季策, 马福永
东北大学 计算机科学与工程学院, 辽宁 沈阳 110169
收稿日期：2018-05-08
基金项目：国家自然科学基金资助项目(61673093，61370125)；沈阳市科技计划项目(F16-205-1-01)。
作者简介：季策(1969-), 女，辽宁沈阳人, 东北大学副教授。

摘要：为了解决光正交频分复用系统的高峰均功率比问题, 提出了一种基于相关性分析的部分传输序列算法.该算法通过分析备选信号之间的相关性, 将强相关信号和弱相关信号进行分类, 对强相关信号进行选择性搜索, 对弱相关信号进行全搜索, 这样在整体上了减少搜索次数.此外, 通过分析备选相位因子序列之间的关系, 优化相位因子加权过程.仿真结果表明, 在三种分割状态下, 均能有效改善系统峰均功率比, 尤其在交织分割状态下, 该算法与传统部分传输序列算法相比, 实现了无峰均功率比性能损失, 且计算复杂度得到大幅度降低.
关键词：光正交频分复用系统峰均功率比部分传输序列信号相关性加权优化
Improved PTS Algorithm Based on Correlation Analysis in O-OFDM System
JI Ce, MA Fu-yong
School of Computer Science & Engineering, Northeastern University, Shenyang 110169, China
Corresponding author: MA Fu-yong, E-mail: neumfy826@163.com
Abstract: In order to solve the problem of peak-to-average power ratio of optical orthogonal frequency division multiplexing system, a partial transmission sequence algorithm based on correlation analysis is proposed. By analyzing the correlation among the alternative signals, the algorithm classifies the strong correlation signal and the weak correlation signal, and searches the strong correlation signal selectively and the weak correlation signal completely, thus reducing the searching times on the whole. In addition, this paper optimizes the phase factor weighting process by analyzing the relationship between alternative phase factor sequences. The simulation results show that the peak-to-average power ratio of the system can be improved effectively under the three segmentation states. Especially in the interleaved segmentation state, the proposed algorithm is compared with the traditional partial transmission sequence algorithm. The proposed algorithm is with no-performance loss of peak-to-average power ratio, and the computational complexity is greatly reduced.
Key words: optical orthogonal frequency division multiplexing systempeak-to-average power ratiopartial transmission sequencesignal correlationweighted optimization
随着人们对高速率、远距离、大容量通信技术的需求不断提升, 光纤通信迅速发展起来, 成为近几年通信领域研究的热点.但光纤的色散问题限制了其性能的进一步提高.而将正交频分复用(orthogonal frequency division multiplexing, OFDM)技术引入光纤通信中, 可有效削弱偏振色散及色度色散等^[1-2].另外OFDM技术在频谱利用率、高速数据传输中优势明显.可以结合光纤通信与OFDM技术各自的优势, 构建更加完善的光纤传输系统.但是, 将OFDM技术引入光纤通信就不得不考虑OFDM技术本身峰均功率比(peak-to-average power ratio, PAPR)过高的问题, 再加上光放大器、调制器的非线性特性, 过高的PAPR导致信号通过功率放大器时产生非线性失真, 从而影响接收端的误码率性能.
为了有效解决高PAPR问题, 目前已经提出了许多降低PAPR的方法.主要分为两大类:一是非畸变类, 如选择映射法(selected mapping, SLM)^[3-4]和部分传输序列法(partial transmit sequence, PTS)^[5-10]等方法；二是预畸变类, 如限幅法(clipping)^[11]、加窗峰值抵消法等.非畸变类技术不会引入信号失真或者额外噪声, 但这类方法的计算复杂度一般较高.本文研究的重点是非畸变类中PTS算法.
本文提出了基于相关性分析的改进PTS(correlation analysis PTS, CA-PTS)算法.其基本思想是首先通过相关性理论分析, 优化备选相位因子序列, 以减少备选信号的搜索数目；另一方面优化相位因子加权过程, 减少传统PTS算法在相位因子加权过程中的计算冗余.本文从这两方面入手大大降低了计算的复杂度.仿真结果表明, 在交织分割方式下, 与传统PTS算法相比, 本文提出的CA-PTS算法在不损失PAPR性能和保证误码率的情况下, 计算复杂度大幅度降低.
1 O-OFDM系统的峰均功率比问题在O-OFDM系统中, 输入数据X=[X₀, X₁, …, X_N－1], 其中X_n(0≤n≤N－1)表示第n个子载波上传输的数据，N为子载波数量, X经过IFFT变换可得其时域信号x=[x₁, x₂, …, x_N－1], 其第k个信号可表示为

(1)

峰均功率比PAPR定义为

(2)

其中E{*}表示信号的平均功率值.
一般用互补累积分布函数(complementary cumulative distribution function, CCDF)来描述峰均功率比的分布情况.它表示信号的峰均功率比超过某一门限z的概率, 即

(3)

其中L表示过采样数.
2 部分传输序列法传统PTS算法的基本原理如图 1所示.将OFDM信号分为V个互不重叠的子向量X^v=[X₀^v, X₁^v, …, X_N－1^v], 可表示为

(4)

图 1(Fig. 1)

图 1 传统PTS算法原理框图Fig.1 Block diagram of the traditional PTS algorithm

其中1≤v≤V.第u个备选信号可以表示为

(5)

在U路备选信号中选择PAPR最小的进行传输：

(6)

其中σ²为平均功率.
3 改进PTS算法3.1 优化搜索过程传统的PTS算法进行的是遍历式全搜索, 其PAPR性能较为理想, 但计算复杂度高, 效率低.由于许多备选信号之间存在高度的相关性, 从而造成计算过程中冗余过多, 这为本文的研究提供了方向.
在PTS算法中, 当子载波N足够大时, 根据中心极限定理可得, OFDM信号中每个数据点均服从复高斯分布N(0, σ²), 每个子块x^v中的数据点均服从复高斯分布.
同时刻任意两路备选信号x_{u1, k}和x_{u2, k}的相关系数表示如下:

(7)

其中, Cov(x_{u1, k}, x_{u2, k})=E[x_{u1, k}(x_{u2, k})^*]－E(x_{u1, k})E^*(x_{u2, k}).
由于每个数据点均服从复高斯分布N(0, σ²), 可进一步得到

(8)

由于子载波间的正交性, 可将属于不同子块的子载波分为V组, 记为φ_v, 1≤v≤V.
根据式(5)可以得到

(9)

故利用式(9)可得

(10)

由于

(11)

令, 将式(11)代入式(10)可得

(12)

将式(12)代入式(8)可得

(13)

从式(13)可以看出, 相位因子直接决定了备选信号之间的相关性, 每组备选信号的相位因子数等于OFDM信号的分组数V.当b_v^u₁=b_v^u₂时, b_v^u₁(b_v^u₂)^*=1; 当b_v^u₁≠b_v^u₂时, b_v^u₁(b_v^u₂)^*≥－1.假定两路备选信号中使用不同相位因子的子块数为D, 则可进一步得到

(14)

由于取值的不确定性, 无法得到|ρ|的具体值, 但D的取值却会改变|ρ|的下限, D越大, |ρ|的下限越小.为了保证|ρ|足够大, 当D=1, V≥4时, |ρ|≥0.5, 保证了两路备选信号的强相关性.
由以上分析, 本文定义D=1时信号之间具有强相关性, D≠1时信号之间具有弱相关性, 并以此为基础对所有备选信号进行分组.首先将相位因子序列中汉明距离为1的分为一组, 可以分为W^V-2组, 这样得到的每组备选信号均具有强相关性, 且每组中均存在一个基本信号, 因此得到W^V-2个基本信号.以下搜索过程仅对这W^V-2个基本信号进行搜索, 从而减少了计算的冗余.
传统的PTS算法中, 令子块x¹的相位因子为1, 再遍历式搜索产生W^V-1个备选信号.本文提出的算法只对定义中的基本信号进行搜索, 这样还需要确定出子块xⁱ的相位因子, 固定子块x¹和xⁱ的相位因子, 再进行遍历式搜索，产生W^V-2个备选信号.
考虑到每组信号中信号之间的相关性很强, 不能保证信号之间完全独立, 从而影响到PAPR性能.为了解决这个问题, 本文在确定子块xⁱ相位因子时, 进行了最优选择.该最优选择过程如下:
首先令所有子块xⁱ(1≤i≤V)的相位因子全部为1, 获得起始信号.通过改变起始信号中子块xⁱ(2≤i≤V)的相位因子, 得到不同的备选信号, 这样每对一个子块操作便可得到一组备选信号, 一共可以得到V-1组备选信号, 计算出每组备选信号PAPR的方差, 选出其中方差最小的一组, 然后再在该组中选出PAPR最小的备选信号, 若该备选信号为起始信号, 则该组中相位因子变化的子块即为所要寻找的子块xⁱ; 若该备选信号不为起始信号, 则其与起始信号的相位因子不同的子块, 便是所要寻找的子块xⁱ, 其子块xⁱ处的相位因子, 便是固定子块xⁱ所用的相位因子, 这里将这个过程称为定点.
定点过程最大限度避免了由于减少搜索备选信号个数而造成的PAPR性能损失.
以V=4, W=4为例, 分别改变起始信号子块x², x³, x⁴处的相位因子b₂, b₃, b₄可得到三组备选信号相位因子序列.如图 2a~2c所示.
图 2(Fig. 2)

图 2 确定定点所需的相位因子序列Fig.2 Determination of the sequence of phase factors required for a fixed point (a)—改变第二子块相位；(b)—改变第三子块相位；(c)—改变第四子块相位.

图 3给出了定点之后的搜索过程, 该过程对W^V-2个备选信号进行搜索并选出PAPR最小的进行传输.
图 3(Fig. 3)

图 3 定点确定后进行的搜索过程Fig.3 Searching process after the fixed point determination

3.2 相位加权优化过程该过程是以3.1节的分组原则为基础, 对组内相位因子加权进行的优化.则组内任意两备选相位因子序列b_u与b_u+1中有V-1个相位因子是相同的, 从而得到两路备选信号x_u和x_u+1之间的关系.

(15)

(16)

比较两式得到

(17)

由此可知利用式(17)便可快速地从第u路备选信号得到第(u+1)路备选信号.
为了保证加权优化过程的有序性, 在定点过程之前, 是以起始信号的相位因子序列为基础, 获得不同备选信号的相位因子序列.在定点过程之后, 以3.1节的分组原则为依据, 重新得到W^V-3组, 以组为单位, 只进行组内优化, 通过每组的基本信号的相位因子序列获得各组递推信号的相位因子序列.
上述权值优化过程只是改变了生成备选信号的方式, 最终生成的备选信号并未发生改变, 因此并未影响到CCDF中的任何变量, 从而不会对最终的PAPR性能产生影响.
综上, 搜索算法可以分以下几个步骤:
步骤1??设置子块数V及相位因子数W;
步骤2??根据信号之间的相关性进行分组, 将所有相位因子序列中汉明距离为1的分为一组, 共分为W^V－2组;
步骤3??每组包含W个相位因子序列, 存在1个基本信号相位因子序列, 因此可递推得到其余(W－1)个备选信号相位因子序列;
步骤4??改变起始信号子块xⁱ(2≤i≤V)的相位因子, 每改变一个子块的相位因子时, 其余子块的相位因子全部设为1, 通过将该子块乘以W－1个相位因子, 可以获得一组数目为W的备选信号, 共V－1组；
步骤5??分别计算每组序列PAPR的方差, 并选出其中方差最小的一组;
步骤6??固定子块xⁱ的相位因子b_i;
步骤7??固定相位因子b₁₁和b_ik, 计算所有基本信号相位因子序列的PAPR, 选择PAPR最小的备选信号进行传输.
4 计算复杂度分析本文将计算复杂度分为两部分来分析, 第一部分是固定子块xⁱ相位因子过程中所产生的计算复杂度, 第二部分是确定了子块x¹和xⁱ的相位因子后进行遍历搜索过程中产生的计算复杂度.
表 1是本文提出的算法与传统PTS算法的计算量对比.
表 1(Table 1)

表 1 两种PTS方案的计算量对比Table 1 Calculation burden comparison of two PTS schemes 算法 计算量(上、中、下分别为复数加法、复数乘法、比较计算量) PTS算法 WV-1LN(V-1)， WV-1LN(V-1)， WV-1LN-1 CA-PTS算法 [-V2+W+3V-3+(W+V-2)WV-3]×LN+(V-1)(3W-2)， [-V2+W+3V-3+(W+V-2)WV-3]×LN+(V-1)(3W-2), (WV-2+W-1)LN+V-2

表 1 两种PTS方案的计算量对比 Table 1 Calculation burden comparison of two PTS schemes

利用计算复杂度降低率(computational complexity reduction ratio, CCRR)比较各算法降低情况：

(18)

表 2中给出了当W=2及W=4时, CA-PTS算法相对于传统PTS算法的CCRR, 选择的参数分别为L=4, N=1 024, V=4.可以看到CA-PTS算法与传统PTS算法相比其计算复杂度得到了大幅度降低.
表 2(Table 2)

表 2 CA-PTS算法相对于传统PTS算法的CCRRTable 2 CCRR of CA-PTS algorithm compared with traditional PTS algorithm % 相位因子 复数加法 复数乘法 比较运算 W=2 87.49 87.49 37.49 W=4 89.06 89.06 70.31

表 2 CA-PTS算法相对于传统PTS算法的CCRR Table 2 CCRR of CA-PTS algorithm compared with traditional PTS algorithm

5 算法仿真为了验证本文提出算法的可行性, 在MATLAB环境下进行了仿真.参数设置如下:QPSK调制, 子载波数N=1 024, 过采样数L=4, 子块数V=4, 相位因子数W=4.
图 4给出了在三种分割方式下, 原始的OFDM信号、传统PTS和CA-PTS算法的CCDF仿真曲线.从图中可以看出, 在交织分割情况下, CA-PTS算法相比于传统PTS算法无PAPR性能损失, 而在邻接分割和随机分割的情况下均有少量性能损失, 损失范围均在0.7 dB内.
图 4(Fig. 4)

图 4 三种算法在三种分割方式下的CCDF仿真曲线Fig.4 CCDF curves of three algorithms under different segmentation methods

图 5给出了在交织分割状态下, 传统PTS算法及CA-PTS算法在V=4, 相位因子W=2和W=4下的CCDF仿真曲线.可以看出CA-PTS算法相对于传统PTS算法没有性能损失.
图 5(Fig. 5)

图 5 三种算法的CCDF仿真曲线Fig.5 CCDF curves of three algorithms

图 6给出了原始OFDM信号、传统PTS算法和CA-PTS算法的误码率分布曲线, 可以看出本文提出的算法对误码率基本没有影响, 这也说明了本文算法的可行性.
图 6(Fig. 6)

图 6 三种算法的误码率曲线Fig.6 BER curves of three algorithms

6 结论本文主要针对O-OFDM系统中PAPR过高的问题, 提出改进的PTS算法, 该算法考虑到信号之间的相关性, 所以对三种分割方式均作了仿真分析.结果表明, 与传统PTS算法相比, 在交织分割情况下, 本文的搜索算法实现了无PAPR性能损失, 在随机分割与邻接分割情况下, 有少量性能损失.相对于传统PTS算法其计算复杂度均有大幅度降低.本文提出的算法在交织分割情况下无PAPR性能损失, 且计算复杂度得到了大幅度降低, 因此本文算法具有一定的研究价值.
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