于延华, 岳立冬
东北大学 理学院, 辽宁 沈阳 110819
收稿日期：2016-09-21
基金项目：国家自然科学基金资助项目(11371080)。
作者简介：于延华(1978-), 女, 湖北荆门人, 东北大学副教授，博士。

摘要：在三维欧氏空间中, 主法线曲面作为特殊的非可展直纹面具有良好的代数和几何性质.运用微分几何的方法研究主法线曲面的结构函数.根据三维欧氏空间中不可展直纹面的定义和标准方程, 给出曲线的主法线曲面的定义和标准方程.从主法线曲面的定义和标准方程出发, 得到主法线曲面的结构函数之间满足的关系, 以及曲线的主法线曲面的结构函数、准线和腰曲线三者之间的联系.讨论Mannheim曲线和一般螺线的主法线曲面, 得到Mannheim曲线的主法线曲面是其侣线的副法线曲面, 一般螺线的主法线曲面是正螺面.
关键词：三维欧氏空间非可展直纹面主法线曲面结构函数腰曲线
Structure Functions on Normal Ruled Surface in 3-D Euclidean Space
YU Yan-hua, YUE Li-dong
School of Sciences, Northeastern University, Shenyang 110819, China
Corresponding author: YUE Li-dong, E-mail: yuelidonglq@126.com
Abstract: As special non-developable ruled surface, the normal ruled surface has good algebraic and geometric properties. Using the classical methods of differential geometry, the structure functions of the normal ruled surface in 3-D Euclidean Space are studied. According to the definition and standard equation of non-developable ruled surface in 3-D Euclidean Space, the definition and standard equation are given to the normal ruled surface. Based on the definition and standard equation of the normal ruled surface, the deep relation of the structure functions is obtained. Then some conclusions about the directrix, the striction line and the structure functions are obtained. By discussing the normal ruled surfaces of general helices and Mannheim curves in 3-D Euclidean Space, conclusions can be drawn that the normal ruled surfaces of general helices are positive spiral surfaces and the normal ruled surfaces of Mannheim curves are binormal ruled surfaces of their Mannheim partner curves.
Key Words: 3-D Euclidean Spacenon-developable ruled surfacenormal ruled surfacestructure functionstriction line
直纹面是由直线的轨迹所形成的曲面.柱面、锥面、单页双曲面、双曲抛物面、空间曲线的切线曲面等都是直纹面^[1-2].直纹面广泛应用于工程实践中, 例如飞机机翼、汽轮机叶轮等零件就常常采用直纹面作为型面; 齿轮滚刀、某些特种回转刀具的刀槽曲面的一部分也是直纹面; 对于某些法曲率绝对值稍大的曲面, 通过构造衍生曲面的方法, 也可以将其近似为直纹面进行处理^[3].
本文主要研究三维欧氏空间中曲线的主法线曲面.主法线曲面是由一条曲线的主法线所产生的直纹面.主法线曲面是一类非可展直纹面, 因此, 对主法线曲面的研究可以丰富不可展曲面的相关内容.
1 预备知识对于任意三维欧氏空间中的不可展直纹面, 可以给出如下表示.
定义1^[4]??设不可展曲面X(u, v)的方程为

(1)

其中|b(u)|=1, 参数u是b(u)的弧长参数, 导线a(u)是不可展曲面X(u, v)的腰曲线.则X(u, v)的这种参数表示称为不可展曲面X(u, v)的标准方程.
设x(u)=b(u), α(u)×x(u), 则

(2)

函数κ_g(u)是球曲率函数^[5-7], {α(u), x(u), y(u)}是单位球面曲线b(u)的球面Frenet标架.由于a(u)是不可展曲面X(u, v)的腰曲线, 由a(u)·b(u)=0, 假设

(3)

λ(u), μ(u)是u的函数.
定义2^[4]??函数κ_g(u), λ(u)和μ(u)称为非可展曲面X(u, v)的结构函数.
命题1^[4]??给定一个非可展直纹面X(u, v)及其标准方程, 则除了空间位置差别外, 不可展曲面完全由它的结构函数κ_g(u), λ(u)和μ(u)确定.
2 曲线的主法线曲面2.1 主法线曲面的结构函数定义3??一条曲线的主法线所产生的直纹面称为主法线曲面.
设曲线Γ:r(s), 以及沿r(s)的Frenet标架α(s), β(s), γ(s)满足Frenet公式:

(4)

其中s, κ(s)和τ(s)分别为r(s)的弧长参数、曲率和挠率.
曲线r(s)的主法线曲面Σ的方程为
定义4??设主法线曲面的方程为
其中b(u)=β(u), |b(u)|=1, 参数u是b(u)的弧长参数, 导线A(u)是主法线曲面X(u, v)的腰曲线; 则X(u, v)的这种参数表示称为主法线曲面X(u, v)的标准方程.
由于|b(u)|=1, b(u)是参数为u的球面曲线, 由式(2)有

(5)

其中
定理1??设X(u, v)是一个主法线曲面, (u, v)是主法线曲面上的任意点, 则在这一点的Frenet标架{α(s), β(s), γ(s)}和球面Frenet标架的关系为

(6)

其中
证明??由式(4), 式(5)可得

(7)

设

(8)

则式(7)两边自己作内积运算得
比较式(7), 式(8)有
对两边同时关于s求导, 得
又因为, 所以定理1得证.
定理2??设X(u, v)是一个主法线曲面, 函数κ_g(u), λ(u)和μ(u)是X(u, v)的结构函数, (u, v)是主法线曲面上的任意点, 则在这一点的Frenet标架{α(s), β(s), γ(s)}和球面Frenet标架的夹角θ只与κ_g(u)有关, 并有如下关系：
证明??对式(8)两边同时关于u求导, 可得
又, 则

(9)

对式(9)两边关于u作积分运算, 定理2得证.
定理3??设X(u, v)是一个主法线曲面, 函数κ_g(u), λ(u)和μ(u)是X(u, v)的结构函数, 则函数κ_g(u), λ(u)和μ(u)满足下面关系:

(10)

证明??主法线曲面X(u, v)的腰曲线
由式(3)可得

(11)

(12)

计算式(9), 式(11), 式(12), 定理3即得证.
由式(9), 式(11), 式(12)还可以得到主法线曲面X(u, v)的结构函数κ_g(u), λ(u)和μ(u)与其导线r(s)的曲率κ(s)和挠率τ(s)之间的关系:
2.2 主法线曲面的腰曲线沿主法线曲面X(u, v)的腰曲线A(u)的Frenet标架满足Frenet公式:

(13)

其中, 分别为的弧长参数、曲率和挠率.
定理4 ??设X(u, v)是一个主法线曲面, (u, v)是主法线曲面上的任意点, 则在这一点的Fernet标架和球面Frenet标架之间的关系为
曲率和挠率满足
其中
证明??定理4证明过程同定理1.
由定理1和定理4可得定理5.
定理5??设X(u, v)是一个主法线曲面, (u, v)是主法线曲面上的任意点, 则在这一点的Fernet标架和{α(s), β(s), γ(s)}之间的关系为
2.3 特殊曲线的主法线曲面定理6??在三维欧氏空间中, Mannheim曲线Γ的主法线曲面是其侣线Γ₁的副法线曲面.
证明??设曲线r(s)是三维欧氏空间中的Mannheim曲线, 其曲率和挠率满足
且c是非零常数.
三维欧氏空间中Mannheim曲线的主法线的腰曲线是Mannheim曲线的侣线^[8-10].又因为
即三维欧氏空间中Mannheim曲线的主法线曲面是其侣线的副法线曲面.
定理7??在三维欧氏空间中, 一般螺线的主法线曲面是正螺面.
证明??设曲线r(s)是三维欧氏空间中的一般螺线, 其曲率和挠率满足, 且c是非零常数.
把代入κ_g(u)，可以得到
即在三维欧氏空间中, 一般螺线的主法线曲面是正螺面.
3 结论1) 主要讨论了三维欧氏空间中主法线曲面的结构函数.给出主法线曲面的结构函数满足的关系, 以及结构函数, 导线和腰曲线三者的联系.
2) 考虑Mannheim曲线和一般螺线的主法线曲面, 得到Mannheim曲线的主法线曲面是其侣线的副法线曲面, 一般螺线的主法线曲面是正螺面.
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