doi:10.12202/j.0476-0301.2020326张俊强^,
中国矿业大学（北京）理学院， 100083，北京
基金项目:国家自然科学基金青年科学基金资助项目（11801555）；中国矿业大学（北京）课程建设与教学改革项目（J190807）；国家自然科学基金资助项目（11971058）；中央高校基本科研业务费项目（2020YQLX02）

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通讯作者:张俊强（1988—），男，理学博士，讲师. 研究方向：调和分析. e-mail：jqzhang@cumtb.edu.cn

中图分类号:O174.22

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出版历程

收稿日期:2020-09-07
网络出版日期:2021-01-09
刊出日期:2020-12-01

Weak type limiting estimates for maximal functions

Junqiang ZHANG^,
School of Science, China University of Mining and Technology-Beijing, 100083, Beijing, China



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摘要
摘要:主要考虑了当λ→0时, 非切向极大函数N_α和径向极大函数R的弱型极限不等式估计．具体地，对任意给定的$0 \text{＜} \alpha \text{＜} {2^{1/n}} - 1$和任意$0 \text{≤} f \in {L^1}\left( {{\mathbb{R}^n}} \right)$, 存在常数$1\text{＜}N\text{＜}\infty$，使得$\dfrac{{{V_{{n}}}\varPhi \left( \alpha \right)}}{{2{N^n}}}{\left\| {f} \right\|_1} \text{≤} \mathop {{\rm{lim}}}\limits_{\lambda \to 0} \lambda \left| {\left\{ {x \in {{{\mathbb{R}}}^n}:{N_\alpha }\left( f \right)\left( x \right) \text{＞} \lambda } \right\}} \right| \text{≤} $$ {V_n}\left(2 - \dfrac{{\varPhi \left( \alpha \right)}}{{2{N^n}}}\right){\left\| {f} \right\|_1}$，不等式$\dfrac{{{V_n}}}{{2{N^n}}}{\left\| {f} \right\|_1} \text{≤} \mathop {{\rm{lim}}}\limits_{\lambda \to 0} \lambda \left| {\left\{ {x \in {{{\mathbb{R}}}^n}:R\left( f \right)\left( x \right) \text{＞} \lambda } \right\}} \right| \text{≤} {V_n}\left(2 - \dfrac{1}{{2{N^n}}}\right){\left\| {f} \right\|_1}$成立，式中V_n表示$\mathbb{R}^n$中单位球的体积．
关键词:非切向极大函数/
径向极大函数/
弱型极限/
估计/
Vitali覆盖
Abstract:We consider weak type limiting estimates for non-tangential maximal function N_α and radial maximal function R when λ→0．To be precise, we demonstrate that, for any given $0 \text{＜} \alpha \text{＜} {2^{1/n}} - 1$ and any $0 \text{≤} {\rm{}}f \in {L^1}\left( {{\mathbb{R}^n}} \right)$, there exists a constant of $1\text{＜}N\text{＜}\infty $ such that $\dfrac{{{V_{{n}}}\varPhi \left( \alpha \right)}}{{2{N^n}}}{\left\| {f} \right\|_1} \text{≤} \mathop {{\rm{lim}}}\limits_{\lambda \to 0} \lambda \left| {\left\{ {x \in {{{\mathbb{R}}}^n}:{N_\alpha }\left( f \right)\left( x \right) \text{＞} \lambda } \right\}} \right| \text{≤} $$ {V_n}\left( {2 - \dfrac{{\varPhi \left( \alpha \right)}}{{2{N^n}}}} \right){\left\| {f} \right\|_1}$, $\dfrac{{{V_n}}}{{2{{{N}}^n}}}{\left\| {f} \right\|_1} \text{≤} $$ \mathop {{\rm{lim}}}\limits_{\lambda \to 0} \lambda \left| {\left\{ {x \in {{{\rm{R}}}^n}:{\mathbb{R}}\left( f \right)\left( x \right) \text{＞} \lambda } \right\}} \right|\text{≤} {V_n}\left( {2 - \dfrac{1}{{2{N^n}}}} \right){\left\| {f} \right\|_1}$, where V_n denotes volume of a unit ball of $\mathbb{R}^n$．
Key words:non-tangential maximal function/
radial maximal function/
weak type limiting/
estimates/
Vitali covering