在接地回流网络各性能参数中，阻抗是最不可忽略的参数之一。飞机上接地结构必须具有足够低的阻抗值，使得电流回路上的电压降可以忽略不计[6]。由于接地回流网络不可能是完全理想的接地平面，其性能很可能比目前在金属飞机上的接地性能更差[7-8]。如果发生接地故障，故障电流可能会通过复合材料到达接地回流网络，从而影响机载用电设备性能。对复合材料与金属电流回流网络搭接的阻抗进行计算有利于接地或搭接的实施，以及适当的故障管理和电气保护系统设计[9]。
目前，针对媒质体阻抗计算的主流方法包括有限元法(Finite Element Method，FEM)、矩量法(Method of Moments，MoM)、部分元等效电路(Partial Element Equivalent Circuit，PEEC)法等。有限元法基于麦克斯韦方程的微分形式，将空气和其他所有材质分割成小尺寸单元，假设每个单元内部的场为常数，使用变分技术求解麦克斯韦方程组，对硬件要求高、速度慢，适用于小尺寸模型的计算[10-11]。文献[12]提出了基于有限元法的半解析方法，计算铁路轨道阻抗并应用于铁路信号电路系统，相关算例应用在较低的频段并对方法进行了优化，但对于高频段的应用具有一定局限性。矩量法基于麦克斯韦方程的积分形式，将导体分成小尺寸单元，通过计算所有导体单元上的电流，得到所有导体电流单元总体产生的电磁场，具有较高的计算精度和相对较少的未知数，但计算速度依然较慢[13-14]。文献[15]基于矩量法，在边界积分方程的基础上提出了等效表面阻抗模型，并通过算例验证了方法的有效性，但相关算例对象主要应用于小尺寸的集成电路。文献[16-17]对矩量法做了一些改进，但所采用的优化算法仍使计算过程较为复杂。
PEEC法基于电场积分方程，由离散结构中的电流和电荷间的相互作用，引入部分元件的概念建立电气连接得出等效电路[18-21]。PEEC法本质是通过对电场积分方程进行等效电路的离散化，将电磁结构的各种电磁效应转化为对应的等效电路模型中的集总电路元，如电阻、电感、电容、受控源等，适合用于信号完整性分析的互连和封装结构的建模，可以在提高算法效率的同时保持计算精度[22-25]。欧盟委员会“Clean Sky Joint Undertaking”项目开发了一套基于数值算法的仿真工具，来模拟安装在复合材料飞机上的电流回流网络，并利用表面PEEC法对构成网络本身的不同部分阻抗建立一个精确的模型[26]，但未考虑复合材料及相关参数对金属结构阻抗的影响。本文采用PEEC法对包括金属导轨和复合材料蒙皮的接地回流网络进行建模，考虑接地回流网络的不同结构、参数及不同接地点，计算接地回流网络在不同参数、结构下的阻抗，并分析影响接地阻抗的因素。
1 部分元等效电路法 在导体中任一点r处施加外部电场，频域电场积分方程为
 | (1) |
式中：μ为磁导率; V′为导体体积，此处在导体体积V′上积分; σ为导体的电导率；J(r, ω)为体积电流密度，r表示导体中的任一点；ω为角频率；E0(r, ω)为外部源辐射的入射电场；r′为单元的中心点；k=ω/c0为波数，c0为真空中的光速；Φ(r, ω)为电标量势，与电荷分布有关，即
 | (2) |
其中：ρ(r′, ω)为表面电荷密度；ε为材料介电常数。
在PEEC建模中，电流密度满足连续性方程：
 | (3) |
 | (4) |
式中：
在立方体的内部和表面对体积进行离散，进而得到方程组。
用一组基函数fn(r)和gm(r)的加权和，对体积电流和表面电荷进行计算：
 | (5) |
 | (6) |
式中：fn(r)、gm(r)为每个角频率下的基函数；In(ω)和Qm(ω)为相应的加权函数；Nv和Ns分别为体积基函数(或体积单元)和表面基函数的数量。
将式(5)、式(6)代入式(1)、式(2)得
 | (7) |
 | (8) |
式中：rn表示第n个体积单元的中心；rm表示第m个表面单元的中心。
用Ritz-Galerkin方法，令方程(7)、方程(8)的残差与一组加权函数正交，生成未知的加权函数In(ω)(n=1, 2, …, Nv)和Qm(ω)(m=1, 2, …, Ns)。
采用分段常数函数作为加权函数，将要处理的正交导体的表面离散为Ns个基本矩形片。在离散模型中，假设每个单元上未知电流和电荷密度为恒定值，则用于扩展电荷密度的基函数为
 | (9) |
代入得Φ(r, ω)为
 | (10) |
计算每个矩形片上Φ(r, ω)的平均值为
 | (11) |
定义Plm(ω)为电势系数，因此，Ns个矩形片上的电势和电荷在角频率为ω时具有如下关系：
 | (12) |
矩阵P称为电势系数矩阵，与频率有关，与位移电流Ic(ω)有如下关系：
 | (13) |
将导体的体积离散为Nv个基本正交六面体，并假设E0(r, ω)在每个体积中是均匀的，用于扩展电流密度的基函数选择为
 | (14) |
式中：
将fn(r)代入式(7)，应用Ritz-Galerkin方法，计算每个体积单元E0(r, ω)的平均值为
 | (15) |
式中：Φ1i(ω)和Φ2i(ω)为体积Vi沿
定义部分电感为
 | (16) |
则式(15)可以写为
 | (17) |
 | (18) |
 | (19) |
将式(17)写成紧凑形式为
 | (20) |
此即KVL在等效电路中的应用。式中：R为对角矩阵，表示每个基本六面体的电阻；IL为流过部分电感上的电流；Lp(ω)为描述磁场的部分电感矩阵；V0(ω)为产生的入射场分布效应的纵向电压源和最终集总的电压源；A为邻接矩阵，取值为
 | (21) |
对连续性方程积分得到
 | (22) |
考虑外部电流源I0(ω)，并将式(13)代入式(22)得
 | (23) |
联立式(20)、式(23)得频域求解器为
 | (24) |
对于电介质，建模时需要考虑体积极化电流，麦克斯韦位移电流方程写为
 | (25) |
式中：E为电场强度；ε0为真空中的介电常数；ρF和ρB分别为自由电荷密度和束缚电荷密度。
令总电荷密度ρT=ρF+ρB，考虑极化电流后的总电流密度为JT(r, ω)，写为
 | (26) |
式中：JC(r, ω)为导体电流密度；JD(r, ω)为电介质的电流密度。
对于介电常数为εr的区域内任一点，电场积分方程为
 | (27) |
 | (28) |
同理，由式(24)得电介质材料CFRP等效电路的频域求解器为
 | (29) |
式中：Ce=ε0(εr－1)ar/lr 为残余电容，ar和lr分别为体积单元的截面积和长度。
2 接地回流网络结构建模 2.1 复合材料飞机接地回流网络结构模型 复合材料飞机接地回流网络主要由金属导轨和复合材料蒙皮搭接而成，金属导轨由铝制成，机身复合材料通常为CFRP。以1块复合材料板和4根金属导轨搭接成的接地回流网络模型作为研究对象(见图 1)，来模拟金属导轨与复合材料蒙皮间的搭接。以导轨端口1、2间的阻抗为例，计算金属接地回流网络在不同参数、结构下的阻抗。
 |
| 图 1 复合材料蒙皮与金属接地回流网络搭接模型 Fig. 1 Overlap model of composite material skin and metal grounded return network |
| 图选项 |
图 1中各结构材料的相关电磁参数设置如表 1所示，各部件外部尺寸参数如表 2所示，金属导轨的截面积为600mm2。
表 1 材料对应电磁参数 Table 1 Electromagnetic parameters of materials
| 材料 | 电导率/(S·m-1) | 相对磁导率/(H·m-1) |
| 铝 | 3.77×107 | 1.0 |
| CFRP | 2×104 | 1.0 |
表选项
表 2 部件外部尺寸 Table 2 External dimensions of components
| 部件 | 长/mm | 宽/mm | 高/mm |
| 金属导轨 | 2 000 | 50 | 30 |
| 复合材料板 | 2 000 | 1 000 | 4 |
表选项
2.2 复合材料飞机接地回流网络PEEC模型 根据体积内部剖分体单元为长方体、体积表面剖分面单元为长方形的剖分原则，进行网格划分，针对如图 2所示的2个相邻导体单元建立PEEC模型，根据式(23)和式(26)中各元件之间的数值关系，得到2个相邻导体单元的部分元等效电路，如图 3所示。
 |
| 图 2 经过网格划分后的2个相邻导体单元示意图 Fig. 2 Schematic diagram of two adjacent conductorelements after meshing |
| 图选项 |
 |
| 图 3 两个相邻导体单元的PEEC等效电路 Fig. 3 PEEC equivalent circuit of two adjacent conductor units |
| 图选项 |
CFRP电阻率并不是特别高，不能称为绝缘体，但能发生极化过程。考虑体积极化电流，相应的等效电路如图 4所示。
 |
| 图 4 两个相邻电介质单元的PEEC等效电路 Fig. 4 PEEC equivalent circuit of two adjacent dielectric units |
| 图选项 |
3 可行性验证 以图 1中金属铝导轨作为验证模型，导轨长2 m，厚度均匀，截面形状为工字形，各部分尺寸如图 5所示。
 |
| 图 5 金属导轨截面形状及尺寸 Fig. 5 Cross-sectional shape and size of metal bar |
| 图选项 |
对导轨进行相同的网格剖分，最高频率设置为1 MHz，分别运用PEEC法、矩量法、有限元法3种方法计算导轨两端的阻抗，在相同硬件条件下耗时分别为700 s、1 000 s、1 900 s，实部计算结果如图 6所示。
 |
| 图 6 三种方法计算结果对比 Fig. 6 Comparison of calculation results among three methods |
| 图选项 |
根据公式R=δl/s计算直流电阻值，δ、l、s分别为材料电阻率、长度、横截面积，得其直流电阻值约为R=8.841 7×10-5 Ω，该值与3种方法在频率为0时的计算结果一致。图 6计算结果表明，在低频段(f < 104 Hz)时，3种方法的计算结果具有较好的一致性，但随着频率的增大，集肤效应使得导体有效截面积减小，交流阻抗值逐渐增大。PEEC法与有限元法和矩量法在高频段的计算结果近似，但计算速度明显较快。综合来讲，PEEC法在计算精度和速度方面具有一定的优越性。
PEEC法计算出的金属导轨直流电阻值、阻抗实部值、电抗值及阻抗模值分别如图 7所示。
 |
| 图 7 金属导轨阻抗计算结果 Fig. 7 Calculation results of metal bar impedance |
| 图选项 |
通过将图 7中计算结果与文献[27]进行对比，阻抗各部分计算值基本一致，验证了方法的适用性及仿真结果的正确性。
4 接地回流网络阻抗计算 为了研究搭接复合材料蒙皮电导率及金属导轨截面形状对接地回流网络阻抗的影响，将仿真项目分成4组，相关参数设置如表 3所示。
表 3 仿真项目及相关参数设置 Table 3 Simulation project and related parameter setting
| 项目名称 | 金属导轨截面形状 | 搭接的CFRP电导率/(S·m-1) |
| A | 工字形 | |
| B | 工字形 | 20 000 |
| C | 工字形 | 2 000 |
| D | 正方形 | 20 000 |
表选项
4.1 复合材料蒙皮对接地回流网络阻抗的影响 对等效电路进行计算，当频率为0时，图 1中金属导轨接地回流网络不搭接复合材料蒙皮时，算得导轨端口1、2间的阻抗值约为7.737×10-5 Ω。根据公式R=δl/s计算直流电阻值，得导轨端口1、2间的直流电阻值为3.5R=7.736 5×10-5 Ω，公式计算结果与PEEC法计算结果接近相等，且与文献[27]中直流电阻值计算结果一致，再次验证了方法的正确性。对比金属导轨接地回流网络搭接复合材料蒙皮前后相同导轨端口间的计算值，结果如图 8所示。
 |
| 图 8 搭接复合材料蒙皮前后阻抗计算结果 Fig. 8 Impedance calculation results of overlapped andnon-lapped composite material skin |
| 图选项 |
图 8计算结果表明，随着频率的升高，金属导轨搭接复合材料蒙皮在一定程度上增大了端口间的交流电阻值，阻抗模值在金属导轨搭接复合材料蒙皮后略有减小。
4.2 复合材料电导率对接地回流网络阻抗的影响 将图 3中复合材料蒙皮的电导率减小为2 000 S/m，其他条件不变，计算导轨端口1、2间的阻抗值，并于复合材料蒙皮电导率为20 000 S/m时作对比，结果如图 9所示。
 |
| 图 9 搭接不同电导率的复合材料蒙皮的阻抗计算结果 Fig. 9 Impedance calculation results of overlapped composite material skin with different conductivity |
| 图选项 |
图 9计算结果表明，减小搭接复合材料蒙皮的电导率，高频时交流电阻值有所增大，阻抗模值也相应增大。
4.3 金属导轨截面形状对接地回流网络阻抗的影响 将图 3中工字形金属导轨截面改为同等面积的正方形，其他条件不变，计算导轨端口1、2间的阻抗值，并与工字形截面金属导轨作对比，结果如图 10所示。
 |
| 图 10 不同截面形状金属导轨的阻抗计算结果 Fig. 10 Impedance calculation results of different cross-sectional shapes of metal bar |
| 图选项 |
从图 10中结果可以看出，由于项目B、D中金属导轨的截面积和搭接的复合材料蒙皮电导率相同，得到的导轨端口1、2的直流电阻值也完全一致，这与公式计算结果及相关电路原理相符合，且正方形截面的金属导轨阻抗明显比工字形截面大。
为了更直观地表示不同参数对接地回流网络阻抗的影响，将频域阻抗模值列出，如表 4所示。
表 4 不同参数设置下的节点间阻抗值 Table 4 Impedance between nodes under different parameter settings
| 频率/Hz | 阻抗/Ω | |||
| A | B | C | D | |
| 0 | 7.737×10-5 | 7.426×10-5 | 7.427×10-5 | 7.426×10-5 |
| 100 | 7.773×10-5 | 7.463×10-5 | 7.464×10-5 | 8.037×10-5 |
| 101 | 1.079×10-4 | 1.048×10-4 | 1.048×10-4 | 1.175×10-4 |
| 102 | 7.460×10-4 | 7.325×10-4 | 7.326×10-4 | 8.586×10-4 |
| 103 | 7.157×10-3 | 7.017×10-3 | 7.030×10-3 | 8.191×10-3 |
| 104 | 7.064×10-2 | 6.882×10-2 | 6.930×10-2 | 7.983×10-2 |
| 105 | 7.024×10-1 | 6.841×10-1 | 6.843×10-1 | 7.926×10-1 |
| 106 | 7.015 | 6.832 | 6.834 | 7.913 |
表选项
表 4中阻抗模值的计算结果表明，金属导轨搭接复合材料蒙皮会使接地回流网络1、2节点间阻抗值略有减小；复合材料蒙皮电导率的减小会增大相应的阻抗值；相同条件下正方形截面导轨比工字形截面导轨的阻抗值大。
5 接地回流网络不同接地点间阻抗 将8块长、宽、厚分别为20 000 mm、2 000 mm、4 mm的复合材料板拼接成的筒状结构，用来模拟飞机蒙皮的大致形状。座舱底部铝制接地回流网络是由20个图 1中井字形网格拼接而成，总长为20 m，宽为4 m。其中，金属导轨之间、复合材料蒙皮之间及金属导轨与复合材料蒙皮之间均进行了良好的电气连接。整体搭接模型如图 11所示。
 |
| 图 11 复合材料蒙皮与接地回流网络搭接模型 Fig. 11 Overlap model of composite material skin and grounded return network |
| 图选项 |
为了清晰地表示不同节点，将图 11接地回流网络进行编号，纵向4根长导轨分别标为a、b、c、d，横向20根短导轨分别记为1，2, …，20。整个接地回流网络共80个节点，每个节点均有各自的编号，如a1表示导轨a与导轨1之间相交产生的节点，b1表示导轨b与导轨1之间相交产生的节点，定义a1b1为两节点间的阻抗。
由于节点数量较多，在计算节点间阻抗前对其进行分类，将所有节点分为边界节点和内部节点。如图 12所示，虚线内的节点为内部节点，虚线外的节点为边界节点。
 |
| 图 12 接地回流网络平面示意图 Fig. 12 Schematic diagram of grounded return network |
| 图选项 |
相应的，将节点间阻抗分成3类，分别为边界节点与边界节点间的阻抗、边界节点与内部节点间的阻抗、内部节点与内部节点间的阻抗。各类节点间的阻抗计算结果如图 13~图 15所示。
 |
| 图 13 边界节点与边界节点间的阻抗 Fig. 13 Impedance between boundary nodes |
| 图选项 |
 |
| 图 14 边界节点与内部节点间的阻抗 Fig. 14 Impedance between boundary node and internal node |
| 图选项 |
 |
| 图 15 内部节点与内部节点间的阻抗 Fig. 15 Impedance between internal nodes |
| 图选项 |
通过对比不同类型节点间阻抗计算结果表明，距离相当的2个节点间阻抗值，当节点均处于边界时节点间的阻抗值最大，节点均在内部时节点间的阻抗值最小。
6 结论 通过对复合材料飞机接地回流网络在不同参数、结构情况下阻抗值的对比分析，以及阻抗值的影响因素分析，得到如下主要结论：
1) 搭接复合材料蒙皮会在一定程度上减小接地回流网络节点间的阻抗，当复合材料蒙皮与金属导轨接地回流网络处于固定搭接方式下，这种效应随着复合材料蒙皮的电导率的增大变得更加明显。因此，电导率更大的复合材料，对于复合材料飞机接地系统的安全性和经济性更加有利。
2) 在金属导轨截面积不变的情况下，截面形状对金属接地回流网络阻抗的影响较大。计算结果表明，截面为工字形的金属导轨阻抗值比同等截面积的正方形导轨小。
3) 在满足安装及工作位置的前提下，将相关电气设备的接地点选在内部节点所处的位置上，有利于减小接地点间的阻抗。
致谢 感谢航空机电系统测试与故障诊断实验室各位老师及同学在本文理论探讨、实验仿真及写作过程中提出的宝贵建议和提供的帮助。
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