随着航天产业的蓬勃发展，对航天器功能需求不断提高，航天器的飞行任务也愈加趋于复杂，编队飞行、交会对接、不规则小行星绕飞等飞行任务，都对控制器的设计提出了挑战。这些复杂的飞行任务中，通常都有着姿态和轨道运动的高度耦合，独立地对两者进行控制较难获得满意的控制效果。面对复杂的控制任务，姿轨耦合的控制方式更全面地考虑了姿态与轨道之间的相互影响^[1]，是一种更好的控制方法。
目前的姿轨耦合控制器通常是在姿^[2]。在姿轨耦合模型的基础上可以应用的控制方法多种多样，如经典的比例-微分(PD)控制器、滑模控制器、自动调整系统内部参数的自适应控制器、容错控制等。文献[3]针对跟踪问题设计了广义PD控制律与线性滑模控制律；文献[4]基于浸入与不变流行理论设计了无速度反馈情况下的PD跟踪控制；文献[5]将PD控制器与自适应算法相结合来开发控制器，提供对未知参数和干扰的估计等。上述文献中设计的控制方法虽均能完成跟踪控制任务，但都属于渐进收敛控制器，不能做到在有限时间内快速收敛。并且航天器在空间飞行过程中会受到外界干扰、模型不确定等诸多因素的影响，故要求其控制器具有较好的鲁棒性，PD控制的鲁棒性可能不能满足要求。
滑模变结构控制系统的滑模运动与控制对象的参数变化和系统外界干扰无关，其系统的鲁棒性要比一般常规的连续系统强，因此滑模控制器更适合于这种对鲁棒性要求较高的系统。在滑模控制方面，文献[6-7]设计了一种新型终端滑模面，并将滑模控制与神经网络相结合抑制了滑模抖振问题，但文中只对姿态进行了控制，没有考虑姿轨耦合的问题；文献[8]针对姿轨耦合问题开发了终端滑模控制器、快速滑模控制器等；文献[9-10]针对编队飞行问题在终端滑模控制律的基础上，设计了一种自适应容错控制方法，但均未考虑到终端滑模控制奇异点的问题；文献[11-12]针对航天器滑模控制中的抖振问题，设计了动态滑模控制器与高阶滑模控制器，有效地抑制了抖振效果，但并未考虑有限时间控制方法，且该方法仅针对姿态进行控制。
本文针对航天器的姿轨耦合控制问题，设计了一种新型的非奇异自适应终端滑模控制器。首先，使用对偶四元数建立了具有质量参数不确定性的姿轨耦合模型；其次，设计了一种非奇异的终端滑模面，并给出了滑模控制律，该控制律能够避免终端滑模中奇异点的问题，并具有较高的控制精度和较快的收敛速度；再次，考虑系统中质量参数的不确定性，设计了自适应律来更新参数，进一步改善了控制器的效果；最后，通过仿真验证了控制器的有效性。
1 问题描述 1.1 四元数与对偶四元数 定义四元数为q=[q₀??q_v^T]^T∈Q，其中q₀∈R为标量部分，q_v=[q₁??q₂??q₃]^T∈R³代表矢量部分。特别地，三维向量可以看作标量部分为0的四元数。将四元数的共轭定义为q^*=[q₀??-q_v^T]^T；四元数q与p=[p₀??p_v^T]^T∈Q的乘法法则定义为

(1)

式中：a^×定义为三维列向量a生成的叉乘矩阵。
定义对偶数为^[13]

(2)

式中：a_r和a_d分别为对偶数的实数部分和对偶部分，下文带下标r、d的变量的含义同此处，不再说明；ε为对偶单位，其有如下性质：ε≠0，而ε²=ε³=…=0。
对偶向量可以看作为实数部分与对偶部分都为向量的对偶数，使用D_R³来描述对偶向量的集合。同理，对偶四元数可以看成实数部分与对偶部分都为四元数的对偶数，使用D_Q来描述对偶四元数的集合。对偶四元数还可以表示为, , ，为对偶标量部分，_v为对偶矢量部分。
本文所用到的运算法则如下。
对偶四元数和之间的乘法为

(3)

对偶四元数的共轭为

(4)

对偶向量和的叉乘为

(5)

对偶向量与标量λ的乘法：

(6)

对偶四元数的向量模为

(7)

在上述运算法则中，可以将对偶四元数看作八维列向量，将对偶矢量看作六维列向量。
对偶四元数可以用来表示空间中2个坐标系的位置与姿态关系，假设空间中有坐标系O与坐标系N，则从坐标系O到坐标系N的转换关系可以用对偶四元数_NO∈D_Q表示为

(8)

式中：q_NO为两坐标系间的姿态四元数；r_NO^O∈R³和r_NO^N∈R³分别为从坐标原点O到坐标原点N的矢量在坐标系O和坐标系N中的表示。如在空间中有一对偶矢量，其在坐标系O中表示为^O，其在坐标系N中可表示为

(9)

1.2 航天器姿轨耦合模型 航天器本体坐标系F_B(O_BX_BY_BZ_B)与航天器固连，原点O_B位于航天器质心，X_B、Y_B和Z_B三轴与航天器的惯量主轴基本重合。航天器的目标坐标系F_D(O_DX_DY_DZ_D)为航天器期望到达的坐标系。定义惯性坐标系为F_I(O_IX_IY_IZ_I)，当航天器姿态为零时，惯性坐标系的三轴方向与本体系重合。
采用对偶四元数描述的航天器六自由度运动学模型为

(10)

式中：_BI为航天器本体坐标系相对于惯性坐标系的对偶四元数；为航天器本体坐标系相对于惯性坐标系的对偶速度，ω_BI^B和v_BI^B分别为角速度和线速度在本体坐标系下的表示。
定义对偶惯量矩阵为

(11)

式中：m和J分别为航天器的质量和转动惯量；d/dε为一个算子，其有性质：，，a∈R。将对偶惯性算子的逆定义为+εI_3×3/m^[14]。
推导可得到刚体航天器的动力学方程^[5]：

(12)

式中：^B为作用在航天器上的对偶力的总和，可表示为^B=_c^B+_e^B=f^B+εT^B，_c^B=f_c^B+εT_c^B∈D_R³为航天器的控制对偶力，f_c^B与T_c^B分别为航天器的控制力与控制力矩，_e^B∈D_R³为航天器的环境对偶力，f^B与T^B分别为作用在航天器上的总力与总力矩。
航天器的跟踪控制一般使用本体坐标系F_B相对于目标坐标系F_D的动力学模型。该运动可以使用乘性误差对偶四元数_BD描述，即

(13)

式中：_DI为目标坐标系相对于惯性坐标系的对偶四元数。对式(13)求导即可得使用误差对偶四元数描述的运动学方程为

(14)

式中：为本体坐标系相对于目标坐标系的对偶速度，ω_BD^B和v_BD^B分别为本体坐标系相对于目标坐标系的角速度和线速度在本体坐标系下的表示。根据式(9)可，将其代入中，并对其求导^[5]，可得基于误差对偶四元数的系统动力学模型为

(15)

式(14)和式(15)为航天器的姿轨耦合模型。考虑到航天器质量参数的不确定性，对偶惯性算子可表示为=₀+Δ，₀为标称对偶惯量矩阵，Δ为对偶惯量矩阵不确定部分。
2 终端滑模控制器的设计 在给出控制器之前，首先给出与控制方法相关的引理。
引理1^[8]??设存在定义在原点邻域上的滑函数Δ(x)，并且, 0 < α < 1，使得Δ(x)在上正定且在上半正定，则Δ(x)=0在有限时间内达到。收敛时间T满足：

(16)

令q_r0∈R与q_rv∈R³分别代表_BD实数部分的标量与矢量，q_d0∈R与q_dv∈R³分别代表_BD对偶部分的标量与矢量。定义控制变量为₁=[q_rv^T??q_dv^T]^T∈R⁶，₂=。控制目标为：设计控制器使得控制变量(₁(t), ₂(t))在有限时间内收敛到(0_6×1, 0_6×1)。
根据系统的运动学方程式(14)推导可得

(17)

(18)

式中：矩阵T∈R^6×6、P∈R^6×6，T与P定义为

(19)

(20)

结合式(15)与式(18)可以得到系统的状态方程为

(21)

式中：

(22)

定义如下滑模面以完成控制任务：

(23)

式中：α₁、α₂为正实数；β(₁)=[β(e₁₁), β(e₁₂), …，β(e₁₆)]^T∈R⁶，β(e_1i)定义为

(24)

式中：p与q为正实数，且p < q，p/q>0.5；sgn(·)表示符号函数，当x=[x₁, x₂, …, x_n]^T∈Rⁿ时，sgn(x)=[sgn(x₁), sgn(x₂), …, sgn(x_n)]^T∈Rⁿ；μ为一个正的小量；s_i=e_2i+α₁e_1i+α₂sgn(e_1i)|e_1i|^p/q, i=1, 2，…，6；ι₁与ι₂定义为ι₁=(2-p/q)μ^p/q-1，ι₂=(p/q-1)μ^p/q-2。
上述滑模面为非奇异滑模面，并且适用于六自由度控制。通过选择p/q>0.5，使得s_i=0时能够避免奇异；当s_i≠0且e_1i=0时，滑模面切换为一般线性滑模面，从而避免奇异。
对滑模面式(23)求导可得

(25)

式中：为α₁₁+α₂β(₁)的导数，, (e₁₂, e₂₂), …, (e₁₆, e₂₆)]∈R⁶，其定义为

(26)

基于式(23)与式(25)提出如下终端滑模控制律：

(27)

式中：_eq^B为等效控制律，_n^B为切换控制律，二者的具体表达式分别为

(28)

(29)

其中：sig()^p/q=[sgn(s₁)|(s₁)|^p/q, sgn(s₂)·|s₂|^p/q], …, sgn(s₆)|s₆|^p/q]^T；a与b为正实数。
上述控制器的稳定性可以由李雅普诺夫第二方法证明。首先证明滑模控制的可达性，定义李雅普诺夫函数为V₁=^T/2，对其求导并将式(28)、式(29)代入可得

(30)

可见，dV₁/dt < 0，满足可达性条件。
然后证明系统状态到达滑模面后，控制变量的收敛情况。系统到达滑模面时=0_6×1，即：

(31)

选取李雅普诺夫函数为V₂=^T₁₁/2，对其求导可得

(32)

观察式(32)可知，要证dV₂/dt < 0，只需证明当s_i≠0, |e_1i|≤μ时，e_1iβ(e_1i)>0。可以分为2种情况证明成立。
证明??1)情况1：0≤e_1i≤μ。

2) 情况2：-μ≤e_1i < 0。

由上述证明过程证得e_1iβ(e_1i)>0，因此证得dV₂/dt < 0，根据引理1可以得到，当系统状态到达滑模面后，控制变量₁(t)在有限时间内收敛到0_6×1。又根据式(31)，当₁(t)收敛到0_6×1时，₂(t)也将收敛到0_6×1。
故对于式(14)和式(15)描述的非线性系统，采用控制器可以使得控制变量(₁(t), ₂(t))在有限时间内收敛到(0_6×1, 0_6×1)。根据(₁(t), ₂(t))的定义可知，(₁(t), ₂(t))的收敛等价于_BD与_BD^B分别收敛到单位对偶四元数与0_6×1，则系统的位姿参数能够收敛到期望值。
3 自适应算法的设计 控制律式(27)显含质量参数，但在实际工程应用中的真实值难以精确测量，甚至其不确定性的范围都难以获得，这必然影响控制律的性能。为了解决此问题，本节将自适应控制与终端滑模控制相结合。假设对偶惯性算子的不确定性无法确定范围，使用的估计值来替代，并用自适应律更新。
首先定义算子L()∈R^6×7, ∈D_R³，其表达式为

(33)

再定义算子θ()，其用来将中的质量与转动惯量线性分离^[15]，表达式为

(34)

由式(33)和式(34)可得。
采用如下自适应控制律更新：

(35)

式中：γ为正常数；B的表达式为

(36)

将式(27)中的替换为使用自适应控制律更新的估计值，则可以得到含自适应控制律的终端滑模控制器。其稳定性可以由李雅普诺夫第二方法证明。首先定义李雅普诺夫函数为

(37)

对式(37)函数求导可得

(38)

可以求得的值为

(39)

将式(39)代入式(38)并使用L算子可得

(40)

当且仅当=0_6×1时等号成立。
由上述过程证明了自适应终端滑模面的可达性；系统状态到达滑模面后，控制变量的收敛情况不受系统质量特性的影响，故系统状态到达滑模面后，控制变量(₁(t), ₂(t))在有限时间内收敛到(0_6×1, 0_6×1)，自适应终端滑模控制器的稳定性得证。
4 数值仿真与结果分析 由于小行星体积小、质量小且形状不规则，其附近引力场微弱，引力场不均匀。在这样的力学环境中，航天器姿态与轨道耦合程度高，进行姿轨耦合控制很有必要。因此，本节以航天器绕飞小行星跟踪控制为背景，对本文提出的控制器进行数学仿真验证。
假设小行星的引力常数为μ_A=5.58×10^-8 km³/s²，其二阶引力系数为C₂₀=-3.05×10^-3 km²，C₂₂=6.64×10^-4 km²。仿真的控制目标为：航天器从极轴上空按照规划的轨迹机动到赤道上空，且在动过程中-Z_B一直指向小行星质心，在航天器达到赤道上空后，航天器相对于惯性坐标系保持不变。更具体的轨迹规划方式参考文献[16]。
将惯性坐标系F_I的坐标原点O_I固定在初始时刻的小行星质心处，航天器的初始位姿状态为：q_BI(0)=[0.97, 0.08, -0.04, 0.226]^T，r_BI^B(0)=[0.022, -0.017, 2.011]^T km，ω_BI^B(0)=[1.23, -1.34, 0.211]^T×10^-3 rad/s，v_BI^B(0)=[0.141, 3.452, 0.027]^T m/s。
假设刚体航天器的真实质量为9 kg，转动惯量为

假设航天器质量与转动惯量的不确定性为

式中：|ΔJ|表示对ΔJ中每一个元素的绝对值。
4.1 终端滑模控制算法的仿真 首先不处理航天质量特性的不确定性，对终端滑模控制算法进行仿真。
控制器参数选为α₁=0.05，α₂=0.001，p=3，q=5，μ=5×10^-5，a=0.001，b=0.05，并假设控制器输出的控制力能被执行机构精确地、连续地执行。为了对比控制器的优势，设置了经典终端滑模面作为对照组^[17]。其滑模面与控制器表示为

(41)

(42)

其控制器参数选为α=-0.000 8，β=-0.95，k=0.33。
对2种控制器进行仿真可以得到如下结果。图 1与图 2为使用上述2种控制器进行跟踪控制所得到的位姿跟踪误差曲线。仿真结果表明，本文控制算法可以使姿态四元数在120 s内收敛至10^-3量级，位置误差在90 s内收敛到10^-2 m量级。对比图 1与图 2发现，虽然经典终端滑模能使位置误差更快地收敛，但总体来说时间相差无几。

图 1 终端滑模控制位姿跟踪误差 Fig. 1 Orbit and attitude tracking error of terminal sliding mode control

图选项

图 2 对照组位姿跟踪误差 Fig. 2 Orbit and attitude tracking error in comparison group

图选项

图 3与图 4为上述2种控制器控制得到的角速度与线速度的跟踪误差模值。观察图 3可以看出，仿真开始时有一定的跟踪误差，随着仿真的进行，姿态角速度误差||ω_BD^B||能够在300 s内收敛到10^-5 rad/s，线速度误差||v_BD^B||也能收敛到10^-3 m/s量级。对比图 4可以发现，本文所设计的控制算法达到的控制精度更高，且发生大幅度抖振的区间较少。

图 3 终端滑模控制速度与角速度跟踪误差 Fig. 3 Velocity and angular velocity tracking error of terminal sliding mode control

图选项

图 4 对照组速度与角速度跟踪误差 Fig. 4 Velocity and angular velocity tracking error in comparison group

图选项

图 5与图 6为使用上述2种控制器完成跟踪任务产生的控制力与力矩的曲线，两者都能做到快速收敛。对比两者发现，本文中设计的控制器产生的控制力较小，超调量降低了50%左右，且对比控制力曲线可以发现，滑模的抖振从10^-3量级降到10^-5量级，说明本文设计的终端滑模控制器抑制滑模抖振能力强。

图 5 终端滑模控制控制力与力矩 Fig. 5 Control force and torque of terminal sliding mode

图选项

图 6 对照组控制力与力矩

图选项

4.2 自适应终端滑模控制算法的仿真 通过4.1节对终端滑模控制算法的仿真结果进行分析不难发现，控制器虽然能很快地将系统状态收敛到期望状态，且控制力数值较小，但是控制过程中，控制力与力矩会出现小幅抖动。
采用与4.1节相同的仿真条件，使用自适应终端滑模控制器进行跟踪控制，自适应算法的参数设定为γ=215 0，其仿真结果如图 7~图 9所示。

图 7 自适应终端滑模控制位姿跟踪误差 Fig. 7 Orbit and attitude tracking error of adaptive terminal sliding mode control

图选项

图 8 自适应终端滑模控制速度与角速度跟踪误差 Fig. 8 Velocity and angular velocity tracking error of adaptive terminal sliding mode control

图选项

图 9 自适应终端滑模控制控制力与力矩 Fig. 9 control force and torque of adaptive terminal sliding mode control

图选项

与4.1节不添加自适应控制律的终端滑模控制算法的仿真结果相比，二者的收敛速度并没有明显的差别，但对比图 3与图 8可以发现角速度与线速度的跟踪误差的抖动有了很大的抑制，另外，对比图 5与图 9可以发现，添加了自适应算法的控制器，消除了控制过程中的尖峰，使控制更加平滑。综上，自适应控制律的加入有效地提高了控制器的效果。
5 结论 1) 以对偶四元数为工具建立了航天器姿轨耦合模型，考虑到模型质量特性的不确定性，设计了一种非奇异的自适应终端滑模控制算法对航天器进行姿轨联合控制，并通过李雅普诺夫第二方法证明了该控制器的稳定性。
2) 以微小卫星绕飞小行星的跟踪控制作为仿真背景验证算法的有效性，相较于传统形式的终端滑模算法，本文中设计的控制律有如下优势：能够解决终端滑模奇异点的问题，削弱质量参数的不确定性对系统控制的影响，产生的控制力较小，超调量较小，控制力平滑，能较好地抑制滑模控制的抖振特性。

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