型(汤丽妮等, 2003)等多种模型对4个预测样本pH预测值的相对误差绝对值及其平均值和最大值.从表 6可以看出, NV-ULR模型对4个预测样本预测结果的相对误差绝对值的平均值和最大的相对误差绝对值均小于其他5种传统的预测模型的相应误差, 而与基于规范变换的两种不同结构的3种预测模型的相应误差十分接近.
表 6(Table 6)

表 6 多种预测模型预测的4个检测样本的相对误差绝对值及其平均值和最大值 Table 6 Absolute relative error values, mean value and maximum value of four detection samples predicted by multiple prediction models

表 6 多种预测模型预测的4个检测样本的相对误差绝对值及其平均值和最大值 Table 6 Absolute relative error values, mean value and maximum value of four detection samples predicted by multiple prediction models 样本序号 rx rx NV-ULR SPAS模型 时序Holt′S模型 多元线性回归 BP网络模型 GA-BP模型 NV-FNN(2) NV-FNN(3) NV-PPR(2) NV-PPR(3) NV-SVR(2) NV-SVR(3) 26* 0.87% 1.96% 1.10% 2.02% 0.8% 0.01% 0.43% 0.22% 0.22% 0.43% 1.30% 0.22% 27* 0.22% 1.79% 3.22% 1.63% 1.34% 2.47% 0.22% 0.22% 0.22% 0.22% 0.00% 0.00% 28* 0.00% 1.31% 2.21% 1.31% 0.44% 0.43% 0.88% 0.44% 0.44% 0.88% 0.22% 0.22% 29* 0.86% 3.00% 1.93% 2.36% 1.69% 0.60% 0.00% 0.64% 0.86% 0.00% 1.07% 0.86% rx平均值 0.49% 2.02% 2.12% 1.83% 1.07% 0.88% 0.38% 0.38% 0.44% 0.38% 0.65% 0.33% rx最大值 0.87% 3.00% 3.22% 2.36% 1.69% 2.47% 0.88% 0.64% 0.86% 0.88% 1.30% 0.86%

5.3 伦河孝感段COD_Mn的时间序列的一元线性回归预测模型5.3.1 COD_Mn的时序因子参照值及规范变换式的设置伦河孝感段2008年8月—2011年12月每2个月采集1次数据，共21个月的COD_Mn时间序列数据如表 7第2列所示(崔雪梅, 2013).依据c_j0、c_b和n_j的设计原则和方法, 设置如式(11)所示的变换式, 由式(11)和式(2)计算出COD_Mn时间序列的规范值x_i′如表 7第3列所示.取t时刻前的最近邻时刻数k=3, 则从第4个样本(第4周)开始, 由每个样本的前3个最近邻样本的规范值构成的时间序列如表 7第4~6列所示.
表 7(Table 7)

表 7 2008年8月—2011年12月伦河孝感段的CODMn监测数据ct及其规范值xt′ Table 7 CODMn monitoring data ct and its standard values xt′in Xiaogan section of Lun River (2008-8—2011-12)

表 7 2008年8月—2011年12月伦河孝感段的CODMn监测数据ct及其规范值xt′ Table 7 CODMn monitoring data ct and its standard values xt′in Xiaogan section of Lun River (2008-8—2011-12) 样本 CODMn监测值ct/(mg·L-1) CODMn规范值xt′ k=3 xt-1′ xt-2′ xt-3′ 1 2.26 0.3017 - - - 2 2.56 0.3266 - - - 3 2.15 0.2917 - - - 4 2.10 0.2870 0.3017 0.3266 0.2917 5 1.90 0.2670 0.3266 0.2917 0.2870 6 2.40 0.3137 0.2917 0.2870 0.2670 7 2.03 0.2802 0.2870 0.2670 0.3137 8 1.93 0.2701 0.2670 0.3137 0.2802 9 2.23 0.2990 0.3137 0.2802 0.2701 10 2.33 0.3078 0.2802 0.2701 0.2990 11 4.25 0.4280 0.2701 0.2990 0.3078 12 3.37 0.3816 0.2990 0.3078 0.4280 13 3.36 0.3810 0.3078 0.4280 0.3816 14 3.25 0.3744 0.4280 0.3816 0.3810 15 2.77 0.3424 0.3816 0.3810 0.3744 16 3.25 0.3744 0.3810 0.3744 0.3424 17 2.85 0.3481 0.3744 0.3424 0.3744 18 2.76 0.3417 0.3424 0.3744 0.3481 19* 2.71 0.3380 0.3744 0.3481 0.3417 20* 2.76 0.3417 0.3481 0.3417 0.3380 21* 2.78 0.3431 0.3417 0.3380 0.3417

(11)

式中, 参照值c_j0= 0.5 mg·L^-1.
5.3.2 COD_Mn时序规范值的一元线性回归预测模型分别选取表 7中第4~18个样本和第19^*~21^*个样本的时间序列数据x_t′作为建模样本和预测样本.建立COD_Mn的规范值的一元线性回归预测模型(NV-ULR), 具体如式(12)所示.

(12)

5.3.3 COD_Mn时序规范值的一元线性回归模型的拟合与预测输出结果分别将表 7中样本的3个影响因子规范值x_t-1′、x_t-2′和x_t-3′代入式(12)计算, 并求平均, 得到前15个样本(序号4~18)的COD_Mn的一元线性回归模型拟合输出规范值y_i′及拟合相对误差绝对值r_i′(表 8)；类似, 计算得到后3个预测样本(序号19^*~21^*)的COD_Mn的一元线性回归模型输出规范值y_x′(表 8).
表 8(Table 8)

表 8 伦河孝感段CODMn规范值的一元线性回归预测模型的输出值及拟合相对误差 Table 8 Output values and fitting relative error of univariate linear regression prediction model for CODMn concentration standard value in Xiaogan section of Lun River

表 8 伦河孝感段CODMn规范值的一元线性回归预测模型的输出值及拟合相对误差 Table 8 Output values and fitting relative error of univariate linear regression prediction model for CODMn concentration standard value in Xiaogan section of Lun River 样本号 xi′ yi′ yi0′ ri′ 4 0.3067 0.3234 0.2870 12.68% 5 0.3018 0.3210 0.2670 20.22% 6 0.2819 0.3116 0.3137 -6.69% 7 0.2892 0.3151 0.2802 12.46% 8 0.2870 0.3140 0.2701 16.25% 9 0.2880 0.3145 0.2990 5.18% 10 0.2831 0.3122 0.3078 1.43% 11 0.2923 0.3165 0.4280 -26.05% 12 0.3449 0.3415 0.3816 -10.51% 13 0.3725 0.3546 0.3810 -6.93% 14 0.3969 0.3662 0.3744 -2.19% 15 0.3790 0.3577 0.3424 4.47% 16 0.3159 0.3515 0.3744 -6.12% 17 0.3637 0.3504 0.3481 0.66% 18 0.3550 0.3463 0.3417 1.35% 19* 0.3547 0.3462 0.3380 20* 0.3426 0.3404 0.3417 21* 0.3405 0.3394 0.3431

5.3.4 预测样本模型输出的误差修正由表 8可知, 与19^*号样本模型输出相似的只有18号1个建模样本, 用式(5)和式(6)修正后19^*号预测样本的COD_Mn的一元线性回归模型预测输出值y_x′为0.3416；而20^*号和21^*号预测样本都没有相似样本, 因此, 模型预测输出值y_x′不用修正, 即分别为0.3404和0.3394.再由式(2)和式(11)逆运算式c_y=c_j0e^5y′_x, 计算得到3个预测样本的COD_Mn的一元线性回归模型预测值c_y分别为2.76、2.74和2.73 mg·L^-1.3个预测样本的COD_Mn的NV-ULR模型预测值的相对误差绝对值r_x及相对误差绝对值的平均值和最大值见表 9.表 9中还列出研究者(李祚泳等, 2018; 2019)用NV-FNN、NV-PPR、NV-SVR等模型和文献(崔雪梅等, 2013)用GA-LM-BP模型对3个预测样本的COD_Mn预测值的相对误差绝对值及其平均值和最大值.从表 9可以看出, NV-ULR模型对3个预测样本预测结果的相对误差绝对值的平均值和最大的相对误差绝对值均远小于GA-LM-BP网络预测模型的相应误差, 也略小于基于规范变换的两种不同结构的3种预测模型的相应误差.
表 9(Table 9)

表 9 3个检测样本的多种预测模型的相对误差绝对值及其平均值和最大值 Table 9 Absolute relative error values, mean value and maximum value of three detection samples predicted by multiple prediction models

表 9 3个检测样本的多种预测模型的相对误差绝对值及其平均值和最大值 Table 9 Absolute relative error values, mean value and maximum value of three detection samples predicted by multiple prediction models 预测样本 rx NV-FNN(2) NV-FNN(3) NV-PPR(2) NV-PPR(3) NV-SVR(2) NV-SVR(3) NV-ULR GA-LM-BP 19* 1.85% 1.85% 1.85% 1.85% 1.85% 1.85% 1.85% 11.98% 20* 2.17% 2.17% 0.72% 4.35% 0.72% 3.62% 0.72% 11.80% 21* 3.96% 3.96% 2.52% 4.68% 3.60% 1.80% 1.80% 12.87% 平均值 2.66% 2.66% 1.70% 3.63% 2.06% 2.42% 1.45% 12.22% 最大值 3.96% 3.96% 2.52% 4.68% 3.60% 3.62% 1.85% 12.87%

6 比较(Comparisons)6.1 NV-ULR预测模型与NV-FNN、NV-PPR及NV-SVR 3种预测模型的比较NV-ULR与NV-FNN、NV-PPR及NV-SVR 4种预测模型用于同一个预测问题, 只要都依据同一个规范变换式变换, 并用相似样本误差修正公式修正后的4种预测模型, 无论是对单个样本预测的相对误差绝对值, 还是对多个样本预测的相对误差绝对值的平均值或最大值都相差甚小, 而且预测值都与实际值十分接近, 很少有例外(表 3、6和9), 表明4种预测模型均是稳定、可靠的.因此, 对一个实际问题, 采用4种预测模型中的任意一种预测均是有效、可行的.不过若为了增加预测结果可靠性, 可同时采用几种模型预测, 以便相互印证.而NV-ULR预测模型比其他3种预测模型更简便, 因而更具有实用性.
6.2 NV-ULR预测模型与传统的预测模型的比较NV-ULR首先通过选择和调整幂函数变换式(1)中的参数(幂指数n_j和参照值c_j0, 有时还有阈值c_b), 在将逆向因子转化为正向因子的同时, 用n_j=2的拉伸变换, 使数据波动性小的变量(包括影响因子变量c_j和预测变量c_y)的波动性增强；用n_j=0.5的压缩变换, 使波动性大的变量的波动性减弱；而用n_j=1的线性变换使变量的特性保持不变；可见, 变换式(1)使变量之间的波动性差异变小, 趋于一致.因此, 变换式(1)能将具有任意分布特征和复杂变化规律的预测变量及其各影响因子的数据, 映射(转换)为分布特征和变化规律大体相似和协调一致的正幂函数表示形式, 从而具有普适、规范性；其次, 再用对数变换式(2)将变量线性化, 而且要求线性化后变量的最小规范值和最大规范值分别被限定在一个较小范围内, 使因子变量之间的差异进一步减小.因此, 借助幂函数变换式(1)的规范化和对数变换式(2)的线性化, 使规范变换后的每个影响因子皆可视为“等效”于某一个线性规范因子, 将预测变量受m个因子影响的复杂问题, 转化为预测变量仅受1个“等效”线性规范因子的m次影响的一元问题, m个因子的n个样本的复杂建模问题也就转化为只需1个“等效”线性规范因子的m×n个样本的简单一元线性回归建模问题, 极大地减少了因子数目(将m维降为1维), 达到预测模型结构简化的目的；传统的数据变换式(比如极差归一化和均值-方差标准化)各因子之间是彼此独立无关的变换, 变换后不同因子的数据分布特性和变化规律也不会相同, 因此, 变换后的各因子不能用一个“等效”因子代替, 也就不能简化模型结构.这正是规范变换与传统数据变换的区别所在.
线性化是解决非线性、高维复杂问题的一种常用手段.不过, 将非线性问题线性化, 一定程度上削弱了原数据的波动性, 增强了平滑性.因此, 在用对数变换式(2)进行线性变换后, 虽然可以用简单的一元线性回归建模, 但确实会使原数据的波动性减弱, 因而在低维空间建立的一元线性回归模型不可能精确反映原高维空间数据的非线性变化特性.因此, 若直接用一元线性回归模型计算得到的预测样本的模型输出值, 代入预测量的逆规范变换式进行运算, 得到的预测样本实际预测值与样本真实值可能相差较大.为提高预测精确度, 依据相似原因产生相似结果的原理, 本文提出：先将计算得到的预测样本的模型输出值与最接近的建模拟合样本的模型输出值进行比较, 并用一个相似样本的误差修正公式, 对预测样本的模型输出值修正后, 再代入预测量的规范变换式进行逆运算.这样使得原空间非线性复杂数据的波动性又得到恢复和重现, 从而可以得到与预测样本真实值非常接近的样本预测值, 提高了模型的预测稳定性和预测精确度.对高维、非线性问题, 传统的预测模型结构复杂, 计算量大, 预测的稳定性和准确度差.为了提高预测精确度, 常采用对拟合样本的残差(拟合误差)再建模, 用优化得到的残差模型参数来修正原预测模型参数, 以提高模型的拟合精度和预测精度.但往往事与愿违, 因为这很可能由“欠拟合”转为出现“过拟合”.传统的一元线性回归预测模型(ULR)只能用于单个影响因子的线性问题预测, 而NV-ULR预测模型则对单因子、多因子、线性、非线性和时序问题都同样适用.这又是本文预测模型与传统预测模型的显著不同之处.
本方法的优势在于不管样本空间是高维还是低维, 不论样本变量之间是简单的线性关系或是复杂的非线性关系, 也不论样本变量的变化规律是趋势性或波动性、平稳或剧烈、快变或缓变, 通过选择适当的参数n_j、c_j0和c_b, 都可以用幂函数和对数函数结合的规范变换式进行映射变换, 使其规范化、降维化、线性化.如果原始数据本身就是线性的, 则取n_j=1, 用式(1)变换后仍是线性的, 若原始数据是非线性的, 则取n_j=2或n_j=0.5, 用式(1)变换后非线性程度弱化, 变得近似线性.因此规范变换具有普适性.
6.3 NV-ULR模型对异常样本的预测若预测样本是“异常”样本(指与正常样本的影响因子值相同或相近而预测量值差异很大的样本, 类似遥感图象识别中的“同谱异物”), 但在训练样本集中, 不仅没有与该输出相似的“异常”拟合样本(指拟合误差很大), 而且也没有任何非相似的“异常”拟合样本, 则因不能用误差修正公式对该异常预测样本模型输出值进行误差修正, 而使预测结果误差较大；但若训练样本集中, 有与该“异常”预测样本模型输出值相似的“异常”拟合样本, 或者虽然没有与该“异常”预测样本模型输出值相似的“异常”拟合样本, 但存在非相似的“异常”拟合样本, 则皆可用相似的‘异常“拟合样本(或非相似的”异常“拟合样本)的误差进行误差修正, 往往还是可以得到较好的预测结果.
7 结论(Conclusions)1) 理论分析和对多个学科、领域众多实例验证表明, 只要将规范变换和相似样本误差修正法相结合用于任何预测模型, 其稳定性和预测精度都会获得极大的提高, 与具体采用何种预测模型无关.
2) 对任意多因子、非线性复杂的预测建模或时间序列的预测建模, 只要将规范变换与误差修正法相结合, 都可以简化为简单的一元线性回归预测模型, 使任何预测模型变得普适、规范、统一和极大的简化, 而且还能大幅度提高模型的预测精度, 具有实用性.
3) 规范变换与误差修正相结合的一元线性回归预测建模思想和方法具有普适性, 因而对其他学科、领域的预测问题也同样适用.
致谢(Acknowledgements):感谢四川师范大学伍绍贵副教授(博士)对修改英文摘要提供的协助.
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