常见的陀螺仪随机误差主要包括：量化噪声、角度随机游走、零偏不稳定性、速率随机游走、速率斜坡和正弦分量[7-8]。基于常用的误差分析方法，并不能辨识误差的来源，比如简单的期望和方差计算。Allan方差分析法是20世纪60年代由美国国家标准局的David Allan提出的，是在时域下进行的分析方法[9]。Allan方差法的主要特点是能非常容易地对各种误差源及对整个噪声统计特性的贡献进行细致的表征和辨识，而且具有便于计算、易于分离等优点[10-14]。
依据Allan方差分析法原理，本文以MSCSG的实际测量数据为处理对象，实现MSCSG随机误差特性分析。在分析MSCSG角速度敏感机理的前提下，对所测量的数据应用Allan方差分析法并获取特性曲线，采用最小二乘拟合方法进行特性曲线拟合，再将拟合结果与MSCSG运行机理相结合，分析误差的来源，并依据分析结果有针对性地提出了MSCSG随机误差补偿方案。
1 MSCSG角速率敏感原理 MSCSG的优势在于具有控制和敏感2个功能，敏感即为量测。航天器的姿态角速率与MSCSG洛伦兹力磁轴承电流信号以及传感器的位移信号紧密相关，通过原理公式的解算便可得到[2]。图 1为MSCSG的机械结构，图 2为对应的洛伦兹力磁轴承(Lorentz Force Magnetic Bearing，LFMB)工作原理图。
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| 图 1 MSCSG机械结构图 Fig. 1 Mechanical structure of MSCSG |
| 图选项 |
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| 图 2 LFMB工作原理图 Fig. 2 Schematic diagram of LFMB |
| 图选项 |
根据陀螺技术方程，转子偏转力矩可表述为
 | (1) |
式中：H为角动量；JZ为陀螺极转动惯量；Ω为转子转速；ω为陀螺转子偏转角速度。
根据MSCSG洛伦兹力磁轴承(也称作力矩器)原理，转子偏转力矩可以表达为
 | (2) |
式中：n为线圈匝数；B为线圈处气隙磁场强度；i为线圈激励电流；L为线圈跨度；lm为力矩器半径。
结合式(1)和式(2)可得
 | (3) |
由式(3)可知，当转子在额定转速工作时，转子偏转(进动)角速度ω仅与电流i相关，若定义标度因数：
 | (4) |
则式(3)可改写为
 | (5) |
由式(3)可知，MSCSG可以敏感转子偏转角速率即X方向和Y方向两自由度速率信号，式(5)为MSCSG偏转角速率的量测方程，并且当常量项取定值时，角速率值仅与LFMB线圈电流有关。依此公式，可以通过测量LFMB线圈电流来获取MSCSG偏转通道的角速率。
2 测试数据处理与结果分析 2.1 MSCSG数据测试实验 在MSCSG静基座环境下，读取Allan方差分析法所需数据。实验测试过程中，通过采样率为1 kHz的数据采集系统得到偏转X通道对应线圈通过1 h的电流数据，即3.6×106个数据，图 3为MSCSG原理样机的测试实验实物图，主要由上位机、供电电源、MSCSG控制板、示波器、振动测试台以及MSCSG原理样机构成。MSCSG上位机发送命令信息给MSCSG控制板，控制板根据指令控制MSCSG运行状态，同时MSCSG会将自身状态信息反馈给控制板从而形成闭环控制。通过示波器可以直观的显示MSCSG运行状态的实时变化情况，并且文中所需的数据也是从示波器中读取所得。
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| 图 3 MSCSG原理样机的测试实验实物图 Fig. 3 Experimental photo of MSCSG prototype |
| 图选项 |
在常温状态下，将MSCSG固定在转台上，在静态下通电采样，持续时间为1 h。MSCSG输出原始数据如图 4所示。
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| 图 4 MSCSG采样输出曲线 Fig. 4 Sample output curves of MSCSG |
| 图选项 |
2.2 MSCSG数据处理过程 Allan方差分析法的功率谱密度函数与随机误差项具有定量关系，表 1为典型的5项随机误差与Allan标准差之间的对应关系。
表 1 Allan标准差与5项典型误差的对应关系 Table 1 Corresponding relations between Allan standard deviation and five typical errors
| 随机误差项 | Allan标准差 |
| 量化噪声Q/(°) |  |
 |  |
| 零偏不稳定性B/((°)·h-1) | σB=B/0.664 8 |
 |  |
| 速率斜坡R/((°)·h-2) |  |
| 注：τ为时间变量。 | |
表选项
首先，将采集到的数据通过Allan方差分析法绘制出标准差—相关时间双对数曲线，然后根据Allan标准差与5项随机误差的定量关系，进行拟合，并求取各项误差参数。这里采取最小二乘拟合方法进行系数拟合。
最小二乘拟合方法的计算标准是残差平方和最小，其优点是原理简单、计算比较方便且对反常的数值比较敏锐。在应用过程中将MSCSG各误差源看作是独立的，Allan方差则为各项误差的平方和，并假设MSCSG主要存在上述5项误差，再根据表 1中的对应关系则有
 | (6) |
将式(6)简化为
 | (7) |
根据最小二乘拟合原则，计算求取各项系数an，再利用式(6)和式(7)可推出an和各随机误差项的相互关系，即
 | (8) |
2.3 实验数据处理结果分析 MSCSG输出数据的采样间隔为1 ms，运用Allan方差分析法对MSCSG的测量数据进行处理，即基于Allan方差分析法原理公式编写MATLAB数据程序处理MSCSG零偏测试数据，得到对应的Allan标准差双对数曲线σ(τ)~τ。图 5为Allan标准差原曲线以及拟合后的曲线图，在MATLAB程序中Allan方差分析法涉及的5项误差系数由最小二乘法拟合计算求得。此外，在图 5中的对比一定程度上也直观体现了拟合的效果。
 |
| 图 5 MSCSG的Allan标准差双对数及拟合曲线图 Fig. 5 Double logarithm of Allan standard deviation and fitting curve of MSCSG |
| 图选项 |
经过Allan方差分析法以及拟合计算，选取一组最为理想的结果。5项误差系数取值如表 2所示。
表 2 MSCSG各项随机误差统计 Table 2 Statistics of random errors in MSCSG
| 随机误差项 | 结果 |
| 量化噪声Q/(°) | 0.963 036 |
 | 2.525 648 |
| 零偏不稳定性B/((°)·h-1) | 12.023 988 |
 | 32.724 570 |
| 速率斜坡R/((°)·h-2) | 38.789 995 |
表选项
综合图 5和表 2的计算结果可以看出, 在MSCSG噪声源当中，零偏不稳定性、速率随机游走以及速率斜坡三者占主要成分，而量化噪声和角随机游走误差所占比重较小。拟合结果中，量化噪声处于相关时间较小时段，并且根据Allan方差分析法数据处理经验可知：在高采样率的前提下，量化噪声是系统误差的主要因素；如图 5所示，角度随机游走和零偏不稳定性拟合结果相对平滑，且存在一定的零偏，应用时要关注陀螺仪在长期运行中累积的误差，给予及时的补偿；在相关时间较大的时段，噪声源主要来自速率随机游走和速度斜坡，这里在图 5曲线中不是特别凸显，可以通过延长采样时间获取更为逼近真值的拟合结果，但也要注意到，需要处理的数据量也因此增多，给程序处理中加重了负担。
3 误差源分析及抑制方法 3.1 MSCSG随机误差源分析 对于MSCSG中存在的随机误差而言，直接在物理原理的基础上建立随机误差模型较为盲目。通常都是对误差可能的来源先做分析，并以此作为参考，再有针对性的对误差进行建模、补偿。而分析误差的来源可以基于对象的基础原理、基础结构以及实验数据信息等。因此，结合2.3节的计算结果，并参考文献[15-17]的研究内容，得出MSCSG原理样机的误差来源主要有如下几个方面。
首先，量化噪声是由信号传输过程中模拟信号转化成数字信号时引起的，是一切因量化作用而产生的固有噪声，一定程度上体现了惯性传感器的检测精度水平。对应具体工作器件上，该噪声是在AD转换中产生的，是随机信号，且互不相关，在序列上表现为白噪声序列。
其次，角度随机游走是积分宽带速率功率谱密度(PSD)的结果。引起这种误差的因素有很多，但大多是由惯性器件输出信号的采样间隔比高频噪声的相关时间长而造成的，比如高频的微振动信号。而在MSCSG中，由于其转子结构的特殊性，陀螺通电之后会存在少部分的杂散磁场，在此作用之下，难免也会产生高频的微振动信号。
零偏不稳定性误差项在评价陀螺仪性能优劣时占有重要地位，是关键性的指标之一，其数学表达式如下：
 | (9) |
式中：Bs为零偏不稳定性值；K0为标度因数标称值；n为采样点数；Ni为陀螺仪静态输出值。
从计算公式原理可知，零偏不稳定性误差反映了零输入状态下陀螺输出量在期望上下起伏和振荡的分散程度。其主要来源是因为电子能对随机闪烁的信号进行敏感而产生的项，一般指低频的零抖动。那么在MSCSG工作过程中，引起MSCSG的零偏不稳定性误差的可能来源有：随着环境、温度变换等因素引起的电子线路的随机波动，以及电流信号控制的平稳性问题(比如电流与位移传感器的同频波动)、反馈传感器测量不稳定性等带来的影响。
速率随机游走可以看作是宽带角加速度功率谱积分的结果，其详细根源不太清晰，相关时间一般较长。在2.3节的计算结果中显示：速率随机游走误差在MSCSG随机误差中还是占有很大比重的，因此，后续对速率随机游走误差来源进行深入研究分析具有重要意义。
速率斜坡是系统误差，在本质上是确定性的，不具有随机性。如果在陀螺中出现这种误差，可能是陀螺在工作过程中环境温度、漏磁扰动而引起的非常缓慢的单调性变化，或者是在同一方向上平台保持了一个非常小的加速度作用，从而体现为真实的输入信号。
3.2 MSCSG随机误差抑制方法 本节内容结合以上分析结论，从Allan方差分析法涉及的5项典型误差角度分别采取以下误差抑制方法以提高MSCSG的角速度敏感精度。
1) 量化噪声补偿角度
从误差的源头考虑，量化噪声主要来源于AD，那么针对与AD及AD相关的器件研究即可。在MSCSG原理样机中，AD用于将电流传感器测得的模拟信号转化为数字信号送入DSP处理器，所采用的AD采样位数为12，采样位数决定了AD的分辨率，而当分辨率一定的情况下，与之相关的AD的量化误差便确定了具体的取值范围，所以可以在系统要求允许范围内适当提高AD的采样位数。此外，根据AD的量化原理可知：在采样位数给定时，被量化对象的基数值越大，产生的相对量化误差就越小。因此，在AD的量程允许范围内，可以适当放大AD转换之前的信号，以减小量化误差。
在量程相同的情况下，AD位数越高，量化量级越小。假设AD的量程范围±5 V，则8位AD和12位AD能够量化的最小电平分别为39.06 mV、2.44 mV，即各自模数转化后的幅值电压只能是39.06、2.44的倍数，而在实际量化时，信号的电压幅值也是按四舍五入的近似方式进行量化。可见采样位数高的AD其固有量化误差小，且最大的误差上限为1/2量化量级。对于一定的采样位数，采用放大AD转换之前的信号实现进一步降低量化误差，是因为这样可以放大原先量化时产生的小项，使其再重新量化时得到保留，进而降低了误差。对于放大处理应注意AD的量程以及信号中固有噪声也被放大的问题。
2) 角度随机游走补偿角度
在MSCSG输出信号中，角度随机游走的误差来源主要是高频的微振动信号，参考惯性器件振动抑制方法，现阶段主要有设计控制器抑制振动、预先规划振动传输路径、安装振动抑制元件以及合理的陀螺安装构型设计以抵消高频振动信号产生的误差。
结合MSCSG已有设计方案，提出的基于RBF神经网络的自抗扰控制器尤其对突变的干扰力矩有很好的抑制作用[18]，并且在此基础上进一步提高了系统的鲁棒性和稳定性；在构型方面，基于MSCSG姿态敏感测量原理提出了双正交全球面构型以及平行构型，其共同的特点均是在构型设计过程中将每个陀螺的动力学模型联立，进而能抵消产生误差的项[19-20]。
3) 零偏不稳定性补偿角度
根据3.1节的分析结果，零偏不稳定性误差主要来源之一便是受电子线路的波动影响。结合MSCSG原理样机的工作原理以及工作环境可知，使电子线路产生波动的因素有很多，比如温度、链路中的接口和电缆、电磁兼容性以及电路本身控制器的设计等。在陀螺上电之后，输出信号会随着温度的变化而发生漂移，解决此问题的方法为：电桥温度补偿，或者从算法层面对输出的结果进行修正；由于接触不良引起的间歇性通断现象会给电路带入噪声，其相关影响因素为：接口处插针和插座受外力变形从而匹配不良、连接处耗损、接触不到位、电缆制作工艺本身影响以及变形严重使电缆内部受损疲劳等。同时，电缆由于形变而产生的摩擦噪声也是误差的关键来源之一。因此针对这一系列存在的问题，接口处可以采用小体积、轻质量的微型屏蔽接头，比如焊针状连接头，电缆可以采用低噪声工艺处理过的电缆，在很大程度上能减小摩擦生电效应；电磁兼容性能的提高对零偏不稳定性的抑制具有重要作用，可通过精心的电路设计以及合理的布局布线加以抑制，这样同时也增强了处理电路的性能，从而实现对零偏不稳定性误差进行补偿的作用。
在MSCSG自身结构特点的基础上，利用旋转调制误差自补偿原理，已提出MSCSG偏转调制方法和复合调制方法，设计了MSCSG组件级旋转调制方案和二位置转停调制方案，其中二位置转停方案能够更好地补偿MSCSG的漂移误差，并且在实验上也得到了验证[21]。
4) 速率随机游走补偿角度
速率随机游走这一项误差在3.1节中已经阐明：来源不确定，并且相关文献也研究很少。因此，针对该项误差的补偿仍需进一步的实验和探索。
5) 速率斜坡补偿角度
速率斜坡出现在相关时间较大时刻，一般而言是一种确定性的误差，对照于MSCSG其来源可能是外界环境引起MSCSG工作温度变化而导致的，也可能是在同一方向上平台保持了一个非常小的加速度信号引起的，相关的来源有MSCSG内部电磁干扰、转子质量不平衡、地球自转等影响因素。针对此分析结果可用来抑制误差的方法有：温度补偿、磁密补偿、提高转子的加工工艺以及从数据处理角度进行误差补偿等。
速率斜坡误差的特点是非常缓慢的单调性变化。为了抑制这个误差，落实到MSCSG具体的设计中，相关的技术手段有：温度补偿采用18B20进行测温补偿，此处电路设计为6路I/O口进行数据传输；磁轴承自身以及陀螺姿态测量的解耦，例如对磁轴承自身存在的磁路耦合做解耦分析、陀螺两自由度的逆系统解耦设计等；磁场密度均匀性导致的误差，可利用实时测量的磁密值进行气隙磁密分布误差补偿；静态误差，通过向线圈提供偏置电流，实现静态误差的抑制与补偿；而转子质量动不平衡误差常采用实时在线补偿的方式。
综合以上对MSCSG随机误差的分析内容，一方面比较全面地给出了误差补偿方案，为后续进一步误差抑制工作提供了重要指向；另一方面定量分析相对较少，不利于对MSCSG原理样机性能的评价。此外，由于分析使用的数据信息只来源于MSCSG原理样机磁轴承线圈电流，且考虑到MSCSG的转子偏转位移信号与线圈电流信号波动存在相关性，那么利用偏转位移信号来补偿电流信号误差则具有很大的可行性。相信通过这一系列优化方案，MSCSG将在原理样机的基础上，性能得到重大提升，使MSCSG趋向于完善化、成熟化发展。
3.3 MSCSG随机误差补偿结果 根据3.2节分析的误差补偿方法，在实验室现有MSCSG原理样机条件下进行误差补偿实验。同时为尽快验证补偿方法的可行性，选取了可快速进行实验验证的误差补偿方法。例如，加温补元件、更换微型屏蔽接头和采用低噪声工艺处理过的线路电缆等。
在一系列误差补偿之后，对得到的数据再次进行Allan方差分析法运算和最小二乘拟合，那么补偿前后的对比曲线如图 6所示，补偿后的MSCSG各项随机误差项如表 3所示。
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| 图 6 误差补偿前后Allan标准差对比曲线图 Fig. 6 Comparison of Allan standard deviation before and after error compensation |
| 图选项 |
表 3 误差补偿后MSCSG各项随机误差统计 Table 3 Statistics of random errors of MSCSG after error compensation
| 随机误差项 | 补偿后结果 | 误差降低率/% |
| 量化噪声Q/(°) | 0.916 159 | 4.87 |
 | 2.365 199 | 6.35 |
| 零偏不稳定性B/((°)·h-1) | 3.235 266 | 73.09 |
 | 10.682 979 | 36.80 |
| 速率斜坡R/((°)·h-2) | 23.970 946 | 38.20 |
表选项
从表 3中可以看出，MSCSG的随机误差在不同幅度上都有了降低，其中零偏不稳定误差成效最为明显，该结果成功验证了误差补偿方法的可行性。
4 结束语 结合Allan方差分析法应用原理，对MSCSG原理样机的零偏测试数据进行了误差分析。在此过程中，计算了Allan方差分析法的5种典型误差系数，并根据计算结果分析了5种随机误差的来源，最后在结合MSCSG原理样机运行机理的条件下给出了相应误差的抑制方法。研究内容也表明：Allan方差分析法对MSCSG原理样机的噪声辨识很有效果，其计算结果可用于对MSCSG原理样机的直观评价，同时也给后续噪声抑制的具体实际处理、随机误差建模以及数字滤波处理中的参数设计提供了重要参考。此外，本文对MSCSG原理样机进行部分误差补偿方法的实验，在很大程度上验证了MSCSG随机误差补偿方法的有效性。
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