目前，国内外大多****对航空货运联盟的研究主要集中在航空货运联盟对航空公司[1]及旅客的影响[2]、对网络的影响[3]、联盟网络自身的稳定性[4]、航线网络优化研究[5]及收益与成本分配分析[6]等方面。在收益及成本分配方面，一般情况，联盟主体之间通过提前制定特殊比例分摊协议(SPAs)，实现对航线的收益共享准则[7]。各成员在联盟航线的价值取决于收益分配机制，预先确定的收益分配机制会影响成员间的分配决策和预期收益。另一种是根据实际业务进行收益与成本的分配，顾颖菁和朱金福[8]采用讨价还价动态博弈法，研究航空货运联盟航线运营主体与业务主体在信息共享与否下的价格问题，建立按比例分配的多阶段议价模型。丛晓妮等[9]结合联盟风险影响下的Shapley值分配方法，对联盟的收益进行公平、合理的分配。郑士源和王浣尘[10]利用动态合作博弈方法，研究航空企业的竞争与联盟问题，运用联盟均衡寻找最稳定的方案。Wright等[11]建立2个成员的马尔可夫博弈模型，分析各成员的行为对联盟收益管理与分配机制的影响。文军[12]讨论了航空货运联盟收益分配机制，并以合作博弈为基础，构建航空货运联盟基于代码共享的委托代理模型，分析航空收益的分配机制。Kimms和?etiner[13]研究了基于合作博弈论中多参与成员及运作多航段网络的航空货运联盟的收益共享机制。Topaloglu[14]设计了多航段联盟网络自身的舱位控制方法和收益共享机制，对航空公司的舱位容量进行控制，分析航空货运联盟的收益分配。目前，已有航空货运联盟收益分配的研究主要从指定协议及博弈论等方面进行分析。在已有的博弈论研究中对于前景理论的考虑较少，因此本文利用改进损失厌恶的前景理论来对动态博弈进行分析，有效刻画博弈双方在风险条件下的收益问题。对前景理论[10, 15-19]的研究主要有基于损失厌恶的、累积前景理论[20]、禀赋效应、有限理性等方面。
以改进的基于损失厌恶的前景理论为基础，分析航空货运联盟参与方在不同决策行为下的得益矩阵，计算复制动态方程及相关参数的影响，并通过动态演化博弈分析各参数对航空货运联盟的影响。通过实际案例，分析不同情况下的均衡条件及演化趋势。通过对比分析在不同情况下的货运量及自营成本分摊系数、外包成本分摊系数对航空公司联盟选择的决策影响。基于损失厌恶改进的前景理论，在实际建模过程中，该方法是解决当存在任意参与方无法顺利完成自己负责运营的航空业务，将造成风险损失的情况，因此研究假设各参与方都存在对风险非常厌恶的情况。
1 模型假设与建立 1.1 模型假设 本文中研究的博弈问题，参与一方为联盟体中的S航空公司，另一方为联盟体中的其他航空公司。联盟自营是指联盟体内的多方参与者，从自身角度出发，对不同航段上的运输选择行为采取业务自营。相反，联盟外包是指运输选择行为采取业务外包。航空公司参与航空货运联盟，可通过降低成本、提高业务量，提升收益。对于S航空公司来说，当加入航空货运联盟时，可选择航线上的运输业务自营或者业务外包2种策略。其他航空公司对S航空公司的决策也可采取运输业务自营或者业务外包2种策略。当其他航空公司选择运输业务自营时，S航空公司可采取运输业务自营或者业务外包2种策略，双方采取的策略主要由不同策略预期得益决定，预期越大采取的策略概率就越大，其中x, y(0≤x, y≤1)分别表示联盟下双方支持运输业务选择自营的概率。
1.2 改进的前景理论 基于Kahneman和Tversky[21]提出的前景理论，Rieger和Bui[22]提出风险厌恶型的前景理论，研究改进的前景理论。文献[21-22]提出的反映风险损失程度的权重函数同样适用于本文研究。应用前景理论是刻画无人运输时的损失成本，因此对刻画风险价值函数进行改进。
利用权重函数[21-22]，反映风险损失的程度：
 | (1) |
式中：p为基于运量的选择概率，与飞机的载重、实际的运量有关；ξ和τ表示权重的大小，也反映了决策者对待收益和风险的不同态度，权重值越大，决策者越喜爱收益或者厌恶风险。
文献[22]中提出价值函数为
 |
式中：u为收益或损失的价值，当u < 0时，反映损失价值部分；g1、g2为描述对收益和损失的风险态度，本文令g1=1, g2=1；λ为损失厌恶系数。
本文考虑决策者对损失价值是敏感型的，因此重点对风险价值函数损失部分进行刻画。且当
 |
| 图 1 风险价值函数 Fig. 1 Var function |
| 图选项 |
利用改进的风险价值函数，刻画风险损失：
 | (2) |
因此，风险损失价值模型为
 | (3) |
式中: ?为风险损失系数，可反映决策者对损失的敏感度，?>1表示决策者对于损失更敏感，?≤1则表示决策者对于损失不大敏感；λ1、λ2分别为风险价值函数在收益和损失时的凹凸系数，0 < λ1, λ2 < 1；CW为无人运输的损失成本。
1.3 模型建立 研究航空货运联盟下的所有航空公司对航段运输自营与外包的选择。S航空公司与其他航空公司之间得益矩阵如表 1所示。表中：t为单位运量与运距的收益系数；CP为航空公司的飞机固定成本，包括装卸搬运等成本；CT为单位运输费用；d为运输距离；D1为其他航空公司的货运量；D2为S航空公司的货运量；α为航空公司运输业务自营时的成本分摊系数，0 < α < 1；β为航空公司运输业务外包时的成本分摊系数，β>1；A1~A8为航空公司业务无法正常完成时的风险损失值。
表 1 S航空公司与其他航空公司博弈的得益矩阵 Table 1 Game benefit matrix of S airline and other airlines
| 其他航空公司 | S航空公司 | |
| 运输业务自营 | 运输业务外包 | |
| 运输业务自营 |  |  |
| 运输业务外包 |  | (A7, A8) |
表选项
1) 当博弈的策略组合为(自营，自营)时，其他航空公司需要承担的运输成本为C1=CP+CTdD1，S航空公司需要承担的运输成本为C2=CP+CTdD2，且此时发生货物无人运输的概率为P1=0，因此A1=π(P1)v(CW)=0，A2=π(P1)v(CW)=0。
2) 当博弈的策略组合为(自营，外包)时，其他航空公司需要承担的运输成本为C3=CP+αCTdD1，S航空公司需要承担的运输成本为C4=βCTdD2，且此时其他航空公司发生货物无人运输的概率为P1=0，S航空公司发生货物无人运输的概率与其他航空公司货运量相关，为P2=D2/Q，Q为飞机的最大载重量，因此，A3=π(P1)v(CW)=0，A4=π(P2)v(CW)。
3) 当博弈的策略组合为(外包，自营)时，其他航空公司需要承担的运输成本为C3=βCTdD1，S航空公司需要承担的运输成本为C4=CP+αCTdD2，且此时其他航空公司发生货物无人运输的概率为P3=D1/Q，S航空公司发生货物无人运输的概率为P1=0，因此A5=π(P3)v(CW)，A6=π(P1)v(CW)=0。
4) 当博弈的策略组合为(外包，外包)时，此时其他航空公司发生货物无人运输的概率为P4=1，S航空公司发生货物无人运输的概率为P4=1，因此A7=π(P4)v(CW)，A8=π(P4)v(CW)。
2 航空公司间的博弈分析 通过将损失效应的前景理论引入复制动态建立的过程中，使博弈方联系紧密，从而得出不同情况下的选择策略。根据表 1建立的模型，改进复制动态方程为[23]
 | (4) |
 | (5) |
利用Jacobian矩阵的局部稳定分析法分析复制动态方程，该系统的Jacobian矩阵为
 | (6) |
式中：M=(1-2x){y{A7-A5-[t+(1-β-α)]·CTdD1}-A7-CP+(t-α)CTdD1}；N=x(1-x)·{A7-A5-[t+(1-β-α)]CTdD1}；G=y(1-y)·{A8-A4-[t+(1-β-α)]CTdD2}；F=(1-2y)· {x{A8-A4-[t+(1-β-α)]CTdD2}-A8-CP+(t-α)CTdD2}。
则矩阵J的行列式为
 | (7) |
矩阵J的迹为
 | (8) |
2.1 其他航空公司的稳定性分析 对式(4)求导，可得
 | (9) |
1) 若y=[A7+CP-(t-α)CTdD1]/{A7-A5-[t+(1-β-α)]CTdD1}, 0≤[A7+CP-(t-α)CTdD1]/{A7-A5-[t+(1-β-α)]CTdD1}≤1时，恒有
2) 0 < y < [A7+CP-(t-α)CTdD1]/{A7-A5-[t+(1-β-α)]CTdD1}时，则x*=0与x*=1是x的2个稳定状态点，但是x*=0为稳定策略点，此时S航空公司选择自营概率小于[A7+CP-(t-α)CTdD1]/{A7-A5-[t+(1-β-α)]·CTdD1}，系统内部经过长期的演化，S航空公司采取自营策略的概率为x=1。
3)[A7+CP-(t-α)CTdD1]/{A7-A5-[t+(1-β-α)]CTdD1} < y < 1时，则x*=0与x*=1是x的2个稳定状态点，但是x*=1为稳定策略点，此时S航空公司选择自营概率大于[A7+CP-(t-α)CTdD1]/{A7-A5-[t+(1-β-α)]CTdD1}时，系统内部经过长期的演化，S航空公司采取自营策略的概率为x=0。
2.2 S航空公司的稳定性分析 对式(5)求导，可得
 | (10) |
1) 若x=[A8+CP-(t-α)CTdD2]/{A8-A4-[t+(1-β-α)]CTdD2}, 0≤[A8+CP-(t-α)CTdD2]/{A8-A4-[t+(1-β-α)]CTdD2}≤1时，恒有
2) 0 < x < [A8+CP-(t-α)CTdD2]/{A8-A4-[t+(1-β-α)]CTdD2}时，y*=0与y*=1是稳定状态点，其中y*=0是演化稳定策略点，此时其他航空公司选择自营概率小于[A8+CP-(t-α)CTdD2]/{A8-A4-[t+(1-β-α)]·CTdD2}，系统内部经过长期的演化，其他航空公司采取自营策略的概率为y=1。
3)[A8+CP-(t-α)CTdD2]/{A8-A4-[t+(1-β-α)]CTdD2} < x < 1时，y*=0与y*=1是稳定状态点，其中y*=1是演化稳定策略点，此时其他航空公司选择自营概率大于[A8+CP-(t-α)CTdD2]/{A8-A4-[t+(1-β-α)]CTdD2}时，系统内部经过长期的演化，其他航空公司采取自营策略的概率为y=0。
2.3 系统稳定性分析 根据对系统的稳定性分析，存在5个均衡点A(0, 0)，B(1, 0)，C(0, 1)，D(1, 1)与E(a, b)，其中，a=[A8+CP-(t-α)CTdD2]/{A8-A4-[t+(1-β-α)]CTdD2}, b=[A7+CP-(t-α)·CTdD1]/{A7-A5-[t+(1-β-α)]CTdD1}。
根据局部稳定分析法确定5个均衡点的稳定性，如表 2所示。表中：ESS为稳定点。
表 2 五个均衡点的局部稳定性分析 Table 2 Local stability analysis of five equilibrium points
| 均衡点 | 行列式符号 | 迹符号 | 局部稳定性 |
| A(0, 0) | + | + | 不稳定 |
| B(1, 0) | + | - | ESS |
| C(0, 1) | + | - | ESS |
| D(1, 1) | + | + | 不稳定 |
| E(a, b) | - | 0 | 鞍点 |
| 注：a=[A8+CP-(t-α)CTdD2]/{A8-A4-[t+(1-β-α)]·CTdD2}, b=[A7+CP-(t-α)CTdD1]/{A7-A5-[t+(1-β-α)]CTdD1}。 | |||
表选项
在平面F={(x, y)∣0≤x, y≤1}描述博弈双方选择自营或外包的演化博弈过程，如图 2所示。在图 2中，该动态演化博弈系统有2个演化稳定均衡点B(1, 0)与C(0, 1)，即是(外包，自营)和(自营，外包)。此时博弈双方的策略选择是：S航空公司选择外包策略，其他航空公司选择自营策略；S航空公司选择自营策略，其他航空公司选择外包策略。此外，还有一个鞍点E(a, b)(其中，a=[A8+CP-(t-α)CTdD2]/{A8-A4-[t+(1-β-α)]CTdD2}, b=[A7+CP-(t-α)CTdD1]/{A7-A5-[t+(1-β-α)]CTdD1})和2个不稳定点A(0, 0)与D(1, 1)。结合图 2可以看出，A、E、D三点间连线构成了博弈方之间演化的分界线。如果初始状态落在折线的左上方，将收敛于C(0, 1)，此时S航空公司选择外包策略，其他航空公司选择自营策略；如果初始状态落在折线的右下方，将收敛于B(1, 0)，此时S航空公司选择自营策略，其他航空公司选择外包策略。
 |
| 图 2 演化博弈过程 Fig. 2 Evolutionary game process |
| 图选项 |
博弈演化的概率取决于四边形CAED的面积大小和四边形BAED的面积大小，记作SCAED和SBAED。
由图 2得
 |
因此，需要根据SCAED面积的大小来讨论该博弈模型中的不同变量对航空公司业务自营或业务外包的选择影响。
命题1??S航空公司自营成本分摊系数α越大时，当D1≤D2，SCAED的面积越大，S航空公司自营的意愿就越大；当D1>D2，SCAED的面积越小，S航空公司自营的意愿就越小。
证明
 |
由于(CTdD2)/{A8-A4-[t+(1-β-α)]·CTdD2}-{[A8+CP-(t-α)CTdD2]CTdD2}/{(A8-A4-[t+(1-β-α)]CTdD2}2是D的增函数，当D1≤D2时，
命题2??S航空公司外包成本分摊系数β越大时，当D1≤D2，SCAED的面积越小，S航空公司自营的意愿就越小；当D1>D2，SCAED的面积越大，S航空公司自营的意愿就越大。
证明
 |
由于{[A7+CP-(t-α)CTdD1]CTdD1}/{A7-A5-[t+(1-β-α)]CTdD1}2是D的减函数，当D1≤D2时，
命题3??固定成本CP增大时，当D1≤D2，SCAED面积变大，S航空公司自营的意愿就越大；当D1>D2，SCAED面积越小，S航空公司自营的意愿就越小。
证明
 |
由于1/{A7-A5-[t+(1-β-α)]CTdD1}是D的增函数，当D1≤D2时，
命题4??单位运输费用CT增大时，当D1≤D2，SCAED的面积越小，S航空公司自营的意愿就越小；当D1>D2，SCAED的面积越大，S航空公司自营的意愿就越大。
证明
 |
由于[(t-α)dD2]/{A8-A4-[t+(1-β-α)]CTdD2}+[A8+CP-(t-α)CTdD2(t+1-β-α)dD2]/{A8-A4-[t+(1-β-α)]CTdD2}2是D的减函数，当D1≤D2时，
命题5??单位运量与运距的收益系数t增大时，当D1≤D2，SCAED的面积越大，S航空公司自营的意愿就越大；当D1>D2，SCAED的面积越小，S航空公司自营的意愿就越小。
证明
 |
由于{[A8+CP-(t-α)CTdD2]dD2}/{A8-A4-[t+(1-β-α)CT]dD2}2+(CTdD2)/{A8-A4-[t+(1-β-α)]CTdD2}是D的增函数，当D1≤D2时，
命题6??风险损失系数?增大时，当D1≤D2，SCAED面积越小，S航空公司自营的意愿越小；当D1>D2，SCAED的面积越大，S航空公司自营的意愿越大。
证明
 |
由于[(λ2CW-1)dD2]/{A8-A4-[t+(1-β-α)CT]dD2}-{[A8+CP-(t-α)CTdD2]·(λ2CW-1)dD2}/{A8-A4-[t+(1-β-α)]·CTdD2}2是D的增函数，当D1≤D2时，
命题7??风险凹凸系数λ2增大时，当D1≤D2，SCAED面积越小，S航空公司自营的意愿越小；当D1>D2，SCAED的面积越大，S航空公司自营的意愿越大。
证明
 |
由于(?CWdD2)/{A8-A4-[t+(1-β-α)]·CTdD2}-{[A8+CP-(t-α)CTdD2]?CWdD2}/{A8-A4-[t+(1-β-α)]CTdD2}2是D的增函数，当D1≤D2时，
2.4 选择概率模型 S航空公司在航段上选择运输业务自营或业务外包的概率与其获得的收益相关。当S航空公司选择运输业务自营时，收益为R1=Px[tdD2-(CP+CTdD2)]+(1-Px)[tdD2-(CP+αCTdD2)]；若当S航空公司选择运输业务外包时，收益为R2=Px(A4+tdD2-βCTdD2)+(1-Px)A8。此时S航空公司选择运输业务自营的概率
命题8??对于任意给定的CP、CT、d、t、Q、CW、?、λ2、τ、D1、D2、α、β，选择概率PS1*、PS2*唯一。
证明??1)选择概率PS1*唯一。
将概率
因为
2) 选择概率PS2*唯一。
将概率
因为
命题9??选择概率PS1*、PS2*与D1、D2满足以下关系：①选择概率PS1*是D1的递减函数；②选择概率PS2*是D1的递增函数；③选择概率PS1*是D2的递增函数；④选择概率PS2*是D2的递减函数。
证明??令PS1对D1求导，化简得
 |
因为
令PS1对D2求导，化简得
 |
因为
命题10??选择概率PS1*、PS2*与α、β满足以下关系：①选择概率PS1*是α的减函数；②选择概率PS2*是α的增函数；③选择概率PS1*是β的增函数；④选择概率PS2*是β的减函数。
证明??令PS1对α求导，化简得
 |
因为(1-Px)CTdD2>0，且
令PS1对β求导，化简得
 |
因为PxCTdD2>0，且
命题11??选择概率PS1*、PS2*与Px满足以下关系：①选择概率PS1*是Px的递减函数；②选择概率PS2*是Px的递增函数。
证明??令PS1对Px求导，化简得
 |
由于
3 数值分析 航空公司自营时的某航段飞机固定成本为CP=25 000元，单位运输费用为CT=330元/(t·102 km)，运输距离为d=900 km，单位运量与运距的收益系数t=2.5，飞机的最大载重量Q=30 t；D1为其他航空公司的货运量，D2为S航空公司的货运量，α为运输业务自营时的成本分摊系数，0 < α < 1，β为运输业务外包时的成本分摊系数，β>1，无人运输的损失成本为CW=-100元/(t·102 km)，决策者对于损失的敏感度为?=2.5，风险价值函数在损失时的凹凸大小为λ2=0.8，权重的大小为τ=0.9。根据动态演化博弈中复制动态方程计算不同情形下的均衡点，如表 3所示。
表 3 不同情形下的均衡点 Table 3 Equilibrium points under different conditions
| 固定参数 | 变动参数 | E点 | 演化方向 |
| D1=10 t D2=20 t α=0.6 | β=1.1 | (0.8474，0.647 3) | (0，1) |
| β=1.2 | (0.889 7，0.679 7) | ||
| β=1.3 | (0.936 5，0.715 4) | ||
| β=1.4 | (0.988 4，0.755 0) | ||
| D1=10 t D2=20 t β=1.4 | α=0.1 | (0.990 9，0.808 2) | (1，0) |
| α=0.3 | (0.990 1，0.790 0) | ||
| α=0.5 | (0.989 0，0.767 9) | ||
| α=0.7 | (0.987 7，0.740 7) | ||
| α=0.9 | (0.986 1，0.706 1) | ||
| D1=10 t α=0.6 β=1.4 | D2=5 t | (0.275 0，0.608 3) | (0，1) |
| D2=10 t | (0.702 4，0.658 4) | ||
| D2=15 t | (0.867 3，0.712 0) | (1，0) | |
| D2=20 t | (0.988 4，0.755 0) | ||
| D2=20 t α=0.6 β=1.4 | D1=5 t | (0.949 0，0.275 3) | (0，1) |
| D1=10 t | (0.988 4，0.755 0) | ||
| D1=20 t | 不在范围内 | ||
| D1=25 t |
表选项
图 3~图 5分别为在S航空公司低货运量下，不同其他航空公司货运量、自营成本分摊系数、外包成本分摊系数对其他航空公司选择概率Px与S航空公司选择概率的影响关系。图 6~图 8分别为在S航空公司高货运量下，不同其他航空公司货运量、自营成本分摊系数、外包成本分摊系数对其他航空公司选择概率Px与S航空公司选择概率的影响关系。图 3~图 8中：P11表示其他航空公司选择业务自营的概率，P12表示其他航空公司选择业务外包的概率，P21表示S航空公司选择业务自营的概率，P22表示S航空公司选择业务外包的概率。
 |
| 图 3 其他航空公司货运量对选择概率的影响(低运量) Fig. 3 Influence of freight volume of other airlines on selection probability under low traffic volume |
| 图选项 |
 |
| 图 4 自营成本分摊系数对选择概率的影响(低运量) Fig. 4 Influence of self-operating cost allocation coefficient on selection probability under low traffic volume |
| 图选项 |
 |
| 图 5 外包成本分摊系数对选择概率的影响(低运量) Fig. 5 Influence of outsourcing cost allocation coefficient on selection probability under low traffic volume |
| 图选项 |
 |
| 图 6 其他航空公司货运量对选择概率的影响(高运量) Fig. 6 Influence of freight volume of other airlines on selection probability under high traffic volume |
| 图选项 |
 |
| 图 7 自营成本分摊系数对选择概率的影响(高运量) Fig. 7 Influence of self-operating cost allocation coefficient on selection probability under high traffic volume |
| 图选项 |
 |
| 图 8 外包成本分摊系数对选择概率的影响(高运量) Fig. 8 Influence of outsourcing cost allocation coefficient on selection probability under high traffic volume |
| 图选项 |
通过对比图 3~图 5可知，当自营成本分摊系数越小，外包成本分摊系数越大时，S航空公司选择自营的概率越大；S航空公司货运量越大，其他航空公司货运量越小时，S航空公司选择自营的概率就越大；其他航空公司选择自营概率越大时，S航空公司选择自营的概率就越小。分别对比图 3~图 8，可知当货运量越大时，S航空公司选择自营的概率也越大。
4 结论 通过利用改进损失效应前景理论在博弈双方的得益矩阵，并通过动态演化博弈，计算不同参数对博弈双方运输业务自营或业务外包选择的影响，最终通过算例对动态演化的趋势进行分析，并确定在不同条件下，航空公司间联盟选择的策略，可得到以下结论：
1) 应用改进的损失效应前景理论在航空货运联盟选择的效益与成本的建模中，创新了航空货运联盟效益与成本的理论分析方法，且改进的损失效应前景理论有效地避免了航空货运联盟中存在的运输无法完成的事故问题。
2) 当自营分摊的成本系数越大，外包分摊的成本系数、风险损失系数和风险凹凸系数越小时，固定成本越大、飞机的单位运输费用越小、收益率越大时，S航空公司若业务量大于其他航空公司，则宜采取业务自营；反之，则业务外包。
3) 自营的成本分摊系数越小、外包的成本分摊系数越大时，则S航空公司选择业务自营的概率就越大。
4) 当S航空公司货运量越大时，S航空公司选择业务自营的概率就越大。
5) 其他航空公司选择业务自营的概率越大时，则S航空公司选择业务自营的概率就越小。
参考文献
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