锂离子电池的荷电状态(State of Charge, SOC)表示当前电池的剩余电量，准确的SOC估计是预防电池过充过放及均衡处理的基础，是电池管理系统的核心。传统方法包括安时积分法、开路电压法等[2]。安时积分法是一种开环估计方法，将电池工作时的电流对时间积分，以得到电池容量的变化，这种方法简单，随着时间的延长，累积误差增大，精度下降[3]。开路电压法是通过获取电池的开路电压OCV与SOC特定曲线，通过查表实现，这种方法需要电池静置足够长时间后才能保证其精度，不适合在线估计电池SOC[4-6]。基于数据驱动的人工智能算法，如神经网络、支持向量机等需要大量的实验数据进行训练，且对计算的要求高[7-8]。基于模型的方法主要分为电化学模型法和等效电路模型法。电化学模型包含的方程及参数较多，对电池在复杂工况下的模拟精度低。等效电路模型是通过电子元器件的搭配来模拟电池的外部工作特性，广泛应用在电池SOC估计中。2004年，Plett[9]最早开始基于扩展卡尔曼滤波(EKF)进行电池SOC估计的研究。之后，又有多位****在无迹卡尔曼滤波(UKF)、中心差分卡尔曼滤波(CDEF)等开展相应研究[10-12]。除了卡尔曼滤波方法，粒子滤波等[13]也应用在了SOC估计上。粒子滤波等算法会稍许提高算法精度，但是计算量很大，不适合在线应用。
随着电池的老化，电池容量等参数的变化也会对电池状态估计造成影响。所以，在估计电池SOC的同时对容量进行估计也至关重要。开路电压法是通过测量电池充放电起始开路电压，利用OCV-SOC插值得到SOC变化，结合累积容量估计电池的容量。基于模型的方法是基于等效电路模型及卡尔曼滤波算法等估计的SOC，结合累积充放电量实现容量估计。文献[14]采用一阶RC模型，通过测量端电压估计开路电压，利用不同老化阶段同一SOC下的开路电压差来表征老化状态。Plett[15]通过双扩展卡尔曼滤波(DEKF)，一个模型估计电池SOC，另一个模型估计电池容量等参数，实现了SOC和容量的联合估计，但是这种方法需要SOC的精确估计，容量估计精度对SOC估计精度比较敏感。
针对上述研究现状，本文提出一种适用于三元锂离子电池SOC及容量的多尺度联合估计方法。在一阶等效电路模型建立了状态空间方程，在不同温度下进行了参数辨识，应用DEKF算法建立了电池状态多尺度联合估计模型，在微观时间尺度上对电池的SOC及极化电压进行估计，在宏观时间尺度上实现了电池的容量估计。在动态工况下进行了实验验证，证实了本文方法的准确性及SOC和容量的估计精度。
1 等效电路模型及参数辨识 戴维宁模型包含一个欧姆内阻和一对RC环节，如图 1所示。其中，欧姆内阻Ro对应电池端电压的突变，极化电阻Rp和电容Cp反映了电池的极化特性。戴维宁模型弥补了线性模型无法描述电池内部极化现象的缺陷，也避免了高阶RC模型参数标定复杂的问题，因此被广泛应用于电池状态估计中[16-17]。在等效电路模型中，可以得到电池端电压Ut和模型参数之间的表达式：
 | (1) |
 |
| 图 1 戴维宁模型 Fig. 1 Thevenin model |
| 图选项 |
式中：Up为RC环节两端的电压；It为电池输出电流，放电为正，充电为负。
对于等效电路模型中的参数，需要采用合适的参数辨识方法。本文采用基于实验数据的最小二乘函数拟合方法。其中电池的开路电压Uoc直接采用电池静置的方式获取。为了获取Ro、Rp、Cp三个参数，对电池进行额定倍率放电，在不同SOC时进行静置，通过获取电池静置时间段的电压响应来拟合模型参数。本文采用国轩提供的镍钴锰三元锂离子软包电池为测试对象，具体参数如表 1所示。
表 1 国轩三元锂离子电池主要技术指标 Table 1 Main technical indicators of Guoxuanternary lithium-ion battery
| 参数 | 数值 |
| 1C设计容量/Ah | 57 |
| 放电截止电压/V | 3.0 |
| 充电截止电压/V | 4.2 |
| 放电温度范围/℃ | -30~50 |
| 充电温度范围/℃ | 0~50 |
| 最大持续充电倍率 | 2C |
| 最大持续放电倍率 | 5C |
| 额定电压/V | 3.6 |
| 10s最大充电倍率 | 7.5C |
| 10s最大放电倍率 | 10C |
表选项
对于欧姆内阻，可以通过电池静置初期电压的突变来表示。在戴维宁模型中，式(2)为电池在静置期间电池端电压的表达式。其中，Uoc可以根据OCV-SOC曲线查表获得，T0为电池在上一个放电工况下的放电时间，τ为RC环节的时间常数。拟合统一采用电池静置前500s的数据，在SOC为0.7时，端电压静置恢复曲线拟合值及实验值如图 2所示。
 | (2) |
 |
| 图 2 戴维宁模型端电压拟合 Fig. 2 Terminal voltage fitting of Thevenin model |
| 图选项 |
在不同温度下，电池的外在特性表现也不相同，电池模型的参数受到温度的影响，所以为了使电池适应不同环境温度下的工作环境，在不同温度下对电池模型参数进行辨识也至关重要[18]。多次重复上述参数辨识过程，得到电池在0、15、25、45℃下的模型参数与SOC的变化曲线，如图 3所示。
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| 图 3 不同温度下的电池特性曲线 Fig. 3 Battery characteristics at different temperatures |
| 图选项 |
2 EKF算法原理 EKF算法是在卡尔曼滤波的基础上，将非线性模型进行线性化处理，再进行递推计算的一种方法[19-20]。某一非线性离散系统可由以下方程表示。
状态方程:
 | (3a) |
观测方程：
 | (3b) |
式中：xk为系统的状态向量；yk为系统的观测向量；随机信号ωk和vk分别为系统噪声和观测噪声，2个噪声为互不影响的高斯白噪声；uk为系统输入；f(xk, uk)和g(xk, uk)分别为非线性状态转换函数和量测函数。
在每一时刻，对f(xk, uk)和g(xk, uk)通过一阶泰勒展开进行线性化，有
 | (4) |
式中：
定义
 | (5) |
非线性系统的EKF算法递推公式如式(6)~式(11)所示，其中，
滤波方程初始条件：
 | (6) |
预测更新：
 | (7) |
协方差预估：
 | (8) |
卡尔曼增益矩阵：
 | (9) |
状态更新：
 | (10) |
误差协方差更新：
 | (11) |
3 多尺度联合估计 3.1 基于DEKF的联合估计方案 在联合估计中，采用DEKF算法，一个卡尔曼滤波器用来估计电池的SOC，另一个卡尔曼滤波器用来估计电池的容量。假设电流在一个采样周期内保持恒定，根据图 1所示的戴维宁模型及式(1)，可以将系统离散化，得到极化电压的表达式为
 | (12) |
式中：Δt为系统采样时间。
SOC的离散化方程由安时积分法获取，公式如下：
 | (13) |
式中：zk为k时刻的SOC值；Cn为电池当前温度下的额定容量。
在估计SOC的卡尔曼滤波器中，将电池的极化电压Up和SOC值作为系统状态值，观测方程采用式(1)中的端电压表达式，所以系统的状态方程和观测方程为
 | (14) |
由于容量具有短时不变的特性，所以估计容量系统的状态方程和观测方程为
 | (15) |
式中：Ck为EKF算法中的系统状态值，表示k时刻的电池容量；zk为估计出的SOC值，由估计SOC的EKF算法求得；dk为系统的观测值，在该系统中，观测值期望为0;η为电池的充放电效率。
基于DEKF算法的SOC和容量的联合估计中，x为估计SOC的系统状态值，即x=[Up??z]T，C为估计容量的系统状态值。首先设定系统状态和协方差的初始值，初值的选择不会影响后续计算结果，一般将状态初值设为状态的期望值，协方差的初值设为0。
 | (16) |
在电池SOC和容量的预测更新中，分别采用各自的状态方程，计算如下：
 | (17) |
SOC和容量系统的协方差预测计算分别为
 | (18) |
SOC和容量估计的卡尔曼滤波增益计算分别为
 | (19) |
SOC和容量的状态更新计算分别为
 | (20) |
SOC和容量的误差协方差更新计算分别为
 | (21) |
循环计算式(17)~式(21)，即可实现基于DEKF的电池SOC及容量联合估计。在该方法中，估计的SOC值用于计算容量更新，而估计出的容量值用于计算预估的SOC值。
3.2 多时间尺度的SOC及容量联合估计 在电池的SOC估计中，SOC需要以一个较高的频率进行更新，因为在大电流脉冲充放电时，很短的时间都会对SOC造成影响。例如，在BMS系统中，SOC计算更新的步长一般在100ms左右。但对于容量而言，其变化速率远远小于SOC的变化速率，在固定工况下，电池前100次循环的容量衰减小于5%，可见容量变化速率很小。如果在计算容量时也采用和计算SOC相同的更新频率，会增加BMS系统的计算量。根据以上分析，设计一种多时间尺度的SOC及容量联合估计，其中SOC采用微观时间尺度，容量采用宏观时间尺度，通过设置时间尺度变换量L，当微观时间尺度达到设定的尺度变化量L时，进行一次宏观时间尺度计算，即容量更新。具体实现流程如图 4所示。
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| 图 4 多时间尺度的SOC及容量联合估计方法 Fig. 4 Multi-time scale SOC and capacity joint estimation method |
| 图选项 |
在多时间尺度的SOC及容量联合估计中，仍采用DEKF算法，微观尺度下进行SOC估计更新，期间采用安时积分法计算容量的累积变化量，并用l进行计数，直到l=L，进行时间尺度转换，将SOC值zk1|k1及L时间内的安时积分量ΔCL传入到宏观尺度下，进行宏观尺度的容量估计。时间尺度转换如下：
 | (22) |
多尺度EKF算法中的微观尺度SOC估计和DEKF算法中的SOC估计相对应，具有相同的功能和效果，多尺度EKF算法中的宏观尺度容量估计和DEKF算法中的容量估计相对应，不同之处在于宏观尺度的容量估计是每隔Lk1更新一次，而DEKF算法中是每隔k1更新一次，大大减小了计算量。多尺度EKF算法中，微观尺度估计出的SOC值和安时积分量用于宏观尺度容量估计的测量更新；宏观尺度估计出的容量值用于微观尺度SOC的时间更新。
4 实验验证及分析 4.1 模型验证 为了验证模型对SOC和容量估计的准确性，本文在动态工况下进行验证。电池动态工况采用DST工况，由美国先进电池联盟提出，为了模拟电动汽车需求的功率范围而设定多个放电倍率，一个DST循环为360s，如图 5所示。将其扩展至电池的整个放电循环，测试环境温度为25℃，实验端电压及模型仿真值如图 6所示。
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| 图 5 DST循环电流 Fig. 5 Circulating current of DST |
| 图选项 |
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| 图 6 端电压测量值与仿真值对比 Fig. 6 Comparison of voltage measurementvalue and simulation value |
| 图选项 |
从图 6可以看出，电压仿真值和测量值基本重合，在放电末端，由于电池内阻较大，电压变化较快，导致模型估计误差增大。本文所搭建的模型可以较好地对动力电池端电压动态变化实现模拟，该结果也进一步验证了模型的可靠性及参数辨识的准确性。
4.2 SOC验证 采用DST测试工况，环境温度设置为25℃，基于DEKF算法，对电池的SOC进行验证，估计结果如图 7所示。其中参考值采用安时积分法获得，估计值为DEKF算法考虑温度的SOC估计值，在DST动态工况下SOC的估计误差保持在0.03以内。
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| 图 7 SOC估计结果及误差(25℃) Fig. 7 SOC estimation results and errors (25℃) |
| 图选项 |
为了验证温度对SOC估计的影响，在0℃环境下开展DST工况测试验证。图 8(a)为采用25℃下的模型参数得到的SOC估计结果及误差，图 8(b)为采用实际测量温度得到的SOC估计结果及误差。在0℃环境下，若仍采用25℃下的模型参数进行SOC估计，会出现比较大的误差，从图 8可以看到，SOC的最大误差已经超过0.1。由于模型已提前对0~45℃下的模型参数进行了标定，且参数在不同温度下相差较大，采用实际测量的电池温度数据才能更好模拟电池当前特性，得到的SOC估计结果如图 8(b)所示。考虑到电池实际温度后，电池SOC估计误差保持在0.03以内，估计精度得到很大提升，所以考虑电池温度能够提高SOC的估计精度。
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| 图 8 温度对SOC估计的影响 Fig. 8 Effect of temperature on SOC estimation |
| 图选项 |
4.3 容量验证 为了验证容量估计的准确性，在0℃和25℃下采用DST测试工况进行验证。在容量估计模型中，设定尺度变换量L=400，容量估计初始值为58Ah，容量估计结果及参考值如图 9所示，其中参考值为该温度下电池放电实验获取的容量值。在容量估计中，设定的初始值允许有初始误差，从图中可以看到，容量估计的结果逐渐靠近参考值，达到收敛，且误差保持在1Ah以内。
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| 图 9 容量估计结果 Fig. 9 Capacity estimation results |
| 图选项 |
5 结论 1) 建立了三元锂离子电池戴维宁等效电路模型，采用端电压静置恢复曲线拟合的方法对模型参数进行辨识，并将开路电压、欧姆内阻、极化电阻、时间常数等参数设定为和温度SOC相关的变量，建立二维脉谱图，提高了电池模型在宽温度范围内的准确度。
2) 基于EKF算法原理，建立DEKF状态空间方程，实现三元锂离子电池SOC和容量的联合估计。提出了多时间尺度估计方法，SOC估计采用微观时间尺度，容量估计采用宏观时间尺度，减小了BMS系统的变化量，也降低了SOC短时估计误差对容量的影响。
3) 采用DST动态工况对搭建的电池模型及估计方法进行验证，结果表明，三元锂离子电池在宽温度范围内，建立的电池模型具有较高的精度，所提出的多时间尺度估计方法SOC的估计误差小于0.03，容量的估计误差小于1Ah。
综上所述，本文提供的联合估计方法可为三元锂离子电池SOC及容量提供准确估计。此外，后续会进一步探索该方法在其他类型电池(如磷酸铁锂电池)的估计效果。
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