陆阳, 王健, 庄新田
东北大学 工商管理学院，辽宁 沈阳 110169
收稿日期：2019-03-12
基金项目：国家自然科学基金资助项目(71571038)；辽宁省自然科学基金资助项目(20180550441)；中央高校基本科研业务费专项资金资助项目(N180604006)。
作者简介：陆阳(1978-)，男，辽宁沈阳人，东北大学讲师，博士;
王健(1980-)，女，河北唐山人，东北大学教授;
庄新田(1956-)，男，吉林四平人，东北大学教授，博士生导师。

摘要：为研究人们对反按揭支付方式的偏好特征，分别建立基于指数函数和q指数函数的反按揭模型并求解.根据模型按照本金递减、本金不变和本金递增的还款方式设计三种反按揭合同并进行满意度调查，三种还款方式按指数函数估值相同，按q指数函数估值不同.对调查结果进行Kruskal-Wallis非参数检验发现:三种方式中，人们最偏好本金递增的还款方式，其次是本金不变，最次是本金递减的还款方式.结论显示金融企业可在不提高利率的情况下通过改变支付方式提高客户对反按揭的满意度.
关键词：q指数函数跨期决策反按揭经济物理学反按揭
Research on Payment Preferences for Reverse Mortgage Based on q-Exponential Discount Function
LU Yang, WANG Jian, ZHUANG Xin-tian
School of Business Administration, Northeastern University, Shenyang 110169, China
Corresponding author: LU Yang, E-mail: ylu@mail.neu.edu.cn
Abstract: In order to examine the payment preferences for reverse mortgage, the reverse mortgage models were established based on the exponential discount and q-exponential discount function, whose general solutions were obtained. Then, three reverse mortgages were designed with three different repayment plans (falling, constant, and rising). A satisfaction survey of the mortgage plans was conducted, and it was found that the values of the mortgages are the same using the exponential discount function but are different using the q-exponential discount function. The results showed that the rising profile is better evaluated than the other two options, and the falling profile is less evaluated than the other two. This indicates that financial institutions can improve their clients′ satisfaction of reverse mortgage without any interest rate hike by changing payment preferences.
Key words: q-exponential functionintertemporal decision makingreverse mortgageeconophysicsreverse mortgage
经济物理学相关研究发现人们在进行跨期决策时需要对远期收入进行贴现^[1-4].经典经济理论认为人们是理性决策者，故其时间偏好不会变化，即用指数函数以一个固定贴现率进行估值.然而，众多实证研究发现人们的心理贴现率并非常数，瞬时贴现率随时间递减，q指数贴现函数是拟合度最高的贴现函数^[5-14].
跨期决策领域的研究进展对研究借贷决策有明显意义.实证研究发现人们在借贷决策时存在非理性借贷行为^[15-18]，这是由于人们在面临多时间维度借贷决策时会放弃计算总成本而仅通过该贷款的主要特征进行决策^[17].由于金融企业使用指数函数估值，而客户使用q指数函数估值，故对于金融企业成本相同的贷款在其客户眼中有不同价值.近期研究认为债务的偿还可视为一系列随时间变化的付款，故可使用跨期决策理论解释借贷决策^{[15, 18]}.该领域研究进展为提高反按揭的民众参与意愿提供了新思路.反按揭是解决中国老龄化问题的重要补充途径，但近年民众参与意愿低.本文依托跨期选择理论，尝试在不改变金融企业利率，不提高其成本前提下，根据q指数函数设计多种还款方式的反按揭合同，观察人们满意度差异，找出满意度最高的还款方式.
本文介绍考虑还款方式的反按揭基本模型及通解，并基于q指数函数提出研究假说；设计三种反按揭合同并进行满意度调查；分析调查结果验证研究假说.
1 还本方式不同的反按揭模型1.1 基于指数函数的模型及通解反按揭俗称以房养老，即与普通住房按揭贷款相反，金融企业定期向住户支付本金和利息，直至偿还等于房产现值的全部本金后取得房屋产权.令总本金(房屋现值)为M，反按揭利率为r，令各年支付的本金为

(1)

其中:A为第一年支付本金；常数d为邻近两年的本金偿还数之差.每年的总支付额a_n为当年的本金A_n加利息R_n:

(2)

其中利息等于剩余本金乘利率，即

(3)

将式(1)，式(3)代入式(2)可得

(4)

(5)

比较式(4)，(5)易知a_n=a_n-1+d-A_n-1r.注意到，a_n-a_n-1=d-A_n-1r，a_n-1-a_n-2= d-A_n-2r，相减后有(a_n-a_n-1)-(a_n-1-a_n-2)=(d-A_n-1r)-(d-A_n-2r)=-dr.
因此a_n为二阶等差数列，其通解为

(6)

代入式(3)得到利息通解为

(7)

根据日常习惯，反按揭被设计为按月支付并以等额本息原则令同一年12个月的月收入相同，即将年支付款a_n平均分摊到月，每月收到的月供MP_n为

(8)

其中r=r/12为月利率.注意到a_n是年末数，式(8)表示a_n在年初的现值a_n/(1+r)等于各月MP在年初的现值之和，故年末数a_n和月末数MP_n分别使用年利率r和月利率r.
1.2 基于q指数函数的分析q指数函数是非广延热力学中常用的一种变形代数，最早由Tsallis提出，因此也被称为Tsallis统计量^[14].Cajueiro首次将q指数函数引入跨期选择问题，并定义q指数函数的倒数为q指数贴现函数^[8]，按q指数函数贴现则a_n的现值为

(9)

反按揭合同现值M为

(10)

其中:V(M)为人们基于q指数函数的主观贴现值，常数q和r_q为q指数函数的参数，注意到使用指数贴现函数时，a_n现值为a_n/(1+r)，所以对于同一款反按揭，客户与金融企业估值不同.易知，当q→1, q指数函数变为指数函数；当q→0, 变为简单双曲线函数^[8-9].当1-q>0时，q指数函数贴现率呈现动态不一致性，即短期高于指数函数贴现率，但远期高于指数函数贴现率，其瞬时贴现率DR(n)=-(dF(a_n)/dn)/F(a_n)=r_q/(1+r_q(1-q)n)随期限n递减.而金融企业估值使用指数函数F′(a_n)=a_nexp(-rn)，其瞬时贴现率DR′(n)=-(dF′(a_n)/dn)/F′(a_n)=r，是一个常数^[12].因此，q指数函数的瞬时贴现率在近期高于指数函数的瞬时贴现率(DR(n)>DR′(n))，但在远期则更低(DR(n) < DR′(n)).
可知对提供反按揭的金融企业，只要本金M和反按揭利率r一样，则不同还本方式的反按揭成本相同.但对参与反按揭的客户，其基于q指数函数的估值函数V(M)是d的增函数(d越大意味着支付款越集中在远期，在远期人们的主观贴现率低于金融企业的贴现率，其主观估值高于金融企业估值).因此，对于本金递增(d>0)，本金递减(d < 0)和本金不变(d=0)三种反按揭合同，显然有V(M)(d>0)>V(M)(d=0)>V(M)(d < 0).据此提出假说:其他情况不变，客户对本金递增合同的估值最高，满意度最高.
2 三种反按揭合同满意度调查假设总本金(房屋现值) M=150万元，反按揭利率年息为r=2%，期限15年，金融企业按月向客户支付款项，月利率r-=2%/12.令d代表相邻两年之间的还本差，即后一年偿还本金减前一年偿还本金之差.根据还本方式不同设计三种反按揭合同，分别令d=1万元，d=0，d=-1万元.其中d=-1万元为本金递减型(记为P3)，第一年收到本金17万元，之后每年递减1万元；d=0为本金不变型(记为P2)，每年收到本金为固定10万元(150万元/15年)；d=1万元为本金递增型(记为P1)，第一年收到本金3万元，之后每年递增1万元.代入式(6)可得a_n通解，并根据式(8)可得三种合同每年的月支付款MP_n，即客户在15年里每月收到的养老金(由于三种合同本金还款顺序不同，故各年收入不同，但每一年中各月相同，见表 1).
表 1(Table 1)

表 1 三种反按揭合同月支付款Table 1 Monthly payment of three reverse mortgages ?元 年份 本金递增(P1) 本金不变(P2) 本金递减(P3) 2019 4 955.23 10 736.33 16 517.42 2020 5 731.55 10 571.15 15 410.76 2021 6 491.35 10 405.98 14 320.61 2022 7 234.63 10 240.80 13 246.97 2023 7 961.40 10 075.63 12 189.86 2024 8 671.65 9 910.45 11 149.26 2025 9 365.38 9 745.28 10 125.18 2026 10 042.59 9 580.11 9 117.62 2027 10 703.29 9 414.93 8 126.57 2028 11 347.47 9 249.76 7 152.05 2029 11 975.13 9 084.58 6 194.03 2030 12 586.28 8 919.41 5 252.54 2031 13 180.91 8 754.24 4 327.57 2032 13 759.01 8 589.06 3 419.11 2033 14 320.61 8 423.89 2 527.17

表 1 三种反按揭合同月支付款 Table 1 Monthly payment of three reverse mortgages ?元

根据表 1设计调查问卷，调查对象被告知在无子女继承房屋的假设下考虑将现值150万元的自住房屋进行15年反按揭作为补充养老金.有三种反按揭合约可供选择，由于房主延迟取得房款，故提供反按揭的金融企业会对延迟部分支付利息，房主在15年中收到的总款项将高于150万，三种合同的利率均为年息2%，合同之间的惟一区别在于还本先后顺序不同.问卷还列明三种合同月支付款详细信息(表 1)，调查对象在仔细阅读合同内容和月支付款后需对三种方案进行满意度评分，分值范围1~7，满意度越高，分值越高，7表示最满意，1表示完全不考虑.
3 调查结果分析调查对象为某985大学的本科生39人(男10人, 女29人)，平均年龄21.08(标准差为1.26岁).表 2汇总三种反按揭评分结果，μ为均值，σ为标准差.
表 2(Table 2)

表 2 三种反按揭评分Table 2 Evaluation of three reverse mortgages 性别 P1 P2 P3 μ σ μ σ μ σ 男 4.70 1.16 4.30 2.41 3.10 1.60 女 5.24 1.72 4.10 2.48 3.55 2.18 平均 5.10 1.60 4.15 2.43 3.44 2.04

表 2 三种反按揭评分 Table 2 Evaluation of three reverse mortgages

由于三种合同利率相同，对提供反按揭的金融企业没有任何区别.但表 2显示人们更偏好本金递增型的反按揭合同P1(μ=5.1).P1满意度评分均值高于其他两种合同，男女两性均表现出相同趋势，P1的女性评分均值μ=5.24，男性评分均值μ=4.7，均高于P2和P3的男性和女性评分.
在描述性统计结果基础上进一步检验差异的显著性.使用SPSS作Kolmogorov-Smirnov检验发现部分样本不符合正态分布，故采用Kruskal-Wallis进行非参数ANOVA检验.表 3结果显示组间值在99%置信度水平下差异显著(sig=3.74E-3 < 0.01).
表 3(Table 3)

表 3 Kolmogorov-Smirnov和Kruskal-Wallis检验结果Table 3 Kolmogorov-Smirnov and Kruskal-Wallis test results 显著性 P1 P2 P3 K-S 8.71E-4 1.27E-4 0.06 K-W — 3.74E-3 —

表 3 Kolmogorov-Smirnov和Kruskal-Wallis检验结果 Table 3 Kolmogorov-Smirnov and Kruskal-Wallis test results

图 1检验结果发现P1的平均秩为3，P2的平均秩为2，P3的平均秩为1.调查问卷评分的原始赋值在^{[1, 7]}之间，分数越高满意度越高，而Kruskal-Wallis检验结果按升序排列结果，故平均秩高代表统计意义上满意度显著高，即P1满意度显著高于P2，P2满意度显著高于P3.统计结果验证了假说，可得结论1.
图 1(Fig. 1)

图 1 按反按揭类别的Kruskal-Wallis检验结果Fig.1 Results of Kruskal-Wallis test sorted by reverse mortgages types

结论1 ?反按揭的本金支付越集中在前期，客户的满意度越高.
进一步按性别分析，图 2和图 3检验结果均显示P1平均秩为3，P2平均秩为2，P3平均秩为1.说明无论性别，本金递增反按揭的满意度评分在统计上显著高于本金不变和本金递减方案，即V(M)(d=1万元)>V(M)(d=0)>V(M)(d=-1万元).显然客户对反按揭的主观估值是d的增函数，该结果符合q指数贴现函数的假设，因此有推论1.
图 2(Fig. 2)

图 2 男性Kruskal-Wallis检验结果Fig.2 Results of Kruskal-Wallis test of male participants

图 3(Fig. 3)

图 3 女性Kruskal-Wallis检验结果Fig.3 Results of Kruskal-Wallis test of female participants

推论1 ?研究客户对反按揭的主观估值时，q指数贴现函数优于指数贴现函数.
4 结论1) 反按揭的本金支付越集中在前期，客户的满意度越高.
2) 研究客户对反按揭的主观估值时，q指数贴现函数优于指数贴现函数.
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