科目代码、名称:

861 高等代数

专业类别：

■学术型 □专业学位

适用专业:

数学

一、基本内容

1、多项式

本部分要求掌握一元多项式及其整除问题、多项式函数、最大公因式、重因式和因式分解定理等有关概念和基本结论，能够进行多项式的有关计算和有关命题的证明。

2、行列式

（1）定义与性质

要求熟悉排列、逆序、对换等概念；理解行列式的定义；掌握行列式的性质。

（2）计算与证明

较好掌握行列式的计算技巧和方法，能较熟练地计算行列式和证明有关行列式的结论。

3、向量的线性相关性与线性方程组

（1）维向量空间

掌握维向量空间的定义、向量组线性相关与线性无关等概念并能证明有关结论。

（2）向量组的秩和矩阵的秩

掌握向量组的秩、矩阵的秩等有关概念，可利用矩阵秩的概念讨论线性方程组的可解性，并能证明有关结论。

（3）线性方程组解的结构

掌握线性方程组解的判定定理，会求有解的线性方程组的通解，熟练掌握线性方程组常用的解

法，并能证明有关结论。

4、矩阵

（1）矩阵的概念与运算

熟练掌握矩阵的运算法则，如矩阵的加、减、数乘、乘法、转置、方阵取行列式等。熟悉矩阵与行列式的关系。会求矩阵的幂，会求解矩阵方程等。

（2）矩阵的逆、分块矩阵

掌握可逆矩阵、非退化矩阵概念，明确二者关系。会计算方阵的伴随矩阵、逆矩阵。能利用分块方法进行矩阵运算。能证明有关结论。

（3）初等矩阵与初等变换

掌握矩阵的初等变换和初等矩阵的概念，明确二者关系。能熟练进行矩阵的初等变换，能利用初等变换求解线性方程组，并能进行有关证明。

(4) 相似矩阵与矩阵合同

熟悉相似矩阵与矩阵合同的概念，能求矩阵变换并对矩阵对角化，并能证明有关结论。

5、二次型

（1）基本概念与基本变换

掌握二次型、二次型的标准型、对称矩阵等概念，明确彼此的关系。可将二次型化为标准型，可求与对称矩阵合同的对角矩阵，可由已知对称矩阵求二次型及其标准型，并能证明有关结论。

（2）正定、负定二次型

掌握正定、负定二次型、半正定、半负定矩阵等概念及其判别方法，并能证明有关结论。

6、线性空间

(1)基本概念:

掌握线性空间、维数、基、坐标、线性子空间及直和等概念，并能证明基本性质。

(2)基变换与坐标变换

掌握基变换与坐标变换方法，熟悉并能证明有关结论。

7、线性变换

（1）定义、运算与性质

掌握线性变换的定义、运算与性质。熟悉可逆变换、逆变换，并能证明基本性质。

（2）线性变换的矩阵

对线性空间的线性变换，明确其在给定基下的矩阵与该变换的对应关系，并能证明有关结论。

（3）特征值与特征向量

能较熟练计算线性变换和方阵的特征值与相应的特征向量，能进行有关应用，并能证明有关结

论。

8、矩阵

（1）矩阵在初等变换下的标准形

会求矩阵在初等变换下的标准形，会求矩阵的初等因子、不变因子、行列式因子。

（2）矩阵的若儿当标准形与有理标准形

会计算矩阵的若儿当标准形与有理标准形，熟悉并能证明有关结论。

9、欧几里得空间

掌握欧几里得空间的定义与性质，掌握内积、正交性、标准正交基的概念及有关计算方法，能证明有关性质和结论。

二、考试要求（包括考试时间、总分、考试方式、题型、分数比例等）

考试时间：180分钟

总分：150分

考试方式：笔试，闭卷

题型、分数比例：计算题约占40%，概念题、证明题约占60%。

三、主要参考书目

1、《高等代数》（第三版）北京大学数学系几何与代数教研室前代数小组著 高等教育出版社 2003 或之后版本

2、《高等代数（上下册）》（第二版） 丘维声著 高等教育出版社 1999 或之后版本