张志红, 秦文龙, 张钦喜, 郭晏辰
北京工业大学 城市与工程安全减灾教育部重点实验室，北京 100124
收稿日期：2020-06-30
基金项目：北京市自然科学基金重点资助项目(8171001)。
作者简介：张志红(1976-)，女，河北深州人，北京工业大学教授，博士生导师。

摘要：基于地下水渗流连续性原理并结合达西定律，推导出了止水帷幕在不同插入深度下的圆形基坑涌水量计算公式.在此基础上，借鉴我国船舶工程中广泛采用的阻力系数法，提出了考虑悬挂式止水帷幕的地表沉降量计算方法.最后综合涌水量和地面沉降计算方法，以控水成本为目标，以基坑涌水量和坑外地面沉降量为约束条件，建立了一套完整的兼顾基坑设计安全性和经济性的悬挂式止水帷幕基坑控水设计优化方法，并以北京市通州区某工程场地为例，对所建立的控水优化方法进行了具体应用.
关键词：基坑降水悬挂式止水帷幕涌水量地面沉降控水优化设计
Water Control Optimization Method of Foundation Pit with Suspended Waterproof Curtain
ZHANG Zhi-hong, QIN Wen-long, ZHANG Qin-xi, GUO Yan-chen
The Key Laboratory of Urban Security and Disaster Engineering, Ministry of Education, Beijing University of Technology, Beijing 100124, China
Corresponding author: ZHANG Zhi-hong, E-mail: zhangzh2002@126.com.

Abstract: The calculation formulas for water inflow of a circular foundation pit with different insertion depths of waterproof curtain are proposed based on the principle of seepage continuity of groundwater and Darcy's law. The analytical solution of ground subsidence outside the foundation pit with different insertion depths of waterproof curtain is proposed according to the method of resistance coefficient widely used in ship engineering in China. Finally, an applicable procedure of dewatering of foundation pit with waterproof curtain partially penetrating aquifers was developed, in which water control cost is set as the target, and ground subsidence and groundwater inflow are set as the constraints conditions considering both safety and economy of foundation pit design. The proposed optimization method for water control was applied in a project site in Tongzhou district, Beijing.
Key words: foundation pit dewateringsuspended waterproof curtaingroundwater inflowground subsidencewater controloptimal design
随着我国城市建设的迅猛发展，尤其是超高层建筑的大量兴建，使得基坑开挖深度逐渐加大，工程建设中面临的地下水资源保护问题愈加突出^[1-2].地下水控制的方法主要分为降水和止水^[3].2017年12月北京市政府印发了《北京市水资源税改革试点实施办法》，提出工程建设过程中应征收水资源税来加强水资源管理和保护，促进水资源节约与合理开发利用.由此少降水和非降水施工必将成为未来的主要地下水控制方法.同时，基坑降水工程中对地下水的抽取会导致基坑周围出现地面沉降.因此如何高效协调工程降水安全施工与保护地下水资源间的关系成为当前亟需解决的难题.
对于存在深厚潜水含水层的基坑降水施工，应用止水帷幕是一种较为适宜的止水方案，可以提高基坑稳定性并同时减少地下水入渗^[4]; 因此工程上通常采用止水帷幕进行基坑降水，以此来减少基坑涌水量并减轻对周围环境造成的影响^[5].根据止水帷幕是否插入隔水层，止水帷幕划分为悬挂式止水帷幕和落底式止水帷幕.理论上，落底式止水帷幕由于插入到隔水层中，完全切断了基坑内外的水力联系，因此基坑降水并不会对基坑周边产生不良环境影响.但是对于深基坑降水而言，落底式止水帷幕的施工难度大且造价高，因此如今对于深基坑降水工程通常使用悬挂式止水帷幕; 而从保护地下水资源和控制成本的角度出发，确定悬挂式止水帷幕的插入深度显得尤为重要.
目前已有的理论研究成果主要是针对止水帷幕对基坑渗流稳定性的影响^[6-10].止水帷幕对涌水量和地面沉降量影响的研究除张邦芾、陈西安等开展了室内模型试验外^[11-12]，大部分****主要以数值模拟的手段对特定工况进行了定性分析^[13-16]; 《建筑与市政工程地下水控制技术规范》^[17]也仅从基坑稳定渗流方面对帷幕插入深度给出了相应的设计值，对悬挂式止水帷幕基坑涌水量理论计算方法的研究较少，更缺乏对控水优化方法的探讨.
基于此，本文根据地下水动力学基本原理，考虑悬挂式止水帷幕对基坑渗流路径的影响，研究基坑内外流网的分布规律，提出了潜水含水层中悬挂式止水帷幕圆形基坑涌水量的计算方法.并借鉴船舶工程中广泛采用的阻力系数法^[18-20]，推导出基坑外任意一点水位降深的计算公式，进而采用规范中的沉降计算方法求解由于地下水水位下降所引起的基坑外地表沉降量.最后综合涌水量和沉降量计算方法，以控水总成本为目标，以基坑外某控制点的沉降量和基坑渗流稳定性为约束条件，提出了设置悬挂式止水帷幕的基坑控水设计优化方法.
1 悬挂式止水帷幕作用机理止水帷幕是一类构筑物的统称，设置在基坑外围或底部可阻止地下水渗流的构筑物均可称作止水帷幕，例如排桩、地下连续墙等^[16].悬挂式止水帷幕可以延长地下水渗流路径，减少渗流区域，改变渗流方向^[21].为了深入分析帷幕插入含水层不同深度时对止水效果的影响，本文将悬挂式止水帷幕作为研究对象.
对于设置悬挂式止水帷幕的基坑，地下水需绕过止水帷幕才能进入基坑(见图 1a); 与落底式止水帷幕(见图 1b)相比，悬挂式止水帷幕并未完全切断基坑内外的水力联系.因此止水帷幕将会影响基坑涌水量和坑外地面沉降的变化.
图 1(Fig. 1)

图 1 基坑降水示意图Fig.1 Schematic diagram of foundation pit dewatering (a)—悬挂式止水帷幕; (b)—落底式止水帷幕.

2 圆形基坑涌水量计算方法运用地下水动力学基本原理，针对深厚潜水含水层开展研究，基坑形状选为圆形基坑，并作出如下假设：①含水层均质; ②水流运动服从达西定律; ③隔水层和止水帷幕为理想的完全不透水介质.
将垂直于隔水层顶板且通过圆形基坑中心的垂线定义为z轴，将z轴与隔水层顶板的交点定义为坐标原点，将基坑径向定义为r轴，建立柱坐标系，如图 2所示.
图 2(Fig. 2)

图 2 基坑周围渗流场流网分布图Fig.2 Distribution of flow network around foundation pit

整个渗流区内任意一点(r, z)水头可以表示为h(r, z)，简写为h，各边界条件为

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

式中：H为基坑初始水位; r_w为圆形基坑半径; R为降水影响半径; D(r)为潜水面浸润曲线方程; z_n下标n代表自由水面; l为帷幕底端距隔水层顶板的距离，即过水断面高度; h_w为基坑外最大水位降深处的水头; h₀为帷幕底中轴线位置等水头线的水头值; h_d为基坑设计水位处的水头值.
如图 2所示，沿帷幕中心轴线将基坑渗流场分为基坑外侧渗流场和基坑内侧渗流场两部分，计算基坑外侧涌水量Q_坑外和基坑内侧涌水量Q_坑内，根据水流连续性原理可知

(7)

2.1 基坑外侧涌水量计算基坑外侧涌水量计算简图如图 3所示.
图 3(Fig. 3)

图 3 基坑外侧涌水量计算示意图Fig.3 Schematic diagram of groundwater inflow outside foundation pit

根据达西定律，基坑外侧任意一点(r, z)处水平向的渗流速度为

(8)

式中k_r为含水层的水平渗透系数.
单位时间内通过任意过水断面的流量为

(9)

将式(8)代入式(9)可得

(10)

根据积分函数求微分原理对式(10)右边的积分项进行展开，得

(11)

将式(11)代入式(10)可得

(12)

式(12)等式两侧同时对r积分可得

(13)

将边界条件式(1)代入式(13)可得积分常数：

(14)

将式(14)代入式(13)可得

(15)

在帷幕中心轴线处，水头设定如下：
当0＜z＜l时，地下水为水平流向，水头值为固定值^[3]，即

(16)

当z>l时，已有研究表明帷幕外侧水力梯度从帷幕底端到潜水面呈现逐渐减小的规律^[11]，因此定义式(17)描述z>l处的水头分布：

(17)

将式(16)、式(17)代入式(15), 通过积分可得基坑外侧涌水量表达式：

(18)

式中h_c为止水帷幕插入深度.
式(18)即为深厚潜水含水层中悬挂式止水帷幕圆形基坑外侧涌水量计算表达式.
2.2 基坑内侧涌水量计算基坑内侧涌水量计算简图如图 4所示.基坑内侧除帷幕结构中心线处和坑内降深处为等水头边界外，其余边界均为不透水边界.
图 4(Fig. 4)

图 4 基坑内侧涌水量计算示意图Fig.4 Schematic diagram of discharge rate inside foundation pit

基坑内最短渗流路径为

(19)

基坑内最长渗流路径为

(20)

式中ξ为基坑内渗流路径折减系数，取ξ=0.8. 则基坑内侧平均渗流路径可表示为

(21)

根据达西定律，基坑内通过任意过水断面的流量为

(22)

式(22)即为潜水含水层中悬挂式止水帷幕圆形基坑内侧涌水量计算表达式.
2.3 悬挂式止水帷幕圆形基坑涌水量计算根据地下水运动连续性，基坑外侧的涌水量等于基坑内侧的涌水量，故将式(18)、式(22)代入式(7)，可得

(23)

根据已有研究成果和试验数据，帷幕底端水头值h₀介于帷幕外侧最低水位处水头值h_w和基坑底部设计水位处水头值h_d之间^{[3, 11]}，因此将帷幕底端水头值h₀定义为

(24)

将式(24)代入式(23), 整理得

(25)

其中：
将通过式(25)求得的h_w值代入式(24)，即可求得帷幕底端水头值h₀，然后将h_w和h₀代入基坑外侧涌水量计算式(18)或基坑内侧涌水量计算式(22)，即可求得潜水含水层中悬挂式止水帷幕圆形基坑的涌水量.
3 水位下降引起的坑外沉降计算地下水位下降，土体的有效应力增加，使土体发生压缩变形，进而造成地面沉降.根据计算所得的基坑涌水量，借鉴阻力系数法，反向求解基坑外的最大水位降深，然后采用规范中给出的降水沉降公式计算基坑外的地表沉降量.
3.1 阻力系数根据巴甫洛夫斯基分段法的理论和努麦罗夫对急变渗流区计算的理论，丘加也夫提出了阻力系数法，并在我国船闸工程处理板桩渗流的问题中被广泛采用.
如图 5所示，对于设置了悬挂式止水帷幕的基坑，沿帷幕中心线将地基分为Ⅰ，Ⅱ两段，第Ⅰ段阻力系数用ζ₁表示，第Ⅱ段阻力系数用ζ₂表示.第Ⅰ段与闸坝地基渗流计算中的进出口段形式相同，故第Ⅰ段的阻力系数ζ₁直接采用闸坝地基进出口段阻力系数的计算公式：

(26)

图 5(Fig. 5)

图 5 基坑分段示意图Fig.5 Sketch of foundation pit segment

因闸坝地基中没有与第Ⅱ段相类似的分段，故将第Ⅱ段单独进行分析.建立平面直角坐标系，如图 6所示，可得各边界条件为

(27)

图 6(Fig. 6)

图 6 第Ⅱ段示意图Fig.6 Sketch of fragment II

为了简化计算，假定含水层均质各向同性，则渗流控制方程可简化为

(28)

根据边界条件(27)，采用分离变量法求解公式(28)，可得基坑内任意一点的水头分布表达式：

(29)

其中：
根据达西定律, 区域Ⅱ的涌水量可以表示为

(30)

式中：k为含水层渗透系数; h₀为帷幕底中轴线位置等水头线的水位; h_d为基坑底部的设计水位.
故可得区域Ⅱ的阻力系数为

(31)

将A_p, B_p代入式(31)可得ζ₂的最终表达式为

(32)

由式(32)可以看出ζ₂的值由S₂/T₂和T₂/b唯一确定，为方便取值，绘制ζ₂的曲线如图 7所示.
图 7(Fig. 7)

图 7 阻力系数曲线图Fig.7 Resistance coefficient curves

3.2 基坑外水位降深对任一实际基坑工程，当止水帷幕设计的插入深度确定后，图 7中的S₂，T₂，b，T₁, S₁的值便可确定，因此对于一个确定的基坑工程，ζ₂为常数.根据阻力系数法基坑的涌水量可表示为

(33)

式中：L为圆形基坑周长; Δh为止水帷幕两侧水头差.
由图 5可得基坑内外水头差为

(34)

剩余含水层厚度(止水帷幕底部至隔水顶板的距离)为

(35)

联立式(26)、式(33)、式(34)和式(35)，消去S₁，可以得到

(36)

在式(36)中，l，T₂，ζ₂，k，Q均已知，因此T₁为唯一未知量.式(36)为T₁的隐式解，可以采用牛顿下山法进行迭代求解^[22].根据求解出的基坑外最大水位降深处的水位T₁，并结合已知的影响半径R处的水位H，采用目前水位线描述方程中应用较多的抛物线方程近似求解基坑外其他点的水位降深，则基坑外的浸润线(水位线)方程可以表示为

(37)

距基坑中心x处的水位降深S(x)为

(38)

3.3 水位下降引起的基坑外沉降计算3.3.1 附加应力根据计算点深度的不同，附加应力的计算方法也有所不同，如图 8所示.
图 8(Fig. 8)

图 8 浸润线以上的附加有效应力Fig.8 Additional effective stress above the phreatic line

计算点位于初始地下水位以上时：

(39)

计算点位于初始地下水位与浸润线水位之间时：

(40)

计算点位于浸润线水位以下时：

(41)

式中：γ_w为水的重度; a₀为计算点至初始地下水位的垂直距离; S_i为计算点对应的地下水位降深值.
3.3.2 沉降计算根据《建筑与市政工程地下水控制技术规范》^[17]，采用式(42)计算基坑外地下水位下降引起的沉降量：

(42)

式中：s为基坑外水位下降引起的地面沉降量; ψ_w为沉降计算经验系数，应根据地区工程经验取值，无经验时可取为降水引起的地面下第i层土任意深度z处的有效应力增量; Δh_i为第i层土的厚度; E_si为第i层土的压缩模量.
4 基坑工程地下水控制优化设计方法4.1 降水和止水方案设计在减少基坑降水对周围环境造成影响(如地面沉降、流砂、管涌)的同时，降低投资成本也是基坑工程控水设计的主旨.由于降水和止水各自所占的比例直接影响基坑工程的安全和成本，所以降水和止水的比例搭配也成为基坑工程优化设计的关键.由于止水帷幕的插入深度同时影响降水成本和止水成本，因此降水和止水之间的优化等效为悬挂式止水帷幕的插入深度的优化.
4.1.1 降水成本对于任一基坑工程，降水成本主要包括建井费、水资源费和其他费用，如图 9所示.
图 9(Fig. 9)

图 9 降水成本示意图Fig.9 Schematic diagram of precipitation cost

1) 建井费主要由降水方法、降水井数量和深度、滤水管长度等决定，其中降水井的数量和深度以及滤水管的长度是相互关联的，主要由基坑涌水量所决定.
2) 水资源费等于水资源税乘以整个降水期间的地下水排放总量，地下水排放总量等于基坑涌水量乘以降水周期.
3) 其他费用主要包括抽水台班费和抽水期人工费，都主要由基坑涌水量和降水周期决定.
对于某确定的基坑工程，土层性质和降水深度为定值，则降水成本主要由基坑涌水量和降水总周期决定.因此，可将降水成本设为基坑涌水量和降水总周期的函数，即

(43)

式中：T为降水总周期; Q为基坑涌水量; t为降水过程中的时间变量.
基坑涌水量采用式(18)或式(22)计算.对于具体的基坑工程，渗透系数、含水层厚度、基坑内设计水位、基坑尺寸、影响半径等都是定值，仅帷幕插入深度为可调参数.因此，将悬挂式止水帷幕基坑涌水量Q设为止水帷幕插入深度h_c的一元函数，即

(44)

由式(43)和式(44)可以将降水成本表示为

(45)

4.1.2 帷幕成本帷幕成本主要指帷幕的材料费和施工费，一般和止水帷幕的施工方法、帷幕的水平长度、帷幕的插入深度等有关，如图 10所示.
图 10(Fig. 10)

图 10 帷幕成本示意图Fig.10 Schematic diagram of curtain cost

对于确定的基坑工程，工程地质条件、水文地质条件、场地条件、帷幕的水平长度便已确定，因此帷幕的单价可以表示为g(z)，帷幕的总造价C₂为单价在插入深度上的积分，即

(46)

式中h_c′为基坑底以上的部分，即帷幕顶到基坑底的距离.
4.1.3 优化设计基坑工程地下水控制的总成本等于降水成本和帷幕成本之和，即

(47)

对于某个具体的工程，其他参数确定之后，式(47)为关于变量h_c的一元函数，求总成本最小时的帷幕插入深度h_c，0即可以简化为求式(47)在闭区间[0, h_d]上的极小值.对式(47)求导：

(48)

采用牛顿下山法对式(48)进行迭代求解，其结果分为以下三种情况：
1) 式(48)在区间(0, h_d)上有解，则其解h_c，0即为帷幕的最优插入深度，此时所对应的控水成本最低.这种情况便是悬挂式止水帷幕与降水相结合的控水方式.
2) 式(48)在区间(0, h_d)上无解，且h_c，0=0时对应的成本小于h_c=h_d时对应的成本.此时，悬挂式止水帷幕的造价远大于降水造价，因此应直接采用降水方法.
3) 式(48)在区间(0, h_d)上无解，且h_c=h_d时对应的成本小于时对应的成本.此时，悬挂式止水帷幕的成本远小于降水成本，因此，应直接采用落底式止水帷幕.
通过上述方法分析得出的止水帷幕插入深度h_c，0为仅进行成本优化所得结果，在此基础上，仍需要考虑两个约束条件：
1) 渗流稳定性^[23]：
为防止基坑发生流土破坏，帷幕插入深度需要满足渗流稳定性最小插入深度h_{c, m}，即

(49)

其中h_{c, m}根据下式确定：

(50)

式中：d为潜水面至基坑底面的土层厚度; γ′为土的浮重度; Δh为基坑内外水头差; γ_w为水的重度; K_f为流土稳定性安全系数.
2) 坑外沉降：
地下水位下降会引起基坑外地面产生沉降，在城市建筑物密集区，一般需要控制基坑外某一点的沉降或者基坑降水影响区的最大沉降.设某控制点单纯由水位下降造成的地面沉降限值为s_m.
基坑外某一给定点由于水位下降所引起的地面沉降是止水帷幕插入深度h_c的函数，设地面沉降限值s_m所对应的止水帷幕插入深度为h_{c, s}，则止水帷幕插入深度需要满足沉降限值的最小插入深度h_{c, s}，即

(51)

综合式(48)、式(49)和式(51)，最终可确定悬挂式止水帷幕的最优插入深度h_{c, op}的数值，即

(52)

4.2 工程案例应用4.2.1 工程概况所选工程场地位于北京市通州区宋梁路与通胡路交叉口西南侧，基底标高为10.32 m，地下水位标高平均为15.62 m，现状地面平均标高为21.00 m，基坑开挖深度10.68 m.基坑平面形状如图 11所示.通过调整控制参数的取值，计算不同止水帷幕插入深度下的控水成本、基坑外沉降量、基坑渗流稳定性，将基坑外地面沉降量和基坑渗流稳定性作为约束条件，满足约束条件的总成本最低的止水帷幕插入深度即为止水帷幕最优插入深度.
图 11(Fig. 11)

图 11 基坑平面形状示意图Fig.11 Plane shape diagram of foundation pit

根据岩土工程勘察报告，对地层进行概化处理，如图 12所示.
图 12(Fig. 12)

图 12 概化地质剖面图Fig.12 Generalized geological profile

4.2.2 优化设计1) 基本参数：
根据地勘报告，地面标高为21.00 m，地下水位标高取15.61 m，潜水含水层底板标高为-4.2 m，基底垫层底最低标高为10.32 m; 渗透系数取15.0 m/d; 基坑面积为16 914.44 m²，基坑周长为657.96 m，基坑降水总周期为210 d; 各土层厚度和压缩系数如表 1所示.
表 1(Table 1)

表 1 土层参数Table 1 Soil parameters 层号 层厚/m Es/MPa 1 2.800 5.000 2 0.800 5.000 3 1.200 6.000 4 2.400 15.000 5 2.200 20.000 6 2.800 25.000 7 13.000 35.000

表 1 土层参数 Table 1 Soil parameters

将该形状不规则的基坑面积进行分割，进而面积求和计算出总的基坑面积，最后按照面积等效法将其等效为圆形基坑.止水帷幕沿基坑周长全长布置; 基坑内水位下降到基坑底面以下0.5 m处，降水影响半径采用库萨金公式进行近似计算; 建立柱坐标系，结合勘察报告，基坑控水工程设计参数如表 2所示.
表 2(Table 2)

表 2 基坑控水工程设计参数Table 2 Design parameters of water control engineering for foundation pit 参数名称 参数取值 基坑等效半径r0/m 73.40 基坑周长L/m 657.96 计算土层厚度H0/m 25.21 含水层厚度H/m 19.82 基坑开挖深度D′/m 10.68 基坑降水深度S/m 5.79 基坑底水位hd/m 14.03 含水层渗透系数k/(m·d-1) 15.0 降水影响半径R/m 182.42 降水总周期T/d 210

表 2 基坑控水工程设计参数 Table 2 Design parameters of water control engineering for foundation pit

2) 设计流程及结果：
基坑涌水量采用式(18)和式(22)计算; 基坑外沉降采用式(42)计算; 渗流稳定性采用现行规范^[18]中的渗流稳定性公式(50)计算.降水成本采用式(45)计算，止水帷幕成本采用式(46)计算.为了简化计算，对降水成本进行平均化处理，得到降水成本单价为16.9元/m³; 对于止水帷幕造价，由于插入深度不同，止水帷幕施工难度不同，单价随入土深度而明显增加，根据基坑尺寸估算，单价随入土深度的变化趋势如表 3所示.
表 3(Table 3)

表 3 单位深度帷幕造价Table 3 Unit cost of curtain by depth 帷幕深度区间/m 单价/(万元·m-1) 0~ < 20 39.39 20~ < 25 67.05 25~30 125.66

表 3 单位深度帷幕造价 Table 3 Unit cost of curtain by depth

通过调整止水帷幕插入深度h_c的取值，计算不同帷幕插入深度下的控水成本、基坑外沉降量、基坑渗流稳定性，在满足基坑外沉降量限值和基坑渗流稳定性的条件下，控水成本最低的帷幕插入深度即为帷幕最优插入深度.
利用以上分析方法，得到降水成本、止水帷幕成本和总成本随帷幕插入深度的变化趋势，如图 13所示.根据工程要求，距基坑中心100 m处由于降水引起的地表沉降量不能超过15 mm，因此将基坑外地面沉降计算点定于位于距基坑中心100 m处，该点地面沉降量随止水帷幕插入深度的变化趋势如图 14所示.
图 13(Fig. 13)

图 13 基坑控水工程成本随帷幕插入深度的变化Fig.13 Variation of water control engineering cost of foundation pit with the depth of curtain insertion

图 14(Fig. 14)

图 14 地表沉降量随帷幕插入深度的变化Fig.14 Change of the settlement along with the depth of curtain insertion

由图 13可以看出，随着止水帷幕插入深度的增加，帷幕成本逐渐增加，降水成本则略有减少，总成本处于不断增加的趋势，因此可以得出，该工程采用的降水方法成本最低.但是工程要求距基坑中心100 m处由于降水引起的地表沉降量不能超过15 mm，因此，由图 14得出，止水帷幕的插入深度必须大于5.6 m.同时，帷幕插入深度取5.6 m能够满足渗流稳定性的要求，故该基坑控水工程的最终帷幕插入深度确定为5.6 m.
5 结论1) 以地下水运动学基本原理为基础，推导出潜水含水层中悬挂式止水帷幕基坑涌水量的计算方法.
2) 借鉴我国船舶工程中广泛采用的阻力系数法和现行规范中地面沉降量的计算方法，提出了基坑外由于水位下降所引起的地表沉降量计算方法.
3) 以控水总成本为目标函数，以基坑外某点的沉降量和渗流稳定性为约束条件，建立了一套悬挂式止水帷幕基坑控水优化设计方法.
4) 所提出的控水优化方法对于设计科学、合理、有效的控水方案，提高实际工程的安全性和经济性，以及保护地下水资源具有重要的指导意义.
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