近日，上海交通大学李政道研究所李政道****吴建达的理论团队，中国人民大学于伟强教授核磁共振实验团队与上海交通大学物理与天文学院的马杰教授中子散射实验团队共同合作，在国际权威物理学期刊《物理评论快报》上，以“E₈Spectra of Quasi-one-dimensional Antiferromagnet BaCo₂V₂O₈under Transverse Field”为标题发表最新研究成果^[1]【Phys. Rev. Lett. 127, 077201 (2021)】。****吴建达为该合作理论部分通讯作者并设计了该科研项目，于伟强教授及马杰教授为该合作实验部分共同通讯作者。李政道研究所博士后研究员邹海源、2020级博士生王骁及中国人民大学博士后崔祎为文章共同第一作者。李政道研究所博士后研究员张钊及2019级博士生杨家豪等共同参与了本次研究。
横场伊辛链(Transverse Field Ising Chain)在量子临界点处的低能物理能被中心荷(central charge)为1/2的共形场论(Conformal Field Theory)所描述。在该量子临界点处，当该模型受到一个纵向磁场的扰动时，会涌现出一个能被E8例外李代数严格描述的量子可积系统——量子E8可积模型。这一可积模型包含了8种不同类型的带质量的准粒子激发，其中第二个粒子和第一个粒子的质量比m₂/m₁=2cos(π/5)≈1.618满足黄金分割比（如图一）^[2]。有鉴于量子E₈可积模型本身的简洁，优美及其所蕴含的丰富物理，进一步完整理解该模型的激发并找到一个能够实现该模型的材料不仅是量子可积模型及统计场论基础研究的重大进展，也有望为新颖的量子磁性器件设计带来新契机。

图一：E₈可积模型区域。m₁和m₂为最轻的两E₈粒子的质量，图中展示了其余E₈粒子质量同m₁和m₂间的严格关系。其中，m₂/m₁=2cosπ/5≈1.618为黄金分割比。
然而，想要在真实的材料中完美实现E8模型绝非易事，这既是由于实际强关联材料本身是极其复杂的，往往难以用简单的有效模型完整描述；同时也囿于实验技术手段，测量出的数据难以抓住主要物理图像。在此前的一系列工作中，李政道研究所吴建达团队联合德国科隆大学的王喆团队，中国人民大学的于伟强团队等，已经对BaCo₂V₂O₈(BCVO)、SrCo₂V₂O₈(SCVO)材料做过充分研究。比如，若加沿[110]方向的磁场，在磁场强度达到40特斯拉（以下用T标记磁场单位特斯拉）时，该材料在低温下会展示出一维自旋链的量子临界行为。通过对格林艾森比率(Grüneisen ratio)进行测量，研究团队证实这一量子临界点普适类为横场伊辛链的普适类，如图二^[3]。这是自该普适类^[4]提出五十余年后首次在材料中实现。尽管如此，40T的量子相变点终究是一个在实验上过于极端且昂贵的磁场环境，我们难以在此通过外部可控的方式实现E8模型。后来，在吴建达团队与于伟强教授团队的另一篇针对SCVO材料的研究中发现，沿[100] (或[010])方向添加的磁场会诱导出一个能够压制临界场大小的沿[010] (或[100])的有效交错横场，从而能在较低的磁场环境下实现横场伊辛链普适类^[5]。与此同时，吴建达研究团队在沿ab面添加磁场的BCVO和SCVO材料相对应的有效模型中结合理论及数值分析确认了相关的量子临界点为横场伊辛普适类^[6]，如图三。然而，由于该一维量子临界点的微观反铁磁涨落本性，实现E₈物理需要有一个沿伊辛方向的交错纵向磁场，这在实验中极为困难；另一方面，由于SCVO材料中的一维临界点处于三维反铁磁序之外，也无法利用三维反铁磁序提供有效交错场，故在SCVO材料中极难实现量子E₈可积模型。但基于此工作，****吴建达在对BCVO材料沿[100] ([010])加磁场时进行的理论分析发现，其对应的横场伊辛链量子临界点在约5T的位置，而这样的临界磁场强度远小于该材料的三维反铁磁序的10T量子临界磁场，这就能够为实现E₈的物理提供一个有效的交错纵向磁场。从而，理论上期望BCVO材料可以在这一量子临界点附近涌现出E₈物理。最终，****吴建达设计了该项目，在理论分析并预言能实现量子E₈可积模型的相关参数区间内，德国科隆大学的王喆实验团队（THz电子自旋共振实验），中国人民大学于伟强实验团队（核磁共振实验），上海交通大学马杰实验团队（非弹性中子散射实验）完成了量子E₈可积模型的材料实现及验证的工作^[1,2,7]。

图二：BaCo₂V₂O₈的相图，图(a)中展示了在沿[110]方向的磁场加到40T附近的量子临界区。图(b)及(c)符合横场伊辛链普适类特征的格林艾森比率量子临界行为。





图三：SCVO材料及其有效模型的普适类验证。图(a)展示了利用iTEBD数值模拟验证相关有效模型具有横场伊辛普适类。图(b)展示了利用NMR测得的带有随[100]方向磁场变化的SCVO材料相图，其中临界磁场H_C2=7.7T处涌现出横场伊辛模型的普适类。
在本篇物理评论快报中[1]，合作团队使用核磁共振(NMR)技术准确地定位了隐藏在三维长程序中的一维量子相变点的位置【严格地说，由于在此三维长程序中存在能隙，该量子相变点并不明显存在，但是理论预期在三维序之外，该一维量子临界点将仍会产生显著的量子临界现象，NMR实验正是通过在该区域中的量子临界性的测量来确定相应的量子临界点的位置】，如图四及图五。然后利用非弹性中子散射(INS)技术首次展示了完整的E8激线。这一结果发谱与利用量子E8可积模型求解出的解析结果及iTEBD算法计算得到的数值结果高度吻合，如图六。进一步地，合作团队找出了在所研究的能量范围内下所有的多粒子激发模式，从而在BCVO材料中实现了量子E8可积模型的物理。

图四：加沿[010]方向横场下的BaCo₂V₂O₈相图及衍生的E₈物理。图(a)展示了BCVO材料的晶体结构，图(b)展示了横场中的BCVO相图，图(c)展示了量子E₈可积模型中八种粒子沿能量轴的质量排布，图中的数字标记了以第一种粒子的质量m₁为单位的能量。



图五：利用NMR技术验证BCVO材料在加[010]方向横场后的一维量子临界点为横场伊辛普适类。图(a)展示了在不同大小的横场下对自旋晶格弛豫速率的测量，曲线的尖峰所对应的位置决定了Néel（奈尔）温度的位置。图(b)展示了在温度为6k-12k下的一维能隙的数据，从而验证了一维量子临界场的大小在4.7T±0.3T附近。



图六：一维量子临界点附近的E₈动力学激发谱，其中图(a)、(b)和(c)分别为非弹性中子散射的实验数据，量子E₈可积模型的解析计算结果和iTEBD数值计算结果。(d)、(e)、(f)及(g)展示了该模型中各类激发的谱贡献的解析结果。
本文【Phys. Rev. Lett. 127, 077201 (2021), arXiv:2005.13302】及THz实验一文【Phys. Rev. B 101, 220411(R) (2020), arXiv:2005.13772】皆入选了2020年9月30日的凝聚态物理研讨会(Journal Club for Condensed Matter Physics)的月度精选，来自东京大学的凝聚态物理学家Masaki Oshikawa教授亦在此月度精选中以“Experimental observations of the universal cascade of bound states in quantum Ising chain in a magnetic field andE₈symmetry”为题撰写长文深入评价了该重要进展^[8]：“not only impressive achievement of experimental magnetism but also demonstrate the power of universality, emergent symmetry, and emergent intgrability.” 【译：不仅仅是关于实验磁性令人印象深刻的成就，更是展现了普适类、涌现对称性及涌现可积性的强大。】
****吴建达在此项目中得到了上海自然科学基金、上海浦江人才计划及一项额外的上海人才计划的支持。
参考文献
[1].E₈Spectra of Quasi-one-dimensional Antiferromagnet BaCo₂V₂O₈under Transverse Field, Haiyuan Zou, Yi Cui, Xiao Wang, Z. Zhang, J. Yang, G. Xu, A. Okutani, M. Hagiwara, M. Matsuda, G. Wang, Giuseppe Mussardo, K. Hódsági, M. Kormos, Zhangzhen He, S. Kimura, Rong Yu, Weiqiang Yu*, Jie Ma*, and Jianda Wu*, Phys. Rev. Lett. 127, 077201 (2021).
[2].Cascade of singularities in the spin dynamics of a perturbed quantum critical Ising chain, Xiao Wang, Haiyuan Zou, Kristof Hodsagi, Marton Kormos, Gabor Takacs, and J. Wu*, Phys. Rev. B 103, 235117 (2021).
[3].Quantum Criticality of an Ising-like Spin-1/2 Antiferromagnetic Chain in Transverse Magnetic Field, Z. Wang*, T. Lorenz*, D. I. Gorbunov, P. T. Cong, Y. Kohama, S. Niesen, O. Breunig, J. Engelmayer, A. Herman, J. Wu*, K. Kindo, J. Wosnitza, S. Zherlitsyn, and A. Loidl, Phys. Rev. Lett. 120, 207205 (2018).
[4]. The one-dimensional Ising model with a transverse field, Pierre Pfeuty, Ann. Phys. (N.Y.) 57, 79 (1970).
[5].Quantum criticality of the Ising-like screw chain antiferromagnet SrCo2V2O8 in a transverse magnetic field, Y. Cui, H. Zou, N. Xi, Z. He*, Y. X. Yang, L. Shu, G. H. Zhang, Z. Hu, T. Chen, R. Yu, J. Wu*, W. Yu*, Phys. Rev. Lett. 123, 067203 (2019).
[6].Universality of Heisenberg-Ising chain in external fields, H. Zou, R. Yu*, J. Wu*, J. Phys.: Condens. Matter. 32, 045602 (2020).
[7]. Observation ofE₈Particles in an Ising Chain Antiferromagnet, Z. Zhang, K. Amelin, X. Wang, H. Zou, J. Yang, U. Nagel, T. R??m, T. Dey, A. A. Nugroho, T. Lorenz, J. Wu*, Zhe Wang*, Phys. Rev. B 101, 220411(R) (2020).
[8].M. Oshikawa, Experimental observations of the universal cascade of bound states in quantum Ising chain in a magnetic field andE₈symmetry, Journal Club for Condensed Matter Physics 2020,https://doi.org/10.36471/JCCM_September_2020_04.