从维度上来分析，GTD模型可分为一维GTD模型、二维GTD模型、三维GTD模型，随着维度的升高，模型对目标细节特征刻画的越来越精准，但数据计算的复杂度及参数估计的难度也随之增大。基于以上原因，对一维GTD模型及其参数提取方法的研究最为成熟，而对多维GTD模型的研究需要进一步深入。
目前，许多谱估计算法如MUSIC类算法[9-10]、ESPRIT类算法[11-13]等，均可应用于GTD模型参数估计与提取中，并取得了较好的估计结果。南京航空航天大学的王菁等[13]利用经典2D-ESPRIT算法对二维GTD散射中心模型进行提取估计，但该算法受噪声影响较大，低信噪比时参数估计精度较低；国防科技大学的贺治华等[10]基于经典MUSIC算法对GTD模型参数估计提取，但由于该算法需要进行谱峰搜索，因此，运算复杂度较高、运算时间较长。在运算量增加不大的前提下，本文提出了一种改进的2D-TLS-ESPRIT算法，有效地提高了算法的参数估计性能。改进算法通过将极化散射矩阵加入到二维GTD散射中心模型中，并构建目标原始回波数据的共轭矩阵，将目标的原始回波数据与其共轭信息结合起来，延长了目标的可利用数据的有效长度，有效削弱了噪声对算法参数估计性能的影响。仿真实验结果验证了改进2D-TLS-ESPRIT算法的有效性与先进性。
1 二维GTD模型及其近似表述 与一维GTD模型相比，二维GTD模型增加了对目标纵向距离yi的描述，将目标位置参数由一维拓展至二维，使得目标电磁散射信息更加精细化。纵向距离yi表征了散射中心对方位角的依赖关系。
二维GTD模型表达式为[14]
 | (1) |
式中：Ai、αi、xi、yi分别为第i个散射中心强度、散射中心类型、散射中心横向距离、散射中心纵向距离；I为总的散射中心数目；fm=f0+mΔf，f0为初始雷达步进频率，Δf为雷达步进频率，m为频率序号；同理，θn=θ0+nΔθ，θ0为初始方位角，Δθ为步进角度，n为角度序号；c=3×108 m/s，代表电磁波传播速度；αi为0.5的整数倍，共有5种，分别为-1、-0.5、0、0.5、1，不同散射类型对应不同的值[15]；w(fm, θn)为二维复高斯白噪声。
为了简化参数估计的复杂度，当nΔθ较小且Δf/f0?1时，可作式(2)近似：
 | (2) |
将式(2)代入式(1)，可得到
 | (3) |
式中：
 | (4) |
 | (5) |
 | (6) |
由式(5)、式(6)可求得散射中心的αi、xi、yi，求解的数学表达式如式(7)~式(9)所示。
 | (7) |
 | (8) |
 | (9) |
2 散射中心参数估计 基于经典2D-TLS-ESPRIT谱估计算法对二维GTD模型参数进行估计，针对经典2D-TLS-ESPRIT算法[13]噪声影响较大、信噪比较低时参数估计性能不高这一问题，提出了一种改进的2D-TLS-ESPRIT算法，显著改进了原有算法的参数估计性能。现对2种算法估计二维GTD模型参数的过程作以说明。
2.1 经典2D-TLS-ESPRIT算法 首先，基于二维GTD模型可得到目标的后向散射回波数据，进而构建如式(10)所示的二维增强矩阵束Ee，定义两矩阵束参数P及Q，其中P∈[I+1, M-I+1]，Q∈[I+1, N-I+1]，M、N和I分别为频率总步进数、角度总步进数和散射中心数目[16]。
 | (10) |
式中：E(fm)为Q×(N-Q+1)维的矩阵，表达式为
 | (11) |
在二维增强矩阵束Ee的基础上，可计算其自相关矩阵REeEe如下：
 | (12) |
式中：US1为REeEe的主特征值向量；ΣS1为信号特征值矩阵；UN1为噪声子空间矩阵；ΣN1为噪声特征值矩阵。
定义
 | (13) |
式中：“+”为共轭转置。
定义一实置换矩阵E1为
 | (14) |
式中：符号“?”表示克罗内克积；Ek, lQ×P代表第(k, l)个元素为1，其余元素均为0的矩阵，同理，El, kP×Q代表第(l, k)元素为1，其余元素为0的矩阵。
则可得到矩阵F2为
 | (15) |
式中：
对矩阵F1、F2作线性组合得到矩阵F，并对其进行特征值分解，即可得到特征向量矩阵T为
 | (16) |
 | (17) |
式中：β为配对参数，取值范围为β∈(0, 1)，其作用为避免F的特征值出现重复；D为特征值矩阵。
可由式(18)、式(19)求得特征值向量Λ1和Λ2：
 | (18) |
 | (19) |
则Λ1和Λ2主对角线上的元素分别对应为P1i、P2i，将结果代到式(7)~式(9)，即可求得αi、xi、yi。
在此基础上，利用最小二乘法可对散射强度参数进行估计提取。首先，重写式(1)得到的电磁散射回波数据并进行向量式排列，可得到如式(20)的电磁散射回波数据的向量形式。
 | (20) |
式中：
 | (21) |
 | (22) |
 | (23) |
式中：Ai为第i个散射中心的强度。则散射强度参数矩阵
 | (24) |
式中：
 | (25) |
2.2 改进2D-TLS-ESPRIT算法 首先，在二维GTD散射中心模型中加入目标的极化散射矩阵，从而丰富了目标的极化特征信息；其次，构建新的包含原始回波共轭信息的矩阵Y，进而可提高目标回波信息的利用率，其具体改进步骤如下：
步骤1?将不同类型散射中心对应的极化散射信息加入到二维GTD散射中心模型中，可得
 | (26) |
式中：Si, p为第i个散射中心，在p极化方式下的散射系数，典型散射结构对应的散射系数矩阵如表 1所示；p∈(hh, hv, vh, vv)，共4种极化方式；wp(fm, θn)为p极化方式下的高斯白噪声。
表 1 典型目标的散射矩阵 Table 1 Scattering matrix of typical targets
| 散射系数矩阵S | 目标类型 |
 | 单次散射 |
 | 二面角 |
 | 圆柱体 |
 | 双次反弹散射(ξ为反射角) |
 | 右旋极化，左旋极化 |
表选项
步骤2?定义一置换矩阵J，维度为PQ×(M-P+1)(N-Q+1)，具体为
 | (27) |
步骤3?基于含有极化散射信息的目标原始回波矩阵束Ee1(其构造过程与式(10)类似)及置换矩阵J，构造包含目标原始回波共轭信息的矩阵Y：
 | (28) |
式中：Ee1*代表Ee1的共轭转置矩阵。
步骤4?分别计算矩阵束Ee1及Y的自相关协方差矩阵分别为
 | (29) |
 | (30) |
步骤5?对式(29)、式(30)求得的2个矩阵REe1Ee1、RYY相加、取平均值，如下：
 | (31) |
步骤6?将新协方差矩阵R代替经典2D-TLS-ESPRIT算法中的REe1Ee1，并基于新协方差矩阵R作式(12)~式(25)中的参数估计处理，可提取出二维GTD散射中心模型各参数信息。
3 仿真实验 3.1 参数均方差比较 为验证改进2D-TLS-ESPRIT算法的有效性，设置如下仿真实验。
设定目标的后向散射回波由4个散射中心构成，具体散射中心模型参数值见表 2。初始频率f0为10 GHz，步进频率Δf为10 MHz，频率总步进数M为40，θn=θ0+nΔθ，其中初始方位角θ0为90°，角度总步进数N为40，步进角度Δθ为0.01°。仿真实验加入信噪比为-10~20 dB的高斯白噪声，且每个信噪比对应200次蒙特卡罗实验。信噪比的具体定义表达式为
 | (32) |
 | (33) |
表 2 4个散射中心参数 Table 2 Parameters of four scattering centers
| xi/m | yi/m | 类型αi | 强度Ai/dB | 散射系数矩阵Si |
| 1.212 | 1.100 | 1.000 | 4.200 |  |
| 1.453 | 1.253 | 0.500 | 3.500 |  |
| 1.643 | 1.321 | 0 | 2.430 |  |
| 1.825 | 1.790 | -0.5 | 1.357 |  |
表选项
式中：
为定量比较不同算法的参数估计性能，定义GTD散射中心模型参数的均方差(RMSE)如下：
 | (34) |
式中：z为真实目标散射中心参数；zi为第i次仿真实验下估计的散射中心参数；K为总蒙特卡罗实验次数。
利用不同算法分别估计提取二维GTD散射中心模型参数信息，对比结果如图 1~图 4所示。
 |
| 图 1 x1~x4的均方差比较 Fig. 1 RMSE comparison of x1-x4 |
| 图选项 |
 |
| 图 2 y1~y4的均方差比较 Fig. 2 RMSE comparison of y1-y4 |
| 图选项 |
 |
| 图 3 α1~α4的均方差比较 Fig. 3 RMSE comparison of α1-α4 |
| 图选项 |
 |
| 图 4 A1~A4的均方差比较 Fig. 4 RMSE comparison of A1-A4 |
| 图选项 |
由图 1~图 4可知，随着信噪比的升高，基于不同算法估计得到的参数的均方差总体趋势上均降低；且改进2D-TLS-ESPRIT算法参数估计性能要优于经典2D-TLS-ESPRIT算法与双向平滑2D-TLS-ESPRIT算法，而改进算法的参数估计性能比上述3种算法均要优越，这验证了改进算法的有效性与先进性。
分析原因可知：①改进算法首先将目标的极化信息加到二维GTD散射中心模型之中，从而更加有效地刻画了目标的极化散射特征并丰富了模型的目标散射信息；②改进算法将原始回波数据与其共轭信息结合并加以改进，有效地延长了目标可利用数据的长度。
3.2 RCS拟合外推精度比较 基于经典2D-ESPRIT算法、改进2D-TLS-ESPRIT算法估计的各模型参数与二维GTD散射中心模型、式(35)中远场条件下目标电场与RCS之间的关系式，即可对目标的RCS进行拟合并外推。
 | (35) |
式中：Es和Ei分别为散射电场和入射电场；R为远场距离。
基于目标在频率为10~11 GHz的后向电磁散射数据，利用不同算法分别估计出二维GTD散射中心模型参数，再代入到式(1)、式(35)，可对目标的RCS进行频率域拟合外推，仿真结果如图 5所示。
 |
| 图 5 45°和60°方位角，RCS角域拟合外推精度比较 Fig. 5 Comparison of RCS angular domain fitting extrapolation accuracy at azimuth 45°and 60° |
| 图选项 |
图 5(a)、(b)分别为在45°、60°方位角下，目标RCS频域拟合外推结果。从图 5可看出，改进算法的RCS拟合精度要明显高于经典2D-ESPRIT算法的RCS拟合精度，尤其对目标RCS的尖峰特性描述的更为准确。RCS拟合外推实验进一步验证了改进2D-TLS-ESPRIT算法的参数估计性能要优于经典2D-ESPRIT算法。
4 结论 在经典2D-TLS-ESPRIT算法的基础上，提出了一种改进2D-TLS-ESPRIT算法。
1) 改进算法将目标的极化散射矩阵加入到二维GTD散射中心模型，从而丰富了目标的极化散射信息，使散射中心模型更贴切目标的实际散射特性。
2) 改进算法通过建立置换矩阵与求总协方差矩阵，将原始目标电磁散射数据与其共轭信息相结合，从而延长了可利用电磁散射数据的长度，有效地挖掘了目标电磁散射数据。
3) 仿真实验表明，改进算法的算法参数估计性能、噪声鲁棒性与RCS拟合外推精度均要优于其他同类已知算法。
由于改进算法增加了对目标极化信息的利用，因此相比于经典2D-ESPRIT算法、2D-TLS-ESPRIT算法，改进算法的计算量稍有增大，而如何有效降低算法的运算量则是下一步研究的重点内容。
参考文献
| [1] | 许小剑. 雷达目标散射特性测量与处理新技术[M]. 北京: 国防工业出版社, 2018. XV X J. New techniques for radar target scattering signature measurement and processing[M]. Beijing: National Defense Industrial Press, 2018. (in Chinese) |
| [2] | HE X Y, TONG N N, HU X W, et al. High-resolution imaging and 3D reconstruction of precision targets by exploiting sparse apertures[J]. IEEE Transactions on Aerospace and Electronic System, 2017, 53(3): 1212-1220. DOI:10.1109/TAES.2017.2668058 |
| [3] | FAN J H, ANDREW T. Target reconstruction based on attributed scattering centers with application to robust SAR ATR[J]. Remote Sensing, 2018, 10(4): 655-673. DOI:10.3390/rs10040655 |
| [4] | SUN Y G, DU L, WANG Y, et al. SAR automatic target recognition based on dictionary learning and joint dynamic sparse representation[J]. IEEE Geoscience and Remote Sensing Letters, 2016, 13(12): 1777-1781. DOI:10.1109/LGRS.2016.2608578 |
| [5] | DONG G G, KUANG G Y. SAR target recognition via representation of monogenic signal on Grassmann manifolds[J]. IEEE Journal of Selected Topics in Applied Earth Observation and Remote Sensing, 2016, 9(3): 1308-1319. DOI:10.1109/JSTARS.2015.2513481 |
| [6] | PEI J F, HUANG Y L, HUO W B, et al. SAR automatic target recognition based on multiview deep learning framework[J]. IEEE Geoscience and Remote Sensing Letters, 2018, 56(4): 2196-2210. DOI:10.1109/TGRS.2017.2776357 |
| [7] | 郭琨毅, 王嘉欣, 张尊, 等. 基于散射中心方位特性的大角度成像数据缩减方法[J]. 电波科学学报, 2019, 34(1): 91-96. GUO K Y, WANG J X, ZHANG Z, et al. Wide-angle imaging simplified method based on the scattering center aspect dependences[J]. Chinese Journal of Radio Science, 2019, 34(1): 91-96. (in Chinese) |
| [8] | 郑舒予, 张小宽, 刘铭, 等. 基于一维散射中心模型的RCS频率全角度外推[J]. 空军工程大学(自然科学版), 2019, 20(6): 79-83. ZHENG S Y, ZHANG X K, LIU M, et al. RCS frequency full extraction based on one-dimensional scattering center model[J]. Journal of Air Force Engineering University (Natural Science Edition), 2019, 20(6): 79-83. (in Chinese) |
| [9] | 郑舒予, 张小宽, 宗彬锋. 基于改进MUSIC算法的散射中心参数提取及RCS重构[J]. 系统工程与电子技术, 2020, 42(1): 76-82. ZHENG S Y, ZHANG X K, ZONG B F. Extraction of scattering center parameters and reconstruction of RCS based on improved MUSIC algorithm[J]. Systems Engineering and Electronics, 2020, 42(1): 76-82. (in Chinese) |
| [10] | 贺治华, 黎湘, 张旭峰, 等. 基于MUSIC算法的GTD模型参数估计[J]. 系统工程与电子技术, 2005, 27(10): 1685-1688. HE Z H, LI X, ZHANG X F, et al. MUSIC-based parametric estimation of GTD model[J]. Systems Engineering and Electronics, 2005, 27(10): 1685-1688. (in Chinese) |
| [11] | CHEN X, WAN B Q, ZHAO T, et al. Parameter estimation of three-dimensional scattering centers based on state space and ESPRIT method[J]. Procedia Computer Science, 2019, 147: 435-440. DOI:10.1016/j.procs.2019.01.261 |
| [12] | ZHENG S Y, ZHANG X K, ZONG B F, et al.GTD model parameters estimation based on improved LS-ESPRIT algorithm[C]//2019 Photonics & Electromagnetics Research Symposium, 2019: 19534708. |
| [13] | 王菁, 周建江, 汪飞. 基于GTD模型的目标二维散射中心提取[J]. 电子与信息学报, 2009, 31(4): 958-962. WANG J, ZHOU J J, WANG F. 2D-scattering centers extraction of objects based on GTD model[J]. Journal of Electronics & Information Technology, 2009, 31(4): 958-962. (in Chinese) |
| [14] | HUA Y B. Estimating two-dimensional frequencies by matrix enhancement and matrix pencil[J]. IEEE Transactions on Signal Processing, 1992, 40(9): 2267-2280. DOI:10.1109/78.157226 |
| [15] | POTTER L C, CHIANG D M, CARRIERE R. A GTD-based parametric model for radar scattering[J]. IEEE Transaction on Antennas and Propagation, 1995, 43(10): 1058-1066. DOI:10.1109/8.467641 |
| [16] | ROUQUETTE S, NAJIM M. Estimation of frequencies and damping factors by two-dimensional ESPRIT type methods[J]. IEEE Transactions on Signal Processing, 2001, 49(1): 237-245. DOI:10.1109/78.890367 |
| [17] | 张贤达. 现代信号处理[M]. 北京: 清华大学出版社, 2002: 56-60. ZHANG X D. Modern signal processing[M]. Beijing: Tsinghua University Press, 2002: 56-60. (in Chinese) |
