摘要:X射线菲涅耳波带板成像能实现亚微米空间分辨能力, 有可能应用于激光等离子体或聚变靶的高分辨X射线成像诊断. 之前的数值模拟研究表明, 成像分辨能力受光源尺寸、入射光或成像光谱带宽的影响. 本文报道在632.8 nm为中心波长的可见光波段, 对波带板成像的数值模拟和原理性验证实验. 数值模拟表明: 随着扩展光源尺寸增加, 视场中央分辨能力基本不变, 而像对比度下降; 随着成像的光谱带宽的增加, 视场中央分辨能力与像对比度同时下降. 实验证实了数值模拟的结论, 且实验与数值模拟结果的定量比较也符合得较好.
关键词: 波带板成像/
扩展光源/
激光等离子体

English Abstract

全文HTML

--> --> -->

激光驱动核聚变使用高能激光或激光产生的X射线内爆聚变靶丸, 使其近等熵压缩达到劳森(Lawson)判据条件, 产生热核聚变释放能量^[1]. 在激光烧蚀与压缩过程中, 可能出现流体力学不稳定性, 降低压缩效率. 此外, 烧蚀区的密度分布对于能量输运等过程也有重要影响. 为了诊断流体力学不稳定性或烧蚀区, 实验常采用keV量级的X射线对靶丸放射照相, 通过对透射X射线成像来诊断靶丸. 鉴于流体力学不稳定性的初始扰动波长与烧蚀区等界面宽度的特征尺度在1 ${\text{μ}}{\rm m}$量级, 而靶丸尺度约1 mm, 发展X射线成像诊断的一个目标是实现1 mm尺度视场、1 $ {\text{μ}}{\rm m}$高空间分辨能力^[1,2].
当前的X射线成像诊断主要基于针孔成像^[3,4]和反射镜成像^[5-8]. 针孔成像的分辨能力与针孔直径大小相当, 最好为5 ${\text{μ}}{\rm m}$左右^[3,4]. 反射镜成像的理论空间分辨能力能达到1 ${\text{μ}}{\rm m}$或更好, 不过受掠入射像散等影响, 实际获得的最好空间分辨能力为2—3 ${\text{μ}}{\rm m}$, 视场为几百微米^[5-8].
X射线菲涅耳波带板(FZP)成像基于衍射光学, 空间分辨能力可达到衍射极限. 在同步辐射光源等X射线束线站上, 入射光单色性好, 样品(或视场)尺寸通常不超过几个微米, FZP成像一个主要指标是衍射极限空间分辨能力, 实验已达到10 nm左右^[9]. 有别于此, 在聚变靶等激光等离子体的研究中, 靶具有较大尺寸(约100 ${\text{μ}}{\rm m}$—1 mm), 而物理过程的特征尺度在$1\;{\text{μ}}{\rm m}$量级. 因此, FZP应用于激光等离子体的keV量级X射线成像要能够实现大视场成像, 又能够保证适当空间分辨能力(约1 ${\text{μ}}{\rm m}$), 而不必要求衍射极限分辨能力. 当FZP采用正入射方式成像时, 可以最大程度地克服像差, 实现大视场、高空间分辨成像^[10,11]. 尽管如此, 法国、日本等国外一些实验室曾研究FZP对激光等离子体X射线源的成像, 实验结果并不理想. 法国原子能和替代能源委员会(CEA)对400 ${\text{μ}}{\rm m}$—1 mm尺寸源成像, 获得了4 ${\text{μ}}{\rm m}$的分辨能力^[12]. 日本大阪大学激光工程研究所在激光等离子体X射线背光照相实验中, 对70 ${\text{μ}}{\rm m}$尺寸源成像获得近2 ${\text{μ}}{\rm m}$的分辨能力^[13]. 国内, 中国工程物理研究院也开展过初步实验研究^[14]. 这些实验研究所获得的分辨能力都明显差于所用FZP的理论分辨能力, 原因并未明确^[12-14].
为了确认分辨能力下降的原因, 我们曾根据激光等离子体X射线光谱和聚变靶等特点, 数值模拟了FZP成像时物的尺寸、入射光和成像光谱带宽对成像空间分辨能力的影响^[15,16], 能较好地解释之前的实验结果^[12-14]. 由于FZP成像对光谱带宽有要求, 而当前使用激光等离子体产生单色或窄光谱带宽的X射线光谱仍较为困难^[17,18], 难以使用激光等离子体X射线源开展FZP成像实验与数值模拟结果进行比对. 本文使用与X射线FZP成像相同的成像理论和数值模拟方法^[15,16], 在可见光波段给出FZP对扩展光源成像的数值模拟结果, 并进行了原理性验证实验. 这些结果支持X射线FZP成像模拟的有关结论, 可为发展X射线FZP高分辨成像诊断提供参考.

FZP对扩展光源成像的原理如图1所示. 光轴(图中z轴)垂直并通过FZP、扩展光源(物)、像的中心. 在数值模拟成像时, 基于激光等离子体的性质设置扩展光源为非相干的. 在模拟扩展光源的成像时, 对扩展光源进行离散化处理, 将其分割为很多足够小的区域, 将每一个小区域近似为一个点光源. 点光源成像的复振幅分布由菲涅耳-基尔霍夫衍射公式得到^[19]:
图 1 FZP成像示意图
Figure1. Schematic diagram for FZP’s imaging.

$ \begin{split}{U_\lambda }(x, y) = & - \frac{{{\rm{i}}A({x_0}, {y_0})}}{{2\lambda }}\iint_S \frac{{t(Q){{\rm{e}}^{{\rm{i}}k(r + s)}}}}{{rs}}[\cos (\mathop {{\hat n}}, {{\hat r}}) \\ & + \cos ({{\hat n}} , {{\hat s}})]{\rm{d}}S, \quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad(1)\end{split}$

式中, $A({x_0}, {y_0})$为点源P₀的复振幅; r为点源P₀到FZP上一点Q的距离; s为Q点到成像面上一点P的距离; $\lambda $和k分别为点源发射的波长及其波矢数; S为波带板平面区域; $ t\,(Q)$为FZP的透过率函数; $( {{\hat n}} , {{\hat r}})$和$({{\hat n}}, {{\hat s}})$分别为FZP法线方向与物方波矢和像方波矢的夹角.
实际应用中, 点源和像点都靠近光轴, 有$({{\hat n}}, {{\hat r}} ) \approx 0$, $({{\hat n}}, {{\hat s}} ) \approx 0$, 且$r$, $s$对点源P₀, 次波源Q发出的球面子波在P点的振幅影响不大, 可取振幅中$r \approx p$, $s \approx q$. 这里$p$和$q$分别为物点与像点到FZP平面的垂直距离. 但是复指数中r, s的变化对相位的影响不能忽略, 因此(1)式可以简化为

${U_\lambda }(x, y) = - \frac{{{\rm{i}}A({x_0}, {y_0})}}{\lambda }\iint_S {\frac{{t(Q){{\rm{e}}^{{\rm{i}}k(r + s)}}}}{{pq}}}{\rm{d}}S, $

式中$p$, $q$分别是物距与像距, 满足FZP成像公式$\dfrac{1}{p} + \dfrac{1}{q} = \dfrac{1}{f}$, $f$为FZP的主焦距.
在离轴一定范围内, 扩展光源上的点光源成像具有平移不变性^[15]. 利用(3)式在像面上对扩展光源上点光源的成像进行卷积计算, 得到扩展光源所成像的强度分布:

$\begin{split} & {I_\lambda }(x, y) = {I_g} * |{U_\lambda }(x, y){|^2} \\ =& \iint {{I_g}({\tilde x} , {\tilde y} )|{U_\lambda }(x - {\tilde x} , y - {\tilde y} ){|^2}{\rm{d}}{\tilde x} {\rm{d}}}{\tilde y} , \end{split}$

式中${I_g}$为与扩展光源强度分布对应的几何像相对强度分布, $|{U_\lambda }(x, y){|^2}$为位于光轴上的点光源被FZP衍射成像的强度分布. 计入入射光的光谱带宽, 像面上强度分布用(4)式计算:

$I = \int {{I_\lambda }(x, y)} {\rm{d}}\lambda .$

本文针对X射线FZP成像的模拟结果, 在可见光波段进行模拟和原理性实验验证. 为便于了解X射线FZP成像模拟结果, 本节将之前X射线FZP成像模拟的主要参数和结果总结如下^[11,15,16]. X射线FZP参数: 工作波长为0.275 nm, 主焦距为178 mm, 总环(半波带)数为100, 最外环宽度为0.35 ${\text{μ}}{\rm m}$. 模拟方法参见文献[15, 16]或本文可见光模拟部分. 采用10倍放大成像, 模拟给出了光源尺寸与入射光的光谱带宽对成像分辨能力的影响. 定义光谱带宽$w = \Delta \lambda /{\lambda _0}$, 其中${\lambda _0}$为中心波长(${\lambda _0}=0.275 $ nm), $\Delta \lambda $为波长范围. 成像分辨能力的定义参见文献[16]或下文第4节关于可见光的模拟. 图2给出了光源尺寸、入射光光谱带宽对FZP成像的视场(物平面)中央分辨能力的影响. 从图2可见, 固定光源尺寸, 当入射光的光谱带宽增加时, 成像的分辨能力下降; 固定入射光光谱带宽, 当光源尺寸增加时, 分辨能力下降. 当入射光光谱带宽小于3%时, 即使光源尺寸达到 700 ${\text{μ}}{\rm m}$ × 700 ${\text{μ}}{\rm m}$, 成像分辨能力仍可高于1 ${\text{μ}}{\rm m}$. 因此, 采用这样的波带板能够实现亚微米空间分辨的成像.
图 2 不同光源尺寸下X射线FZP成像的分辨能力随入射光光谱带宽的变化
Figure2. Spatial resolution of X-ray imaging by FZP versus incident light spectral bandwidth under different source sizes.

2

-->

4.1.光源尺寸对FZP成像的影响

对照第3节X射线FZP参数, 工作于可见光波段的FZP参数如下: 对应632.8 nm工作波长的主焦距为178 mm, 波带板为振幅(黑白)型, 总环数为100, 最外环宽度为16.8 ${\text{μ}}{\rm m}$. 考虑到实验中像探测器接收面积和像素大小, 数值模拟选取1倍放大成像, 即物距与像距均为主焦距的2倍.
采用与X射线成像模拟同样的方法, 利用(2)—(4)式模拟了非相干扩展光源的成像. 扩展光源如图3(a)所示, 是一个对比度为1的正方形网格状光源, 其中白色代表发光区, 黑色为不发光区. 发光区的点源复振幅设为相同. 这样的光源经过FZP成像后, 处理像中网格边缘的强度变化可得到像对比度和对物的空间分辨能力等结果. 该扩展光源的成像结果如图3(b)所示, 可见像中央区域较亮, 边缘较暗. 这个现象是由FZP高级衍射效应形成的^[15]: 由于FZP存在高级衍射, 每个点光源经FZP成的像除了中心位于几何像点的艾里(Airy)斑外, 在像面上大尺度范围都有强度分布, 后者形成像的背景. 距离艾里斑越远, 背景强度越弱. 因此, 从点光源成像的强度分布和(3)式可知, 像中央的背景强度大于像边缘背景, 形成像中央区域较亮, 边缘较暗. 图3(c)给出了光强沿水平方向y₂轴的分布情况. 参见图3(b), y₂轴位于像从上往下第六行方格中间位置. 为了得到视场中央的分辨能力与像对比度, 对图3(c)中心的上升沿强度分布做数据处理, 如图3(d)所示. 像对比度定义为
图 3 扩展光源模型及成像结果　(a) 扩展光源模型; (b) FZP对扩展光源成的像; (c) 图(b)中像沿虚线y₂方向的强度分布; (d) 图(c)中y₂ = 0附近的强度分布
Figure3. Extended source model and its imaging results: (a) Extended source model; (b) image of extended source by FZP; (c) intensity distribution along y₂ axis in panel (b); (d) intensity distribution near y₂ = 0 in panel (c).

$C = \frac{{{I_{\max }} - {I_{\min }}}}{{{I_{\max }} + {I_{\min }}}}, $

式中I_max与I_min分别为图3(d)网格边缘处强度调制的极大值与极小值. 分辨能力定义为I_max与I_min之间20%—80%光强变化对应的宽度d. 由于采用1∶1成像, d也就是FZP成像对物的空间分辨能力.
为了考察扩展光源尺寸对成像的影响, 模拟了物形状和图3(a)网格源相同, 而物的边长分别为1.2, 1.0, 0.5, 0.3, 0.1 cm的正方形网格光源的成像. 对每个像处理其光强沿各自y₂轴的强度分布, 而每个像中y₂轴相对网格的位置与在图3(b)中设置相同, 得到视场中央分辨能力与像对比度. 它们随扩展光源尺寸变化情况如图4所示, 图中数据点之间连线是辅助可视性. 结果表明, 当光源尺寸从0.1 cm增加到1.2 cm时, 像对比度从0.81下降至0.26, 下降明显. 与此不同的是, 相应分辨能力只是从22.0 $ {\text{μ}}{\rm m}$缓慢下降至23.2 ${\text{μ}}{\rm m}$, 基本保持不变. 因此, 随着光源尺寸的增加, 视场中央分辨能力基本不变, 但像对比度的下降显著. 下降的原因正如我们之前研究已指出^[15]: FZP高阶衍射导致像的背景互相叠加, 随着光源尺度增加致使对比度下降.
图 4 视场中央分辨能力与像对比度随扩展光源尺寸的变化
Figure4. Spatial resolution in the field-of-view center and image contrast versus the size of extended source.

2 -->

4.2.光谱带宽对FZP成像的影响

为了研究光谱带宽对FZP成像质量的影响, 使用尺寸为3 mm × 3 mm的网格扩展光源, 利用(4)式模拟了谱密度相同条件下, 入射光中心波长$\lambda_0=632.8$ nm, 光谱带宽$w$分别为0.5%, 1.6%, 8%, 12%时扩展光源的成像情况, 结果如图5所示. 可以观察到随着光谱带宽$w$的增加, 像变得越来越模糊. 这个现象参考第2节中FZP成像公式可以解释: 像距由物距和主焦距确定, 而FZP的主焦距与入射光波长有关. 当入射光波长偏离中心波长$\lambda_0$时, FZP对该波长成的像会偏离$\lambda_0$的像面, 后者即像探测面的设定位置, 从而导致探测面上像模糊.
图 5 扩展光源在不同光谱带宽下的成像　(a) w = 0.5%; (b) w = 1.6%; (c) w = 8%; (d) w = 12%
Figure5. Images of an extended source with different spectral bandwidth: (a) w = 0.5%; (b) w = 1.6%; (c) w = 8%; (d) w = 12%.

采用与4.1节相同处理方法, 得到视场中央分辨能力与像对比度随光谱带宽的变化, 结果如图6所示, 图中数据点之间连线是辅助可视性. 可以看到, 当光谱带宽从0 (单色)增加至12%时, 分辨能力由23.3 $ {\text{μ}}{\rm m}$下降至80.0 ${\text{μ}}{\rm m}$, 像对比度从0.81下降至0.32. 因此, 随着光谱带宽的增加, 像对比度降低, 分辨能力也变差.
图 6 视场中央分辨能力与像对比度随光谱带宽的变化
Figure6. Spatial resolution in the field-of-view center and the image contrast versus spectral bandwidth.

需要指出的是, 在同步辐射光源等X射线束线站上的FZP成像中, 为了追求衍射极限分辨能力, 要求入射光的光谱带宽小于1/N, N为FZP的总环数^[20](本文N = 100). 而正如引言部分指出, 本文目的是研究FZP成像应用于激光等离子体诊断, 考察激光等离子体参数条件例如光源尺寸、光谱带宽对成像的影响. 因此, 模拟中考虑了光谱带宽超过1/N的情况.

2

-->

5.1.光谱带宽对FZP成像的影响

实验安排如图7所示. 用一束近似平行的非相干白光照射ZP₁作为扩展光源. ZP₁是采用微电子加工技术制作的带板图案, 由透光和不透光的环带组成. 和第4节数值模拟类似, 这样的扩展光源发光区与不发光区的对比度为1. 紧贴ZP₁设置一个可变光阑, 改变光阑大小, 研究扩展光源尺寸对成像的影响. 波带板FZP对ZP₁成像, FZP参数与第4节对可见光成像数值模拟使用的参数相同. ZP₁与FZP中心共线. 以波长632.8 nm为基准确定像面位置, 成像的放大倍数约为1. 像探测器是一台CMOS相机, 像素尺寸为5.2 ${\text{μ}}{\rm m} $ × 5.2 ${\text{μ}}{\rm m}$. 相对于632.8 nm中心波长, 在像探测器前放置不同光谱带宽的滤波片, 使其接收到不同光谱带宽的像, 从而可研究入射光的光谱带宽对成像的影响.
图 7 实验安排示意图
Figure7. Schematic diagram of experiment setup.

在考察扩展光源光谱带宽对成像的影响中, 固定可变光阑尺寸使扩展光源直径为3 mm, 利用滤波片来选择入射光的光谱带宽. 图8的左列给出了光谱带宽参数w分别为0.5%, 1.5%, 8%, 12%时成像实验结果, 右列给出了相应像扣除像探测器背景后经过其图案中心沿x₂方向(参见图8(a))的强度分布. 可见随着入射光的光谱带宽增加, 像变得越来越模糊, 对比度下降.
图 8 扩展光源直径为3 mm时不同光谱带宽的成像结果及其沿x₂轴方向强度分布　(a) w = 0.5%; (b) w = 1.5%; (c) w = 8%; (d) w = 12%
Figure8. Images of 3 mm-diameter source for different spectral bandwidth, and the corresponding intensity distribution along x₂ axis: (a) w = 0.5%; (b) w = 1.5%; (c) w = 8%; (d) w = 12%.

参考图8(a)右图的虚线所示, 按4.1节所述方法处理像图案的中心圆环区强度分布的上升沿, 可获得像对比度以及对应的视场中央分辨能力. 图9给出了像对比度与视场中央分辨能力随入射光光谱带宽的变化, 图中空心符号点及连线是图6的模拟结果. 结果表明, 随着扩展光源光谱带宽w从0.5%增加至12%, 视场中央分辨能力从26.4 ${\text{μ}}{\rm m}$下降至76.0 ${\text{μ}}{\rm m} $, 像对比度从0.74下降至0.41. 这一变化趋势与数值模拟结果相同(参见图9中虚线). 定量比较, 实验与数值模拟结果也符合得较好. 例如, 当光谱带宽参数$w = 8$%时, 实验给出视场中央的分辨能力为70.0 ${\text{μ}}{\rm m}$, 像对比度为0.50, 而数值模拟给出视场中央的分辨能力为75.1 ${\text{μ}}{\rm m}$, 像对比度为0.56. 实验和数值模拟结果的相对偏差约10%, 这可能来自实验数据的处理: 像探测器像素有一定大小以及接收的光强信号有涨落.
图 9 视场中央分辨能力与像对比度随光谱带宽变化的实验结果
Figure9. Experimental results for spatial resolution and image contrast in the field-of-view center versus spectral bandwidth.

2 -->

5.2.扩展光源尺寸对FZP成像的影响

实验中使用w = 0.5%的准单色光成像, 来验证扩展光源尺寸对成像影响的模拟结果. 4.2节的数值模拟以及5.1节的实验结果表明, 对于当前所使用的FZP, 入射光谱带宽分别为0和0.5%所成的像, 视场分辨能力与像对比度基本一样. 因此可以把0.5%的准单色光近似看成单色光. 控制可变光阑大小, 扩展光源的直径分别设为3和12 mm, 记录成像结果. 采用与图8相同的数据处理方法, 得到像对比度与视场中央分辨能力随扩展光源尺寸的变化, 结果如图10所示, 图中空心符号点及连线是图4的数值模拟结果. 对于3和12 mm扩展光源, 像对比度分别为0.74和0.30, 视场中央的分辨能力分别为26.4和28.7 ${\text{μ}}{\rm m} $. 可见, 随着光源尺寸的增加, 视场中央分辨能力略微下降. 考虑到分辨能力的改变量(2.3 ${\text{μ}}{\rm m} $)小于像探测器的像素尺寸(5.2 ${\text{μ}}{\rm m}$), 可以认为分辨能力基本不变. 与此不同的是, 像对比度显著降低. 这些变化趋势与图4的数值模拟结论一致. 图4的数值模拟结果给出了当扩展光源尺寸分别为3和12 mm时, 视场中央分辨能力分别为22.6和23.2 ${\text{μ}}{\rm m}$, 像对比度分别为0.80和0.26. 因此, 定量比较数值模拟与实验结果也符合得较好.
图 10 视场中央分辨能力与像对比度随扩展光源尺寸变化的实验结果
Figure10. Experimental results for spatial resolution and image contrast in the field-of-view center versus extended source size.

本文在可见光波段就扩展光源尺寸与入射光的光谱带宽对FZP成像的影响进行了数值模拟, 并进行了实验验证. 结果表明: 随着扩展光源尺寸的增加, 视场中央的分辨能力基本不变, 而像对比度降低. 当成像的入射光具有一定光谱带宽时, 随着光谱带宽的增加, 视场中央的分辨能力和像对比度同时降低. 实验结果不仅证实了数值模拟结果, 而且与模拟结果的定量比较也符合得较好. 本文模拟和实验所取得的结论与之前X射线FZP成像模拟的结果也一致, 不仅表明所采用的数值模拟方法可行, 也指出在FZP对扩展光源成像的应用中, 适当限制扩展光源尺寸, 特别是限制入射光的光谱带宽来实现高分辨能力和高对比度的成像是可行的.
陈晓虎、张巍巍在X射线成像的模拟, 袁亚运在光学实验和模拟的工作, 在此一并致谢.